Luận văn: Tính điều khiển của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

193
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học giải quyết những vấn đề định tính và giải số các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ, kỹ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa tham số ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Tính điều khiển của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

§¹i häc th¸i nguyªn TRƯỜNG ®¹i häc SƯ ph¹m Vi diÖu minh TÝnh ®iÒu khiÓn Đ ƯỢC hÖ PHƯƠNG tr×nh vi ph©n ®¹i sè tuyÕn tÝnh Chuyªn ngµnh : Gi¶i tÝch M· sè : 60.46.01 LuËn v¨n Th¹c sü to¸n häc Người hướng dẫn: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG Th¸i Nguyªn - 2008
1 Môc lôc Trang Lêi nãi ®Çu.. ............................................................................................. 1 Chƣơng 1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG ...................................................................................6 §1 Tính giải được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........................................................................................ 6 §2 Tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính vớ i hệ số hằng. ............................................................................... 35 Chƣơng 2 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CÓ HỆ SỐ BIẾN THIÊN .............................................................................................. 41 §1 Tính giải được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên… ................................................................................... 41 §2 Tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tí nh với hệ số biến thiên .............................................................................. 63 KÕt luËn ................................................................................................... 72 Tµi liÖu tham kh¶o . ............................................................................. 74 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
2 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới được phát triển kho ảng 50 năm trở lại đây. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học giải quyết những vấn đề định tính và giải s ố các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ, kỹ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa tham s ố điều khiển và cần đến những công cụ toán học để tìm ra lời giải. Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết điều khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến lược điều khiển s ao cho có thể chuyển hệ thống từ một t rạng thái này sang một trạng thái khác. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác như bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được,… Mặc dù lý thuyết điều khiển đã được hình thành cách đây khoảng 50 năm, nhưng nhiều bài toán và vấn đề về điều khiển như: điều khiển được hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng và không dừng c ó hạn chế trên biến điều khiển, điều khiển được hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn tuyến tính có chậm, những bài toán liên quan giữa điều khiển được, quan sát được và ổn định hoá , …, hiện nay vẫn còn mang tính thời sự và được rất nhiều nhà toán học tr ên thế giới cũng như trong nước quan tâm. Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ rất l âu, khoảng 200 năm trở lại đây. Tuy nhiên lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi phân đại số tuyến tính lại mới được thật s ự quan tâ m trong vòng 40 năm trở lại đây. Phương trình vi phân đại s ố tuyến tính có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số là ma trận s uy biến, không có tính chất “ nhân quả” giữa đầu vào và đầu ra,…, làm cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan trở nên phức tạp nhưng lại rất hấp dẫn. Hiện nay, mặc dù đã có nhiều cố gắng khảo s át những tính chất đặc biệt ấy, nhưng việc S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
3 nghiên cứu hệ p hương trình vi phân suy biến vẫn còn là thời s ự, bởi còn rất nhiều câu hỏi chưa được giải đáp. Mục đích của luận văn này là trình bày c ác kết quả mở rộng tiêu chuẩn điều khiển được của c ác hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân thường – t iêu chuẩn Kalman – cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng và không dừng. Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, từ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng đến phương trình vi phân đại số tuyến tính không dừng. Tiêu chuẩn điều khiển được dạng Kalman được đặc trưng thông qua tiêu chuẩn về hạng của ma trận hệ số. Thống nhất đi theo hướng nghiên cứu đó, trước tiên luận văn trình bày t iêu chuẩn điều khiển được mở rộng cho hệ phương trình vi phân đại s ố thông qua ma trận hệ số của các hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng và sau đó là cho hệ mô tả bởi hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính không dừng. Các t iê u chuẩn điều khiển được này nói chung phức tạp hơn rất nhiều so với tiêu chuẩn Kalman. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1 nghiên c ứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ s ố hằng. Mục 1 chương 1 trình bày hai cách tiếp cận hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính nhằm nghiên cứu tính chất tập nghiệm của phương trình dạng  Ex(t ) Ax(t ) Bu (t ) trong đó E là ma trận nói chung suy biến. Cách tiếp cận thứ nhất là thông qua cặp ma trận chính quy để đưa phương trình trên về hệ:  x1 (t ) A1 x1 (t ) B1u1 (t );  Nx2 (t ) x2 (t ) B2u2 (t ), t 0, trong đó phương trình thứ nhất là phương trình vi phân thường và phương trình thứ hai là phương trình vi phân với ma trận lũy linh. Cách tiếp cận thứ hai nhằm nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của phương trình vi phân với hệ số hằng thông qua ma trận cơ sở. Mục này giới thiệu khái niệm toán tử hiệu chỉnh, nghiệm của phương trình vi phân đại số được tìm t hông qua S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
4 toán tử hiệu chỉnh . Công thức nghiệm này cho thấy rõ hơn sự khác biệt của phương trình vi phân suy biến so với phương trình vi phân thường, ngoài ra việc tìm ra cấu trúc tập nghiệm còn nhằm áp dụng vào việc nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân tuyến tính được trình bày ở mục 2. Mục 2 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính với hệ số hằng theo [6], trong đó tiêu chuẩn điều khiển được là mở rộng của tiêu chuẩn hạng Kalman. Chương 2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm và tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có hệ số biến thiên. Mục 1 của chương 2 trình bày tính giải được của phương trình vi phân tuyến tính không dừng t heo cuốn s ách [7]. Bằng cách tác động toán tử hiệu chỉnh trái vào phương trình vi phân ẩn, ta c ó thể đưa phương trình từ phức tạp về đơn giản để dễ nghiên cứu hơn. Mục 2 của chương 2 trình bày tính điều khiển được hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên theo [9]. Thống nhất với mục 1, mục 2 cũng dùng toán tử hiệu chỉnh trái để đưa việc nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển được hệ suy biến không dừng về nghiên cứu hệ đơn giản hơn. Mặc dù luận văn chủ yếu là trình bày lại các kết quả trong [6], [7], [8], [ 9], nhưng chúng tô i cố gắng thể hiện những lao động c ủa mình trong quá trình đọc, nghiên cứu và mở rộng các kết quả ấy cho hệ phương trình vi ph ân đại số tuyến tính. Thí dụ: Mục 1.1 chương 1 trình bày công thức nghiệm tường minh của phương trình vi phân tuyến tính không dừng với ma trận luỹ linh là kết quả của tác giả, đã được báo c áo tại Hội nghị nghiê n c ứu khoa học sau đại học do Đại học Sư phạm Thái Nguyên tổ chức (Thái Nguyên, th áng 7-2008) v à được đăng trong [3]. Chúng tôi c ũng cố gắng chi tiết hóa hoặc tìm ra những cách chứng minh khác với cách chứng minh trong [6], [7], [ 8], [ 9]. Trong toàn bộ luận văn, chúng tô i cố gắng diễn giải những định lý, bổ đề một cách dễ hiểu nhất. Chúng tôi hy vọng rằng, luận văn cho thấy rõ hơ n sự phát triển trong nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển được hệ phương trình vi phân từ đơn giản đến phức tạp, từ phương trình vi phân thường đến phương trình vi phân ẩn suy biến với hệ số biến thiên. S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
5 Luận văn được ho àn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS – TS Tạ Duy Phượng. Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy. Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản. Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận văn. Thái Nguyên, ngày 18 tháng 9 năm 2008 Tác giả Vi Diệu Minh S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
6 Chƣơng 1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG §1 TÍNH GIẢI ĐƢỢC CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại s ố tuyến tính với ma trận lũy linh Xét phương trình vi phân đại s ố tuyến tính dạng x(t ) B(t )u(t ) , t ³ 0 ,  Nx(t ) (1.1.1.1) trong đó N là ma trận vuông cấp n 2 , không phụ thuộc vào t và là ma trận lũy linh bậc h , tức là N h = 0n2 với 0n 2 là ma trậ n vuông cấp n 2 có tất cả các thành phần bằng 0; x (t ) là một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không gian và thỏa mãn phương trình (1.1.1.1) hầu khắp nơi (là nghiệm của phương trình ¡ n2 vi phân (1.1.1.1)); B (t ) là ma trận cấp n 2 ´ m và u(t ) là vectơ hàm m chiều. Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau (xem [3]). Bổ đề 1.1 Giả sử B (t ) và u(t ) tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , trong đó h là bậc của ma trận lũy linh N . Khi ấy với mọi 1 £ k £ h ta có k1 N k x( k ) (t ) N k 1 x( k 1) (t ) N k 1 Ck 1B ( k i 1 i) (t )u (i ) (t ) , (1.1.1.2) i0 trong đó x ( k ) (t ) là đạo hàm cấp k của vectơ hàm x(t ) , tương tự, u (i ) (t ) là đạo hàm cấp i của vectơ hàm u(t ) , còn B (s ) (t ) là đạo hàm cấp s của ma trận hàm k! với 0 £ i £ k . B (t ) , C ki = i !(k - i ) ! Chứng minh Nhân phương trình (1.1.1.1) với ma trận N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
7  N 2 (t )   x Nx(t ) N B(t )u (t ) B(t )u (t ) . Lại tiếp tục nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm ha i vế ta được:    N 3(t ) N 2 (t ) N 2 B (t )u (t ) B (t )u (t ) B (t )u (t ) B (t )u (t )  x x 2 N 2 (t ) N 2 C2 B (2 i ) (t )u ( i ) (t ). i x i0 Như vậy, công thức (1.1.1.2) đúng với s = 1, 2, 3 . Giả sử công thức (1.1.1.2) đúng với mọi s £ k < h . Ta sẽ chứng minh nó đúng với s = k + 1. Thật vậy, theo qui nạp ta có k1 N k x( k ) (t ) N k 1 x( k 1) (t ) N k 1 Ck 1B ( k i 1 i) (t )u (i ) (t ) . i0 Nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: k1 N k 1 x( k 1) N k x ( k ) (t ) Nk i B(k i) (t )u ( i ) (t ) B(k 1 i) (t )u ( i 1) (t ) Ck (t ) 1 i0 N k x ( k ) (t ) N k Ck 1 B ( k ) (t )u (t ) 0 N k Ck 1 B ( k 0 1)  (t )u (t ) N k Ck 1 B ( k 1 1) N k Ck 1 B ( k 1 2) N k Ck 1 B ( k 2 2)    (t )u (t ) (t )u (t ) (t )u (t ) N k Ck 1 B ( k 2 3) (t )(t ) ... N k Cks 1 B ( k 1 s 1) (t )u ( s 1) N k Cks 1 B ( k 1 s) (t )u ( s ) (t ) u (t ) N k Cks 1 B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k Cks 1 B ( k 1 s) (t )u ( s 1) (t )  ... N k Ckk 12 B (2) (t )u ( k 2) (t ) N k Ckk 12 B (t )u ( k 1) (t ) 1 N k Ckk 1 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 1 B (t )u ( k ) (t ) 1 N k x ( k ) (t ) N k Ck0 1 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck0 1 Ck 1 B ( k 1) (t )u (t ) 1  N k Ck 1 Ck2 1 B ( k 1 2) (t )u (t ) ... N k Cks 1 Cks 1 B ( k 1 s) (t )u ( s ) (t )  1 ... N k Ckk 12 Ckk 1 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 1 B (t )u ( k ) (t ). 1 (k - 1 )! Nhưng C ki - 1 = nên i !(k - 1 - i )! C k0- 1 = 1 = C k0 ; C kk-- 1 = 1 = C kk 1 và Cks 1 1 Cks 1 Cks S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
8 nên N k 1 x ( k 1) (t ) N k x ( k ) (t ) N k Ck0 1 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck0 1 Ck 1 B ( k 1) (t )u (t ) 1  N k Ck 1 Ck2 1 B ( k 1 2) (t )u (t ) ... N k Cks 1 Cks 1 B ( k 1 s) (t )u ( s ) (t )  1 ... N k Ckk 12 Ckk 1 B(t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 1 B (t )u ( k ) (t ) 1 N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck B ( k 1) (t )u (t ) 1  N k Ck2 B ( k 2) (t )u (t ) ... N k Cks B ( k s ) (t )u ( s ) (t )   ... N k Ckk 1 B(t )u ( k 1) (t ) N k Ckk B (t )u ( k ) (t ) k N k x ( k ) (t ) N k Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ). s0 Vậy theo nguyên lý qui nạp, công thức (1.1.1.2) được chứng minh. Từ Bổ đề 1.1 ta có công thức nghiệm sau đây của hệ (1.1.1.1). Mệnh đề 1.1 ([3]) Giả s ử B (t ) là ma trận hàm và u(t ) vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính s uy biến (1.1.1.1) được tính theo công thức h1 Fk (t )u ( k ) (t ) , x(t ) (1.1.1.3) k0 h- 1 å trong đó Fk (t ) = - N sC sk B (s - k ) (t ) . s= k Chứng minh Viết lại ( 1.1.1.2) với k = 1, 2,..., h ta được 0  Nx(t ) x(t ) C0 B(t )u (t ) ;  N 2 (t ) Nx(t ) NC10 B(t )u (t ) NC1 B(t )u (t ) ; 1   x 0  1 N 3(t ) N 2 (t ) N 2C2 B(t )u (t ) N 2C2 B(t )u (t ) N 2C2 B(t )u (t ) ; 2   x x ………. S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
9 k1 N k x ( k ) (t ) N k 1 x ( k 1) (t ) N k 1 Ck 1 B ( k i 1 i) (t )u (i ) (t ) i0 k 1 ( k 1) k1 0 ( k 1) (t )u (t ) N k 1Ck 1B ( k 1 2)  N x (t ) N CB (t )u (t ) k1 ... N k 1Ck 1 B ( k i 1 i) (t )u (i ) (t ) ... N k 1Ckk 1 B(t )u ( k 1) (t ). 1 ……… h1 N h x ( h ) (t ) N h 1 x ( h 1) (t ) N h 1 Ch 1 B ( h i 1 i) (t )u (i ) (t ) i0 N h 1 x ( h 1) (t ) N h 1Ch 1B ( h 1) (t )u (t ) N h 1Ch 1B ( h 0 1 2)  (t )u (t ) ... N h 1Ch 1 B ( h i 1 i) (t )u (i ) (t ) N h 1Ch 1 B(t )u ( h 1) (t ). h1 Cộng vế với vế các đẳng thức này và để ý đến tính chất lũy linh của ma trận N , tức là N h = 0 , sau khi nhóm các số hạng ở hai vế, ta được h1 h1 s 0 (s) N s Cs B ( s 1) (t )u (t ) 1  0 x(t ) N C B (t )u (t ) s s0 s1 h1 N s Csk B ( s k) (t )u ( k ) (t ) ... N h 1 B (t )u ( h 1) (t ) ... sk h1 Fk (t )u ( k ) (t ). x(t ) k0 h1 Fk (t )u ( k ) (t ). Từ đây suy ra x(t ) k0 Vậy Mệnh đề 1.1 được chứng minh. Trong trường hợp B (t ) º B là ma trận hằng ta có Hệ quả 1.1 ([6], trang 17) Giả sử B (t ) º B là ma trận hằng và u(t ) vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của phương trình  Nx(t ) x(t ) Bu(t ) (1.1.1.4) được tính theo công thức h1 N k Bu ( k ) (t ) . x(t ) (1.1.1.5) k0 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
10 Chứng minh Khi B (t ) º B thì h- 1 å N sC sk B (s - k ) (t ) = - N kC kk B = - N k B Fk (t ) = - s= k nên ta có ngay công thức (1.1.1.5). 1.2 Công thức nghiệm của phƣơng trình vi phân đại s ố tuyến tính có điều khiển Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm cho phương trình vi phân đại s ố tuyến tính dạng  Ex(t ) Ax(t ) B(t )u(t ) . (1.1.2.1) trong đó ma trận E nói chung suy biến ( det E có thể bằng 0). Định nghĩa 1.2 Cặp ma trận E, A  n được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức n  0 hoặc đa thức sE E A A 0. s ao cho Bổ đề 1.2 (Bổ đề 1-2.2, [6], trang 7) Cặp ma trận (E , A ) là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho I n1 0 A1 0 QEP , QAP , 0 I n2 0 N n n1 trong đó n1 + n 2 = n , A1 , I n1 và I n 2 là hai ma trận đơn vị tương ứng  1  n2 n2 cấp n 1 và n 2 ; N là ma trận lũy linh. Bổ đề 1.2 chỉ ra rằng với giả thiết chính quy của cặp ma trận (E , A ), hệ (1.1.2.1) có thể viết dưới dạng sau:  x1 (t ) A1 x1 (t ) B1 (t )u (t ), (1.1.2.2a ) (1.1.2.2)  Nx2 (t ) x2 (t ) B2 (t )u (t ). (1.1.2.2b ) S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
11 Thật vậy, do (E , A ) là cặp ma trận chính qui nên tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho I n1 0 A1 0 QEP , QAP . 0 I n2 0 N Nhân hai vế của (1.1.2.1) về bên trái với ma trận không suy biến Q ta được  QEx(t ) QAx(t ) QB(t )u(t ) . & Đặt x (t ) = Px (t ) hay x (t ) = P - 1x (t ) . Khi ấy x (t ) = Px (t ) và phương trình trên % & % % có thể viết thành    QEPx(t ) QAPx(t ) QB(t )u(t ) . (1. 1.2.3) hay I n1 0 A1 0    x(t ) x(t ) QB(t )u (t ) . 0 I n2 0 N  æx 1 ö % B1 (t ) x = ç ÷ và QB (t ) %ç÷ Đặt , khi ấy phương trình trên có dạng çx 2 ÷ ç %÷  èø B2 (t )      I n1 x1 (t ) A1 x1 (t ) B1 (t )u (t );      Nx2 (t ) I n2 x2 (t ) B2 (t )u (t ) hay      x1 (t ) A1 x1 (t ) B1 (t )u (t );      Nx2 (t ) x2 (t ) B2 (t )u (t ) với x1 (t )  n1 , x2 (t )  n2 và N  n2 n2 là ma trận lũy linh.   Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận (E , A ) là chính qui. Khi ấy để nghiên cứu hệ (1.1.2.1) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1. 1.2.2). Hệ (1.1.2.2a) là hệ phương trình vi phân thường có điều khiển. Nó đã được nghiên cứu kĩ trong các tài liệu về lý thuyết điều khiển. Cụ thể, với mỗi điều kiện S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
12 ban đầu  n1 và mỗi hàm đo được cho trước u (t ) , t 0 , nghiệm của x10 (1.1.2.2a) có dạng (xem, thí dụ, [2], [4]): t At e A1 (t s ) B1 (s )u (s )ds . 0 1 x1 (t ) ex (1.1.2.4a) 1 s0 Theo Mệnh đề 1.2, nghiệm của hệ (1.1.2.2b) được tính theo công thức h1 h1 h1 Fk (t )u ( k ) (t ) N s Csk B2s ( k) (t ) u ( k ) (t ) . x2 (t ) (1.1.2.4b) k0 k0 sk x1 (t ) Như vậy, nghiệm x (t ) của (1.1.2.2) tính đ ược tường minh theo công x2 (t ) thức (1.1.2.4a) và (1.1.2.4b). Ta nói nghiệm (1. 1.2.4) tương ứng với điều khiển u(t ) đã chọn. Chúng ta cũng lưu ý r ằng, để có được công thức (1. 1.2.4b), ta đã phải giả thiết B (t ) và u(t ) có các thành p hần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , mặc dù trong định nghĩ a nghiệm của (1.1.2.4a), thì chỉ cần tính chất đo được của hàm u(t ) . Đây c ũng là một trong những điểm khác biệt giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại s ố. Hệ quả 1.2 Giả sử B (t ) º B là ma trận hằng và u(t ) vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của phương trình :  Ex(t ) Ax(t ) Bu(t ) t At e A1(t s ) B1u (s )ds 0 có dạng: 1 x1 (t ) ex 1 s0 h1 N k Bu ( k ) (t ) . x2 (t ) k0 Đối với hệ phương trình vi phân đại s ố (1.1.2.1), ta c ũng có một các h tiếp cận khác thông qua ma trận cơ s ở để nghiên c ứu cấu trúc c ủa tập nghiệm. Dưới đây chúng tôi trình bày cách tiếp cận này theo [7]. S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
13 1.3 Công thức nghiệm của hệ phƣơng trình vi phân đại số với ma trận cơ sở 1.3.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số với ma trận cơ sở Một cách tự nhiê n, hệ phương trình vi phân đại s ố được hiểu là hệ  x1 (t ) R1 x1 (t ) R2 x2 (t ) f1 (t ); (1.1.3.1) 0 R3 x1 (t ) R4 x2 (t ) f 2 (t ), (1.1.3.2) trong đó x1 (t )  n1 và x2 (t )  n2 ; Ri , i 1, 2,3, 4 và f j (t) , j 1,2 là các ma trận và vectơ có số chiều tương ứ ng. Hệ trên gồm một phương trình vi phân thường và một ràng buộc đại số (một phương trình không chứa đạo hàm c ủa các ẩn x1, x2 ). Đặt R1 R2 x1 f1 I0 x ;f ;E ;A , R3 R4 x2 f2 00 trong đó I I n1 là ma trận đơn vị c ấp n1 , 0 là các ma trận gồm tất cả các phần tử bằng 0 có số chiều tương ứng; A và f là ma trận và vectơ có s ố chiều tương ứng. Dưới đây, để cho gọn, ta thường chỉ viết c ác ma trận đơn vị và ma trận gồm tất c ả các phần tử bằng 0 là I và 0 mà không chỉ rõ số chiều c ủa c ác ma trận. Với cách đặt trên, hệ (1.1.3.1), (1.1.3.2) c ó thể viết được dưới dạng: Ex Ax f (1.1.3.3) hay  Ex Ax f (1.1.3.4) Nhận xét 1.3.1 Trong c ác tài liệu, hệ phương trình vi phân đại s ố thường được đồng nhất với hệ (1.1.3.4). Tuy nhiên, c ác h viết (1.1.3.1), (1.1.3.2) chỉ đòi hỏi là x1 c ó đạo hàm. Cách viết ( 1.1.3.4) đòi hỏi là x có đạo hàm, tức là toàn bộ c ác tọa độ, hay x2 cũng phải có đạo hàm. Từ đó ta thấy, (1.1.3.3) và (1.1.3.4) nói chung là khác nhau. Dưới đây, để phù hợp với c ác tài liệu, ta vẫn gọi hệ (1.1.3.3), (1.1.3.4), trong đó ma tr ận E có thể suy biến ( det E có thể bằng 0) là hệ phương trình vi phân đại S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
14 số. Dạng đặc biệt (1.1.3.1)-(1.1.3.2) được gọi là dạng nửa h iển (nửa hiển) c ủa hệ phương trình vi phân đại s ố. Nhận xét 1.3.2 Nói chung ma trận E và ma trận A trong (1.1.3.3) v à (1.1.3.4) không nhất thiết phải là ma trận vuông, nhưng chúng phải có c ùng kích thước . Thí dụ, nếu x  n và ma trận A có số chiều là m n thì E cũng phải có số chiều là m n , còn f phải là một vectơ có số chiều là m 1 . Bổ đề 1.3.1 Tồn tại dãy ma trận C0 , C1 , C2 ,.... ( gọi là hệ ma trận cơ s ở) sao cho mọi nghiệm của hệ phương trình i dx(t ) d C0 Ax(t ) Ci f (t ) ; (1.1.3.5) dt dt i0 i d ( I C0 E ) x(t ) Ci 1 f (t ) . (1.1.3.6) dt i0 cũng là nghiệm của (1.1.3.3). Chứng minh Chọn C0 , C1 , C2 ,.... thoả mãn hệ EC0 A AC0 E (1.1.3.7) 0 ECi ACi I ,i 0,1, 2,..., (1.1.3.8) 1 i trong đó là nhâ n Kronek er, tức là 0 i 1, i 0; 0 i 0, i 0. Giả s ử x(t ) là nghiệm của (1.1.3.5)-(1.1.3.6). Nhân ( 1.1.3.5) với E , ta được : i Edx(t ) d EC0 Ax(t ) ECi f (t ) dt dt i0 i d ( Ex(t )) EC0 Ax(t ) ECi f (t ) . (*) dt i0 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
15 Nhân ( 1.1.3.6) với A , ta được: i d A( I C0 E ) x(t ) ACi 1 f (t ) dt i0 i d Ax(t ) AC0 Ex(t ) ACi 1 f (t ) . (**) dt i0 Lấy (*) trừ (**) ta được : i d ( Ex(t )) Ax(t ) EC0 Ax(t ) AC0 Ex(t ) ECi ACi f (t ) . 1 dt i0 Từ (1.1.3.7) và (1.1.3.8) ta c ó: i 0 d d 0 ( Ex(t )) Ax(t ) 0 I f (t ) f (t ) f (t ) . i dt dt i0 s uy ra Ex (t ) Ax (t ) f (t ) . Vậy ta đã chứng minh được , mọi nghiệm c ủa (1.1.3.5), (1.1.3.6) đồng thời cũng là nghiệm của (1.1.3.3). Nhận xét Nếu không thê m điều kiện thì hệ ( 1.1.3.7)-(1.1.3.8) c ó thể có vô s ố nghiệm hoặc vô nghiệm. Thí dụ 1.3.1 x1 Với E ; f (t )  . 1 0 ;A 0 1;x x2 Phương trình (1.1.3.3) có dạng  (1.1.3.3’) x1 (t ) x2 (t ) f (t ) . 0 c c Chọn C0 ; i 1, 2,3... và c bất kỳ. ; C1 ; Ci 0 1 c 1 I (đúng vì I 1, ma trận đơn vị) Vì EC0 AC1 I 0 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
16 EC1 AC2 0 c c; ECi ACi 0 c c; i 2,3... 1 Vì c bất kỳ nên c ó vô số Ci thỏa mãn hệ (1.1.3.7)-(1.1.3.8), hay hệ (1.1.3.7)- (1.1.3.8) không c ó tính duy nhất nghiệm. Hệ (1.1.3.5)c ó dạng c c dx(t ) f (i ) (t ) f (t ) 1 c dt i2 hay dx1 (t ) f (i ) (t ); c dt i1 (1.1.3.5’) dx2 (t ) f (i ) (t ). f (t ) c dt i2 Hệ (1.1.3.6) c ó dạng c c f (i ) (t ) x(t ) f (t ) 1 c i1 hay f (i ) (t ); x1 (t ) c i0 (1.1.3.6’) f (i ) (t ). x2 (t ) f (t ) c i1 Tích phân (1.1.3.5’) (đạo hàm (1.1.3.6’)) ta được (1.1.3.6’) (được (1.1.3.5’) hay hai hệ (1.1.3.5’) và (1.1.3.6’) là trùng nhau. Hơn nữa, thay x(t ) là nghiệm c ủa (1.1.3.5’) (hay (1.1.3.6’)) v ào (1.1.3.3’), ta thấy (1.1.3.3’) thỏa mãn với mọi hàm giải tích f (t ) . Thí dụ 1.3.2 1 0 Với E ;x  ;A 0 1  x1 f1 Phương trình (1.1.3.3) c ó dạng: 0 x2 f2 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
17 Từ phương trình (1.1.3.7) ta có 0 c02 1 0 0 1 EC0 A AC0 E c01 , c02 c01 , c02 . c01 0 0 1 1 0 Vậy C0 0 0; Thay vào (1.1.3.8) với i 0 : 1 0 0 0 10 00 0 0,0 c11, c12 I EC0 AC1 0I 0 1 c11 c12 c11 1 00 Phương trình ma trận này vô nghiệm. Vậy hệ ( 1.1.3.7), (1.1.3.8) (với E và A đã cho trong thí dụ này) là vô nghiệm. 1.3.2 Hệ phƣơng trình xác định ma trận cơ sở Trong Bổ đề 1.3.1 ta đã chọn C0 , C1 , C2 ,.... thoả mãn hệ ( 1.1.3.7) - ( 1.1.3.8) mà chưa nói đến s ự tồn tại c ủa hệ ma trận cơ s ở này. Định lý dưới đây tr ả lời câu hỏi đó. Định lý 1.3.2 Giả sử hệ 0 ECi ACi i I; (1.1.3.9) 1 0 Ci E Ci 1 A i I, i 0,1,2,... (1.1.3.10) với điều kiện C0 C0 EC0 ; (1.1.3.11) C1 C1 AC1 (1.1.3.12) là giải được ứng với C0 , C1 ,..., Ci ,... , trong đó là nhân Kroneker, tức là 0 i 1, i 0; 0 (1.1.3.13) i 0, i 0. Khi ấy, nếu C0 , C1 đã biết thì các ma trận còn lại Ci , i 2,3,... có thể nhận được theo công th ức truy h ồi ( 1)i 1 (C1 E )i 1 C1 . (1.1.3.14) Ci Do tính kết hợp của phép nhân ma trận, ta có thể viết ( 1.1.3.14) dưới dạng ( 1)i 1 C1 ( EC1 )i 1 . (1. 1.3.15) Ci S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
18 Chứng minh 0 , từ ( 1.1.3.9) và (1.1.3.10) ta có: Cho i EC0 AC1 I (1.1.3.16) và C0 E C1 A I . (1. 1.3.17) Nhân trái với C1 vào hai vế c ủa (1.3.16) ta được : C1 EC0 C1 AC1 C1 . (1. 1.3.17) Từ (1.1.3.12) ta suy ra C1 EC0 0. (1. 1.3.18) Nhân phải với C1 vào hai vế của (1.1.3.17) ta được : (1.1.3.17’) C0 EC1 C1 AC1 C1 . Từ (1.1.3.12) ta suy ra C0 EC1 0. (1.1.3.19) Ta s ẽ chứng minh Ci tính theo c ông thức (1.1.3.14) và (1.1.3.15) tho ả mãn hệ : ECi ACi 1 ; (1.1.3.20) Ci E Ci 1 A, i 2,3,... (1.1.3.21) Cũng c ó nghĩ a là Định lý 1.3.2 được chứng minh. Ta s ẽ chứng minh (1.1.3.20)-(1.1.3.21) bằng phương pháp quy nạp toán học . Với i 2 công thức (1.1.3.14) cho C2 C1 EC1 . (1.1.3.21) Nhân hai vế với E ta được ( EC1 )2 . EC2 EC1 EC1 (1.1.3.22) Với i 3 công thức (1.1.3.14) cho ( 1)2 (C1E )2 C1 (C1E ) 2 C1 . C3 (1.1.3.23) Nhân hai vế với A ta được : A(C1E )2 C1 AC1 ( EC1 )2 . AC3 Mà theo (1.1.3.16) thì AC1 EC0 I nên theo (1.1.3.19) ta c ó S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
19 I )( EC1 ) 2 EC0 ( EC1 ) 2 ( EC1 ) 2 AC3 ( EC0 (1.1.3.24) EC0 EC1 EC1 ( EC1 )2 ( EC1 ) 2 . Vậy từ (1.1.3.22) và (1.1.3.24) suy ra EC2 AC3 . Nhân phải hai vế c ủa (1.1.3.21) với E ta được (C1E )2 . C2 E C1 EC1 E Nhân phải hai vế c ủa (1.1.3.23) với A ta được C3 A (C1 E )2 C1 A . Mà theo (1.1.3.17) và (1.1.3.17’) thì C1 A C0 E I và C0 EC1 C1 AC1 C1 . Theo (1.1.3.18) ta c ó C3 A (C1 E )2 (C0 E I ) (C1E )2 C0 E (C1E ) 2 C1 EC1 EC0 E (C1 E )2 (C1 E ) 2 Vậy C2 E C3 A . Như vậy với i 2 thì công thức nghiệm (1.1.3.14) và (1.1.3.15) tho ả mãn hệ (1.1.3.20) và ( 1.1.3.21). Giả s ử công thức nghiệm ( 1.1.3.14) và (1.1.3.15) tho ả mãn hệ (1.1.3.20) v à (1.1.3.21) với i k. Ta chứng minh điều này cũng đúng với i k 1. Thật vậy, với i k 1 thì theo (1.1.3.14) ta c ó: ( 1)k (C1 E )k ; Ck ( 1) k 1 (C1E ) k 1 Ck 1 2 Vậy: ( 1)k E (C1E )k ; ECk 1 ( 1)k 1 A(C1E ) k 1 ( 1) k 1 AC1E (C1E ) k . ACk 2 Mà theo (1.1.3.16) thì AC1 EC0 I nên theo (1.1.3.19) ta có ( 1) k 1 ( EC0 I ) E (C1 E ) k ACk 2 ( 1) k 1[EC0 EC1 ( EC1 ) k 1 E ]+ ( 1) k (C1 E ) k ( 1) k (C1 E ) k Vậy ECk ACk 2 . 1 Tương tự, theo (1.1.3.15) ta có S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn