Luận văn Thạc sĩ: Xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ: Xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton đưa ra lời giải xấp xỉ của một số bài toán với những điều kiện cụ thể xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ: Xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN  LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI: XAÁP XÆ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔØNG TRÌNH TOAÙN TÖÛ VAØ PHÖÔNG PHAÙP NEWTON GVHD : TS. NGUYỄN CAM SVTH : PHAN THÀNH ĐÔNG TP.HCM, 2007
LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Cam người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban gián hiệu, Phòng tổ chức cán bộ và tổ Toán của trường Cao Đẳng Sư Phạm Long An đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi theo học lớp cao học. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên trong lớp cao học khóa 15 đã hỗ trợ cho tôi trong suốt khóa học. Tác giả luận văn Phan Thành Đông
MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thực tế đa phần các bài toán được đưa về bài toán tìm nghiệm của một phương trình hoặc hệ phương trình. Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình là một nhiệm vụ vô cùng khó khăn và có khi không thể thực hiện được, nhưng ta có thể tìm lời giải xấp xỉ của các phương trình này đến độ chính xác cần thiết để đáp ứng được nhu cầu thực tế. Từ những nhu cầu thực tế đó, luận văn “ Xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton” nghiên cứu việc xây dựng lời giải xấp xỉ của một số phương trình và hệ phương trình. 2. MỤC ĐÍCH Bằng các kiến thức cơ bản của giải tích hàm và đại số tuyến tính, luận văn đưa ra lời giải xấp xỉ của một số bài toán với những điều kiện cụ thể. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nội dung của luận văn là giới thiệu và áp dụng phương pháp Newton để xây dựng lời giải xấp xỉ nghiệm của phương trình f  x   0 , trong đó f là ánh xạ đi từ E vào E , với E   n hoặc E là các không gian tuyến tính định chuẩn vô hạn chiều. Với những điều kiện thích hợp thì dãy lặp: x k 1  x k 1   k f  x k  ; xk 1  xk  f/1  xk  f  xk  ; x k 1  x k   k  x k  x k 1  x k   k H 1  x k  f  x k  , với xo tùy ý trong E, các dãy lặp này hội tụ về nghiệm của phương trình. Luận văn gồm ba chương: Chương 1 dành cho việc giới thiệu phương pháp Newton và một số kiến thức cần thiết để trình bày cho các chương sau. Chương 2 với nội dung áp dụng phương pháp Newton để trình bày cách xây dựng lời giải xấp xỉ của nghiệm của một phương trình hoặc một hệ phương trình trong không gian hữu hạn chiều. Chương 3 dành cho việc trình bày mở rộng các kết quả trong chương 2 trên không gian định chuẩn tổng quát với các định lý của Kantorovich. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trên cơ sở nghiên cứu các kết quả trong giáo trình Constructive Real Analysis của giáo sư Allen A.Goldstein và các giáo trình giải tích hàm khác luận văn đã xây dựng được lời giái xấp xỉ của một số phương trình và hệ phương trình.
Chương 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP NEWTON 1.1. ĐẶT VẤN ĐỀ Chúng ta xét việc tìm căn bậc hai của số dương a bằng phép tính toán lặp đơn giản, được 1 a cho bởi công thức như sau: xn 1   xn   . Công thức này là kết quả của phương pháp 2 xn  Newton mà ta sẽ giới thiệu ở phần sau. xn  a Nếu xn xấp xỉ a thì sai số tương đối của xấp xỉ này được cho bởi công thức a Định lý i) Giả sử a và xo là các số dương 1 a ii) Ta xác định dãy  xn  bởi xn 1   xn   2 xn  xn  a iii) Đặt  n  . Thì a 1  2  a)  n1   n  n  0,1,2,.. 2  1  n  b)  n  0 n  0,1,2,.. xn c)   0 :  xn  xn1      n   , n  N a Chứng minh a) Do (iii) xn  a  n  1 , dùng (ii) ta được: 1 a   1 n2  xn 1   a  n  1    a 1   2  a  n  1   2 1   n    x  a x  Cũng do (iii): a 1   n1   a  1  n1   a  n 1   xn1  a   a  1 n2 Nên ta có:  n1  2 1  n Vậy a) được chứng minh
xo  a b) Từ iii)   o   xo  a  o  1 a   o  1  0 (vì xo  0, a  0 ) 1   o2   1   0 2  1  o  1 n2 Suy ra  n  0, n bằng phương pháp quy nạp (vì  n1  ) 2 1  n c) Từ ii) ta có: 1 a xn a xn2  a xn 1  xn   xn  xn1    2 2 xn 2 2 xn 2 xn xn 1 xn 2  a   xn  xn 1   a 2 a xn Do giả thiết trong c) ta có:  xn  xn1    a xn 2  a   2  2   2 a 2 Do đó xn 2  a 1  2   2   xn2
Một ánh xạ đi từ I vào chính nó gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0  q  1 sao cho với mọi cặp điểm x, y  I thì f  x   f  y   q x  y Định lý 1.2.1 Cho f là ánh xạ co trên I . Đặt xn 1  f  xn  với xo  I thì f có điểm bất động duy nhất z thỏa: dãy xn  z và xn1  z  qn 1 xo  z Chứng minh Do tính chất của ánh xạ co nên f là hàm liên tục từ I vào chính nó Theo bổ đề 1.2.1 thì f có điểm bất động, ta gọi là z Ta có: xn1  z  f  xn   f  z  q xn  z  q f  xn1   f  z   q2 xn1  z  ...  qn1 xo  z Ta thiết lập được công thức: xn1  z  qn 1 xo  z , với n  0 hơn nữa do 0 < q < 1 nên lim xn  z n  Chứng minh sự duy nhất Giả sử hàm số đã cho có hai điểm bất động khác nhau là z1 vaø z2 Ta có: 0  z1  z2  f  z1   f  z2   q z1  z2  z1  z2 (mâu thuẩn) Do đó z1  z2 . Bổ đề 1.2.2 Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên I và f là ánh xạ đi từ I vào chính nó. Nếu f   x   1 trên I thì f là ánh xạ co. Chứng minh Áp dụng định lý giá trị trung bình cho cặp x, y tùy ý thuộc I ta có: f  x   f  y   f    x  y với  là số nằm giữa x và y Do max f   x   1 nên f là ánh xạ co. xI Giả sử h là hàm đơn điệu trên I, h có đạo hàm dương liên tục, giả sử h có nghiệm z thuộc phần trong (interior) của I thì h  a   0  h  b  . Ta định nghĩa hàm: F  x   x   h  x  nếu F là ánh xạ đi từ I vào chính nó ta phải có a  F  x   b, x  I . Nếu   0 thì
F  a   a và F  b   b , do đó với   0, đủ nhỏ thì a  F  x   b, x  I , hơn nữa bởi vì F   x   1   h  x  và h  x   0 nên với   0, đủ nhỏ thì F   x   1 Định lý 1.2.2 1 Giả sử h  C1  a, b , h  a  .h  b   0 và tồn tại hai số  ,  sao cho 0
1 Giả sử h thỏa giả thiết của định lý 1.2.2, đặt   x   , F  x   x    x  h  x  , hơn nữa giả h ' x  h ''  x  h  x  sử h  C 2  a; b ta có F '  x   2 .  h '  x   h  xn  Phép lặp xn 1  F  xn   xn  được gọi là phương pháp Newton. h '  xn  Theo định lý 1.2.1 và bổ đề 1.2.2, ta có sự hội tụ của dãy  xn  với điều kiện F '  x   q  1, x   a; b và F là ánh xạ đi từ  a; b  vào chính nó. Gọi z là điểm bất động của F và viết xn  z  F  xn1   F  z   F ' n  xn1  z  tức là h ''  n  h  n  xn  z  2 xn1  z  h '  n   ở đây  n là số nằm giữa xn 1 và z Cho  xn   z, khai triển h quanh nghiệm của nó ta nhận được: h  n   h  z   h  n   h '  n   n  z  h '  n  xn1  z  h  n   h '  n  xn1  z h ''  n  h '  n  ở đây  n nằm giữa  n và z. Đặt: Bn  2 và đặt B  sup Bn  h '  n   n 2 h ''  z  thì xn  z  B xn 1  z . Quan sát ta thấy khi n   thì Bn  h ' z Xét ví dụ sau đây Nếu áp dụng phương pháp Newton vào hàm số: h  x   x 2   , h'  x   2 x h  xn  xn2   1   thì ta được công thức: xn 1  xn   xn    xn   h '  xn  2 xn 2 xn  Với  cho trước ta chọn đoạn  a; b sao cho hàm F của phương pháp Newton là ánh xạ co. Cách chọn a, b như sau: a2    Với 0  a 2    b 2 , b  và 3a 2   , chẳng hạn chọn a  , b  3a 2a 2
h x x2   x2   thì ta có: Với x   a; b  a  F  x   x  x   b để có được điều này h ' x  2x 2x ta cần chứng minh giá trị max và min của F trên [a;b] thuộc vào [a;b]. 1    Ta có F '  x    1  2  vaø F''  x   3  0 , 2 x  x nên F '     0 và F        a; b  . do đó : maxF phải xảy ra tại điểm x = a hoặc x = b bởi vì F ' chỉ triệt tiêu tại duy nhất điểm thuộc  a; b  nhưng F  a   a 2  b và F  b   b 2   b ( vì   b2 ) nên max F  b . 2a 2b ta còn có min F  x   F       a; b . Vậy a  min F  x   max F  x   b  Từ giả thiết 3a 2   ta suy ra được   3 a2 1   1   1   1 nên: 1   1  2    1  2   1  2  , 2 a  2 x  2 b  2 do đó F '  x   1 trên [a, b] Vậy F là ánh xạ co trên  a ; b  Chú ý rằng nếu chúng ta chọn xo bởi  xo    1   , thì với a  và b  max 3a,   1 thì xo   a; b 2 1.4. ÁNH XẠ TỰA CO (subcontractor) Định nghĩa Một ánh xạ tựa co là một ánh xạ đi từ khoảng hữu hạn I vào chính nó thỏa: i) Với x, y  I  f  x   f  y   x  y ii) Nếu x  f  x  thì f  f  x    f  x   f  x   x Định lý 1.4.1 Giả sử f là một ánh xạ tựa co. Chọn xo tùy ý trong I, đặt xn 1  f  xn  thì  xn  có giới hạn là điểm bất động của f
Định lý này sẽ được chứng minh trong phần định lý điểm bất động của ánh xạ tựa co của không gian mê tríc tổng quát trong 1.5 Bổ đề 1.4.1 Giả sử f C1  a; b; 0  f '  x   1 và f ' x   1 tại một số x thuộc a; b thì 1 b 0 f '  t  dt  1 b  a a Chứng minh Do f ' liên tục trên  a , b  nên  z   a; b  : f '  z   min f '  x  a;b Từ giả thiết x   a , b  : 0  f '  x   1 ta có: 0  f ' z  q  1 Do f 'lieân tuïc treân  a; b neân toàn tại khoảng mở N  I : x  N  f '  x   1  q  2 Đặt   N  laø ñoä ño cuûa N thì: b 1 q  f '  t  dt   f '  t  dt   f '  t  dt    N  2   b  a     N   a N I \N 1  q  1 q   N   1   b  a   b  a ( vì 1 0 )  2  2 1 b Vậy: 0   f '  t  dt  1 . ba a Hệ quả 1 Giả sử h  C 1  a; b ; h  a  h  b   0, 0    h '  x   và với mỗi khoảng con I ' của  a, b  , tồn  tại x thuộc I ' sao cho h '  x   0 đặt xn 1  xn   h  xn  với xo tùy ý trong  a, b thì dãy  xn  hội tụ về nghiệm của h. Chứng minh Với F  x   x   h  x  thì x   a; b  ta có 0  F '  x   1   h '  x   1 và ta cũng có a  F  x   b do đó: F  x   F  y   x  y , x , y   a; b  (vì F  x   F  y   F '   x  y  x  y ) Chọn xo  I , nếu xo là nghiệm của h ( hay là điểm bất động của F) thì dãy  xn  hội tụ về xo (đã chứng minh trong định lý 1.2.2)
nếu F  xo   xo thì do bổ đề 1.4.1 trên ta có: x2  x1  F  F  xo    F  xo   F  x1   F  xo   1 x1  x1  xo  F '  t  dt  x1  xo  F  xo   xo x1  xo xo Vậy F thỏa điều kiện của ánh xạ tựa co, áp dụng định lý 1.4.1 trên ta suy ra dãy  xn  hội tụ về z, với z là điểm bất động của F mà điểm bất động của F chính là nghiệm của h. Vậy  xn  hội tụ về z và h  z   0 . 1.5. KHÔNG GIAN MÊ TRÍC 1.5.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.5.1 Một không gian mê tríc là một cặp gồm một tập hợp M và một hàm số thực không âm d, d : MxM   , hàm d thỏa ba điều kiện sau: i) d  x; y   0 nếu và chỉ nếu x  y ii) d  x; y   d  y; x  , x , y  M iii) d  x; y   d  y; z   d  x; z  , x, y, z  M Một không gian mê tríc được định nghĩa như trên được ký hiệu là (M,d). Định nghĩa 1.5.2 Một ánh xạ F đi từ không gian mê tríc M vào chính nó được gọi là một ánh xạ co trên M nếu có một số q < 1 sao cho với mọi cặp x, y  M thì d  Fx , Fy   qd  x , y  Để tiện cho việc trình bày sau này ta viết:   F  F  x    F 2 x, F F  F  x    F 3 x ,.. 1.5.2. Định lý điểm bất động của ánh xạ co
Cho (M, d) là không gian mê tríc đầy đủ, và F là ánh xạ co trên M. Chọn xo là phần tử tùy ý   của M. Thì dãy F n xo hội tụ về z, với z là điểm bất động duy nhất của F . Chứng minh Đặt F n xo  xn , với hai số tự nhiên m, n và m  n thì    d  xn , xm   d F n xo , F m xo  qd F n1 xo , F m 1 xo  ..      q n d xo , F m  n xo  q n d  xo , x m  n  Ta có: d  xo , xs   d  xo , x1   d  x1 , x2   ..  d  xs1 , xs  s hay d  xo , xs    d  xi1 , xi  i 1 m n do đó q n d  xo , xm n   qn  d  xi1 , xi  i 1 Mặt khác chúng ta có: i  1 thì     d  xi1 , xi   d F i1 xo , F i xo  qd F i2 xo , F i1 xo  ..  qi 1d  xo , x1  Do đó: d  xn , xm   d  xn , xn1   d  xn1 , xn 2   ..  d  xm1 , xm   m n  q n d  xo , x1   qn1d  xo , x1   ..  q m1d  xo , x1   q n d  xo , x1   qi1 i 1  i 1 1 1 nhưng q  nên d  xn , xm   q n d  xo , x1  i 1 1 q 1 q Vậy  xn  laø daõy Cauchy trong khoâng gian ñaày ñuû M neân x n   z  M Bởi vì F là ánh xạ co trên M nên nó liên tục trên M do đó: z  lim xn 1  lim F  xn   F  z  n n Tính duy nhất Giả sử có hai điểm bất động z1 , z2 vaø z1  z2 khi đó:
0  d  z1 , z2   d  F  z1  , F  z2    qd  z1 , z2   d  z1 , z2  ( vô lý). Vậy định lý được chứng minh xong  Hệ quả F : M  M , (M, d) là không gian mê tríc đầy đủ. Nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho F n là ánh xạ co trên M thì F có điểm bất động duy nhất. Chứng minh Do F n là ánh xạ co trên M nên theo định lý ánh xạ co F n có duy nhất điểm bất động, ta gọi là z. Ta có Fz  FF n z  F n Fz nên Fz là điểm bất động của F n mà điểm bất động của F n là duy nhất  Fz  z  z là điểm bất động của F Giả sử có z1  z thỏa Fz1  z1 thì F n  z1   z1 nên z1 là điểm bất động của F n do đó z1  z . Tính duy nhất đã được chứng minh. 1.5.3. Định lý điểm bất động của ánh xạ tựa co Đặt Q : M  M , M Là không gian mê tríc thỏa: i) d  Qx,Qy   d  x , y    ii) Nếu x  Qx thì d Qx, Q 2 x  d  x, Qx  iii) Q có miền giá trị là tập compact.   Khi đó với mỗi x thuộc M, dãy Q n x hội tụ về điểm bất động của Q Chứng minh Do giả thiết i) nên ta có thể viết:       d Q n x, Q n 1 x  d QQ n1 x, QQ n x  d Q n 1 x , Q n x  ..  d  x, Qx 
 Do đó d Q n x,Q n1 x  là dãy số thực không tăng, bi chặn dưới bởi 0 nên nó có giới hạn.     Do iii) Q n  x   Q  M  : compact  tồn tại dãy con Q nk x hội tụ về phần tử y  Q  M   Do d Q n x, Q n1 x  hội tụ, nên mọi dãy con d  Q nk     x, Q nk 1 x và d Q nk 1 x, Q nk 2 x đều hội tụ và có cùng một giới hạn.    Ta có: lim d Q nk x , Q nk 1 x  lim d Q nk x ,QQ nk x  d  y, Qy  k  k      do đó: d  y, Qy   lim d Q nk 1 x, Q nk 2 x  lim d QQ nk x, Q 2Q nk x  d Qy,Q 2 y k  n    ( do Q liên tục) từ ii) ta suy ra y = Qy   do Q nk x hội tụ về y nên: với   0 cho trước ta chọn N > 0 thỏa d Q N x , y   thì      d Q N n x , y  d Q N  n x , Q N  n y        d Q N  n1 x, Q N  n1 y  ..  d Q N x, y   ( do i))   do đó Q n  x  hội tụ về y. Vậy định lý đã được chứng minh xong.
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP NEWTON VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Trong chương này chúng ta nghiên cứu việc ứng dụng của phương pháp Newton trong việc xây dựng lời giải xấp xỉ của nghiệm của phương trình trong không gian hữu hạn chiều. 2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA Một tập con S của không gian mêtríc  n có tính chất, mỗi cặp điểm x, y thuộc S thì đoạn thẳng nối giữa hai điểm x, y thuộc S, S được gọi là tập lồi. Nói cách khác tập S gọi là tập lồi nếu x, y thuộc S thì  x   y cũng thuộc S với  ,  là hai số không âm và     1 . Bao lồi của tập S là giao của tất cả các tập lồi chứa S. Một hàm số f : S   n   , với S là tập lồi, thỏa: x, y  S : f   x   y    f  x    f  y  ;  ,   0;     1 , thì f được gọi là một hàm lồi (convex function). Cho F là ánh xạ đi từ  n vào chính nó, mà các thành phần của F thuộc lớp C 1   n  . Jacobian của ánh xạ F tại z thuộc  n là ma trận J với các thành phần là:  Fi  z     1  i  n;1  j  n  và được ký hiệu là J(z). Do đó J(z)x là ký hiệu của tích của ma   x j   trận J(z) và véc tơ n chiều x. Định lý giá trị trung bình Cho hàm f  C1  S  với S là tập lồi của  n với phần trong không rỗng, ta có: f  z   f  y   f    , z  y  ; z, y  S trong đó  thuộc đoạn thẳng nối giữa z và y, còn  f f f  f       ,   ,...,    là véc tơ n chiều (gọi là Gradient của f tại  ), và  x1 x 2 xn  n f f   , z  y       zi  yi  . x i 1 i Để cho gọn từ đây trở đi ta ký hiệu L(x,y) là đoạn thẳng mở nối giữa hai điểm x, y.
2.2. CHUẨN n 2 Ta đã có hàm khoảng cách d(x,y) trên  n , d 2  x , y     xi  yi  . i 1 1 n 1  2 2 Hàm d  x,0     xi   x   x, x 2 được gọi là một chuẩn  i1  Chuẩn là mê tríc thỏa các điều kiện sau đây: i) x  d  x,0   0 nếu và chỉ nếu x = 0 ii) x  y  x  y (bất đẳng thức tam giác) iii)  x   x ,    Bất kỳ hàm số nào đi từ  n vào   thỏa ba tính chất i), ii), iii) được gọi là một chuẩn. Gọi A là ma trận cấp m.n, và x là véc tơ n chiều. Ma trận A diễn tả một ánh xạ tuyến tính đi từ  n vào  n . Ta định nghĩa chuẩn A là số M bé nhất thỏa bất đẳng thức Ax  M x với mọi x, tất nhiên số A luôn tồn tại bởi vì tập các số thực M được chọn bị chặn dưới bởi 0. Do đó: A  inf B : Ax  B x , x   n  Ta có kết quả sau:  Ax  A  sup  : x  0   sup Ax : x  1 .  x  2.3. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH MỞ RỘNG Cho F :  n   n , S là tập lồi trong  n , giả sử F có Jacobian tại mỗi điểm của S. Thì 2   Fz  Fy  sup J   :   L  z, y  z  y , với x   x , x  Chứng minh n Áp dụng định lý giá trị trung bình đối với hàm số thực  F  y  u (trong đó i 1 i i ui là các thành phần của véc tơ của véc tơ đơn vị u). n   n  ta được:   i   i    i    Fi    ui , y  z  trong đó   L  y, z và phụ thuộc vào u. F y  F z u  i 1   i1   n n Do đó:   Fi  y   Fi  z   ui   ui Fi   , y  z  i 1 i 1
1 2  n  2  u   Fi   , y  z    J   y  z   J   y  z   i 1     sup J    ,  L  y, z  y  z F  y   F  z Giả sử F  y   F  z  ta chọn u  thì F  y   F  z n n 1 2   Fi  y   Fi  z  ui  F  y   F  z   F  y   F  z i i  F  y   F  z i 1 i 1 Ta được điều phải chứng minh. 2.4. CHẶN PHỔ Cho A là ma trận cấp n.n, với thành phần là các số thực, và A* là ma trận chuyển vị của ma trận A, A* có được bằng cách đổi chổ giữa dòng và cột của ma trận A. Ta gọi A là ma trận đối xứng nếu A  A* . Cho A là ma trận đối xứng, ta có dạng toàn phương của ma trận A là hàm số: n n x   x, Ax   x * Ax   xi Aij x j i 1 j 1 Các số   min  x, Ax  : x  1;   max  x , Ax  : x  1 được gọi là các chặn theo phổ của A. Do ánh xạ ., A. là ánh xạ liên tục và tập S   x : x  1 là tập compact nên hàm ., A. sẽ đạt max và min trên S. Nếu   0 thì A được gọi là xác định dương, nếu   0 thì A gọi là bán xác định dương, nếu   0 và   0 thì A gọi là không xác định. Xác định âm và bán xác định âm được định nghĩa tương tự. Định lý Giả sử A là ma trận đối xứng. Khi đó sup   x, Ax  :  x  1  sup Ax : x  1  A Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:  x , Ax   x Ax  A , x : x  1 Đặt sup  x , Ax   sup  ,     , thì   A Ta chứng minh   A Ta có:
2 1 1 Ax   4  Ax , Ax   2  Ax, Ax   2  A2 x , x   4 4 * (do :  Ax , Ax    Ax   Ax   x * A*    Ax        x * A* A x  x * A2 x   x, A2 x    A2 x , x  ) 1 1   2  Ax , x    Ax, Ax    A2 x , x   2  A2 x, Ax   4   2 2 1 2    Ax , x    Ax , Ax     A x , x    2  A x , Ax     1  4     A x, x    A x, A 1 x    A  1 Ax , x    A  1 Ax , A 1 x              A x ,  x    A x , A 1 x    A  1 Ax , x    A( 1 Ax ), A 1 x     1  4     A   x  , x  A 1 x    A  1 Ax , x  A 1 x        A x , x  A 1 x    A  1 Ax , x  A 1 x         1   4      A  x   1 Ax ,  x  A 1 x    A  x   1 Ax ,  x  A 1 x     1  4    x   1 Ax 2    x   1 Ax 2   4 2   x 2   1 Ax 2   2 2 2   x   2 Ax  2  Ax Ở đây  là số dương tùy ý. Khi Ax  0 thì hàm số cuối cùng đạt min khi  2  , nên x  2 x  Ax 2 từ đây ta có: Ax    Ax . x   Ax   x    A Vậy A   Mà theo kết quả ở trên thì A  sup  Ax , x  1 nên ta có: sup   x, Ax  :  x  1  sup Ax : x  1  A Bổ đề 2.4.1 Giả sử A là ma trận đối xứng, các véc tơ đơn vị làm cực đại, cực tiểu ánh xạ ., A. là các véc tơ riêng của A.
Chứng minh Gọi f và  là hai hàm số thực thuộc lớp C 1   n  Điều kiện cần để điểm x   x   n :   x   0 sao cho hàm f đạt max hoặc min tại đó là tồn tại số  sao cho f  x     x   0 (1) 2 Đặt f  x    x, Ax  ,  x   1  x thì ta có: n n n n n   f x   xi  Aij x j   Akj x j   xi Aik  2 Akj x j xk xk i 1 j 1 j 1 i 1 j 1 (do A là ma trận đối xứng) do đó f  x   2 Ax ,  x   2 x từ công thức (1) cho ta: Ax   x với x  1 bởi vì tồn tại các véc tơ đơn vị mà tại đó . , A. đạt các cực trị nên kéo theo tồn tại các véc tơ x và số  thỏa Ax   x, với x  1 . Vậy bổ đề đã được chứng minh  Bổ đề 2.4.2 Giả sử A là ma trận đối xứng, số  là giá trị riêng của A ( Ax   x ) nếu và chỉ nếu  2 là giá trị riêng của A* A ( A* Az   2 z ). Chứng minh   Giả sử A* Az   2 z  A 2   2 I z  0 với  2  0 thì  A   I  A   I  z  0   A   I  A   I  z Có bốn khả năng xảy ra:  A   I  z  0;  A   I  z  0;  A   I   A   I  z   0;  A   I   A   I  z  0 Trong bất kỳ trường hợp nào thì  hoặc  cũng là giá trị riêng của A. Hơn nữa nếu  2  0 thì  z, A* Az   0   Az, Az  0  Az  0 Ngược lại: Nếu Ax   x thì A* Ax   A* x   Ax   2 x . Bổ đề được chứng minh xong. Bổ đề 2.4.3 Cho A là ma trận đối xứng với chặn phổ là  ,  . Thì I   A  max  1   , 1    với I là ma trận đơn vị. Chứng minh
Nếu   0 và x  1 thì    x , Ax     1     x , Ix    x , Ax   1   . mà  x , Ix    x , Ax    x,  I   A  x  nên: 1     x ,  I   A  x   1     x,  I   A  x   max  1   , 1    Vì: 1   ,1   là các chặn phổ của ma trận đối xứng I   A nên theo định lý trên Ta có: I   A  max  1   , 1    Nếu   0 thì  ,  đổi thứ tự cho nhau trong bất đẳng thức trên, nghĩa là ta có: 1     x,  I   A  x   1   Do đó ta cũng có: I   A  max  1   , 1    . 2 Nhận xét: Nếu  ,  ,   0 thì hàm f     max  1   , 1    có giá trị nhỏ nhất tại .  Chứng minh Đặt f1     1   , f2  x   1   Khi   0 , ta vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục tọa độ: f1 f2 1 M O 1 1    Khi đó hàm f đạt min tại M, hoành độ của M là nghiệm của phương trình: 2 1     1         2.5. CỰC TIỂU HÓA HÀM SỐ  2 f u  Ta gọi Hessian của hàm f tại u   n là ma trận với các thành phần với xi x j 1  i  n,1  j  n