Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott trên mô hình Bose-Hubbard trong gần đúng Bogoliubov

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Thu Hằng

TÊN ĐỀ TÀI: CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ SIÊU CHẢY- ĐIỆN MÔI MOTT TRÊN MÔ HÌNH BOSE-HUBBARD TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ

Hà Nội - 2019

1

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Thu Hằng

TÊN ĐỀ TÀI: CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ SIÊU CHẢY- ĐIỆN MÔI MOTT TRÊN MÔ HÌNH BOSE-HUBBARD TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ

NGƯỜI HD KHOA HỌC : GS.TS NGUYỄN TOÀN THẮNG

Hà Nội - 2019

2

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình nghiên cứu của người khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo. Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này.

Hà Nội, 10 - 2019

Học viên

Vũ Thị Thu Hằng

3

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi được rất nhiều kiến thức Vật lý, Toán học. Để hoàn thành được Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở thành một người có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến người thầy hướng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý cũng như lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận văn Thạc sĩ.

Tôi xin chân thành cảm ơn Học viện khoa học và công nghệ,Viện

Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại học đã hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn.

Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của mình dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bước chân tôi.

Hà Nội, 10 - 2019

Học viên

Vũ Thị Thu Hằng

4

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ...........................................................................................................

1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………...1

2. Đối tượng nghiên cứu .....………………………………………………….1

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu……………………………………..2 4. Cấu trúc luận văn...........................................................................................2

CHƯƠNG 1: CHUYỂN PHA NHIỆT ĐỘNG HỌC VÀ CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ

1.1. Các khái niệm chung về chuyển pha

1.2. Thí dụ về chuyển pha nhiệt động học: ngưng tụ Bose Einstein và siêu chảy.

1.3. Chuyển pha lượng tử

1.4. Mô hình Hubbard.

CHƯƠNG 2: CÁC PHA TRONG HỆ NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA SIÊU LẠNH TRONG MẠNG QUANG HỌC.

2.1. Khái niệm mạng quang học các nguyên tử trung hòa

2.2. Ngưng tụ Bose – Einstein và siêu chảy trong mạng quang học.

2.3. Pha siêu tinh thể trong mạng quang học.

2.4. Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott

CHƯƠNG 3: CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ SIÊU CHẢY- ĐIỆN MÔI MOTT TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV

3.1. Gần đúng Bogoliubov

3.2. Chéo hóa Bogoliubov

3.3. Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott trong gần đúng Bogoliubov.

KẾT LUẬN .....................................................................................................

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................

5

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Các hiện tượng chuyển pha và đồng tồn tại các pha đang là vấn đề thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học bởi hai lí do. Về mặt vật lý, các hiện tượng này còn nhiều vấn đề bỏ ngỏ cần được làm rõ. Về mặt thực tiễn, hiệu ứng chuyển pha là cơ sở cho việc chế tạo các vật liệu thông minh khi một tác động nhỏ của môi trường có thể làm thay đổi một cách đáng kể tính chất của vật liệu.

Trong thời gian gần đây, chuyển pha trong hệ các nguyên tử siêu lạnh đang trở thành một hướng nghiên cứu nóng, thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là các nhà vật lý [1,3,4], đặc biệt là sau sự phát hiện bằng thực nghiệm hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein [5,6,7] năm 1995 của các nhà khoa học E.A.Cornell, C.E.Wieman, và W. Keterle mà sau đó được giải thưởng Nobel vào năm 2001. Hệ nguyên tử siêu lạnh trên mạng quang học hấp dẫn các nhà nghiên cứu bởi sự tồn tại đa dạng các pha khác nhau. Trước hết các nguyên tử trung hòa có thể cư trú trên các nút mạng cấu trúc tuần hòa. Các nguyên tử trung hòa này ở nhiệt độ thấp có thể ngưng tụ một cách vĩ mô ở trạng thái cơ bản (hiện tượng BEC trong các bẫy). Do cấu trúc tuần hoàn của mạng và khả năng xuyên ngầm, các nguyên tử vừa có thể nhảy từ nút nọ sang nút kia như một giả hạt Bloch [8,9]. Ở nhiệt độ thấp các giả hạt này là boson nên có thể dịch chuyển không ma sát tức là có thể ở trạng thái siêu chảy. Đồng thời do tương tác trên một nút, khi thế năng áp đảo động năng chúng có thể định xứ. Như vậy, hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học có thể ở pha siêu chảy khi chúng là linh động, nhưng cũng có thể ở pha định xứ [10], tương tự như electron có thể ở pha kim loại, nhưng cũng có thể ở pha điện môi Mott trong các vật liệu đất hiếm hay kim loại chuyển tiếp [1,11]. Hệ điện tử như thế được gọi là hệ điện tử tương quan mạnh và được mô tả bằng mô hinh Hubbard [1,2,11]. Trong mạng quang học các nguyên tử trung hòa được mô tả bằng Hamiltonian Bose - Hubbard và thay vì chuyển pha kim loại điện môi- Mott [11] là chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott [9,12,13]. (Thực ra là siêu chảy- định xứ, nhưng để tương ứng với elctron người ta gọi là điện môi Mott cho dù ở pha siêu chảy thì hệ nguyên tử trung hòa vẫn là điện môi). Với mục đích tìm hiểu vấn đề lý thú này, tôi chọn đề tài luận văn là : Chuyển pha lượng tử siêu chảy- điện môi trong gần đúng Bogoliubov Mott trên mô hình Bose-Hubbard

1

2.Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang

học được mô tả bằng mô hình Bose – Hubbard.

Nghiên cứu hiện tượng chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott trong

gần đúng Bogoliubov. 3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu.

Đề tài đặt ra những mục tiêu sau đây: Thu thập và lọc lựa tài liệu về chuyển pha nhiệt động học và chuyển pha lượng tử, về các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh, đặc biệt là chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott. Thực hiện một số tính toán giải tích nghiên cứu chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott dựa trên gần đúng Bogoliubov khi thay số hạng tương tác chứa bốn toán tử bằng số hạng chứa hai toán tử.

Phương pháp tính toán là sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử áp dụng cho hệ nhiều hạt mà tôi được học trong chương trình cao học [3].

Qua việc hoàn thành đề tài luận văn, tôi được rèn luyện kỹ năng tiếp cận một vấn đề mới, mở rộng tầm hiểu biết về một vấn đề hiện đại, học một số phương pháp tiếp cận hiện đại của vật lý lý thuyết và áp dụng trong một bài toán cụ thể. 2. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn như sau:

Chương 1: Chuyển pha nhiệt động học và chuyển pha lượng tử

Chương 2: Các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh trên

mạng quang học.

Chương 3: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott trong

gần đúng Bogoliubov.

2

Chương I : Chuyển pha nhiệt động học và chuyển pha lượng tử

1.1 Các khái niệm chung về chuyển pha

1.1.1 Khái niệm pha [14]:

Pha trong nhiệt động học và trong vật lý thống kê được định nghĩa như một trạng thái của hệ đồng nhất. Thí dụ ta cứ thêm muối vào một bát nước ta ngoáy đều, ban đầu ta sẽ có hệ đồng nhất nhất là nước muối. Sau khi nước muối bão hòa ta sẽ có hai hệ đồng nhất trong bát còn gọi là hai pha: nước muối và muối tinh thể ở đáy. Trong thí dụ này ta thay đổi tỷ lệ muối và nước để thay đổi pha. Dưới đây ta sẽ xét sự chuyển pha do thay đổi một biến nhiệt động học nào đó của hệ như nhiệt đọ T, áp suất P, thể tích V hoặc trường ngoài như điện trường, từ trường. Thí dụ ta xét hệ có thành phần hóa học cố định là các phân tử nước H2O. Nước tùy thuộc nhiệt độ có thể tồn tại ở ba trạng thái đồng nhất tức là ba pha khác nhau: khí, lỏng, rắn. Các trạng thái này khác nhau về khối lượng riêng, nhiệt dung, các tính chất cơ và quang học. Nếu ta tăng áp suất lên trạng thái rắn của nước ta có thể thu được một vài pha rắn khác nhau với cấu trúc tinh thể khác nhau. Một cách tổng quát, cùng môt hệ rắn hoặc lỏng có thể tồn tại một vài cách sắp xếp nguyên tử hoặc phân tử tương ứng với các pha khác nhau. Chuyển pha là hiện tượng được quan sát từ rất lâu trong tự nhiên (thí dụ các giọt nước trong mây), trong cuộc sống thường ngày và trong 5 thuật ( thí dụ quá trình bốc hơi nước ở 100% trong các động cơ hơi nước, quá trình chuyển pha rắn - lỏng trong công nghiệp luyện kim chuyển pha phổ biến nhất là khi nhiệt độ thay đổi và được gọi là chuyển pha nhiệt động ở nhiệt độ mà có sự thay đổi trạng thái đồng nhất của hệ được gọi là nhiệt độ chuyển pha ký hiệu là Tc. Chuyển pha có thể kèm theo nhiệt ẩn: hệ thu nhiệt hay tỏa nhiệt trong quá trình chuyển pha, nhưng cũng có thể có chuyển pha không kèm theo nhiệt ẩn. Tại điểm chuyển pha đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất đặc trưng cho mỗi pha có thể thay đổi một cách gián đoạn, nhưng cũng có thể thay đổi một cách liên tục.

Người ta có thể mô tả một cách dễ hiểu các pha bằng giản đồ pha trên đó hai trục x, y có thể là các biến nhiệt động học thí dụ áp suất P và nhiệt độ T. Các đường cong trên mặt phẳng (P, T) sẽ mô tả các biên phân biệt các pha. Ta xét một ví dụ cụ thể các điều đã nêu ở trên với hệ các phân tử nước H2O. Ta hãy xét khối lượng riêng

như là hàm của nhiệt độ T.

Nếu nhiệt độ tăng khi giữ áp suất không đổi và bằng một atmosphere (đường đứt nét trên hình 1.1) thì ban đầu ở thể rắn, sẽ chuyển sang pha lỏng ở T=00 C với khối lượng riêng ~ 1g/cm3 và khi T đạt 100o C sẽ là pha khi với mật độ cỡ 0,001g/cm3, tức là mật độ thay đổi gián đoạn nếu đồng thời thay đổi cả áp suất P và nhiệt độ T, thì hệ sẽ tồn tại ở hai trạng thái khác nhau dọc theo đường biên AB cho đến Tc=3740C, Pc= 220 atm thì chỉ còn pha khi tồn tại. Tại điểm P khối lượng riêng

3

thay đổi một cách liên tục và chỉ có hệ số giãn nở nhiệt là đạo hàm bậc 2 của hệ nhiệt động là thay đổi một cách liên tục.

H1.1 Giản đồ pha của hệ phân tử H20)

Một thí dụ khác là chuyển pha thuận từ - sắt từ ở một số vật liệu từ chứa sắt khi nhiệt độ xuống thấp hơn nhiệt độ Tc nào đó cho mỗi vật liệu thì hệ từ chỗ có độ từ hóa bằng 0 (thuận từ) chuyển sang trạng thái có độ từ hóa ≠0 (sắt từ) cho dù không có trường ngoài. Chuyển pha sắt từ - thuận từ không phải do sự thay đổi thành phần hóa học của vật liệu hay sự thay đổi của nồng độ hạt mà do sự tái định hướng momen từ của các nguyên tử sắt.

Hai thí dụ trên là chuyển pha gắn với sự thay đổi trong không gian thực còn có N chuyển pha xảy ra trong không gian xung lượng, thường được gọi là không gian 𝑘⃗ (mặc dù các đặc tính của nó quan sát được trong không gian thực) như chuyển pha siêu chảy – chất lỏng thông thường của He lỏng Tc= 2,2 K, hay ngưng tụ Bose – Einstein trong hệ nguyên tử trung hòa trong các bẫy ở Tc ≈ 10−7 𝐾 mà ta xét cụ thể sau.

1.1.2. Phân loại chuyển pha động học

1.1.2.1 Phân loại kiểu nhiệt động học của Ehrenfest [14,15]

Để mô tả chuyển pha ta phải sử dụng nhiệt động học và vật lý thống kê hệ nhiều hạt trong nhiệt động học mỗi trạng thái của hệ đặc trưng bởi một năng lượng đặc trưng nếu có. Nếu hệ xác được xác đinh bởi các biến nhiệt động học (P,T,V) thì năng lượng đặc trưng sẽ là thế nhiệt động. Một phần năng lượng tự do là năng lượng của hệ ở T = 0 K còn phần kia là phụ thuộc entropy và nhiệt độ. Nếu các biến độc lập là P và T thì thể nhiệt động là năng lượng tự do Gibbs.

4

, còn nếu biến độc lập là T và V thì thế nhiệt động là năng lượng

tự do Helmoltz . Vi phân của của các thể nhiệt động là

(1.1)

nếu có từ trường ngoài 𝐻⃗⃗ ta thêm vào (1.1) số hạng

trong đó 𝑀⃗⃗ là moment từ còn nếu số hạt trong hệ thay đổi ta thêm vào 𝜇 dN, trong đó 𝜇 là thế hóa học.

Năm 1933 Ehrenfest đã đề xuất phân loại chuyển pha dựa trên các hệ nhiệt động học của hệ như sau:

i)

Chuyển pha bậc nhất là khi các đại lượng như mật độ, entropy …. liên quan tới đạo hàm bậc nhất của các thế nhiệt động học là gián đoạn tại điểm chuyển pha:

(1.2)

Như vậy chuyển pha bậc nhất là chuyển pha kèm theo nhiệt ẩn vì nhiệt ẩn liên quan tới tính gián đoạn của entropy, thí dụ chuyển pha lỏng khí ở đoạn AB

trên hình 1.1 ta thấy chuyển pha có kèm theo nhiệt ẩn và mật độ hạt thay đổi đổi gián đoạn.

ii)

Chuyển pha bậc 2 là chuyển pha khi thế nhiệt động và đạo hàm bậc nhất của chúng liên tục, nhưng đạo hàm bậc 2 theo biến của trạng thái tiến tới 0 hay tiến tới vô cùng ở điểm chuyển pha. Ta xet:

(1.3)

trong đó CP là nhiệt dung đẳng áp, KT là hệ số nén đẳng nhiệt. Thí dụ các đại lượng này tiến tới vô cùng ở chuyển pha lỏng-khí ở điểm B và ở TC= 217K ở chuyển pha siêu chảy của Helium 4.

Chuyển pha bậc hai không kèm theo nhiệt ẩn vì entropy là liên tục.

Phân loại chuyển pha của Ehrenfest có thể được mở rộng cho chuyển pha bậc n cao hơn là khi thế nhiệt động học và đạo hàm tới bậc n-1 là liên tục, nhưng đạo hàm bậc n là liên tục gián đoạn. Các phân loại như của Ehrenfest khá thuận lợi,

5

nhưng chưa đầy đủ cho một số các loại chuyển pha,thí dụ chuyển pha ở T=0K.Vì vậy theo Landau đã đề xuất một cách phân loại khác dựa vào khái niệm tham số trật tự .

1.1.2.2. Phân loại theo Landau [14]

Năm 1937 Landau đã chú ý rằng chuyển pha khi không kèm theo tỏa hoặc thu nhiệt luôn kèm theo sự thay đổi tính chất đối xứng của hệ, ngoại trừ chuyển pha khí lỏng ở điểm B trên hình 1.1. Thí dụ xét chuyển pha thuận từ - sắt từ khi nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ của T > TC thì các moment từ có hướng lộn xộn và độ từ hóa của vật liệu bằng 0. Hệ moment từ có đối xứng đẳng hướng. Khi T≤ TC thì các moment từ sẽ cùng theo một hướng. Như vậy tính chất đối xứng quay xung quanh một trục bất kỳ trong không gian ở pha thuận từ bị phá vỡ mặc dù không có tác dụng của từ trường ngoài được gọi là phá vỡ đối xứng tự phát. Ở pha sắt từ đối xứng quanh một trục bất kì đã giảm xuống chỉ còn đối xứng quay quanh một trục trùng với hướng của moment từ tự phát. Landau đã đưa vào khái niệm tham số trật tự liên quan tới sự phá vỡ đối xứng tự phát này. Nói chung tham số trật tự là một đại lượng vật lý bằng 0 ở pha đối xứng cao và khác 0 ở pha trật tự (đối xứng thấp hơn).

Cho chuyển pha sắt từ - thuận từ thì tham số trật tự là độ từ hóa tự phát, còn chuyển pha sắt điện – thuận điện thì tham số trật tự là độ phân cực điện tự phát của hệ. Như vậy nếu sử dụng khái niệm tham số trật tự ta có thể phân loại chuyển pha theo Landau như sau:

i) Chuyển pha mà không có tham số trật tự đúng nghĩa (tức là đại lượng vật lý liên quan trực tiếp với tính đối xứng của hệ) thì được gọi là chuyển pha bậc nhất giống như trong phân loại của Ehrenfest.

ii) Chuyển pha trong đó có thể xác định tham số trật tự gắn liền với tính đối xứng của hệ: nhóm đối xứng của pha trật tự là nhóm con của nhóm đối xứng của hệ ở pha mất trật tự. Nếu tham số trật tự thay đổi một cách gián đoạn ở điểm chuyển pha thì chuyển pha đó được gọi là không liên tục, còn nếu nó liên tục còn được gọi là chuyển pha liên tục.

1.1.3. Trật tự tầm gần và tầm xa, trật tự chéo và không chéo [4]

1.1.3.1. Khái niệm trật tự tầm xa chéo (Diogonal Long Range Order - DLRO) [24]

Trước hết xét trong không gian tọa độ liên tục. Gọi và là các toán tử

). Tùy theo hệ boson hay fermion mà và

trường (hủy và sinh hạt tại thỏa mãn các hệ thức giao hoán hay phản giao hoán. Ma trận mật độ một hạt của hệ được định nghĩa như sau:

6

(1.4)

Trong đó < > là lấy u bình nhiệt động học (khi N, V   thì N/V  hữu hạn

không đổi, N là số hạt, V là thể tích). Trung bình của toán tử tương ứng với

đại lượng vật lý A định nghĩa là

(1.5)

trong đó là ma trận mật độ ứng với Hamiltonian đã cho (1.4) được gọi là ma

trận vì nếu coi r và r’ là hai chỉ số thì là yếu tố ma trận của ma trận nij

(∞∞), các chỉ số i, j của nij là biến liên tục.

Nếu thì ma trận mật độ một hạt được gọi là mật độ

chéo hay phân bố một hạt. Nếu thỏa mãn:

(1.6)

trong đó là bộ các vecto bất kỳ, khác không, thì người ta nói rằng hệ có trật

tự tầm xa chéo. Ta thấy pha tinh thể của vật liệu là hệ có trật tự tầm xa chéo. Pha

lỏng là khi mật độ hạt là hằng trong toàn chất lỏng, nên không phá vỡ đối

xứng tịnh tiến và không có DLRO, nhưng có trật tự tầm gần, còn pha khí không

có trật tự gì.

Xét hệ hạt phân bố sẵn trên mạng xác định bởi các vecto cơ sở và các nút

mạng . Mật độ hạt = n( ). Hệ được gọi là chỉ phụ thuộc Ri tức là

có trật tự tầm xa chéo, nếu:

(1.7)

với điều kiện không trùng với các vectơ cơ sở của mạng .

1.1.3.2. Khái niệm trật tự tầm xa không chéo (Off Diogonal Long Range

Order – ODLRO) [4]

7

Ma trận mật độ một hạt được định nghĩa theo (1.4) nếu thỏa mãn n(1)(r,r’)

 no0 khi |r-r’|  ∞ thì ta nói rằng hệ có trật tự tầm xa không chéo. Ý nghĩa

của ODLRO là sự có mặt của hạt ở tương quan với sự có mặt của hạt ở .

Mở rộng cho trường hợp các hạt phân bố trên mạng, nếu

khi độ lớn của thì nói rằng hệ hạt trên mạng

có trật tự tầm xa không chéo (ODLRO). Các pha BEC và siêu chảy là các pha có trật tự tầm xa chéo. 1.2. Thí dụ về chuyển pha nhiệt động học: ngưng tụ Bose Einstein và siêu chảy.

1.2.1. Ngưng tụ Bose-Einstein trong khí boson lý tưởng [3,4,8]

Ngưng tự Bose –Einstein (Bose-Einstein Condensation: BEC) là khi hệ các boson ở nhiệt độ rất thấp thì có một số rất lớn (gọi là lớn vĩ mô) các boson ở cùng một trạng thái lượng tử với mức năng lượng nhỏ nhất. Ta cần chú ý là ở trạng thái lượng tử chứ không phải là ngưng tụ ở một vùng nào đó trong không gian, mặc dù nếu trong các bẫy thì cũng tập trung ở một vùng không gian nhỏ. Ta chỉ giới hạn hệ các boson không tương tác, tự do trong không gian.

Xét hệ hạt boson lý tưởng không tương tác, khi đó Hamiltonian là tổng các

Hamiltonian độc lập của từng hạt.

(1.8)

Các vecto riêng lúc này là tập hợp các số lấp đầy ni của trạng thái

một hạt i. Tổng thống kê hệ boson không tương tác

(1.9)

Tổng số hạt của hệ :

(1.10)

là số hạt trung bình (số lấp đầy trung bình của trạng thái i).

(1.11)

8

Vế phải (2.16) chính là hàm phân bố Bose-Einstein quen thuộc.

Từ (2.16) suy ra điều kiện ràng buộc quan trọng cho thể hóa học của hệ

- (tiến từ phía dưới) thì số

boson lý tưởng:  < o với o là mức năng lượng thấp nhất của Hamiltonian một

hạt H(1), vì nếu không, số lấp đầy sẽ là âm. Khi  < o

lấp đầy trạng thái thấp nhất là lớn.

(1.12)

Nhưng No không thể là vô cùng vì còn điều kiện (1.10)

N = No + NT (1.13)

với (1.14)

Các công thức (2.17) và (2.19) là bản chất của hiện tượng ngưng tụ Bose -

Einstein (Bose Einstein Condensation - BEC). No là số hạt ngưng tụ còn NT

là số hạt ở ngoài ngưng tụ. Khi T tăng, NC tăng, nhiệt độ TC xác định từ điều

kiện:

(1.15)

và được gọi là điều kiện tới hạn của ngưng tụ BE.

Ý nghĩa của nó là: khi T < TC thì NC < N, vì vậy No = N – NT > 0 và có độ lớn vĩ

mô (cùng bậc với N), còn số hạt ở các mức khác bậc đơn vị ~1. Người ta dùng

khái niệm khí để mô tả hệ loãng (delute) không có tương tác.

Trong mô hình hình hộp ba cạnh cùng có độ dài L; thể tích V = L3, thì hàm

riêng của Hamiltonian là sóng phẳng:

(1.16)

Và năng lượng là ; xung lượng với

.

Từ (2.19) ta có số hạt ngoài ngưng tụ:

9

(1.17)

Trong đó: (1.18)

là bước sóng nhiệt còn gọi là bước sóng de Broglie tương ứng chuyển động

nhiệt

còn (1.19)

là trường hợp riêng của lớp hàm Bose:

(1.20)

với được gọi là fugacity.

Nhiệt độ tới hạn TC tìm từ điều kiện (1.15) và công thức (1.17) khi đặt

 =0, z = 1, T = TC, NT = N

(1.21)

Thay Tc từ (1.18) có:

(1.22)

vì . TC đủ lớn để quan sát được nếu n lớn và /hoặc m nhỏ.

Nhưng n quá lớn thì boson không còn là lý tưởng, thường trong BEC: 1013 –

10

1015 cm-3, và là 4He vì m nhỏ. Sự phụ thuộc của số hạt trong ngưng tụ vào nhiệt

độ khi T < TC là:

(1.23)

Để tính nhiệt dung ta cần tính năng lượng từ phương trình:

(1.24)

Ta có: T < TC : , còn khi T > TC :

(1.25)

Vì vậy nhiệt dung riêng:

(1.26) + T < TC:

(1.27) + T > TC:

Với: (1.28)

Từ đây suy ra tại nhiệt độ chuyển pha TC nhiệt dung riêng Cv có mũi nhọn,

nhưng vẫn liên tục.

1.2.2. Trật tự tầm xa chéo và phá vỡ đối xứng tự phát trong BEC [4]

Ma trận mật độ (1.4) có thể viết lại dưới dạng sau:

(1.29)

Trong đó {i} là hệ hàm riêng với giá trị riêng ni của toán tử số hạt. Ta sẽ thấy ở

pha BEC thì n(1)(r,r’)  no0 khi |r-r’|  ∞ tức là hệ có trật tự tầm xa không

11

chéo . Hệ ở BEC khi trạng thái thấp nhất (ta gọi là i=0) bị chiếm một cách vĩ mô

ni=0  No  N, còn các trạng thái khác được lấp đầy cỡ đơn vị. Tách riêng mức 0

trong (1.28):

(1.30)

Ký hiệu . Hàm được coi là hàm sóng của ngưng

tụ và đóng vai trò là tham số trật tự. Đây là đại lượng phức :

(1.31)

xác định phần đóng góp của ngưng tụ vào mật độ chéo, còn thừa số pha S(r)

sau này ta sẽ thấy đóng vai trò chính trong hiện tượng kết hợp và siêu chảy. Ở

pha BEC thì ni=0  No  N tức là số hạng đầu tiên trong (1. ) luôn khác không,

và không còn ODLRO. Tương ứng nếu hệ có ODLRO. Ở T > TC thì

viết Hamiltonian qua các toán tử trường thì khi toán tử trường xác định

chính xác tới thừa số pha ei sẽ không làm thay đổi gì tính chất của hệ

(Hamiltonian không thay đổi), nghĩa là hệ ban đầu có đối xứng gauge. Nhưng

khi chọn tham số trật tự với pha xác định thì vectơ trạng thái không còn đối

xứng gauge nữa tức là đã phá vỡ đối xứng gauge. Như vậy sự tồn tại của

ODLRO liên quan tới phá vỡ đối xứng gauge tự phát. (Tự phát theo nghĩa không

cần một trường ngoài trực tiếp làm mất đối xứng ban đầu của hệ). Nếu ban đầu

pha chọn bất kỳ thì mỗi hạt đều có pha bất kỳ, có thể khác nhau. Nhưng khi phá

vỡ đối xứng tự phát là ta đã chọn chung cho cả hệ, tức là có sự kết hợp pha

cho cả hệ (the phase coherence throughout the system).

1.2.3. Siêu chảy [8]

Siêu chảy là khi các hạt ở pha lỏng và có thể chảy không có ma sát với vận tốc nhỏ hơn vận tốc tới hạn vc nào đó, khi nhiệt độ nhỏ hơn một nhiệt độ tới hạn nào đó (thường là rất thấp). Hiện tượng siêu chảy được phát hiện với He từ giữa thế kỷ trước do nhà khoa học người Nga Kapitsa. Hiện tượng siêu chảy ở Heli có những tính chất cơ bản sau:

12

- 4He lỏng ở nhiệt độ không tuyệt đối T = 0K thì không chuyển sang thể

rắn ở áp suất khí quyển. Nó ở thể rắn khi áp suất cao (ở T = 0K thì cần áp

xuất P = 25 atm).

- Ở TC = 2.18K, gọi là điểm , chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy (do

Kapitza phát hiện năm 1938). Siêu chảy là hiện tượng chất lỏng chảy

trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi vận tốc v < vC

nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). (Pha siêu chảy

này được gọi là pha He II).

- Ở dưới nhiệt độ tới hạn TC 4He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô

cùng.

- Ở một số điều kiện, độ nhớt không bằng không, tức là tồn tại hai chất lỏng:

một loại với mật độ số ρs là siêu chảy, còn loại kia với mật độ ρn là chất lỏng

thông thường.

- Nhiệt dung riêng ở điểm chuyển pha có dạng sau (H.10). Vì sự phụ thuộc

nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ  nên đôi khi chuyển pha này được

gọi là chuyển pha .

1.2.4. Mối liên hệ giữa siêu chảy và BEC [8]

Trước hết ta thấy siêu chảy xảy ra với 4He, tức là chỉ có cho hệ boson. Siêu chảy

cũng là trạng thái kết hợp lượng tử , có thể liên quan tới BEC vì nếu đánh giá

, thay bước sóng De Broglie nhiệt từ (2.25) tại T = TC ta có

số liệu cho He ta có

Như vậy trong một bước sóng de Broflie có một vài nguyên tử 4He, đây chính

là điều kiện để hiệu ứng kết hợp lượng tử lên tiếng , có thể liên quan tới BEC.

Nếu ta so sánh với nhiệt độ chuyển pha BEC tính từ lý thuyết cho hệ 4He

(1.32)

13

Ta thu được nhiệt độ TC chuyển pha BEC cho hệ boson lý tưởng cũng khá gần

nhiệt độ chuyển pha TC siêu chảy đo thực nghiệm là 2,18K. Cuối cùng ta xem

lại công thức mật độ ngưng tụ BEC cho hệ 4He.1

(1.33)

Và nếu coi siêu chảy gồm 2 thành phần: với số hạt No (tương ứng siêu chảy) và

với số hạt NT (chất lỏng bình thường) thì công thức trên cũng gần với dáng điệu

đường thực nghiệm siêu chảy.

Các phân tích trên đây cho thấy định tính có sự phù hợp giữa BEC và siêu chảy

của 4He, để chính xác hơn ta cần các mô hình tinh hơn, thí dụ cần tính tới tương

tác giữa các boson hay sự giam cầm của các boson.

1.2.5. Pha của hàm sóng và vận tốc siêu chảy [4,8]

Như đã nói trong phần 1.2.3, hàm được coi là hàm sóng

của ngưng tụ và đóng vai trò là tham số trật tự của BEC. Nếu công nhận mối

liên hệ giữa siêu chảy và BEC theo các chứng cứ ở trên, ta có thể coi cùng

là hàm sóng – tham số trật tự của siêu chảy, trong đó pha là pha mà BEC

chọn, thể hiện sự phá vỡ đối xứng tự phát. Từ cơ học lượng từ; vận tốc

của hạt bằng tác dụng của toán tử vận tốc lên hàm sóng

(1.34)

Trong pha BEC thì coi ; nên số hạng đầu bằng không. Vậy suy ra:

(1.35)

Công thức (2.7) có thể dẫn ra chặt chẽ hơn bằng các lý thuyết vi mô khác, vẫn

đang tiếp tục được phát hiện. Công thức (2.7) cho thấy mối liên hệ trực tiếp giữa

vận tốc siêu chảy và pha của hàm sóng BEC.

14

1.3 Chuyển pha lượng tử [16]

Chuyển pha nhiệt động học còn được gọi là chuyển pha cổ điển, mặc dù các hiệu ứng lượng tử là nguyên nhân dẫn tới sự tồn tại của tham số trật tự, thí dụ siêu chảy và siêu dẫn đều phải xét trong lý thuyết lượng tử. Nguyên nhân của tên gọi “cổ điển” là bởi vì tính thăng giáng nhiệt cổ điển đã quyết định tính chất của hệ ở gần đúng sóng dài. Ở gần nhiệt độ chuyển pha TC thì các biểu hiện của hệ không phụ thuộc vào tính chất vĩ mô của từng hệ do ở đó độ dài kết hợp phân kỳ.

Và hệ thể hiện tính trung bình theo tất cả các thang độ dài nhỏ hơn độ dài kết hợp. Kết quả là lân cận nhiệt độ chuyển pha, tính chất cuả hệ có thể được mô tả bằng lý thuyết hiện tượng luôn bán cổ điển kiểu lý thuyết Girzburg - Landau.

Chuyển pha xảy ra ở nhiệt độ T=0K được gọi là chuyển pha lượng tử và được điều khiển bởi một biến nhiệt động không phải là nhiệt độ, thí dụ áp suất hay từ trường ở nhiệt độ T=0K không còn thăng giáng nhiệt và lúc này thăng giáng lượng tử có nguồn gốc từ nguyên lý bất định Heisenberg đóng vai trò quyết trong việc tái tổ chức lại hệ nhiều hạt.

Về mặt định tính, chuyển pha lượng tử có thể hiểu được từ bức tranh phổ năng lượng của hệ nhiêù hạt. Giả sử phổ năng lượng của hệ có mức cơ bản và mức kích thích thống nhất cách mức cơ bản một khe ∆. Độ lớn của khe ∆ phụ thuộc tham số g điều khiển chuyển pha khi g thay đổi đến một hóa trị gC tới hạn thì khe biến mất ∆= 0 và ta có chuyển pha. Tính chất của hệ nhiều hạt sẽ khác nhau ở hai phía của gC do tham số trật tự khác không pử một phá và bằng không ở phía bên kia.

Thực ra, chuyển pha lượng tử chỉ xảy ra ở T=0K. Điểm chuyển pha gC ngăn cách mất trật tự lượng tử khi tham số trật tự bằng không với pha trật tự lượng tử khi tham số trật tự khác không. Khi nhiệt độ tăng pha trật tự sẽ chuyển pha cổ điển sang pha mất trật tự ở nhiệt độ chuyển pha TC. Ngay cả khi nhiệt độ khác không thì dấu hiệu của chuyển pha lượng tử vẫn còn, nếu năng lượng đặc trưng cho thăng giáng lượng tử ℏ𝜔 > 𝑘𝐵𝑇. Vùng lân cận gC ở T≠ 0K được gọi là vùng tới hạn lượng tử.

Ví dụ điển hình của chuyển pha lượng tử là chuyển pha linh động – định xứ của hệ nhiều hạt fermion hoặc boson phân bố trên mạng. Giả sử trên mỗi nút mạng có một hạt tích điện spin 1/2 hoặc một số nguyên các boson trung hòa. Các hạt có thể tăng giữa các nút, còn trên một nút thì các hạt tương tác đẩy do thể Coulomb (nếu là hạt tích điện) hoặc hiệu lực Vander Walls (nếu là hạt trung hòa). Động năng của hạt do sự nhảy nút quyết định tính linh động của hạt còn thế năng của hạt do tương tác trên mỗi nút sẽ quyết định tính định xứ của hạt. Nếu là hệ các điện tích thì ở trạng thái linh động hệ sẽ là kim loại dẫn điện còn ở trạng thái định xứ thì hệ là điện môi. Đây chính là bức tranh vật lý của chuyển

15

pha lượng tử kim loại – điện môi Mott do ngài Mott đề xuất tham số điều khiển chuyển pha ở đây là tỷ số giữa biên độ nhảy nút và thế tương tác trên một nút. Nếu hệ gồ các boson trung hòa thì các hạt là linh động, ở nhiệt độ T=0K hệ sẽ ở pha ngưng tụ Bose-Einstein kéo theo tính chất siêu chảy, còn ở pha định xứ người ta vẫn gọi là điện môi Mott mặc dù ngay cả ở pha siêu chảy thì các hạt trung hòa cũng không dẫn điện. Đây là bức tranh vật lý của hiện tượng chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott trong hệ nguyên tử trung hòa trên mạng.

1.4 Mô hình Hubbard [1,11]

Từ phần 1.3 ta thấy rằng để có chuyển pha linh động – định xứ thì mô hình cần mô tả các hạt trên mạng tinh thể và có ít nhất hai số hạng : số hạng động năng và số hạng thế năng . Hubbard là người đầu tiên đưa ra mô hình có dạng tương đối đơn giản , nhưng lại có thể mô tả đầy đủ quá trình chuyển pha kim loại – điện môi Mott cho hệ các electron tương quan mạnh.

Trong một số vật liệu tương tác Coulomb giữa các hạt tải nhỏ hơn nhiều so với

động năng của chúng và trong nhiều trường hợp được coi là hệ các hạt tải tự do

với khối lượng được tái chuẩn hoá (khối lượng hiệu dụng). Trong các vật liệu họ

kim loại chuyển tiếp và kim loại đất hiếm thì thế năng của mỗi điện tử có độ lớn

cùng bậc với động năng của nó. Hệ điện tử như vậy được gọi là hệ điện tử tương

quan mạnh. Mô hình đơn giản nhất mô tả hệ điện tử tương quan mạnh là mô

hình Hubbard được đề xuất năm 1953 với Hamiltonian có dạng sau [11]:

(1.36)

Trong đó là các toán tử sinh (huỷ) điện tử trên nút i (nút j).

là toán tử số hạt trên nút I. Tương tác Coulomb trên một nút ký hiệu

là U. Tích phân nhảy nút ký hiệu là t mô tả tính chất động của điện tử. Vì độ lớn của tích phân nhảy nút phụ thuộc sự phủ nhau của hai hàm sóng Wannier trên hai nút I, j nên tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa hai nút. Vì vậy người ta thường giới hạn trong gần đúng hai nút lân cận gần nhất <ịj>. Như vậy số hạng đầu tiên mô tả động năng của hệ còn số hạng thứ hai liên quan tới thế năng của hạt. Nếu đóng góp của hai số hạng này là cùng bậc thì ta người ta gọi là hệ tương quan mạnh. Ngoài tham số nhảy nút và tương tác trên một nút, Hamiltonian Hubbard còn

đặc trưng bởi số lấp đầy và cấu trúc mạng tinh thể. Số lấp đầy n là trung bình

của số hạt trên mỗi nút.

16

Vì nguyên lý Pauli nên trên mỗi nút không thể có hơn hai electron. Trường hợp

đặc biệt quan trọng là khi n=1, được gọi là lấp đầy một nửa.

Mô hình Hubbard tuy có dạng đơn giản nhưng được áp dụng khá rộng rãi. Có

thể kể ra một số trường hợp cụ thể áp dụng mô hình Hubbard như sau

• Nghiên cứu tính chất điện từ của tinh thể với vùng năng lượng hẹp (kim loại

chuyển tiếp).

• Nghiên cứu tính chất từ do hạt tải linh động (band magnetism) trong các vật

liệu chứa Fe, Co, Ni…

• Siêu dẫn nhiệt độ cao và các vật liệu siêu dẫn mới.

• Nghiên cứu các phương pháp tiếp cận và ý tưởng mới trong vật lí thống kê.

Cần lưu ý là giá trị cụ thể của t và U là tính chất nội tại của vật liệu và khó thay

đổi bằng các điều kiện bên ngoài, thí dụ thường bằng thay đổi áp xuất bên ngoài.

Đây là điều khác biệt lớn khi so sánh với mô hình Bose- Hubbard trong siêu

mạng sẽ trình bày ở chương 2 khi t và U dễ dàng thay đổi bằng cường độ chùm

laser.

Hamiltonian Hubbard được nghiên cứu rất nhiều, tuy nom đơn giản nhưng không có lời giải chính xác cũng như không áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn truyền thống khi xét tương quan mạnh vì số hạng thế năng chứa bốn số hạng.

17

Chương 2. Các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh trong mạng quang học

2.1 Mạng quang học các nguyên tử trung hòa [17]

Mạng quang học các nguyên tử trung hòa là hệ các nguyên tử trong đó các nguyên tử bị bắt giữ trên các nút mạng được tạo bởi các chum laser tạo ra . Nếu ta cho hai chùm laser truyền theo cùng phương nhưng hướng vào nhau thì sẽ tạo nên được các sóng đứng. Các điểm cực trị của sóng đứng tạo nên các nút mạng với hằng số mạng bằng một nửa bước sóng laser. Các nguyên tử trung hòa sẽ bị bắt giữ tại cực đại hay cực tiểu của trường laser tùy theo tham số điều chỉnh(detuning).

2.1.1 Thế lưỡng cực quang học

tần số

Khi nguyên tử trung hòa đặt trong trường laser thì tương tác giữ nguyên tử và trường điện từ của laser có hai thành phần: tiêu tán và bảo tồn năng lượng. Thành phần tiêu tán là do quá trình hấp thụ photon của nguyên tử kèm theo ngay sau đó là phát xạ photon một cách tự phát, trong đó xung lượng của nguyên tử thay đổi kéo theo năng lượng thay đổi. Thành phần tương tác này được lợi dụng để làm lạnh bằng laser. Thành phần bảo toàn do tương tác lưỡng cực điện của trường laser với nguyên tử. Vì nguyên tử là trung hòa nên không có tương tác Comlomb nhưng nguyên tử bị phân cực trong trường laser nên có tương tác lưỡng cực giữa trường laser với lưỡng cực điện cảm ứng của nguyên tử. Tương tác này gây nên dịch chuyển trong thế năng, gọi là dịch chuyển stock. Ta có thể xét trong mô hình đơn giản sau.Trong trường điện từ thì lưỡng cực điện d phụ thuộc E và độ phân cực như sau:

(2.1)

với điện trường ( ) lấy trung bình theo thời gian

Thế tương tác lưỡng cực là

(2.2)

Trong đó là cường độ laser .Hệ số 1/2 là , đây là lưỡng cực điện

cảm ứng.

Trong mô hình bán cổ điển Lorentz thì phân cực của lưỡng cực điện có thể mô hình hóa bằng một dao động tử điều hòa có tần số sóng là , hệ số tắt dần .

18

(2.3)

gần

Thay (3.3) vào (3.2), trong gần đúng khi tần số laser gần cộng hưởng bằng thì ta có

(2.4)

Trong đó thì giờ ta gọi là được gọi là tham số điều chỉnh. Nếu điều chỉnh xanh và thể gram cần là dương và nguyên tử bị bắt giữ ở cực tiểu của (điều chỉnh đỏ) thì thể gram cần là âm và nguyên tử bị bắt trường còn nếu giữ ở cực đại của trường laser.

Để bắt giữ nguyên tử ta cần Vdip càng lớn càng tốt, những xác suất tán xạ tự phát (phần tương tác tiêu tán) càng nhỏ càng tốt . Xác suất tán xạ được tính như sau

(2.5)

(Xác suất này là số photon tán xạ trên một đơn vị thời gian)

Thay (2.3) vào (2.5) ở gần đúng cộng hưởng ta có

(2.6)

Từ (3.5) và (3.6) ta có (2.7)

Như vậy để có lợi khi tạo mạng quang học ta cần chọn tham số điều chỉnh càng lớn càng tốt nhưng lại không được để quá lớn để sao cho điều kiện vẫn sử dụng được . Nếu ta đặt hai chùm laser cùng tần số, cùng phương và hướng vào nhau ta sẽ có sóng đứng và như vậy ta có thể tuần hoàn trong không gian để giam giữ các nguyên tử trung hòa.

(2.8)

19

là chiều sâu hố thế tỷ lệ với cường độ trường laser ,còn

Trong hố và là bước sóng laser . Nếu ở gần tâm hố thế thì thế gram cần có

dạng hố thế của dao động tử điều hòa (nếu ta phân tích ).

Từ các điều trình bày ở trên ta thấy mạng quang học có các đặc trưng sau:

i)

Dạng hình học ở mạng có thể thay đổi được bằng cách bố trí các chùm laser tạo sóng đứng. Ta có thể thay đổi số chiều: 1,2,3 chiều; thay đổi hình dạng : mạng hình vuông,mạng tam giác…

ii) Hằng số mạng có thể thay đổi do thay đổi

iii) Nguyên tử có thể nhảy từ nút mạng này sang nút kia qua cơ chế chui ngầm. Vì thế tham số nhảy nút có thể điều chỉnh bằng cách thay đổi độ sâu và khoảng cách hai hố thế.

iv) Tương tác trên một nút.Mặc dù khi làm thí nghiệm là loãng (

) những vẫn không thể bỏ qua tương tác trên một nút hoặc giữa các nút lân cận gần nhất . Độ lớn của tương tác này cũng có thể điều chỉnh được dựa vào hiệu ứng cộng hưởng Feshback trong từ trường.

2.1.2 Mô hình Bose-Hubbard [4,8,9]

Tương tự như mô hình Hubbard được đưa ra cho hệ điện tử tương quan mạnh thì trong mạng quang học của các nguyên tử trung hòa ta cũng đưa ra mô hình Bose-Hubbard.

Ta có thể suy ra mô hình Bose-Hubbard thì mô hình Hubbard bằng lập luận sau. Thể giam cầm nguyên tử là thế tuần hoàn giống như thế trường tinh thể đối với các điện tử cho nên ta cũng đưa vào khái niệm vùng Bloch cho các nguyên tử, từ đó cũng đưa vào được khái niệm hệ hàm cơ sở Wannier xác định trên mỗi nút thông qua các hàm Bloch của các vùng Bloch. Trong gần đúng một vùng Bloch, chỉ xét nhảy nút giữa các lân cận gần nhất và chỉ xét tương tác trên một nút ta có

(2.9)

trong đó t là tham số nhảy nút, U là tương tác trên một nút , là thế hóa học

là các toán tử sinh hủy boson trên nút I ,còn

là toán tử số hạt trên nút I . Tuy hình thức giống nhau, nhưng mô hình Bose – Hubbard khác với Hubbard một số điều sau:

i) Toán tử sinh hủy là boson, chứ không phải là fecmion

20

ii)

Các tham số t và U có thể điểu chỉnh và có thể đánh giá bằng lý thuyết dựa vào thông số và các chùm laser tạo nên mạng quang học và các nguyên tử đưa vào mạng.

iii) Cấu trúc hình học của mạng quang học có thể thay đổi tùy ý.

Như vậy về mặt thực nghiệm, mạng quang học mở ra một triển vọng to lớn để nghiên cứu các hiện tượng vật lý mới. Về mặt lý thuyết, vì đây là hệ boson do số hạt ở cùng một trạng thái lượng tử không bị giới hạn bới nguyên lý Pauli nên số các trạng thái khã dĩ trên mỗi nút nhiều hơn hẳn khi tính toán.

2.2 Ngưng tụ Bose-Einstein và siêu chảy trong mạng quang học [5,6,7]

2.1.2 Ngưng tụ Bose-Einstein

Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein lần đầu tiên quan sát bằng thực nghiệm chính là trên mạng quang học [5,6,7]. Bây giờ ta xét xem về mặt lý thuyết có gì khác so với khí boson tự do như trên phần 2.1 đã trình bày, thế giam cầm trong mạng quang học có thể coi như thế dao động tử điều hòa bất đẳng hướng.

(2.10)

Tương ứng cho ta năng lượng một hạt

(2.11)

Tương tự như phần 1.2, nhiệt độ chuyển pha xác định từ điều kiện số hạt ngoài ngưng tụ đúng bằng tổng số hạt

(2.12)

Chuyển sang tích phân theo năng lượng

(2.13)

Tổng số trạng thái với năng lượng từ 0

Ta cần tìm mật độ trạng thái đến là

21

(2.14)

Với

Suy ra (2.15)

Thay (2.15) vào (2.13)

(2.16)

Trong đó là hàm Gamma , là hàm Zeta Riemann.

Từ (2.16) suy ra cho mạng ba chiều

(2.17)

Nếu so với kết quả chương 1 cho khi boson tự do không bị giam cầm

ta thấy sự phụ thuộc vào nồng độ hạt là còn trong bẫy

là sự phụ thuộc số hạt . Điều đáng chú ý nhất là khi bị giam cầm trong thế

dao động tử điều hòa 2 chiều thì mật độ trạng thái là và tương

ứng . Mẫu số vế trái chứa hàm Riemann không phân

kỳ nên ,tức là tồn tại BEC ở boson hai chiều trong dãy dao động tử điều hòa . Ngược lại nếu là boson tự do hai chiều hay bị giam cầm trong thế

thành cao vô hạn hai chiều thì mà nên ,tức là

không có BEC.

Trên đây ta xét BEC trong bẫy. Các kết quả này có thể áp dụng cho mạng quang học nếu tương tác trên một nút U nhỏ và tham số nhảy nút t cũng nhỏ và các nút coi như độc lập với nhau.

22

Trong trường hợp tổng quát người ta xuất phát từ mô hình (2.9). Sau đó chuyển động các toán tử sinh hủy trong biêủ diễn Bloch rồi làm phép dịch chuyển Bogoliubov [4,8]. Chi tiết sẽ xét trong chương 3.

2.2.2 Siêu chảy trong mạng quang học

Siêu chảy được phát hiện bằng thực nghiệm năm 1938 trên hệ ở nhiệt độ thấp. Trong mạng quang học siêu chảy được nghiên cứu cùng với chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott lần dầu tiên do Greiner và các công sự vào năm 2002

[10] trong hệ khí trong mạng lập phương với nút trên mỗi hướng với

tổng nguyên tử.

Dấu hiệu thực nghiệm của pha siêu chảy là có sự kết hợp pha trên toàn tinh thể thể hiện ở bức tranh giao thoa khi tất các nguyên tử đều linh động và có cùng pha. Tính linh động của các nguyên tử kết hợp pha được đồng nhất với pha siêu chảy.

Về mặt lý thuyết pha siêu chảy có thể được đặc trưng bằng tham số trật tự siêu chảy , là số nguyên tứ siêu chảy . Trong mô hình Bose Hubbard người ta chứng minh được rằng [14]:

(2.18)

Trong đó là năng lượng tiêu tán nhiệt tỷ lệ số d của mạng tinh thể

(2.19)

Còn (2.20)

là toán tử xung lượng của cả hệ ,dấu <......> như thông thường là lấy Trong đó trong bình nhiệt động theo Bose-Hubbard Hamiltonian . Đại lượng Q không tính chính xác đươc nên phân đúng các gần đúng. Trong một số gần đúng, thí dụ gần đúng nút đơn

(2.21)

trong đó

thì cho kết quả là số hạt trong ngưng tụ, tức là BEC kéo theo siêu chảy . Điều này là cơ sở để một số công trình lý thuyết chỉ xét BEC

23

trong mạng quang học để suy ra tính siêu chảy [9,12] và chúng ta sẽ làm theo ở chương 3.

2.3 Pha siêu tinh thể trong mạng quang học

Pha siêu tinh thể là khi đồng thời tồn tại pha tinh thể và pha siêu chảy. Nếu xét trên một mạng cho trước thì pha tinh thể được hiểu là các hạt khư trú trên một mạng khác với mạng ban đầu, tức là như một kiểu sóng mật độ hạt. Pha siêu tinh thể được đề xuất từ 1958 cho hệ Heli ở T < 2,18K và áp suất p > 25atm khi Heli ở pha rắn [18,19]. Hai pha tinh thể và pha siêu chảy tưởng chừng như không thể đồng tồn tại vì siêu chảy dường như gắn với tính chất linh động còn tinh thể gắn với tính định xứ của hạt. Tuy nhiên thực tế là pha siêu chảy là trật tự ở không gian xung lượng khi tất cả các hạt có xung lượng nhỏ nhất và cả hệ chảy không ma sát so với thành bình như một khối thống nhất, còn tinh thể là trật tự ở không gian tọa độ, do đó chúng không loại trừ nhau. Năm 2004 Kim và Chan làm thực nghiệm cho rằng đã phát hiện được siêu tinh thể ở Heli rắn [20]. Tuy nhiên sau đó chính hai ông lại tự phủ nhận kết quả thí nghiệm của mình [21]. Hiện nay sự tồn tại pha siêu tinh thể ở Heli còn là vấn đề bàn cãi chưa có kết luận thống nhất [22].

Với hệ nguyên tử trung hòa trên mạng quang học do có thể tạo ra cấu trúc mạng đa dạng, lại có thể thay đổi các tham số nhảy nút và tương tác U nên người ta đã dự đoán bằng lý thuyết sự tồn tại siêu tinh thể. Vừa qua đã có những công trình thực nghiệm đầu tiên cho rằng có pha siêu tinh thể của nguyên tử trung hòa trên mạng tổ ong [23].

2.4. Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott

Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott lần đầu tiên được phát hiện bằng thực nghiệm vào năm 2002 [10] và sau đó được nghiên cứu rất nhiều cả về lý thuyết và thực nghiệm với các loại nguyên tử khác nhau, các mang quang học khác nhau [12].

Trong thí nghiệm của Greiner chuyển pha siêu chảy – điện môi phát hiện dựa trên quan sát các vạch giao thoa khi chụp ảnh đám mây phân bố hạt phụ thuộc vào độ lớn của tương tác đẩy trên mỗi nút giữa các nguyên tử mà giữ nguyên giao thoa nhảy nút.

Về mặt vật lý, siêu chảy và điện môi Mott là sự cạnh tranh giữa động năng và thế năng của mô hình nguyên tử để hiểu bức tranh vật lý, ta xét mô hình hai nút với hai nguyên tử với Hamiltonian Bose-Hubbard. Xét hai nguyên tử có thể phân bố trên hai hố thế 1 và 2.

24

Gọi và là toán tử sinh nguyên tử ở hố thế 1 và 2, là các toán tử hủy

là toán tử số hạt ở các hố thế 1 và 2 Hamiltonian (2.9) lúc

hạt tương ứng. đó có dạng

(2.22)

Ta đặt và năng lương nguyên tử ở hai hố thế .Với 2 nguyên tử trên

hai hố thế ta có ba trạng thái sau nếu viết trong biểu diễn Fock

(2.23)

Trong hệ cơ sở (2.23) , yếu tố ma trận của Hamiltion (2.22) tính bằng

(2.24)

Viết dưới dang ma trận ta có

(2.25)

Trị riêng của (2.25) tính từ công thức

25

(2.26)

Từ (2.26) ta có trị riêng nhỏ nhất, ứng với năng lượng trạng thái cơ bản là

(2.27)

Từ (2.27) và (2.25) ta tìm được hàm riêng tương ứng với trạng thái cơ bản là

(2.28)

Trong đó N là hệ số chuẩn hóa.

Ta có bức tranh sau. Ta xét các giới hạn, chú ý t > 0

i) Nếu U < 0 và

(2.29)

Công thức (2.29) phù hợp với ý nghĩa vật lý là khi thế năng hút thì các hạt sẽ tập trung tại một hố thế. Tuy nhiên trường hợp thế năng hút thì không phù hợp với trường hợp của nguyên tử trung hòa.

ii) Thế các nguyên tử là thế đẩy U>0 và nhỏ hơn nhiều so với động năng

U/t ~ 0 .Từ (2.28) ta có

(2.30)

Hàm sóng (2.30) cho thấy các hạt là linh động vì các nguyên tử có thể thăng giáng từ hố thế 1 sang 2 và ngược lại dễ dàng

iii) Trường hợp động năng nhỏ hơn nhiều so với thế năng đầy

Từ (2.28) ta suy ra

(2.31)

26

Đây là trạng thái định xứ. Vì khi nhảy nút sang nút khác hay

thì trả giá về một năng lượng là bằng thế năng U

Thí dụ với 2 hạt trên hai nút như trên là bức tranh giản lược của hiện tượng chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott. Thí dụ này cũng tương tự như mô hình 2 điện tử trên hai nút của bài toán chuyển pha kim loại-điện môi. Ta có thể so sánh sự giống nhau và khác nhau giữa chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott và kim loại - điện môi một cách định tính, dựa vào mô hình hai nút trên.

i)

ii)

Chuyển pha kim loại-điện môi chỉ khi hệ điện tử lấp đầy một nửa tức là trên mỗi nút có 1 electron. Khi hệ lấp đầy dưới một nửa (nhưng khác không) và trên một nửa (nhưng không lấp đầy hoàn toàn ) thì luôn là kim loại vì nhảy từ nút nọ sang nút kia không phải trả giá bằng thế năng tăng hơn .Với chuyển pha siêu chảy – điện môi thì cũng chỉ xảy ra khi hệ lấp đầy một số nguyên : n=1,2,3 .....Còn nếu lấp đầy không nguyên thì luôn có khả năng nhảy nút này sang nút khác mà không thiệt về năng lượng. Điều thứ 2 là cả hai chuyển pha kim loại –điện môi và siêu chảy-điện môi đều xảy ra khi tỷ số U/t tăng dần và đạt một giá trị tới hạn nào đó. Điều này dẫn tới là ta không thể áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn thông thường, vì vậy người ta áp dụng nhiều gần đúng khác nhau để tìm tỷ số U/t giới hạn.

iii) Trong chuyển pha kim loại – điện môi thì chỉ có một giá trị tới hạn vì hệ chỉ có một trường hợp lấp đầy duy nhất có chuyển pha. Đó là trường hợp lấp đầy một nửa. Ngược lại, chuyển pha siêu chảy điện môi xảy ra ở lấp đầy là số nguyên nên (U/t) tới hạn sẽ phụ thuộc số lấp đầy. Cùng một U nếu số lấp đầy n lớn thì thế năng trên một nút tổng cộng càng lớn. Vì vậy ta chờ đợi tỷ số U/t tới hạn giảm khi n tăng

Trong chương 3 ta thử xét chuyển pha siêu chảy –điện môi trong một phép gần đúng, đó là gần đúng Bogoliubov.

27

Chương 3: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott trong gần đúng Bogoliubov.

Trong chương này chúng ta khảo sát liệu có chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott trong một gần đúng thường được áp dụng trong lý thuyết BEC - gần đúng Bogoliubov. Điểm xuất phát sẽ là Hamiltonian Bose – Hubbard miêu tả hệ nguyên tử siêu lạnh trung hòa trên mạng quang học đã nói ở trên:

(3.1)

Các ký hiệu đã được giải thích sau công thức (2.9).

Để cụ thể ta sẽ giới hạn mô hình trong các gần đúng sau:

i) ii)

iii)

iv)

Cũng giống như hệ điện tử tương quan mạnh được mô tả bằng mô hình Hubbard, do số hạng chứa U không là nhỏ so với số hạng chứa t nên không thể coi U là nhiễu loạn. Ngược lại, dù t << U thì cũng không áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn với t được vì số hạng không nhiễu loạn là tích bốn toán tử [2]. Vì vậy người ta phải dùng các cách tiếp cận khác. Dưới đây sẽ sử dụng gần đúng Bogoliubov.

Chỉ có nhảy nút giữa các nút lân cận gần nhất với tham số nhảy nút t. Mạng quang học có cấu trúc kiểu lập phương d - chiều với kích thước ô cơ sở là a và được coi a=1 (dây 1 chiều, mạng hình vuông, mạng lập phương). Tuy mối liên hệ giữa siêu chảy và BEC là chưa rõ ràng, nhưng khi xét mạng quang học ta có thể coi siêu chảy là hệ quả trực tiếp của BEC. Cụ thể là ở nhiệt độ siêu thấp, các nguyên tử trong ngưng tụ là các hạt siêu chảy. Vì vậy ta coi một cách gần đúng mật độ hạt ngưng tụ no là tham số trật tự của pha siêu chảy. Ta chỉ xét số lấp đầy của nguyên tử trên các nút là số nguyên với lý do tương tự như trong mô hình Hubbard cho hệ điện tử tương quan mạnh. Cụ thể là chuyển pha kim loại - điện môi Mott chỉ có ý nghĩa khi xét hệ lấp đầy một nửa. Trong trường hợp nguyên tử trên mạng quang học cũng vậy. Khi thế năng trên một nút lớn hơn rất nhiều động năng của nguyên tử, nếu hệ lấp đầy số nguyên thì các quá trình nguyên tử nhảy từ nút mạng này sang nút mạng kia sẽ bị cấm vì không lợi về mặt năng lượng và kết quả là hệ sẽ định xứ . Trong trường hợp số lấp đầy không là nguyên thì quá trình nhẩy nút luôn có thể xẩy ra và không thể có trạng thái định xứ kiểu điện môi Mott.

3.1. Gần đúng Bogoliubov [8,9]

28

k , a như sau

Vì mạng quang học cũng có cấu trúc tuần hoàn nên một trong các số lượng tử mô tả nguyên tử là chuẩn xung lượng k. Do đó ta chuyển Hamiltonian (3.1) sang biểu diễn chuẩn xung lượng bằng cách biểu diễn các toán tử sinh hủy trên nút i sang toán tử sinh hủy trạng thái với xung lượng k a+

(3.2)

Trong đó Ns là số nút mạng còn ri là toạ độ nút i. Vector k là lấy trong vùng Brillouin thứ nhất. Thay (3.2) vào (3.1), sử dụng công thức.

(3.3)

ta thu được

(3.4)

trong công thức (3.4) ta đã ký hiệu

(3.5)

Tổng theo j là theo số chiều d của mạng quang học đang xét.

Ở nhiệt độ siêu lạnh, ngưng tụ của các nguyên tử là ở trạng thái năng lượng nhỏ nhất với k=0, tức là số nguyên tử ở trạng thái cơ bản , ký hiệu là No, sẽ là một đại lượng vĩ mô.

(3.6)

và lên trạng

Trong đó N là tổng số nguyên tử. Tác dụng của các toán tử thái có N0 hạt ở ngưng tụ theo quy tắc sau:

(3.7)

29

và

tương đương với việc nhân Vì No là một số vĩ mô nên tác dụng của

thêm thừa số . Các vector trạng thái trong ngưng tụ nếu thêm hoặc bớt một nguyên tử cũng không khác biệt với vec tơ trạng thái khi có chính xác N0 hạt trong ngưng tụ vì số hạt N0 lớn hơn nhiều so với đơn vị . Vì vậy ảnh hưởng của giáo hoán tử

(3.8)

có thể bỏ qua. Điều này có nghĩa là .

. Vì

Vì thế ta có thể viết và là liên hợp phức với

nhau nên ta suy ra: nếu ta chọn các trung bình là thực 22

(3.9)

Thay (3.9) vào (3.4) chỉ chú ý tới bậc 2 theo các toán tử ta có:

(3.10)

Trong đó ta ký hiệu là mật độ số nguyên tử trong ngưng tụ, còn z = 2d

là số các lân cận gần nhất của mỗi nút mạng . Như thông thường trong các lý thuyết chú ý tới thăng giáng ta áp đặt điều kiện cực tiểu năng lượng khi tìm

và

theo thăng giáng . Điều này tương ứng với số hạng chứa bậc một

theo thăng giáng phải bằng không, vì vậy ta có:

(3.11)

Về mặt vật lý (3.11) có nghĩa là: khi thêm một hạt thì năng lượng của hệ tăng lên Un0 do tương tác của hạt đó với n0 hạt sẵn có trong hệ, đồng thời cũng giảm đi một lượng zt đó hạt nhảy tới một trong số z nút mạng lân cận gần nhất.

Bây giờ chú ý tới (3.10), từ (3.9) ta thu được:

30

(3.12)

Đây là Hamiltonian Bose – Hubbard trong gần đúng Bogoliubov.

3.2. Chéo hoá Bogoliubov [1,2].

Nhờ gần đúng Bogoliubov từ chỗ phải làm việc với Hamiltonian chứa tích bốn toán tử (3.4) ta chỉ cần làm việc làm việc với (3.12) chỉ chứa hai toán tử. Tuy nhiên (3.12) không có dạng chéo nên rất khó khăn khi tính trung bình số hạt. Vì vậy ta sẽ đưa về dạng chéo bằng phương pháp chéo hoá Bogoliubov. Nội dung qua tổ hợp của phương pháp này là biểu diễn các toán tử sinh hủy hạt

và tìm điều kiện để các số hạng không chéo

tuyến tính các toán tử mới theo toán tử mới bằng không. Cụ thể với Hamiltonian (3.12) ta chọn như sau:

(3.13)

Các hệ số uk và vk chọn là thực vì các hệ số trước các toán tử trong (3.12) đều là thực. Biến đổi nghịch đảo của (3.12) là:

(3.14)

Các toán tử phải thoả mãn hệ thức giao hoán cho boson giống như các

toán tử

(3.15)

Từ (3.15) ta thu được điều kiện

(3.16)

Bây giờ sử dụng (3.13) để tính các số hạng chứa các toán tử Trong (3.12)

(3.17)

31

Thay (3.17) vào (3.13), ta yêu cầu các số hạng không chéo theo , tức là

phải bằng không, ta sẽ thu được phương trình ,

các số hạng chứa sau cho 2 ẩn số uk và vk

(3.18)

Kết hợp phương trình (3.16), ta có hệ phương trình kín cho uk và vk.

Giải hệ (3.16)(3.18) ta thu được:

(3.19)

Trong đó ℏ𝑤𝑘, chính là năng lượng của chuẩn hạt tương ứng với các toán tử sinh hủy

(3.20)

Hamiltonian (3.13) lúc này có dạng chéo

(3.21)

Ta lưu ý là từ công thức (3.5), với k nhỏ ta có:

(3.22)

Điều này có nghĩa là trong mạng quang học, các nguyên tử chuyển động như các

hạt có khối lượng hiệu dụng .

Thay (3.22) vào (3.20), với k nhỏ ta có

(3.23)

32

Nếu

(3.24)

Tức là Wk có dạng phổ sóng âm

3.3 Chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott trong gần đúng Bogoliubov.

Để nghiên cứu chuyển pha siêu chảy - điện môi ta phải tìm điều kiện khi nào mật độ nguyên tử trong ngưng tụ no đang khác không lại bằng không nếu thay đổi giá trị của tỷ số U/t,

Theo định nghĩa, mật độ nguyên tử tổng cộng cả trong lẫn ngoài ngưng tụ là

, (3.25)

trong đó trung bình < > là trung bình nhiệt động học lấy theo Hamiltonian (3.21).

BEC và thay Ta sẽ tách riêng trong tổng theo 𝑘 ⃗⃗⃗ ở (3.25) số hạng với 𝑘 ⃗⃗⃗ = 0 ứng với trạng thái , còn các số hạng với 𝑘 ⃗⃗⃗ ≠ 0 ta sử dụng (3.13) để biểu

diễn qua . Ta thu được

(3.26)

Vì trung bình là lấy theo Hamiltonian (3.21), mà (3.21) có dạng chéo

theo nên chính là hàm phân bố Bose.

(3.27)

Thay các giá trị uk và vk từ (3.19) cũng như (3.27) vào (3.26) ta có

33

(3.28)

Vì xét chuyển pha lượng tử nên ta xét giới hạn T→ 0 , tức là 𝛽 → ∞ và số hạng đầu trong tổng theo 𝑘⃗ ở (3.28) tiến tới không . Tuy rằng trong bẫy quang học thì 𝑘⃗ mang các giá trị gián đoạn, nhưng khi hằng số mạng lớn, như thông thường thì ta có thể chuyển sang lấy tích phân

(3.29)

Đổi biến và chú ý: ta thu được từ (3.29)

(3.30)

trong đó

(3.31)

Cố định mật độ tổng số nguyên tử cả trong lẫn ngoài ngưng tụ n, từ (3.30) ta tính được no. Nếu với n là giá trị nguyên mà lời giải n0 của (3.30) bằng 0 tại các giá trị Uc và tc nào đấy thì ta sẽ có chuyển pha tại Uc và tc.

Có thể giải (3.30) bằng cách giải số:tích sự phụ thuộc của vào và

tìm xem với giá trị của thì

lần lượt cho số chiều trong không gian d =

1,2,3.

34

Các tác giải trong công trình [24] khảo sát số cho thấy không có chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott. Kết luận này có thể được đoán nhận bằng cách khác. Từ bức tranh vật lý ta thấy rằng chuyển sang pha điện môi Mott chỉ xảy ra khi U/t

rất lớn . Ta xét giới hạn

. Lúc này biểu thức trong tích phân .... vế phải

(3.30) tỷ lệ với . Ngoài ra từ (3.22) và (3.31) ta thấy

vì thế ta có

(3.32)

Trong đó (3.33)

Với (3.32) trong giới hạn U/t tiến tới vô cùng thì (3.30) trở thành:

(3.34)

Nếu

trong không gian 2,3 chiều

.Thực ra giá trị cụ thể của

Để khảo sát (3.34) ta cần biết không quan trọng, miễn là ta biết tích phân đó có phân kỳ hay không. Ta lưu ý nếu chuyển sang hệ tọa độ cầu cho d = 3, tọa độ trụ cho d = 2 thì ta thấy 𝐼3và 𝐼2 không phân kỳ và là một số xác định . Trong trường hợp d = 1 thì 𝐼1 phân kỳ như vậy với d=1 thì không có lời giải 𝑛0 ≠ 0 cho mọi n. Điều này phù hợp với định lý Mermin - Wagner phát biểu rằng với 𝑑 ≤ 2 không có trật tự tầm xa trong hệ đồng nhất, riêng với d = 2 thì có thể có T= 0K

Bây giờ ta giải (3.34) như phương trình bậc 2 đối với √𝑛0 . Ta thu được

(3.35)

Từ (3.35) ta kết luận với d=2, 3 thì không thể có pha điện môi Mott trong gần đúng Bogoliubov. Ta đã thu lại kết quả của các tác giả công trình [24].

35

Như vậy là tuy gần đúng Bogoliubov sử dụng khá tốt trong lý thuyết BEC [8,9] nhưng không dự đoán được chuyền pha siêu chảy - điện môi Mott trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh trên mạng quang học. Để giải quyết vấn đề này ta cần các cách tiếp cận khác. Nguyên nhân của sự không thành công của gần đúng Bogoliubov có lẽ là ở chỗ đã tính gần đúng số hạng chứa 4 toán tử một cách chưa thỏa đáng. Vì thế người ta đã cố gắng tìm những gần đúng để xử lý số hạng chứa U tốt hơn và đã thu được chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott ở một giá trị tới hạn của tương tác so với tham số nhảy nút t [9,14,16,24]. Tuy nhiên vấn đề này vượt quá khuôn khổ của luân văn này.

36

KẾT LUẬN

Trong luận văn đã hoàn thành các công việc sau đây: Tôi đã tổng quan các tài liệu về chuyển pha nhiệt động học và chuyển pha lượng tử , về các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh, đặc biệt là chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott . Tôi tập trung vào nghiên cứu và ứng dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh.

Tôi đã thực hiện các tính toán giải tích cho một bài toán cụ thể là nghiên cứu chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott cho hệ nguyên tử trung hòa trong mạng quang học được mô tả bằng Hamiltonian Bose-Hubbard trong gần đúng Bogliubov. Tôi thu được kết quả là trong gần đúng này thì không có chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott, giống như các tác giả khác đã tính trước đây.

Rất tiếc vì thời gian hạn hẹp và khả năng của học viên còn hạn chế nên chưa xét các gần đúng khác.

Vấn đề có thể tìm hiểu thêm:

Mô hình Hubbard cho các electron là một đề tài được nhiều thầy ở Viện Vật lý và ở Đại học Sư phạm Hà Nội nghiên cứu và thu được nhiều kết quả có giá trị khoa học. Các thầy đã phát triển các phương pháp tính toán và mở rộng mô hình Hubbard một vùng cho nhiều trường hợp khác. Vì vậy, với sự hướng dẫn của các thầy, có thể áp dụng những công cụ này và những mở rộng của mô hình Hubbard cho electron sang các bài toán cho mô hình Bose- Hubbard.

37

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Toàn Thắng, Giáo trình Vật lý hệ

Trần Minh Tiến, 2017, “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học và

1. nhiều hạt I và II (bản thảo). 2. Công nghệ, VHLKH&CN Việt Nam. 3. Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng “Vật lý hệ các nguyên tử siêu lạnh”.

Tiếng Anh

4. A.J. Leggett (2006), Quantum Liquids: Bose Condensation and Cooper Pairing in Condensed Matter Systems. Oxford University Press.

5. M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman,

and E. A. Cornell (1995), Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor, Science 269, 198.

6. K. B. Davis, M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D.

S. Durfee, D. M. Kurn, and W. Ketterle (1995), Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms, Phys. Rev. Lett. 75, 3969.

7. M. R. Andrews, M.-O. Mewes, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D.

M. Kurn, and W. Ketterle, (1996), Direct Nondestructive Observation of a Bose Condensate, Science 273, 84.

8. L.P. Pitaevskii, S. Stringari (2016), Bose Einstein Condensation and superfluidity, Oxford Science.

9. Henk T.C. Stoof, Koos B. Gubbels, Dennis B.M. Dickerscheid

(2009), Ultracold Quantum Fields, Springer.

10. M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hansch, and I. Bloch (2002)

Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas

of ultracold atoms, Nature 415, 39.

11. F. Gebhard (1997), The Mott Metal-insulator Transition: Models and Methods, Springer.

38

12. W. Zwerger (2003) Mott-Hubbard transition of cold atoms in optical lattices. J Opt B Quantum Semiclass 5, 9

13. D. Jaksch, C. Bruder, J. Cirac, C. Gardiner and P. Zoller (1998),

Cold bosonic atoms in optical lattices Phys. Rev. Lett 81, 3108.

14. V.I. Yukalov (2009), Cold bosons in Optical Lattices Laser Phys. 19, 1.

15. V.I. Yukalov (2013), Theory of cold atoms: Basics of quantum statistics, Laser Phys. 23, 062001.

16. S. Sachdev (1999), Quantum Phase Transitions, Cambridge University Press.

17. R. Grimm, M. Weidemüller, and Y. B. Ovchinnikov (2000), Optical dipole traps for neutral atoms. Molecular and Optical Physics, 42, 95.

18. A. F.Andree & I.M. Lifshitz, (1969) Quantum theory of defects in crystals.

Sov. Phys. JETP 29, 1107–1113.

19. G.V. Chester, (1970) Speculations on Bose–Einstein condensation and

quantum crystals. Phys. Rev. A 2, 256–258.

20. D.Y. Kim & M. H. W Chan (2004) Probable observation of a supersolid

helium phase. Nature 427, 225–227.

21. D.Y. Kim & M. H. W Chan (2012) Absence of supersolidity in solid helium

in porous Vycor glass. Phys. Rev. Lett. 109, 155301 (2012).

22. M. Boninsegni & N.V. Prokof’ev (2012) Supersolids: What and where are

they? Rev. Mod. Phys. 84, 759 (2012).

23. L.Tanzi et al (2019), Observation of a Dipolar Quantum Gas with metastable Supersolid Properties, Phys.Rev.Lett. 123 130405

D. van Oosten, P. van der Stratenand H. Stoof, Quantum phases in an

24. optical lattice, Phys. Rev. A 63, 53601 (2001).

39