Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ định nghĩa của môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu một số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin như tính artin, tính noether. Phần tiếp theo của luận văn sẽ tìm hiểu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương từ tính chất của môđun đồng điều địa phương thông qua đối ngẫu Matlis. Bên cạnh đó, luận văn còn mô tả chiều rộng WidthI(M), độ sâu depthI (M) của môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS. Trần Tuấn Nam, người đã hết lòng giúp đỡ và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN- SĐH của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp Đại số và lý thuyết số khóa 22. Thành phố Hồ Chí Mịnh, ngày 17 tháng 09 năm 2013 Học viên Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh 1
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG CÁC KÍ HIỆU ................................................................................................. 3 LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5 CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................... 7 1.1. Môđun noether và môđun artin .....................................................................................7 1.2. Hàm tử Tor ....................................................................................................................7 1.3. Hàm tử xoắn ..................................................................................................................8 1.4. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng ..................................................................9 1.5. Đối ngẫu Matlis.............................................................................................................9 1.6. Giới hạn ngược và đầy đủ ...........................................................................................10 1.7. Môđun đầy đủ I- adic ..................................................................................................12 1.8. Độ dài của môđun .......................................................................................................13 1.9. Iđêan nguyên tố đối liên kết ........................................................................................14 1.10. Giá của môđun ..........................................................................................................14 CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN16 2.1. Môđun đồng điều địa phương suy rộng ......................................................................16 2.2. Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin .......................................17 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 36 2
BẢNG CÁC KÍ HIỆU R vành giao hoán có đơn vị Rˆ vành đầy đủ của R Tori R ( A, B ) tích xoắn i chiều trên R của các môđun A và B Hi ( X ) môđun đồng điều thứ i của phức X Hi (X ) môđun đối đồng điều thứ i của phức X lim M t giới hạn ngược của {M t , f rt } ← t  lim M t giới hạn thuận của {M t , f rt }  t → Hom ( A, B ) tập hợp các đồng cấu từ môđun A đến môđun B Ext Ri ( A, B ) tích mở rộng i chiều trên R của các môđun A và B ΓI ( M ) hàm tử I - xoắn H Ii ( M , N ) môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của M , N đối với I AssR ( M ) tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M depthI ( M ) độ sâu của môđun M trong iđêan I widthI ( M ) chiều rộng của môđun M trong iđêan I R (M ) độ dài của môđun M D(M ) đối ngẫu Matlis của môđun M E ( R / m) bao nội xạ của R / m ΛI ( M ) đầy đủ I - adic của môđun M N dim ( M ) chiều noether của môđun M 3
Coass ( M ) tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M Supp ( M ) giá của môđun M CosR ( M ) đối giá của môđun M V (I ) {P ∈ SpecR P ⊇ I } H iI ( M , N ) môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i của M , N đối với I GrJ ( R ) vành phân bậc liên kết của R đối với J pd ( M ) chiều xạ ảnh của môđun M AnnR ( M ) { x ∈ R xM = 0} 0 :K x {a ∈ K ax = 0} 4
LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta biết rằng lý thuyết đồng điều địa phương là đối ngẫu của lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck. Lý thuyết về đồng điều địa phương suy rộng đã được nghiên cứu và phát triển ngày càng mạnh bởi J. P. C. Greenless, J. P. May, L. Alonso Tarrio, A. Jeremias Lopez, J. Lipman, J. Herzog, N. T. Cuong, T. T. Nam… Cho R là một vành noether giao hoán với phần tử đơn vị khác không. Lấy I là một iđêan của R, M, N là các R-môđun, khi đó môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i H iI ( M , N ) của M, N đối với I được định nghĩa: H iI ( M , N ) = lim Tori R (M/ I t M , N ) ← t  Định nghĩa này mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng và là mở rộng của đồng điều địa phương thông thường. Nhiều kết quả quan trọng về môđun đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra, bên cạnh đó các nhà toán học vẫn đang nghiên cứu tìm ra những kết quả mới về môđun đồng điều địa phương suy rộng. Từ định nghĩa của môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu một số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin như tính artin, tính noether. Phần tiếp theo của luận văn sẽ tìm hiểu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương từ tính chất của môđun đồng điều địa phương thông qua đối ngẫu Matlis. Bên cạnh đó, luận văn còn mô tả chiều rộng WidthI ( M ) , độ sâu depthI ( M ) của môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng. Nội dung luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là cung cấp và trình bày lại các khái niệm, một số mệnh đề cũng như tính chất cơ bản nhằm mục đích sử dụng trong các chứng minh ở chương 2. Vì lý do đó nên trong chương 1 các tính chất, mệnh đề chỉ được thừa nhận mà không chứng minh. Chương 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin 5
Mục đích của chương này là nghiên cứu một vài tính chất của môđun đồng điều địa suy rộng cho môđun artin: tính artin, tính noether và dựa vào đồng điều địa phương suy phương để mô tả chiều rộng của môđun M. Bên cạnh đó chúng tôi sẽ dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu một vài tính chất của đối đồng điều địa phương suy rộng. Vì những mục đích đó nên chương 2 sẽ được chia ra làm 2 phần: Phần một: Trình bày định nghĩa của môđun đồng điều địa phương suy rộng. Phần hai: Trình bày một số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin, và dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu một vài tính chất của đối đồng điều địa phương suy rộng. Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, phê bình, bổ sung của quý thầy cô, các bạn để luận văn được hoàn chỉnh thêm. Sau đây là nội dung của luận văn. 6
CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Môđun noether và môđun artin Mệnh đề 1.1.1. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R- môđun 0→ N →M →P→0 Khi đó M là môđun noether (artin) khi và chỉ khi N và P đều là các môđun noether (artin). Mệnh đề 1.1.2. Mỗi R- môđun hữu hạn sinh trên vành noether là R- môđun noether. Mệnh đề 1.1.3. Cho M là một môđun trên vành giao hoán R. i) Nếu M là môđun noether thì mọi môđun con và môđun thương của M cũng là môđun noether. ii) Nếu M là môđun artin thì mọi môđun con và môđun thương của M cũng là môđun artin. 1.2. Hàm tử Tor Mệnh đề 1.2.1. Cho M, N là các R- môđun. Khi đó Tor0R ( M , N ) ≅ M ⊗ R N . Định lí 1.2.2. i) Cho dãy khớp các R-môđun 0 → M → N → L → 0 và G là một R-môđun khi đó ta có dãy khớp dài sau: ... → Tori +1 (G, N ) → Tori +1 (G, L)  E* → Tori (G, M ) → Tori (G , N ) → .... ... → Tor1 (G, L)  E* →G ⊗ M → G ⊗ N → G ⊗ L → 0 ii) Cho dãy khớp các R-môđun 0 → M → N → L → 0 và A là một R-môđun khi đó ta có dãy khớp dài sau: 7
... → Tori +1 ( N , A) → Tori +1 ( L, A)  E* → Tori ( M , A) → Tori ( N , A) → .... ... → Tor1 ( L, A)  E* →M ⊗ A → N ⊗ A → L⊗ A → 0 1.3. Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.3.1. Cho R là một vành giao hoán, M là một R- môđun, I là iđêan của R, tập  (0 :M I n ) , là tập tất cả các phần tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của Γ I (M ) = n∈ I. Rõ ràng, Γ I ( M ) là một môđun con của M. Với mỗi R- đồng cấu môđun f : M  → N , ta có f (Γ I ( M )) ⊆ Γ I ( N ) . Như vậy, f sẽ cảm sinh một đồng cấu thu hẹp của nó trên Γ I ( M ) , định bởi: Γ I ( f ) : Γ I ( M )  →Γ I ( N ) m  f ( m) → L là các R- đồng cấu môđun, khi đó ta có: → N và h : N  Nếu g : M  ΓI ( h  g ) = ΓI ( h)  ΓI ( g ) ΓI ( h + g ) = ΓI ( h) + ΓI ( g ) Γ I ( rh ) = r Γ I ( h ) ∀r ∈ R Γ I ( Id M ) = Id Γ I ( M ) Từ các nhận xét trên, ta thấy Γ I trở thành hàm tử hiệp biến và cộng tính, R- tuyến tính và cộng tính từ phạm trù các R- môđun vào chính nó. Γ I còn được gọi là hàm tử I - xoắn. 0 thì ta nói M là I - không xoắn, nếu Γ I ( M ) = Nếu Γ I ( M ) = M thì ta nói M là I - xoắn. Từ đó, với mọi R- môđun M , thì môđun Γ I ( M ) là I - xoắn và M Γ I ( M ) là I - không xoắn. Mệnh đề 1.3.2. Cho M là một R- môđun I- xoắn. Khi đó tồn tại một phép giải nội xạ của M sao cho mỗi thành viên đều là các R- môđun I- xoắn. 8
Mệnh đề 1.3.3. Cho R = ⊕ Ri là một vành giao hoán noether phân bậc, M và N là các R-môđun phân i ≥0 bậc hữu hạn sinh, I là một iđêan phân bậc của R và J N là một phép giải nội xạ rút gọn của R-môđun N. Khi đó ( ( )) ( ( )) H Ii ( M , N ) ≅ H i Γ I HomR ( M , J N ) ≅ H i HomR M , Γ I ( J N ) . Mệnh đề 1.3.4. Một R-môđun hữu hạn sinh M là I-xoắn khi và chỉ khi tồn tại n ∈  sao cho I n M = 0 . 1.4. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Định nghĩa 1.4.1. Cho R là một vành noether giao hoán, có đơn vị 1 ≠ 0 , I là một iđêan của vành R, M và N là các R- môđun. Khi đó, với mỗi số tự nhiên i , ta có H Ii ( M , N ) := lim Ext Ri ( M / I n M , N ) gọi là môđun  n∈ → đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của M và N đối với I . Ta có H Ii ( N ) = H Ii ( R, N ) với N là R- môđun. Nhận xét 1.4.2. Hàm tử H Ii ( M , • ) là hàm tử hiệp biến, R- tuyến tính từ phạm trù các R- môđun vào chính nó. Hàm tử H Ii ( •, N ) là hàm tử phản biến, R- tuyến tính từ phạm trù các R- môđun vào chính nó. 1.5. Đối ngẫu Matlis Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành noether giao hoán có đơn vị, M là môđun con của R- môđun L. i) Ta nói L là mở rộng cốt yếu của M nếu B ∩ M ≠ 0 với mọi môđun con B ≠ 0 của L. ii) Ta nói L là bao nội xạ của M nếu L vừa là R- môđun nội xạ vừa là mở rộng cốt yếu của M. 9
Định nghĩa 1.5.2. Cho M là R- môđun. Đối ngẫu Matlis của M là môđun D( M ) = HomR ( M , E ( R / m)) trong đó E ( R / m) là bao nội xạ của R / m với ( R, m ) là vành địa phương. Mệnh đề 1.5.3. Nếu M là R- môđun artin thì DD ( M ) = M . Mệnh đề 1.5.4. Cho M, N là các R- môđun. Khi đó: i) D (Tori R ( M , N ) ) ≅ Ext Ri ( M , D ( N ) ) . ii) Tori R ( M , D ( N ) ) ≅ D ( Ext Ri ( M , N ) ) với M hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.5.5. Cho một vành địa phương noether ( R, m ) . Đối ngẫu D ( M ) của môđun M noether là artin và ngược lại. Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành địa phương đầy đủ. Khi đó M là artin nếu D( M ) là noether và M là noether nếu D ( M ) là artin. Mệnh đề 1.5.7. Đối với bất kì R - môđun M , AnnR ( M ) = AnnR ( D ( M ) ) . Mệnh đề 1.5.8. Đối với bất kì R- môđun M, WidthI ( D( M ) ) = DepthI ( M ) . 1.6. Giới hạn ngược và đầy đủ Định nghĩa 1.6.1. 10
Một họ {M t , f rt } gồm các R- môđun M t với t ∈ V ( V là tập định hướng) và các đồng cấu f rt : M r → M t với mọi t ≤ r được gọi là hệ ngược trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau: ftt = id M t và f st f rs = f rt với t ≤ s ≤ r . Khi các đồng cấu f rt đã được hiểu ngầm, ta có thể ký hiệu gọn hệ ngược trên là {M t } . Cho hai hệ ngược các R- môđun {M t , f rt } và {M 't , f 'rt } ( trên cùng một tập định hướng V). Đồng cấu của các hệ ngược ϕ : {M t , f rt } → {M 't , f 'rt } là một họ gồm các đồng cấu {ϕt : M t → M 't } thỏa mãn f 'rt ϕr = ϕt f rt với t ≤ r . Giới hạn ngược của hệ ngược {M t , f rt } được định nghĩa như sau: Tập con của tích trực tiếp ∏M t t gồm tất cả các phần tử ( xt ) thỏa mãn f rt ( xr ) = xt với mọi r , t ∈ V , t ≤ r lập thành một R- môđun. Ta gọi môđun này là giới hạn ngược của {M t , f rt } và ký hiệu là lim M t . Phép ← t  lấy giới hạn ngược nói chung không phải là hàm tử khớp, nó chỉ là hàm tử khớp trái. Một hệ ngược {M t , f rt } của các R- môđun được gọi là thỏa mãn tiêu chuẩn Mittag- Leffler (ML) nếu với mỗi t, tồn tại t0 ≥ t sao cho nếu r , r ' ≥ t0 thì f rt ( M r ) = f r 't ( M r ' ) . Chúng ta có tiêu chuẩn sao đây về tính khớp của giới hạn ngược: Định lí 1.6.2. Cho 0 → {M t } → { N t } → { Pt } → 0 là dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R- môđun. Khi đó: i) Nếu { N t } thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì { Pt } cũng thỏa ML. ii) Nếu {M t } thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì dãy sau đây khớp 0 → lim M t → lim N t → lim Pt → 0 . ← t  ← t  ← t  Mệnh đề 1.6.3. Cho R- môđun N bất kỳ. Khi đó Hom  lim M t , N  ≅ lim( Hom ( M t , N )) . →  ← t   t 11
Mệnh đề 1.6.4. Bất kì hai giới hạn ngược thì giao hoán nhau. Mệnh đề 1.6.5. Cho 0 → {M 't } → {M t } → {M ''t } → 0 là một dãy khớp của hệ ngược các R- môđun. Nếu mỗi M 't đều là artin, thì 0 → lim M 't → lim M t → lim M ''t → 0 cũng là dãy khớp. ← t  ← t  ← t  Định nghĩa 1.6.6. Cho ( R, m ) là vành địa phương. Đầy đủ của R theo tôpô m - adic được cho bởi Rˆ ≅ lim ( R / mt ) . ← t  Chú ý 1.6.7. Giả sử cho ( R, m ) là một vành địa phương và M là một R -môđun artin. Lấy a ∈ M , khi đó tồn tại t ∈  sao cho mt a = 0 . Ta đặt rˆ =+ ( r 'n + mn ) (rn m n ) n∈ = n∈ ∈ lim R / m n = ← t  Rˆ , sao cho rn − r 'n ∈ m n với mọi n ∈  và rn + h − rn ∈ m n với mọi n, h ∈  . Khi ấy rt + h= a rt= a r 't = a r 't + h a với mọi h ∈  . Kiểm tra trực tiếp ta có M có cấu trúc Rˆ -môđun với ra ˆ = rt a . Cũng chú ý rẳng, nếu ta xem Rˆ -môđun này như là R-môđun theo đồng cấu vành R → Rˆ thì ta thu được cấu trúc R-môđun trên M; và mọi tập con của M là R-môđun con khi và chỉ khi nó là Rˆ -môđun con. 1.7. Môđun đầy đủ I- adic Định nghĩa 1.7. Cho I là một iđêan của R. Họ các toàn cấu chính tắc M / I t +1M → M / I t M , t ∈  cảm sinh ra một hệ ngược các R- môđun {M / I t M } . Đầy đủ I - adic của M là môđun Λ I (M ) = lim M / I t M . ← t  12
Khi đó các hàm tử đầy đủ I - adic Λ I là hiệp biến, cộng tính trên phạm trù các R- môđun. Để ý rằng M / It M ≅ R / I t ⊗ M . Vì hàm tử tenxơ ⊗ không khớp trái và hàm tử giới hạn ngược lim không khớp phải, nên ← t  hàm tử làm đầy đủ I - adic không khớp trái cũng không khớp phải. Gọi LIi là hàm tử dẫn xuất trái thứ i của Λ I , khi đó LIi cũng là hàm tử hiệp biến, cộng tính. Đặc biệt LIi là hàm tử khớp phải, nhưng nói chung LIi ≠ Λ I , vì hàm tử Λ I không khớp phải. 1.8. Độ dài của môđun Định nghĩa 1.8.1. Một dãy hợp thành của một R- môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = {0} sao cho M i −1 / M i là một môđun đơn, i = 1,..., n . Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành này. Môđun M có một dãy hợp thành được gọi là một môđun có dãy hợp thành. Định nghĩa 1.8.2. Nếu R- môđun M có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của M có cùng một độ dài. Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là  R ( M ) . Nếu R- môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài  R ( M ) = ∞ và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn. Mệnh đề 1.8.3. Một R- môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là hữu hạn sinh vừa là artin. Mệnh đề 1.8.4. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Giả sử có một dãy khớp ngắn các R- môđun 0→ N →M →P→0 Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P có độ dài hữu hạn, và ta luôn có 13
(M ) R ( N ) + R ( P)  R= 1.9. Iđêan nguyên tố đối liên kết Định nghĩa 1.9.1. R- môđun L gọi là đối cyclic nếu L là môđun con của E ( R / m ) với m ∈ Max ( R ) . Nói cách khác, L ⊆ Dm ( R ) với m ∈ Max ( R ) . Định nghĩa 1.9.2. Cho M là R- môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố đối liên kết của M nếu tồn tại một ảnh đồng cấu đối cyclic L của M sao cho p = Ann( L) . Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết của M kí hiệu là Coass ( M ) . Định lí 1.9.3. Nếu M là R- môđun hữu hạn và N là R- môđun bất kì thì Coass ( M ⊗ = N ) Supp ( M ) ∩ Coass ( N ) . Mệnh đề 1.9.4. Đối với mọi R- môđun M và i ≥ 0 ta có CosR ( H iI ( M ) ) ⊆ V ( I ) . Định lí 1.9.5. Cho M là R- môđun compắc tuyến tính. Khi đó: i) Coass ( M ) ⊆ Cos ( M ) ii) Mọi phần tử của Cos ( M ) đều thuộc Coass ( M ) . 1.10. Giá của môđun Định nghĩa 1.10.1. Cho M là một R- môđun, P là một iđêan nguyên tố của R. Giá của môđun M là tập {P ∈ Spec ( R ) M P ≠ 0} với M P = ( R \ P ) M là địa phương hóa của M tại P . Supp ( M ) = −1 {P ∈ Spec ( R ) | I ⊂ P} và AnnR (M) = Đặt V ( I ) = { x ∈ R xM = 0} . Nhận xét 1.10.2. 14
Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp ( M ) = V ( Ann ( M ) ) . Nếu R là vành noether và I là một iđêan của R thì Supp ( R / I ) = V ( I ) . Chú ý 1.10.3. Cho M là một môđun trên vành giao hoán R, I là một iđêan của R sao cho I ⊆ Ann ( M ) . Khi đó, M có cấu trúc như một môđun trên vành R / I . Thật vậy, lấy r , r ' ∈ R sao cho r + I = r '+ I và m ∈ M thì r − r ' ∈ I ⊆ Ann ( M ) . Do đó ( r − r ') m = 0 hay rm = r ' m . Vì thế ta có thể định nghĩa ánh xạ R / I ×M → M ( r + I , m )  rm và có thể kiểm tra M là R / I -môđun. Chú ý rằng cấu trúc R-môđun và R / I -môđun trên M được thay đổi theo cách sau: ( r + I ) m = rm với mọi r ∈ R và với mọi m ∈ M . 15
CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Trong toàn bộ chương này, R là vành noether giao hoán, có đơn vị khác không. 2.1. Môđun đồng điều địa phương suy rộng Định nghĩa 2.1.1. Cho I là một iđêan của vành R và M, N là các R-môđun. Môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i H iI ( M , N ) của M, N đối với I được định nghĩa: H iI ( M , N ) = lim Tori R ( M / I t M , N ) ← t  Chú ý 2.1.2. i) Chú ý rằng môđun đồng điều địa phương của N đối với I có thể được định nghĩa H iI ( N ) = lim Tori R ( R / I t , N ) . ← t  Trong trường hợp đặc biệt M=R, H iI ( R, N ) = H iI ( N ) với mọi I và R-môđun N bất kì. Thật vậy, khi M = R , ta có Tori R ( R / I t R, N ) lim H iI ( R, N ) = lim= = Tori R ( R / I t , N ) H iI ( N ) ← t  ← t  lim G / I t G là đầy đủ I-adic của R-môđun G, ta có ii) Cho Λ I (G ) = ← t  H 0I ( M , N ) ≅ Λ I ( M ⊗ R N ) . Chứng minh Với R là vành giao hoán, I là iđêan của R, M, N là các R- môđun thì M / I t M ≅ M ⊗ R / It và ( M ⊗R N ) / I ( M ⊗R N ) ≅ ( M / IM ) ⊗R / I ( N / IN ) . Do đó H 0I ( M , N ) ≅ lim M ⊗ N ⊗ R / I t ← t  ≅ lim M ⊗ R / I t ⊗ N ⊗ R / I t ← t  ≅ lim ( M / I t M ) ⊗ ( N / I t N ) ← t  ≅ lim ( M ⊗ N ) / I t ( M ⊗ N ) ≅ Λ I ( M ⊗ N ) . ← t  16
iii) Vì Tori R ( M / I t M , N ) có cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành R / I t với mọi t >0 nên H iI ( M , N ) = lim Tori R ( M / I t M , N ) có cấu trúc tự nhiên như một môđun trên ← t  vành Λ I ( R) = lim R / I t . ← t  iv) Tổng quát H iI ( M , N ) ≠ H iI ( N , M ) . Trong trường hợp i = 0 thì H 0I ( M , N ) = lim Tor0R ( M / I t M , N ) ← t  ≅ M ⊗ R / I t ⊗ N ≅ lim Tor0R ( N / I t N , M ) = H 0I ( N , M ) . ← t  2.2. Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin Mệnh đề 2.2.1. Cho M, N là các R-môđun. Khi đó: i) Môđun đồng điều địa phương suy rộng H iI ( M , N ) là I-tách với i ≥ 0 , nghĩa là ∩ I s H iI ( M , N ) = 0 . s >0 ii) Cho (R, m) là vành địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó với mọi i ≥ 0 , H iI ( M , D( N )) ≅ D( H Ii ( M , N )) . Chứng minh Với bất kì hệ ngược {M t } : I lim M t ⊆ lim IM t , và hai giới hạn ngược bất kỳ có tính chất ← t  ← t  giao hoán. Do đó, ∩ I s H iI ( M , N ) ≅ lim I s lim Tori R ( M / I t M , N ) s >0 ← s  ← t  ⊆ lim lim I sTori R ( M / I t M , N ) ← s  ← t  ≅ lim lim I sTori R ( M / I t M , N ) = 0, ← t  ← s  với I sTori R ( M / I t M , N ) = 0 với mọi s ≥ t . i) Từ 1.5.4 và 1.6.3 ta có Tori R ( M / I t M , D( N )) ≅ D( Ext Ri ( M / I t M , N )) và   Hom  lim M t , N  ≅ lim Hom ( M t , N ) nên  t →  ←t 17
H iI ( M , D( N )) ≅ lim Tori R ( M / I t M , D( N )) ← t  ≅ lim D( Ext Ri ( M / I t M , N )) ← t  ≅ lim Hom ( Ext Ri ( M / I t M , N ), E ( R / m ) ) ← t    ≅ Hom  lim Ext Ri ( M / I t M , N ), E ( R / m )   t →  ≅ D(lim Ext R ( M / I M , N )) = i t i D( H I ( M , N )),  t → Mệnh đề 2.2.2. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và 0 → N ' → N → N '' → 0 là một dãy khớp ngắn các môđun artin. Khi đó ta có một dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương suy rộng ... → H iI ( M , N ') → H iI ( M , N ) → H iI ( M , N '') → ... → H 0I ( M , N ') → H 0I ( M , N ) → H 0I ( M , N '') → 0 Bổ đề 2.2.3. Cho M là R- môđun hữu hạn sinh, N là R- môđun artin. Khi đó M ⊗ R N là R- môđun artin. Chứng minh Vì M là R- môđun hữu hạn sinh, ta giả sử M = x1 , x2 ,..., xk . f : Nk → M ⊗ N Ánh xạ k là một toàn cấu. ( n1 , n2 ,..., nk )  ∑ xi ⊗ ni i =1 Thât vậy, với bất kì hai phần tử ( n1 , n2 ,..., nk ) , ( n '1 , n '2 ,..., n 'k ) và với mọi a, b ∈ R , ta có f(a(n1 ,..,n k ) + b(n1′ ,..,n ′k )) = f(an1 + bn1′ ,...,an k + bn ′k ) k k k =i 1 = ∑x i ⊗ (an i + bn ′i )= i i =i 1 =i 1 ∑x ⊗ an + ∑ x i ⊗ bn ′i k k = a ∑ x i ⊗ n i + b∑ x i ⊗= n ′i af(n1 ,...,n k ) + bf(n1′ ,...,n ′k ) =i 1 =i 1 Do đó f là một R- đồng cấu. 18