Luận văn Tính chất của môđun Artin

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho (R;m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, theo Bổ đề Nakayama ta luôn có tính chất AnnRM=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu rằng có một tính chất tương tự như vậy cho mọi môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Tính chất của môđun Artin

Luận văn Tính chất của môđun Artin
1 Lêi c¶m ¬n T«i xin tr©n träng c¶m ¬n TS. NguyÔn ThÞ Dung, ngêi thÇy trùc tiÕp híng dÉn vµ tËn t×nh chØ b¶o, gióp ®ì t«i, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n GS. TSKH NguyÔn Tù Cêng, GS. TSKH Lª TuÊn Hoa, PGS. TS NguyÔn Quèc Th¾ng ë ViÖn To¸n häc Hµ Néi, cïng toµn thÓ Ban Gi¸m hiÖu trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn vµ phßng §µo t¹o sau §¹i häc, tr©n träng c¶m ¬n PGS. TS Lª Thanh Nhµn cïng c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i trêng vµ thùc hiÖn ®Ò tµi nµy. Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn cha mÑ, ngêi th©n, b¹n bÌ, ®Æc biÖt lµ chång t«i, ®· lu«n ñng hé, ®éng viªn vµ khuyÕn khÝch t«i hoµn thµnh kÕ ho¹ch häc tËp, còng nh thùc hiÖn thµnh c«ng ®Ò tµi cña m×nh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2 Më ®Çu Cho lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph¬ng, Noether víi i®ªan cùc ®¹i (R, m) duy nhÊt lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh vµ lµ R-m«®un Artin. §èi víi m; M A mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M, theo Bæ ®Ò Nakayama ta lu«n cã tÝnh chÊt víi mäi i®ªan nguyªn tè chøa AnnR M . Mét c©u hái AnnR M/pM = p, p tù nhiªn ®îc ®Æt ra lµ liÖu r»ng cã mét tÝnh chÊt t¬ng tù nh vËy cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn [5] ®· chØ ra r»ng nh×n chung c©u tr¶ lêi cho c©u hái trªn lµ phñ ®Þnh, vµ ë ®ã, hä ®· giíi thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cña c©u hái trªn nh sau: A ®îc gäi lµ tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) (hay cßn gäi lµ tÝnh chÊt linh ho¸ tö) nÕu AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A). (∗) ý nghÜa ®Çu tiªn cña tÝnh chÊt (∗) lµ "lµm m¹nh" thªm c«ng cô nghiªn cøu m«®un Artin b»ng lý thuyÕt chiÒu. Ta ®· biÕt r»ng mét trong nh÷ng c«ng cô ®Ó nghiªn cøu m«®un Artin lµ kh¸i niÖm chiÒu Noether ®îc ®a ra bëi R. N. Robert [14] vµ D. Kirby [7]. Bªn c¹nh ®ã, mét c¸ch tù nhiªn, ngêi ta còng dïng kh¸i niÖm dimR A = dim R/ AnnR A ®Ó nghiªn cøu chiÒu Krull m«®un Artin. NÕu lµ vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ th× ®èi ngÉu Matlis cho ta R mét t¬ng ®¬ng gi÷a ph¹m trï c¸c m«®un Noether vµ m«®un Artin. V× thÕ, trªn vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ, tÝnh chÊt (∗) lu«n tho¶ m·n vµ lu«n cã ®¼ng thøc N-dimR A = dimR A, víi mäi R-m«®un Artin A. Tuy nhiªn, trªn vµnh giao ho¸n tuú ý ta chØ cã dimR A, thËm chÝ tån t¹i nh÷ng m«®un N-dimR A Artin sao cho N-dimR A < dimR A (xem [5, VÝ dô 4.1]). Mét vÊn ®Ò ®Æt ra lµ t×m ®iÒu kiÖn khi nµo x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. KÕt qu¶ chÝnh cña [5, MÖnh ®Ò 4.5] chØ ra r»ng nÕu A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) th× ta cã N-dimR A = dimR A. KÕt qu¶ tiÕp theo vÒ tÝnh chÊt trong N. T. Cêng, N. T. Dung vµ (∗) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3 L. T. Nhµn [3] cho phÐp ta nghiªn cøu tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng trén lÉn cña mét m«®un h÷u h¹n sinh M. Gi¶ sö r»ng dimR M = d. KÝ hiÖu lµ m«®un con lín nhÊt cña cã chiÒu nhá h¬n d. Ta gäi tËp UM (0) M lµ cña m«®un M. XuÊt Usupp M = Supp(M/UM (0)) gi¸ kh«ng trén lÉn ph¸t tõ bµi to¸n nghiªn cøu tÝnh chÊt cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt (∗) d lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt Hm (M ), hä ®· thu ®îc kÕt qu¶ kh¸ bÊt ngê, ®ã lµ gi¸ kh«ng trén lÉn Usupp(M ) lµ catenary khi vµ chØ d khi Hm (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). i Ta ®· biÕt r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hm (M ) cña m«®un h÷u h¹n sinh M, víi lµ m«®un Artin vµ líp m«®un nµy nh×n chung i
4 " cña L. T. Nhµn vµ T. catenaricity of rings and local cohomology modules N. An ë t¹p chÝ §¹i sè n¨m 2008 vµ mét phÇn bµi b¸o cña N. T. Cêng, N. T. Dung vµ L. T. Nhµn "Top local cohomology and the catenaricity of the " trªn t¹p chÝ Communication unmixed support of a finitely generated module in Algebra n¨m 2007. LuËn v¨n ®îc chia lµm hai ch¬ng. Ch¬ng I dµnh ®Ó hÖ thèng l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, vµnh catenary, vµnh thí,... Ch¬ng II giíi thiÖu vÒ tÝnh chÊt (tÝnh chÊt linh ho¸ tö) cña (∗) m«®un Artin vµ chøng minh ®Æc trng tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng trén lÉn th«ng qua tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Usupp M cÊp cao nhÊt. Néi dung chÝnh cña ch¬ng II lµ ®Æc trng cho tÝnh chÊt (∗) i cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hm (M ), kÕt qu¶ nµy mang l¹i tÝnh i ®ãng cña tËp gi¶ support PsuppR (M ) vµ më réng ®îc c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp. H¬n n÷a, còng th«ng qua tÝnh chÊt (∗) i cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa phu¬ng Hm (M ), ®Æc trng tÝnh chÊt catenary phæ dông cña vµnh vµ tÝnh chÊt kh«ng trén lÉn cña vµnh R/p, R/ AnnR M víi p ∈ SuppR M . PhÇn kÕt luËn cña luËn v¨n tæng kÕt l¹i toµn bé c¸c kÕt qu¶ ®· ®¹t ®îc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
5 Ch¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta lu«n ký hiÖu R lµ vµnh giao ho¸n, Noether kh«ng nhÊt thiÕt ®Þa ph¬ng (gi¶ thiÕt ®Þa ph¬ng khi cÇn sÏ ®îc nªu trong tõng trêng hîp cô thÓ), lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh, A lµ R-m«®un Artin. M Ch¬ng nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n ®îc dïng phôc vô cho c¸c chøng minh ë ch¬ng sau cña luËn v¨n: CÊu tróc cña m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, sè béi cña m«®un Artin, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng, tÝnh catenary, catenary phæ dông vµ thí h×nh thøc cña vµnh vµ m«®un,... 1.1 M«®un Artin Cho m lµ mét i®ªan cùc ®¹i cña vµnh R. Nh¾c l¹i r»ng m«®un con m-xo¾n Γm (A) cña A ®îc ®Þnh nghÜa bëi (0 :A mn ). Γm (A) = n ≥0 Khi ®ã, ta cã kÕt qu¶ sau. [15, MÖnh ®Ò 1.4, Bæ ®Ò 1.6] MÖnh ®Ò 1.1.1. A lµ mét R-m«®un Artin kh¸c kh«ng. Khi ®ã chØ cã h÷u h¹n i®ªan (i) Gi¶ sö R Γm (A) = 0. m cùc ®¹i cña sao cho NÕu c¸c i®ªan cùc ®¹i ph©n biÖt ®ã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6 m1 , . . . , mr lµ th× A = Γm1 (A) ⊕ . . . ⊕ Γmr (A) vµ Supp A = {m1 , . . . , mr }. j ∈ {1, . . . , r}, s ∈ R \ mj , s (ii) Víi mçi nÕu th× phÐp nh©n bëi cho ta Γmj (A). Γmj (A) mét tù ®¼ng cÊu cña Do ®ã cã cÊu tróc tù nhiªn cña mét Rmj -m«®un Γmj (A) R-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy, mét tËp con cña lµ mét Rmj -m«®un con. §Æc biÖt con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ Amj ∼ Γmj (A), j = 1, . . . , r. = víi mäi §Ó cho thuËn tiÖn, tõ giê trë ®i ta ®Æt KÝ hiÖu 1.1.2. vµ A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar JA = m, m∈Supp A Aj = ∪ (0 :A mn ) (1 trong ®ã r). Chó ý r»ng khi (R, m) lµ vµnh ®Þa j j n>0 ph¬ng th× JA = m. Cho lµ vµnh ®Þa ph¬ng. Nh¾c l¹i r»ng (R, m) m-adic ®Çy ®ñ theo t« p« cña ký hiÖu bëi lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c d·y Cauchy theo R, R, quan hÖ t¬ng ®¬ng x¸c ®Þnh bëi c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ c¸c i®ªan mt , t = 0, 1, 2, . . .. R ®îc trang bÞ hai phÐp to¸n hai ng«i: phÐp céng, phÐp nh©n c¸c d·y Cauchy vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, R lµm thµnh mét vµnh. Mçi phÇn tö cã thÓ ®ång nhÊt víi líp t¬ng ®¬ng cña d·y Cauchy r∈R mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö trong d·y ®Òu lµ (xem [10]). r [15, Bæ ®Ò 1.11, HÖ qu¶ 1.12] A lµ R-m«®un Artin kh¸c MÖnh ®Ò 1.1.3. Cho (R, m). A kh«ng trªn vµnh ®Þa ph¬ng Khi ®ã, cã cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un, trong ®ã R lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic cña R vµ mäi tËp con A lµ R-m«®un con cña A nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con cña A. Do cña A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un Artin. ®ã, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7 Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ. §Æt E = E (R/m) lµ bao néi x¹ cña trêng thÆng d R/m. KÝ hiÖu tõ ph¹m trï D( ) = HomR ( , E ) CR c¸c R-m«®un vµ R-®ång cÊu vµo chÝnh nã. Víi mçi R-m«®un M , ®Æt µM : M −→ DD(M ) = HomR (HomR (M, E ), E ) lµ R-®ång cÊu tù nhiªn cho bëi víi mäi vµ x ∈ M, µM (x)(f ) = f (x), Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau cña E. Matlis ®îc tr×nh bµy f ∈ Hom(M, E ). trong [9, §Þnh lý 4.2] (xem thªm [15, §Þnh lý 2.1]). MÖnh ®Ò 1.1.4. f ∈ HomR (E, E ), R-m«®un E (i) lµ Artin. Víi mçi tån t¹i duy nhÊt af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E. N R-m«®un Noether, th× D(N ) lµ Artin . (ii) NÕu lµ A lµ R-m«®un Artin, th× D(A) lµ Noether. (iii) NÕu < ∞, Ann M = Ann D(M ), M R-m«®un R (M ) (iv) vµ nÕu lµ sao cho R (D (M )) = R (M ). th× 1.2 BiÓu diÔn thø cÊp Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp ®îc ®a ra bëi I. G. Macdonald [8] ®îc xem nh lµ ®èi ngÉu víi lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ quen biÕt cho c¸c m«®un Noether vµ ®©y lµ mét c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu c¸c m«®un Artin. (i) Mét R-m«®un M ®îc gäi lµ nÕu vµ M =0 §Þnh nghÜa 1.2.1. thø cÊp nÕu víi mäi x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn M lµ toµn cÊu hoÆc luü linh. Trong trêng hîp nµy Rad(AnnR M ) lµ i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi lµ p-thø cÊp. M (ii) Cho lµ R-m«®un. cña lµ mét ph©n tÝch M M Mét biÓu diÔn thø cÊp thµnh tæng h÷u h¹n c¸c m«®un con pi -thø cÊp Ni . NÕu M = N1 + . . . + Nn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8 M = 0 hoÆc M cã mét biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi M lµ . BiÓu biÓu diÔn ®îc diÔn thø cÊp nµy ®îc gäi lµ nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét tèi thiÓu kh¸c nhau vµ kh«ng cã h¹ng tö nµo lµ thõa, víi mäi i = 1, . . . , n. Ni DÔ thÊy r»ng mäi biÓu diÔn thø cÊp cña ®Òu cã thÓ ®a ®îc vÒ d¹ng M tèi thiÓu. Khi ®ã tËp hîp {p1 , . . . , pn } lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña vµ ®îc gäi lµ cña M , kÝ M tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt hiÖu bëi AttR M . C¸c h¹ng tö Ni , i = 1, . . . , n, ®îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn thø cÊp cña M. M R-m«®un M =0 MÖnh ®Ò 1.2.2. i) Cho lµ mét biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã AttR M = ∅. Trong trêng hîp nµy tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi khi vµ chØ khi R chøa Ann(M ) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttR M. thiÓu cña 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 R-m«®un (ii) Cho lµ d·y khíp c¸c biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã ta cã AttR M ⊆ AttR M ⊆ AttR M ∪ AttR M . Cho A lµ mét R-m«®un Artin. Khi ®ã, A lµ biÓu diÔn ®îc. H¬n n÷a, theo MÖnh ®Ò 1.1.3, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy mçi tËp con cña A lµ R-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con. §iÒu nµy cho thÊy c¸c dµn m«®un con cña xÐt nh R-m«®un vµ R-m«®un lµ nh A nhau. Tõ ®ã ta cã c¸c kÕt qu¶ sau (xem [15, HÖ qu¶ 1.12, HÖ qu¶ 2.7]). MÖnh ®Ò 1.2.3. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng. AttR A = {p ∩ R : p ∈ AttR A}. (i) R lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ, th× ta cã (ii)NÕu N R-m«®un Noether, th× AttR (D(N )) = AssR (N ). a) NÕu lµ A lµ R-m«®un Artin, th× AssR (D(A)) = AttR (A). b) NÕu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9 1.3 ChiÒu Noether vµ sè béi cña m«®un Artin Nh¾c l¹i r»ng mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn , trong ®ã pi ®îc gäi lµ d·y nguyªn tè . Khi ®ã cña = pi+1 cã ®é dµi n chiÒu Krull vµnh R, ký hiÖu lµ dim R lµ cËn trªn cña ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè trong R. ChiÒu Krull cña m«®un M , ký hiÖu lµ dim M lµ cËn trªn cña c¸c sè n sao cho cã mét d·y nguyªn tè cã ®é dµi n trong Supp M . V× M lµ m«®un h÷u h¹n sinh nªn ta cã Supp M = V (AnnR M ), do ®ã dim M = dim R/ AnnR M = sup dim(R/p). p∈Ass M Kh¸i niÖm ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho mét m«®un Artin ®îc ®a ra bëi R. N. Roberts [14] vµ sau ®ã D. Kirby [7] ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn víi chiÒu Krull ®· ®îc ®Þnh nghÜa cho c¸c m«®un Noether. C¸c thuËt ng÷ vÒ chiÒu Noether ®îc dïng trong luËn v¨n lµ theo [7]. cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi N-dimR A, §Þnh nghÜa 1.3.1. ChiÒu Noether ®îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh sau: Khi A = 0, ®Æt N-dimR A = −1. Víi cho mét sè nguyªn ta ®Æt nÕu d ≥ 0, A = 0, N-dimR A = d lµ sai vµ víi mçi d·y t¨ng c¸c m«®un A0 ⊆ A1 ⊆ . . . N-dimR A < d con cña tån t¹i sè nguyªn sao cho víi mäi A, n0 N-dimR (An+1 /An ) < d, n > n0 . Cho lµ R-m«®un kh¸c kh«ng. Khi ®ã lµ R-m«®un M M VÝ dô 1.3.2. Noether khi vµ chØ khi ThËt vËy, gi¶ sö lµ R-m«®un N-dimR M = 0. M Noether. V× mäi d·y t¨ng c¸c m«®un M0 ⊆ M1 ⊆ . . . ⊆ Mn ⊆ . . . con cña ®Òu dõng nªn tån t¹i sao cho Mn = Mn+1 , víi mäi n0 ∈ N M n > n0 . Do ®ã, Mn+1 /Mn = 0, v× thÕ N-dimR (Mn+1 /Mn ) = −1 < 0, víi mäi n > n0 . V× nªn vµ do ®ã theo ®Þnh nghÜa, M =0 N-dimR M 0 N-dimR M = 0. Ngîc l¹i, gi¶ sö N-dimR M = 0. Khi ®ã, lÊy mét d·y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
10 t¨ng bÊt kú N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nn ⊆ . . . c¸c m«®un con cña M . Theo ®Þnh nghÜa, tån t¹i sè nguyªn d¬ng sao cho N-dimR (Nk+1 /Nk ) = −1 < 0, n0 víi mäi k > n0 . Do ®ã, Nk+1 = Nk , víi mäi hay d·y trªn lµ dõng, n > n0 nghÜa lµ lµ R-m«®un Noether. M ChiÒu Noether cho m«®un Artin cã nhiÒu tÝnh chÊt theo mét nghÜa nµo ®ã ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh. Ta ®· biÕt r»ng ®èi víi mçi m«®un h÷u h¹n sinh th× nÕu vµ chØ nÕu M dim M = 0 M=0 vµ R (M ) Tõ §Þnh nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu < ∞. Noether. < ∞. Trong N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu A = 0 vµ R (A) Bæ ®Ò 1.3.3. (i) AttR A = {m}. H¬n n÷a, nÕu trêng hîp nµy 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0 R-m«®un Artin th× lµ d·y khíp c¸c N-dimR A = max{N-dimR A , N-dimR A }. dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A} N-dimR A (ii) vµ tån A sao cho N-dimR A < dim R/ AnnR A. t¹i m«®un Artin N-dimR A = dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A}. (iii) (R, m) A R-m«®un A (iv) Cho lµ vµnh ®Þa ph¬ng vµ lµ Artin. Khi ®ã cã R-m«®un Artin vµ ta cã cÊu tróc tù nhiªn cña N-dimR A = N-dimR A. N-dim A thay cho N-dimR A hoÆc N-dimR A. ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt §· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Artin A th«ng qua chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
11 Artin ®îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh ®· ®îc ®a ra (xem [5], [7], [14],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau ®îc R. N. Roberts [14, §Þnh lý 6] chøng minh cho trêng hîp vµnh tùa ®Þa ph¬ng vµ sau ®ã ®îc NguyÔn Tù Cêng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6] chøng minh cho trêng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú. n R (0 :A JA ) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ MÖnh ®Ò 1.3.4. n N-dim A = deg( (0 :A JA )) = inf {t : ∃x1 , . . . , xt ∈ JA (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞}. sao cho MÖnh ®Ò 1.3.4 cho phÐp ta ®a ra kh¸i niÖm hÖ béi, sè béi, hÖ tham sè cña mét m«®un Artin (xem [4]). Nh¾c l¹i r»ng mét hÖ c¸c A x = (x1 , . . . , xt ) phÇn tö trong m sao cho (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞ ®îc gäi lµ mét hÖ béi cña A. Trêng hîp t = 0 th× ta hiÓu < ∞. Vµ khi t = N-dim A = d th× R (A) hÖ x = (x1 , . . . , xd ) ®îc gäi lµ hÖ tham sè cña A. Mét phÇn tö x ∈ m ®îc gäi lµ cña A nÕu vµ chØ nÕu N-dim(0 :A x) = N-dim A − 1. phÇn tö tham sè §èi víi mçi m«®un Artin A, sè béi ®îc ®Þnh nghÜa th«ng qua ®a thøc Hilbert-Samuel nh sau. Gi¶ sö Cho lµ i®ªan cña sao cho dim R = d. R q qn+1 ) q) < ∞. Khi ®ã hµm ®é dµi R (0 :A lu«n lµ ®a thøc theo R (0 :A n bËc N-dim A víi hÖ sè h÷u tû khi n 0. Theo Bæ ®Ò 1.3.3 (ii), ta cã N-dim A dim A = dim R/ AnnR A dim R. V× thÕ, ta cã thÓ biÓu diÔn ®a thøc nµy díi d¹ng e (q; A) d qn+1 ) = ®a thøc cã bËc nhá h¬n R (0 :A n+ d, n 0, d! trong ®ã lµ mét sè nguyªn kh«ng ©m. Nh vËy, nÕu e (q; A) N-dim A = d th× e (q; A) > 0 vµ nÕu N-dim A < d th× e (q; A) = 0. Khi N-dim A = d ta gäi e (q; A) lµ sè béi cña A øng víi i®ªan q. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
12 Trong [4], Cêng-Nhµn ®· ®Þnh nghÜa øng víi mét hÖ béi sè béi h×nh thøc cña A b»ng quy n¹p vµ hä ®· chØ ra r»ng khi i®ªan q sinh bëi mét hÖ tham sè cña vµ th× ®Þnh nghÜa nµy t¬ng ®¬ng víi ®Þnh A N-dim A = dim R = d nghÜa sè béi th«ng qua ®a thøc Hilbert-Samuel ë trªn. MÖnh ®Ò sau trong [4] cho ta mét sè tÝnh chÊt cña hÖ béi vµ sè béi cho m«®un Artin. x = (x1 , . . . , xt ) lµ mét hÖ béi cña A vµ n1 , . . . , nt MÖnh ®Ò 1.3.5. Cho lµ x(n) = (xn1 , . . . , xnt ). Khi ®ã ta cã c¸c tÝnh chÊt c¸c sè nguyªn d¬ng. §Æt t 1 sau. (0 :A x(n)R) n1 . . . nt (0 :A xR) vµ e x(n); A = n1 . . . nt e (x; A). (i) 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0. Khi R-m«®un (ii) Cho d·y khíp c¸c Artin x lµ mét hÖ béi cña A nÕu vµ chØ nÕu x lµ mét hÖ béi cña A A ®ã vµ vµ ta e (x; A) = e (x; A ) + e (x; A ). cã 0 e (x; A) (0 :A xR). e (x; A) > 0 (iii) Ta lu«n cã H¬n n÷a nÕu vµ t = d = N-dim A. chØ nÕu 1.4 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Tríc hÕt, ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cña mét m«®un tuú ý. Cho lµ mét i®ªan cña vµnh Noether vµ lµ mét I R M §Þnh nghÜa 1.4.1. R-m«®un. M«®un cña øng víi i®ªan I, i M ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng thø i ký hiÖu lµ HI (M ) ®îc ®Þnh nghÜa bëi HI (M ) = Ri (ΓI (M )), i Ri (ΓI (M )) lµ m«®un dÉn suÊt ph¶i thø i cña hµm tö I -xo¾n ΓI ( ) trong ®ã øng víi M. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
13 f g Cho lµ mét d·y khíp c¸c R−m«®un. 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 Khi ®ã, do tÝnh chÊt δ -hµm tö ®èi ®ång ®iÒu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng, ta cã d·y khíp dµi H 0 (f ) H 0 (g ) 0 0 0 I I 0 −→ HI (L) −→ HI (M ) −→ HI (N ) H 1 (f ) H 1 (g ) 1 1 1 I I −→ HI (L) −→ HI (M ) −→ HI (N ) −→ . . . i i HI (f ) HI (g ) i i i −→ HI (L) −→ HI (M ) −→ HI (N ) −→ HI+1 (L) −→ . . . i víi mäi i ∈ N. §Þnh lý sau ®©y cña Grothedieck lµ mét kÕt qu¶ ®Ñp ®Ï vÒ tÝnh triÖt tiªu vµ kh«ng triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. [1, §Þnh lý 6.1.2, §Þnh lý 6.1.4] M R-m«®un. Khi §Þnh lý 1.4.2. (i) Cho lµ i HI (M ) = 0, víi mäi i > dim M. ®ã, (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng vµ M R-m«®un h÷u h¹n sinh, kh¸c (ii) Gi¶ sö lµ d dim M = d. Khi ®ã Hm (M ) = 0. kh«ng vµ chiÒu Krull TiÕp theo lµ tÝnh Artin cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. [1, §Þnh lý 7.1.3, §Þnh lý 7.1.6] (R, m) §Þnh lý 1.4.3. (i) Cho lµ vµnh ®Þa i M R-m«®un R-m«®un Hm (M ) ph¬ng, lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã, lµ Artin i ∈ N0 . víi mäi (R, m) I R, M (ii) Cho lµ vµnh ®Þa ph¬ng, lµ mét i®ªan bÊt k× cña lµ R-m«®un dim M = d. h÷u h¹n sinh, kh¸c kh«ng cã chiÒu Krull Khi ®ã, d R-m«®un HI (M ) lµ Artin. C¸c §Þnh lý ®æi c¬ së ph¼ng vµ Nguyªn lý ®Þa ph¬ng ho¸ n©ng yÕu còng thêng ®îc dïng trong luËn v¨n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
14 [1, §Þnh lý 4.3.2] f : R −→ R §Þnh lý 1.4.4. Gi¶ sö lµ ®ång cÊu ph¼ng gi÷a c¸c vµnh. Khi ®ã HI (M ) ⊗R R ∼ HI (M ⊗R R ). i =i [1, §Þnh lý 11.3.8] p ∈ Spec R, (R, m) §Þnh lý 1.4.5. lµ vµnh ®Þa ph¬ng, i, q ∈ Spec R, q ⊆ p dim R/p = t. NÕu víi mçi sè nguyªn mµ ta cã qRp ∈ AttRp (HpRp (Mp )) th× q ∈ AttR (Hm t (M )). i i+ KÕt qu¶ sau ®©y cña Cêng-Nhµn cho ta mét cËn trªn cña chiÒu Noether cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. [5, §Þnh lý 3.1, §Þnh lý 3.5] (i) Cho t lµ mét sè nguyªn d¬ng MÖnh ®Ò 1.4.6. I R. vµ lµ mét i®ªan cña Gi¶ sö r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng i HI (M ) lµ Artin, víi mäi i = 1, . . . , t. Khi ®ã ta cã i N-dimR (HI (M )) i, i = 0, 1, . . . , t. víi mäi M dim M = d vµ I R sao (ii) Cho lµ m«®un h÷u h¹n sinh víi lµ i®ªan cña d HI (M ) lµ kh¸c 0. Khi ®ã cho m«®un Artin d N-dimR (HI (M )) = d d HI (M ) kh«ng lµ h÷u h¹n sinh nÕu d > 0. vµ do ®ã, (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, M MÖnh ®Ò 1.4.7. Cho h÷u h¹n sinh víi chiÒu dim M = d. Khi ®ã d AttR (Hm (M )) = {p ∈ AssR M | dim R/p = d}. 1.5 TÝnh catenary phæ dông, tÝnh kh«ng trén lÉn vµ thí h×nh thøc Nh¾c l¹i r»ng vµnh ®îc gäi lµ nÕu dim R/q = dim R, víi R ®¼ng chiÒu mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu vµ m«®un ®îc gäi q ∈ min(Ass R) M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
15 lµ nÕu víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu dim R/p = dim M ®¼ng chiÒu p ∈ min(Ass M ). TiÕt nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña líp vµnh vµ m«®un catenary phæ dông vµ kh«ng trén lÉn. Tríc hÕt ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm sau (xem [10] vµ [12]). Cho lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña R. Mét d·y c¸c p⊂q §Þnh nghÜa 1.5.1. i®ªan nguyªn tè p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi = pi+1 , víi mäi i, ®îc gäi lµ gi÷a vµ nÕu víi mäi i, kh«ng tån t¹i p q d·y nguyªn tè b·o hoµ mét i®ªan nguyªn tè nµo chen gi÷a pi vµ pi+1 . (i) Vµnh lµ nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè R §Þnh nghÜa 1.5.2. catenary p, q cña R sao cho p ⊂ q, mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè b¾t ®Çu tõ p vµ kÕt thóc t¹i q ®Òu cã cïng ®é dµi. (ii) Ta nãi r»ng lµ nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè Supp M catenary sao cho th× mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè p, q ∈ Supp M p ⊂ q, b¾t ®Çu tõ p vµ kÕt thóc t¹i q ®Òu cã cïng ®é dµi. Chó ý r»ng nÕu vµnh lµ ®¼ng chiÒu th× lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu R R dim R/p + ht p = dim R, víi mäi i®ªan nguyªn tè cña vµ râ rµng R, p r»ng lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu lµ catenary. Do ®ã, Supp M R/ AnnR M trong trêng hîp lµ ®¼ng chiÒu th× lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu M Supp M dim R/p + dim Mp = dim M , víi mäi p ∈ Supp M. Vµnh R ®îc gäi lµ catenary phæ dông nÕu mäi R-®¹i sè §Þnh nghÜa 1.5.3. h÷u h¹n sinh ®Òu lµ catenary. Chó ý r»ng nÕu lµ R-®¹i sè h÷u h¹n sinh, tøc lµ tån t¹i a1 , . . . , at ∈ S S sao cho th× cã toµn cÊu vµnh ϕ : R[x1 , . . . , xt ] −→ S S = R[a1 , . . . , at ] tõ vµnh ®a thøc biÕn ®Õn sao cho víi mäi t R[x1 , . . . , xt ] S ϕ(xi ) = ai , i = 1, . . . , t . V× thÕ, ®¼ng cÊu víi vµnh th¬ng cña vµnh ®a thøc. V× vµnh S th¬ng cña vµnh catenary lµ vµnh catenary nªn suy ra vµnh R lµ catenary phæ dông nÕu vµ chØ nÕu mäi vµnh ®a thøc víi hÖ sè trªn R ®Òu lµ catenary. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
16 (Xem [12]) Vµnh R ®îc gäi lµ kh«ng trén lÉn (unmixed) §Þnh nghÜa 1.5.4. nÕu víi mäi i®ªan nguyªn tè vµ vµnh p ∈ Ass R dim(R/p) = dim R R ®îc gäi lµ (quasi-unmixed) nÕu lµ ®¼ng chiÒu, tøc lµ R tùa kh«ng trén lÉn dim R/p = dim R víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu p ∈ Ass R. Sau ®©y lµ mét sè kÕt qu¶ vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh catenary phæ dông vµ tùa kh«ng trén lÉn. [10, §Þnh lý 31.6] (R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph¬ng tùa Bæ ®Ò 1.5.5. Cho kh«ng trén lÉn. Khi ®ã p ∈ Spec R. Rp (i) lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi I R. R/I R/I (ii) Cho lµ i®ªan cña Khi ®ã lµ ®¼ng chiÒu khi vµ chØ khi lµ tùa kh«ng trén lÉn. R lµ vµnh catenary phæ dông. (iii) [10, §Þnh lý 31.7] Bæ ®Ò 1.5.6. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng R/p lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi p ∈ Spec R, nghÜa lµ (i) Vµnh p ∈ min Ass R/pR. dim R/p = dim R/p, víi mäi R lµ catenary phæ dông. (ii) Vµnh R[x] lµ catenary. (iii) Vµnh §Ó ®i ®Õn kh¸i niÖm vµnh thí vµ thí h×nh thøc cña vµnh, tríc hÕt ta cÇn nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un ph¼ng nh sau. Mét R-m«®un N ®îc gäi lµ nÕu víi mçi d·y khíp 0 −→ L −→ ph¼ng L −→ L −→ 0 c¸c R-m«®un, d·y c¶m sinh 0 −→ L ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L ⊗ N −→ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
17 lµ khíp. Mét R-m«®un N ®îc gäi lµ nÕu d·y 0 −→ ph¼ng hoµn toµn L −→ L −→ L −→ 0 c¸c R-m«®un khíp khi vµ chØ khi d·y c¶m sinh 0 −→ L ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L ⊗ N −→ 0 lµ khíp. Cho lµ mét ®ång cÊu vµnh vµ lµ S -m«®un. Khi ®ã cã ϕ : R −→ S L L cÊu tróc lµ R-m«®un víi tÝch v« híng ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: víi r∈R vµ y ∈ L, ry = ϕ(r)y. §ång cÊu vµnh ®îc gäi lµ ϕ : R −→ S ®ång cÊu nÕu vµnh (xÐt nh R-m«®un) lµ R-m«®un ph¼ng S ph¼ng (ph¼ng hoµn toµn) (ph¼ng hoµn toµn). Chó ý r»ng nÕu (R, m) vµ (S, n) lµ c¸c vµnh ®Þa ph¬ng vµ ϕ : R −→ S lµ c¸c ®ång cÊu ®Þa ph¬ng (tøc lµ th× lµ ®ång cÊu ph¼ng nÕu ϕ(m) ⊆ n) ϕ vµ chØ nÕu nã ph¼ng hoµn toµn. Cho lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh Noether ®Þa ϕ : R −→ S §Þnh nghÜa 1.5.7. ph¬ng. Víi mçi p ∈ Spec R, ta gäi vµnh S ⊗R R/p lµ vµnh thí cña ϕ øng p. Gi¶ sö f : R −→ R lµ ®ång cÊu chÝnh t¾c. Khi ®ã víi mçi p ∈ Spec R, víi tån t¹i sao cho p ∩ R = p. §ång cÊu c¶m sinh ra ®ång cÊu p ∈ Spec R f ph¼ng Khi ®ã vµnh thí cña øng víi ψ : Rp −→ Rp . Rp ⊗Rp (Rp /pRp ) ψ p ®îc gäi lµ cña R trªn p. thí h×nh thøc [10, §Þnh lý 15.1] ϕ : R −→ S MÖnh ®Ò 1.5.8. lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh P ∈ Spec S . §Æt p = ϕ−1 (P ) := P ∩ R. Khi ®ã Noether vµ ht p + dim SP ⊗Rp (Rp /pRp ) . ht P (i) ϕ lµ ®ång cÊu ph¼ng th× bÊt ®¼ng thøc trªn trë thµnh ®¼ng thøc. (ii) NÕu Chó ý r»ng víi mçi i®ªan cña R th× ®Çy ®ñ cña vµnh R/I lµ R/I R. V× I thÕ nÕu sao cho th× thí h×nh thøc cña trªn còng p ∈ Spec R p⊇I R/I p chÝnh lµ thí h×nh thøc cña R trªn p, víi p lµ ¶nh cña p trong R/I . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
18 Ch¬ng 2 TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh ®Þa ph¬ng vµ c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta lu«n gi¶ thiÕt lµ vµnh Noether ®Þa (R, m) ph¬ng víi i®ªan tèi ®¹i duy nhÊt lµ m, A lµ R-m«®un Artin, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi chiÒu Krull Ch¬ng nµy nghiªn cøu ®a ra dimR M = d. i mét ®Æc trng cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng tho¶ m·n tÝnh Hm (M ) chÊt vµ trong trêng hîp nµy, nh mét hÖ qu¶ ta cã thÓ më réng ®îc (∗) c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [2]. H¬n n÷a, c¸c kÕt qu¶ thu ®îc khi nghiªn cøu tÝnh chÊt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa (∗) i phu¬ng cßn cho phÐp ta thu ®îc nh÷ng tÝnh chÊt ®Ñp nh lµ tÝnh Hm (M ) catenary phæ dông cña vµnh vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh R/ AnnR M R/p, víi p ∈ SuppR M . 2.1 TÝnh chÊt linh ho¸ tö TÝnh chÊt linh ho¸ tö (thêng ®îc gäi lµ tÝnh chÊt (∗)) ®îc giíi thiÖu bëi N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn [5]. Nh¾c l¹i r»ng ®èi víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh ta xÐt mét tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Gi¶ sö p lµ i®ªan nguyªn tè cña chøa M R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
19 AnnR M . Khi ®ã vµ do ®ã Mp = 0. Theo Bæ ®Ò Nakayama p ∈ SuppR M ta suy ra (M/pM )p = Mp /pMp = 0. Do ®ã p ∈ Supp(M/pM ), nghÜa lµ p ⊇ AnnR (M/pM ). V× vËy ta lu«n cã tÝnh chÊt AnnR (M/pM ) = p, víi mäi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR M . Mét c©u hái tù nhiªn ®îc ®Æt ra lµ liÖu cã mét tÝnh chÊt t¬ng tù nh vËy cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. C©u tr¶ lêi cho c©u hái nµy nh×n chung lµ phñ ®Þnh (xem [5, VÝ dô 4.3]), vµ ë ®ã, hä ®· giíi thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cña c©u hái trªn nh sau. [5, §Þnh nghÜa 4.2] Ký hiÖu V (AnnR A) lµ tËp c¸c i®ªan §Þnh nghÜa 2.1.1. nguyªn tè cña R chøa AnnR A. Ta nãi r»ng A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) nÕu AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A). (∗) Râ rµng r»ng, khi vµnh R lµ ®Çy ®ñ th× theo ®èi ngÉu Matlis, mäi R-m«®un Artin A ®Òu tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Líp m«®un Artin tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) cã nhiÒu tÝnh chÊt "tèt", ®Æc biÖt liªn quan chÆt chÏ ®Õn chiÒu Noether cña mét m«®un Artin. Nh¾c l¹i r»ng chiÒu Krull cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi dimR A, lµ chiÒu Krull cña vµnh R/ AnnR A. Theo I. G. Macdonald [8], mäi m«®un Artin ®Òu cã biÓu diÔn thø cÊp vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu chøa AnnR A còng chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña nªn chÝnh lµ cËn trªn AttR A dimR A cña c¸c sè dim R/p khi p ch¹y kh¾p tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt dimR A = max{dim R/p | p ∈ AttR A}. Theo Bæ ®Ò 1.3.3, (ii), ta cã dim A. MÖnh ®Ò sau ®©y chØ ra r»ng N-dim A tÝnh chÊt (∗) lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn