Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng

Chia sẻ: ViJensoo ViJensoo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng" trình bày các nội dung chính sau: Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến; Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai; Dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– XẤP XỈ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI CỦA CÁC TẬP HỢP VÀ CÁC MÔ TẢ ĐỐI NGẪU TƯƠNG ỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Học viên thực hiện: Hoàng Minh Có Lớp: Cao học K19 Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên HÀ NỘI - 2013
Mục lục Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 1 1.1 Nón tiếp tuyến và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Nón pháp tuyến và đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến . . . . . . 17 2 Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai 22 2.1 Tập tiếp xúc bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tập tiếp xúc bậc hai của tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . 26 2.3 Tập tiếp xúc bậc hai của tập hợp có biên trơn . . . . . . . . 30 2.3.1 Tập hợp có biên trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai . . . . 32 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i
Danh mục ký hiệu N Tập số nguyên dương R Tập số thực ∅ Tập rỗng Rn Không gian Euclide n chiều kxk Chuẩn của x dist(x, S) Khoảng cách từ x đến S h·, ·i Cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng tk ↓ 0 Dãy số dương tk hội tụ về 0 w xk − →x Dãy véctơ xk hội tụ yếu đến x Ω Bao đóng của Ω T (x; Ω) Nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x Tw (x; Ω) Nón tiếp tuyến yếu của Ω tại x TC (x; Ω) Nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x N bε (x; Ω) Nón ε-pháp tuyến của Ω tại x N b (x; Ω) Nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x N (x; Ω) Nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x iΩ (·) Hàm chỉ của tập Ω F :X⇒Y Ánh xạ đa trị gph F Đồ thị của F dom F Miền hữu hiệu của F reg F Miền ảnh của F ii
Danh mục ký hiệu DFz (·) Đạo hàm contingent của F tại z DFzw (·) Đạo hàm contingent yếu của F tại z CFz (·) Đạo hàm Clarke của F tại z b ∗ Fz (·) D Đối đạo hàm Fréchet của F tại z D∗ Fz (·) Đối đạo hàm Mordukhovich của F tại z ∂f b (x) Dưới vi phân Fréchet của f tại x ∂f (x) Dưới vi phân qua giới hạn của f tại x γ Độ cong của siêu mặt tại một điểm cho trước γ Độ cong trên của siêu mặt tại một điểm cho trước iii
Lời mở đầu Trong giải tích cổ điển, đạo hàm của hàm số thực có liên quan chặt chẽ đến tiếp tuyến của đồ thị. Dựa vào phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, người ta có thể xấp xỉ các giá trị của hàm số trong lân cận điểm đó. Mặt khác, đồ thị hàm số đã cho chính là đường bao (envelope) của họ các tiếp tuyến nói trên. Như vậy, tiếp tuyến chính là xấp xỉ bậc nhất của đồ thị, và đồ thị có thể được khôi phục thông qua họ các tiếp tuyến. Sự mở rộng khái niệm tiếp tuyến sang giải tích đa trị gắn liền với nhu cầu mở rộng khái niệm đạo hàm. Năm 1981, J.-P. Aubin (xem [3] và [4]) đề nghị xây dựng đạo hàm của một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y , ở đó X và Y là các không gian Banach, tại một điểm z = (x, y), y ∈ F (x), như một ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của tập đồ thị gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)} tại z . Để xây dựng khái niệm đạo hàm của ánh xạ đa trị, ngoài nón tiếp tuyến Bouligand-Severi người ta (xem [4] và [2]) còn sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến do F. H. Clarke đưa ra năm 1973 (xem [7]). Đây là phương pháp nghiên cứu bằng không gian nền. Song song với sự phát triển lý thuyết vi phân của Clarke, có một lý thuyết vi phân khác dựa trên các khái niệm do B. S. Mordukhovich đã đưa ra năm 1976, đó là các khái niệm nón pháp tuyến không lồi ([nonconvex] normal cone), đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative), dưới vi phân không lồi ([nonconvex] subdifferential). Cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu này đã đưa đến những kết quả mới mẻ và sâu sắc, do đó đã thu hút được sự chú ý ngày càng tăng của các nhà toán học. Trong khoảng những năm 1995–1997, B. S. Mordukhovich và các cộng sự đã công bố một loạt kết quả quan trọng, đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, cho phép hoàn thiện lý thuyết vi phân vô hạn chiều dựa trên các cấu trúc đối ngẫu. Tóm lại, cũng tương tự như vai trò của các khái niệm nón tiếp tuyến trong iv
Lời mở đầu lý thuyết vi phân được xây dựng bằng phương pháp không gian nền, nón pháp tuyến không lồi, được định nghĩa như giới hạn Painlevé-Kuratowski của một họ tập lồi mà mỗi tập bao gồm các ε-pháp tuyến, là cơ sở của lý thuyết vi phân được xây dựng bằng phương pháp không gian đối ngẫu. Để nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cực trị bậc hai của các bài toán tối ưu, và tính ổn định của các bài toán tối ưu và cân bằng, người ta cần sử dụng các khái niệm tập tiếp xúc bậc hai (xem [5] và [1]) và dưới vi phân bậc hai (xem [9]). Mối quan hệ giữa các nón tiếp tuyến và các nón pháp tuyến qua giới hạn đã được B. S. Mordukhovich khảo sát trong [9, Mục 1.1.2, tr. 12–18]. Mối quan hệ giữa các tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai qua giới hạn của hàm chỉ của một tập hợp là một vấn đề mới được đặt ra. Cụ thể, vào năm 2010, GS. Nguyễn Đông Yên đã đề xuất việc nghiên cứu vấn đề đó, nhưng chưa thu được kết quả cụ thể nào. Luận văn này trình bày các khái niệm cơ bản về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, dưới vi phân, và tập xấp xỉ bậc hai. Các mối liên hệ giữa các khái niệm đó cũng được nghiên cứu chi tiết. Luận văn được viết chủ yếu trên cơ sở Chương 1 của cuốn chuyên khảo [9] của B. S. Mordukhovich, Chương 3 của cuốn giáo trình [10] của A. Ruszczynski, và phần đầu của bài báo [12]. Trong luận văn có một số kết quả mới về mối quan hệ giữa tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ, trong trường hợp tập được xét là tập có biên trơn. Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận và phần Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương. Chương 1 “Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến” trình bày các khái niệm cơ bản về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, dưới vi phân, và mối quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến. Chương 2 “Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai” trình bày khái niệm và các tính chất của tập tiếp xúc bậc hai, mối quan hệ giữa tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ trong trường hợp tập được xét là tập có biên trơn. Các kết quả ở Mục 2.3 là mới. Ý tưởng cơ bản ở đây là sử dụng khái niệm độ cong của tập hợp được cho dưới dạng tập nghiệm một bất đẳng thức hoặc của tập nghiệm một hệ hữu hạn các đẳng thức để thiết lập mối quan hệ gián tiếp giữa tập xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm v
Lời mở đầu chỉ thông qua các bất đẳng thức kép. Chúng tôi cho rằng khó có thể thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa tập xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ, theo kiểu những công thức tính cái này qua cái kia (như đối với nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến – chính là dưới vi phân bậc nhất của hàm chỉ). Luận văn đã được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên. Tác giả chân thành cảm ơn thầy Yên đã dành nhiều thời gian chỉ dẫn cho tác giả thực hiện đề tài nghiên cứu. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các cán bộ công nhân viên trong Viện Toán học đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học. Hà Nội, ngày 30 tháng 08 năm 2013 Tác giả Hoàng Minh Có vi
Chương 1 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến Nói một cách đơn giản, nón tiếp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp tại một điểm cho trước. Còn nón pháp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp được viết bằng ngôn ngữ đối ngẫu. Như vậy, nón tiếp tuyến là một cấu trúc trong không gian nền, còn nón pháp tuyến là cấu trúc trong không gian đối ngẫu. Khái niệm thứ nhất là cơ sở cho cách tiếp cận bằng không gian nền (the primal-space approach), còn khái niệm thứ hai là cơ sở cho cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu (the dual-space approach). Chương này gồm hai mục. Mục thứ nhất trình bày các định nghĩa nón tiếp tuyến, đạo hàm của ánh xạ đa trị, và một số tính chất. Mục thứ hai trình bày khái niệm nón pháp tuyến, đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, và một số tính chất. 1.1 Nón tiếp tuyến và đạo hàm Khái niệm ánh xạ đa trị là sự mở rộng tự nhiên của ánh xạ đơn trị. Với khái niệm ánh xạ đa trị, ta có thể giải quyết nhiều vấn đề trong toán học nói chung, và trong lý thuyết tối ưu và cân bằng nói riêng. 1.1.1 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1. (Xem [2, tr. 9–10]) Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm tất cả các tập con của Y , được ký hiệu là 2Y . Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X và Y . Như vậy, với mỗi x ∈ X , F (x) là một tập hợp con của Y . Không loại trừ khả năng là với một số phần tử x ∈ X nào đó ta có F (x) là tập rỗng. 1
Chương 1. Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến Ví dụ 1.1. Xét phương trình đa thức λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0, (1) ở đó n ∈ N = {1, 2, ...}, ai ∈ R (i = 1, 2, . . . , n) là các số thực. Quy tắc cho tương ứng mỗi véctơ a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn với một tập nghiệm của phương trình (1), được ký hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị. F : Rn ⇒ C, a = (a1 , . . . , an ) 7→ F (a), từ không gian Euclide Rn vào tập số phức C. Với mỗi a, F (a) có không quá n phần tử. Ở đây, ta có thể nhúng tập F (a) vào R2 bằng cách đồng nhất C với không gian Euclide hai chiều R2 . Đối với mỗi ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y , người ta định nghĩa các tập hợp gph F = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}, dom F = {x ∈ X | F (x) 6= ∅}, và reg F = {y ∈ Y | ∃ x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}. Các tập hợp đó, lần lượt được gọi là đồ thị, miền hữu hiệu, và miền ảnh của ánh xạ đa trị F . 1.1.2 Nón tiếp tuyến Định nghĩa 1.2. (Giới hạn theo Painlevé-Kuratowski, xem [2, tr. 63]) Giả sử M là không gian mêtric, X là không gian định chuẩn. Cho {Ωt }t∈M là họ tập hợp phụ thuộc vào tham số t ∈ M , Ωt ⊂ X với mọi t. Với mỗi t0 ∈ M , tập hợp Lim sup Ωt := x ∈ X : lim inf d(x, Ωt ) = 0 , (1.1) t→t0 t→t0 ở đó d(x, Ω) := inf kx − uk u∈Ω kí hiệu khoảng cách từ x đến tập Ω ⊂ X, được gọi là giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski của họ {Ωt }t∈M khi t → t0 . Tập hợp Lim inf Ωt := x ∈ X : lim d(x, Ωt ) = 0 (1.2) t→t0 t→t0 2
Chương 1. Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến được gọi là giới hạn dưới theo Painlevé-Kuratowski của họ {Ωt }t∈M khi t → t0 . Rõ ràng Lim inf Ωt ⊂ Lim sup Ωt . t→t0 t→t0 Có thể chứng minh ([2, tr. 64]) rằng các tập giới hạn trên và tập giới hạn dưới đều là các tập đóng. Từ (1.1) ta có x ∈ Lim sup Ωt ⇔ ∃{tk }k∈N ⊂ M, tk → t0 , lim d(x, Ωtk ) = 0 . (1.3) t→t0 k→0 Do (1.2) ta có x ∈ Lim inf Ωt ⇔ ∀{tk }k∈N ⊂ M, tk → t0 , lim d(x, Ωtk ) = 0 . (1.4) t→t0 k→∞ Ví dụ 1.2. Cho tập hợp M = X = R, và họ tập hợp  {−1 + t} nếu t < 0,   Ωt = [−1, 1] nếu t = 0,  {1 − t2 }  nếu t > 0. Ta có Lim sup Ωt = [−1, 1] và Lim inf Ωt = ∅. t→0 t→0 ¯ ∈ Ω. Cho Ω là tập con trong không gian định chuẩn X và cho x Định nghĩa 1.3. (Nón tiếp xúc bậc nhất; xem [9, tr. 13]) Tập hợp Ω − x¯ T (¯ x; Ω) := Lim sup (1.5) t↓0 t ở đó “Lim sup” được tính theo tôpô chuẩn của X , được gọi là nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x ¯. Nếu “Lim sup” trong công thức (1.5) được tính theo tôpô yếu của X , thì ta ký hiệu tập hợp thu được bởi Tw (¯ x; Ω) và gọi nó là nón tiếp tuyến yếu của Ω tại x ¯. 3
Chương 1. Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến Định nghĩa 1.4. (Nón tiếp tuyến Clarke; xem [9, tr. 13]) Tập hợp Ω−x TC (¯ x; Ω) := Lim inf , (1.6) Ω t↓0, x− →x¯ t ở đó “Lim inf” được tính theo tôpô chuẩn của X , được gọi là nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x¯. Ví dụ 1.3. (Tương tự như Ví dụ 2.2.4 trong [2]) Cho tập hợp Ω = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 = |x1 |}, và x = (0, 0). Ta có T (x, Ω) = Ω và TC (x, Ω) = {0}. Mệnh đề 1.1. Các tính chất sau nghiệm đúng: x; Ω) là hình nón chứa 0, tức là 0 ∈ T (¯ (i) T (¯ x; Ω) và λv ∈ T (¯x; Ω) với mỗi v ∈ T (¯x; Ω) và với mỗi λ > 0; (ii) x; Ω) = v ∈ X | ∃{tk } ⊂ R+ \{0}, tk → 0, T (¯ (1.7) ∃{vk } ⊂ X, vk → v, x¯ + tk vk ∈ Ω, ∀k ∈ N ; (iii) T (¯ x; Ω) là nón đóng; (iv) x; Ω) ⊂ T (¯ TC (¯ x; Ω) ⊂ Tw (¯ x; Ω). (1.8) x; Ω) ⊂ Tw (¯ Bao hàm thức T (¯ x; Ω) có dấu bằng khi X là không gian hữu hạn chiều. Chứng minh. (i) Dễ thấy rằng 0 ∈ T (¯ x; Ω). Lấy tùy ý v ∈ T (x; Ω) và λ > 0. Theo công thức (1.5), tồn tại {xk } ⊂ Ω và {tk } ⊂ R+ \{0}, tk → 0, sao cho xk − x v = lim . k→∞ tk 1 Đặt t˜k = tk với k ∈ N, từ đó ta có λ xk − x λv = lim . k→∞ t˜k Điều đó chứng tỏ rằng λv ∈ T (¯ x; Ω). 4
Chương 1. Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến (ii) Kí hiệu vế phải của (1.7) là V . Lấy v ∈ T (x; Ω) bất kỳ, ta cần chứng minh rằng v ∈ V . Chọn {tk } ⊂ R+ \{0}, tk → 0 sao cho d(x + tk v, Ω) lim = 0. k→∞ tk d(x + tk v, Ω) Đặt εk = , ta có εk → 0+ . Với mỗi k , tk 1 d(x + tk v, Ω) = tk εk < tk εk + tk . k Do đó tồn tại xk ∈ Ω sao cho 1 k(x + tk v) − xk k < tk εk + tk . k xk − x Đặt vk = , ta có tk xk − x 1 kv − vk k = kv − k < εk + . tk k Vậy vk → v khi k → ∞. Vì x + tk vk = xk ∈ Ω, với mọi k , nên v ∈ V . Ngược lại, giả sử v ∈ V. Chọn {tk }, {vk }, tk → 0+ , vk → v , sao cho x + tk vk ∈ Ω. Ta có d(x + tk v, Ω) k(x + tk v) − (x + tk vk )k 6 = kv − vk k → 0. tk tk Do đó (1.7) nghiệm đúng. (iii) Giả sử {wk } ⊂ T (¯ Ω), wk → w. Với mỗi k ∈ N, do khẳng định x; (ii) ở trên, tồn tại tk ∈ 0, k1 và vk ∈ X sao cho 1 kvk − wk k < , x¯ + tk vk ∈ Ω. k Ta có tk → 0+ và 1 kvk − wk 6 kvk − wk k + kwk − wk < + kwk − wk → 0 khi k → ∞. k Theo (ii), từ đó suy ra rằng w ∈ T (¯ x; Ω). Vậy T (¯ x; Ω) là nón đóng. 5
Chương 1. Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến (iv) Lấy bất kỳ v ∈ TC (x; Ω), ta sẽ chứng minh rằng v ∈ T (x; Ω). Vì Ω v ∈ TC (x; Ω) nên với mọi dãy tk ↓ 0 và mọi dãy xk − → x ta có Ω − xk lim d(v, ) = 0. k→∞ tk Vì vậy, với dãy tk ↓ 0 được lấy tùy ý và dãy xk = x với mọi k ∈ N, ta có Ω−x lim d(v, ) = 0. Từ đây suy ra rằng v ∈ T (x; Ω). k→∞ tk w Nếu vk → v thì vk − → v . Do đó bao hàm thức T (¯ x; Ω) ⊂ Tw (¯x; Ω) là hiển nhiên. Vì khi X là không gian hữu hạn chiều thì tôpô yếu của X trùng với tôpô của chuẩn trong X , nên ta có T (¯ x; Ω) = Tw (¯ x; Ω). Tính chất hội tụ yếu của dãy véctơ được đặc trưng như sau. w → v nếu và chỉ nếu với mọi x∗ ∈ X ∗ Bổ đề 1.1. Cho {vk } ⊂ X . Ta có vk − hx∗ , vk i → hx∗ , vi khi k → ∞. w Chứng minh. Giả sử rằng {vk } ⊂ X , và vk − → v , ta cần chứng minh rằng lim hx∗ , vk i = hx∗ , vi. k→∞ Giả sử phản chứng rằng có tồn tại ε > 0 sao cho với mọi k , đều có k 0 > k sao cho |hx∗ , vk0 i − hx∗ , vi| > ε. (1.9) Xét tập mở yếu V := {y ∈ X | − ε < hx∗ , y − vi < ε}. Rõ ràng v ∈ V. Vậy V là lân cận mở yếu của v . Do (1.9), với mọi k và với mọi k 0 > k ta w có vk0 ∈ / V . Điều này mâu thuẫn với giả thiết vk − → v. Giả sử rằng với mọi x∗ ∈ X ∗ , ta có hx∗ , vk i → hx∗ , vi khi k → ∞. Xét lân cận mở yếu của v dưới dạng V{x∗i ,εi } = {y ∈ X | |hx∗i , y − vi| < εi , i = 1, m}, ở đây x∗i ∈ X ∗ và εi > 0, i = 1, m. Lấy i ∈ {1, . . . , m}. Vì hx∗i , vk i → hx∗i , vi khi k → ∞, nên tồn tại kεi sao cho
∗
hx , vk − vi
< εi , ∀k > kε . i i Đặt k = max{kεi | i = 1, m}. Do cách chọn k , với mọi k > k ta có
∗
hx , vk − vi