Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán, chế tạo và điều khiển mô hình con lắc ngược

Chia sẻ: Sơ Dương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài "Tính toán, chế tạo và điều khiển mô hình con lắc ngược" là thiết lập phương trình vi phân chuyển động của mô hình con lắc ngược. Sau đó thiết kế bộ điều khiển PID để ổn định vị trí cân bằng không ổn định của con lắc ngược. Qua đó xây dựng một mô hình minh họa lý thuyết cho sinh viên ngành cơ điện tử học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán, chế tạo và điều khiển mô hình con lắc ngược

i LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là Phạm Công Dũng, học viên cao học khóa 2013B.CĐT.KH chuyên ngành Cơ Điện Tử. Sau hơn 2 năm học tập, nghiên cứu tại trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo, đặc biệt là GS.TSKH. Nguyễn Văn Khang, tôi đã hoàn thành xong luận văn tốt nghiệp thạc sĩ. Với đề tài luận văn là: "Tính toán, chế tạo và điều khiển mô hình con lắc ngược", tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang và chỉ tham khảo các tài liệu được liệt kê. Tôi không sao chép công trình của cá nhân khác dưới bất kỳ hình thức nào. Nếu có, tôi xin hoàn thành chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 20/03/2016 Học viên Phạm Công Dũng
ii LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình thực hiện đề tài "Tính toán , chế tạo và điều khiển mô hình con lắc ngược", em đã đạt được một số kết quả nhất định: Nghiên cứu các phương pháp điều khiển con lắc ngược, các phương thức lập trình, điều khiển hoạt động của hệ thống, cũng như hiểu thêm về cách thiết kế, chế tạo cơ khí. Em xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang và các thầy trong bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí đã tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài này. Tuy nhiên, với kinh nghiệm thực tế còn hạn chế nên luận văn không thể tránh được những thiết sót và chưa thể hoàn thiện một cách hoàn hảo như mong đợi. Kính mong quý thầy cô đóng góp những ý kiến để đề tài được hoàn thành tốt hơn. Hà Nội, ngày 20/03/2016 Học viên Phạm Công Dũng
iii MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN............................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................... ii HỆ THỐNG KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................... v HỆ THỐNG DANH MỤC BẢNG BIỂU........................................................................... v HỆ THỐNG DANH MỤC HÌNH VẼ ............................................................................... vi MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CON LẮC NGƯỢC ................................................................................................................... 3 1.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động ............................................................ 3 1.2 Biến đổi phương trình chuyển động về phương trình trạng thái ................................ 6 1.3 Vị trí cân bằng của hệ .............................................................................................. 8 CHƯƠNG 2 ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LQR .............. 9 2.1 Điều khiển ổn định của điểm cân bằng không ổn định ............................................. 9 2.2 Mô phỏng số ......................................................................................................... 13 CHƯƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PID.............. 27 3.1 Thiết kế bộ điều khiển PID cho con lắc ngược ....................................................... 27 3.2 Mô phỏng số ......................................................................................................... 28 CHƯƠNG 4 CHẾ TẠO VÀ ĐIỀU KHIỂN THỬ NGHIỆM MÔ HÌNH CON LẮC NGƯỢC BẰNG BỘ ĐIỀU KHIỂN PID ......................................................................... 37 4.1 Các vấn đề điều khiển trên mô hình thật ................................................................ 37 4.1.1 Các giai đoạn điều khiển ................................................................................ 38 4.1.2 Phương pháp đo đạc vị trí xe và góc lệch của thanh ........................................ 41 4.1.3 Phương pháp điều khiển khối dẫn động .......................................................... 47 4.2 Thiết kế cơ khí ...................................................................................................... 56 4.2.1 Các thành phần cơ khí .................................................................................... 56 4.2.2 Hình ảnh sau lắp ráp ....................................................................................... 59 4.3 Thiết kế mạch ........................................................................................................ 60 4.3.1 Mạch điều khiển ............................................................................................. 60
iv 4.3.2 Mạch công suất .............................................................................................. 64 4.4 Thiết kế phần mềm ................................................................................................ 67 4.4.1 Ngôn ngữ và trình biên dịch ........................................................................... 67 4.4.2 Kiến trúc và thiết kế ....................................................................................... 68 4.4.3 Thiết lập PWM điều khiển điện áp cho động cơ .............................................. 70 4.4.4 Mã giả cho thuật toán PID/PD ........................................................................ 72 4.5 Kết quả đạt được và các vấn đề gặp phải ............................................................... 74 KẾT LUẬN..................................................................................................................... 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 77
v HỆ THỐNG KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT Vgs: Điện áp chân G và S của Mosfet. PWM: Điều chế độ rộng xung. GPIO: Chân vào ra đa chức năng. AFIO: Chức năng đặc biệt của các chân vào ra. BLDC: Động cơ một chiều không chổi than DC: Động cơ một chiều IC: Vi mạch tích hợp HỆ THỐNG DANH MỤC BẢNG BIỂU Trang Bảng 4-1: Bảng so sánh các phương pháp đo vị trí xe và góc lệch thanh................ 47 Bảng 4-2: Bảng so sánh các loại động cơ ............................................................... 49 Bảng 4-3: Trạng thái động cơ theo các công tắc cầu H .......................................... 52 Bảng 4-4: So sánh các mạch công suất cho động cơ DC ........................................ 55
vi HỆ THỐNG DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 1-1: Mô hình con lắc ngược ............................................................................ 3 Hình 2-1: Đồ thị dịch chuyển thân xe với bộ giá trị tại công thức 2.4 .................... 14 Hình 2-2: Đồ thị vận tốc xe với bộ giá trị tại công thức 2.4.................................... 14 Hình 2-3: Đồ thị góc lắc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.4 ........................ 14 Hình 2-4: Đồ thị vận tốc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.4 ........................ 15 Hình 2-5: Đồ thị lực điều khiển u(t) với bộ giá trị tại công thức 2.4 ....................... 15 Hình 2-6: Đồ thị dịch chuyển thân xe với bộ giá trị tại công thức 2.5 .................... 16 Hình 2-7: Đồ thị gia tốc xe đẩy với bộ giá trị tại công thức 2.5 .............................. 16 Hình 2-8: Đồ thị góc lắc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.5 ........................ 17 Hình 2-9: Đồ thị vận tốc góc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.5 .................. 17 Hình 2-10: Đồ thị lực điều khiển với bộ giá trị tại công thức 2.5 ........................... 17 Hình 2-11: Đồ thị dịch chuyển thân xe với bộ giá trị tại công thức 2.6 .................. 19 Hình 2-12: Đồ thị gia tốc xe với bộ giá trị tại công thức 2.6 .................................. 19 Hình 2-13: Đồ thị góc lắc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.6....................... 19 Hình 2-14: Đồ thị dịch chuyển thân xe với bộ giá trị tại công thức 2.6 .................. 20 Hình 2-15: Đồ thị lực điều khiển với bộ giá trị tại công thức 2.6 ........................... 20 Hình 2-16: Đồ thị dịch chuyển thân xe với bộ giá trị tại công thức 2.7 .................. 21 Hình 2-17 Đồ thị gia tốc xe với bộ giá trị tại công thức 2.7.................................... 21 Hình 2-18: Đồ thị góc lắc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.7....................... 21 Hình 2-19: Đồ thị vận tốc góc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.7 ................ 22
vii Hình 2-20: Đồ thị dịch lực điều khiển với bộ giá trị tại công thức 2.7 .................... 22 Hình 2-21: Đồ thị dịch chuyển thân xe với bộ giá trị tại công thức 2.8 .................. 23 Hình 2-22: Đồ thị gia tốc xe với bộ giá trị tại công thức 2.8 .................................. 23 Hình 2-23: Đồ thị góc lắc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.8....................... 23 Hình 2-24: Đồ thị vận tốc góc với bộ giá trị tại công thức 2.8................................ 24 Hình 2-25: Đồ thị lực điều khiển với bộ giá trị tại công thức 2.8 ........................... 24 Hình 2-26: Đồ thị dịch chuyển thân xe với bộ giá trị tại công thức 2.9 .................. 25 Hình 2-27: Đồ thị gia tốc xe với bộ giá trị tại công thức 2.9 .................................. 25 Hình 2-28: Đồ thị góc lắc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.9....................... 25 Hình 2-29: Đồ thị vận tốc góc của thanh với bộ giá trị tại công thức 2.9 ................ 26 Hình 2-30: Đồ thị lực điều khiển với bộ giá trị tại công thức 2.9 ........................... 26 Hình 3-1: Sơ đồ điều khiển PID bằng Simulink ..................................................... 28 0  Hình 3-2: Đồ thị dịch chuyển thân xe tại x0 0, x0 0, 0 0.1,  0 ..................... 29 Hình 3-3: Đồ thị vận tốc xe tại x0 0, x0 0, 0 0.1,  0 0 .................................... 29  Hình 3-4: Đồ thị góc lắc của thanh tại x0 0, x0 0, 0 0.1,  0 ......................... 30 0  Hình 3-5: Đồ thị vận tốc thanh tại x0 0, x0 0, 0 0.1,  0 ............................... 30 0  Hình 3-6: Đồ thị lực điều khiển tại x0 0, x0 0, 0 0.1,  0 .............................. 31 0  Hình 3-7: Đồ thị dịch chuyển thân xe tại x0 0, x0 0, 0  0 ........................ 31 0  1,  0  Hình 3-8: Đồ thị vận tốc xe tại x0 0, x0 0, 0 1,  0 ....................................... 32 Hình 3-9: Đồ thị góc lắc của thanh tại x0 0, x0 0, 0  0  1,  0 ............................ 32 Hình 3-10: Đồ thị vận tốc của thanh tại x0 0, x0 0, 0 1,   0 0 .......................... 33 
viii Hình 3-11: Đồ thị lực điều khiển tại x0 0, x0 0, 0  1,  0 ............................... 33 0  Hình 3-12: Đồ thị dịch chuyển thân xe tại x0 0, x0 0,0 ,  0  0 ..................... 34 Hình 3-13: Đồ thị vận tốc xe tại x0 0, x0 0, 0 ,   0 0 .................................... 34  Hình 3-14: Đồ thị góc lắc của thanh tại x0 0, x0 0,0 ,   0 0 ......................... 35  Hình 3-15: Đồ thị vận tốc thanh tại x0 0, x0 0, 0 ,   0 0 ............................... 35  Hình 3-16: Đồ thị lực điều khiển tại x0 0, x0 0,0 ,  0 0 ............................. 36  Hình 4-1: Mô hình cơ khí con lắc ngược ............................................................... 37 Hình 4-2: Vị trí của thanh khi thực hiện các giai đoạn điều khiển .......................... 38 Hình 4-3: Các giai đoạn điều khiển........................................................................ 38 Hình 4-4: Bộ điều khiển lật ngược ......................................................................... 39 Hình 4-5: Mô hình kết hợp 2 bộ điều khiển PID .................................................... 40 Hình 4-6: Nguyên lý đo khoảng cách dùng cảm biến siêu âm ................................ 43 Hình 4-7: Nguyên lý một bộ thu phát điển hình ..................................................... 44 Hình 4-8: Nguyên lý hoạt động thước encoder thẳng ............................................. 44 Hình 4-9: Bộ mã hóa encoder tương đối và nguyên lý hoạt động ........................... 45 Hình 4-10: Giản đồ xung của encoder tương đối.................................................... 46 Hình 4-11: Sơ đồ quan hệ giữa xung kích MOSFET và đầu ra............................... 50 Hình 4-12: Mạch cầu H tổng quát.......................................................................... 51 Hình 4-13: Nguyên lí đảo chiều động cơ của cầu H ............................................... 51 Hình 4-14: MOSFET kênh N................................................................................. 53 Hình 4-15: Ví dụ dùng MOSFET điều khiển động cơ ............................................ 53 Hình 4-16: Mạch cầu H dùng MOSFET ................................................................ 54
ix Hình 4-17: Mạch điều khiển động cơ dùng MOSFET và Rờle ............................... 54 Hình 4-18: Thiết kế cơ khí 3D của hệ thống .......................................................... 58 Hình 4-19: Hệ thống lắp ráp hoàn thiện ................................................................. 59 Hình 4-20: Thanh ở vị trí tự do .............................................................................. 60 Hình 4-21: Thiết kế vi điều khiển trung tâm .......................................................... 61 Hình 4-22: Thiết kế cổng kết nối máy tính............................................................. 61 Hình 4-23: Thiết kế đầu vào bộ chuyển đổi điện áp cho encoder ........................... 62 Hình 4-24: Thiết kế nguồn cho mạch điều khiển.................................................... 62 Hình 4-25: Thiết kế PCB của mạch điều khiển ...................................................... 63 Hình 4-26: Thiết kế mạch cầu H cho động cơ ........................................................ 64 Hình 4-27: Thiết kế PCB mạch công suất .............................................................. 66 Hình 4-28: Hình ảnh mạch hoàn thiện ................................................................... 66 Hình 4-29: Trình biên dịch và mạch debug cho STM32F103................................. 67 Hình 4-30: Kiến trúc phần mềm ............................................................................ 68 Hình 4-31: Lưu đồ thuật toán chương trình điều khiển .......................................... 69 Hình 4-32: Thiết lập chế độ PWM ......................................................................... 71 Hình 4-33: Đáp ứng vị trí của xe (mm) theo thời gian (s) ...................................... 74 Hình 4-34: Đồ thị đáp ứng góc lệch của thanh (rad) theo thời gian (s) ................... 74
1 MỞ ĐẦU I - ĐẶT VẤN ĐỀ Động lực học và điều khiển dựa trên mô hình là một lĩnh vực đang được quan tâm nghiên cứu của chuyên ngành cơ điện tử và động lực học. Bài toán điều khiển con lắc ngược là một bài toán điển hình của động lực học và điều khiển đã và đang được tính toán, thiết kế. II - MỤC ĐÍCH CỦA LUẬN VĂN Trong luận văn này thiết lập phương trình vi phân chuyển động của mô hình con lắc ngược. Sau đó thiết kế bộ điều khiển PID để ổn định vị trí cân bằng không ổn định của con lắc ngược. Qua đó xây dựng một mô hình minh họa lý thuyết cho sinh viên ngành cơ điện tử học tập và nghiên cứu. III - Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN Con lắc ngược là một thí dụ sinh động về một hệ cơ học mà có thể chuyển vị trí cân bằng không ổn định thành vị trí cân bằng ổn định nhờ lực điều khiển. Con lắc ngược là một mô hình đơn giản hóa của mô hình tên lửa khi bắt đầu được phóng vào không gian. Nghiên cứu ổn định hóa con lắc ngược là một bài toán vừa có ý nghĩa khoa học vừa có ý nghĩa thực tế. IV - NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN Luận văn này gồm 4 chương với các nội dung như sau: Chương 1: Thiết lập phương trình vi phân mô tả chuyển động con lắc ngược. Nội dung của chương này tập trung vào việc thiết lập phương trình vi phân cho con lắc ngược. Chương 2: Điều khiển con lắc ngược bằng bộ điều khiển LQR. Ở chương này áp dụng lý phương pháp điều khiển LQR, điều khiển mô hình con lắc ngược.
2 Chương 3: Điều khiển con lắc ngược bằng bộ điều khiển PID. Ở chương này áp dụng phương pháp điều khiển PID vào điều khiển mô hình con lắc ngược. Chương 4: Chế tạo và điều khiển thử nghiệm mô hình con lắc ngược bằng bộ điều khiển PID. Áp dụng phương pháp điều khiển PID và lý thuyết truyền động điện vào điều khiển mô hình con lắc ngược chế tạo ở phòng thí nghiệm cơ điện tử, Trường đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội.
3 CHƯƠNG 1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CON LẮC NGƯỢC Việc xây dựng mô hình cơ học là điều kiện cần thiết để điều khiển dựa trên mô hình. Trong chương này trình bày việc thiết lập phương trình vi phân chuyển động của mô hình con lắc ngược. 1.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động Khi gắn con lắc trên vào một xe đẩy với lực điều khiển theo phương ngang, ta tìm điều kiện của lực điều khiển để vị trí cân bằng tại gốc tọa độ từ không ổn định trở nên ổn định với điều kiện thêm lực vào là tối ưu về năng lượng điều khiển. u(t) Hình 1-1: Mô hình con lắc ngược Hệ xe cần trục có dạng như trên Hình 1-1
4 Các thông số của mô hình gồm: m0 : Khối lượng của xe m : Khối lượng của thanh l : Chiều dài của thanh I : Mô men quán tính đối với tâm của thanh : Là góc hợp bởi thanh với mặt phẳng thắng đứng u (t ) : Lực điều khiển lc : là khoảng cách từ O đến trọng tâm C của thanh Tính động năng của hệ T T1 T2 (1.1) Trong đó T1 là động năng của xe 1 T1  m 0 x2 (1.2) 2 T2 là động năng của thanh 1 1 T2  mv c2  I 2 (1.3) 2 2 Ở đây ta có xc  x lc sin  x x  lc cos    c yc lc cos  yc  lc sin    vc2  xc2 y c 2 2lc2   x22x l c cos   Do đó
5 1 1 2 T2  m 2l c2 x2 2x  c cos   I  l 2 2 1 1  mx2  mlc2 I  2  mlc x   cos  2 2 Từ đó ta có động năng của hệ T T1 T2 1 1 (1.4)  x2  mlc2  m0 m   2 ml I   c x cos  2 2 Thế năng của hệ   mglc cos  (1.5) Tính các đạo hàm T m0 m  x mlccos  x T ml2c I  mlc xcos   d T    m0 m  xmlc cos    mlc 2  sin  dt x  T ml2c I  mlc  x cos   mlc x     sin  T  T 0;  sin  mlc x x     0; mgl c sin   x   Q *x u (t ) Q*1  0
6 Từ đó thay các đạo hàm tính được trên vào phương trình Lagrange loại II d T  T   *      Qi dt qi  qi q1 1 q Ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ m0 m xmlc cos  u (t ) mlc 2   sin  (1.6) mlc2 I  mlc cosx  mlc gsin   1.2 Biến đổi phương trình chuyển động về phương trình trạng thái Đầu tiên ta xét hệ phương trình (1.6) m0 m xmlc cos  u (t ) mlc 2   sin  mlc2 I  mlc cosx  mlc gsin   Giải hệ này ta có m0 m mlc cos   mlc cos  mlc2  I m0  mlc2 m  I m2lc2 cos 2  u( t) mlc2 sin  mlc cos  1  mlc gsin mlc2 I u( t) mlc  2 sin   mlc2 I 2lc2 gsin cos   m m m u(t) mlc 2 sin  2  0 mlc cos mlc g sin   c gsin  mlc cos u (t )  m0 m ml mlc  2 sin   Từ đó tính được:
7 1 u( t) mlc sin    lc gsin cos  2 mlc2 I m 2 2 x    m0 m  mlc I m lc cos 2  2 2 2  c g sin  mlc cos u( t) mlc  2 m0 m ml 2 sin       m0 m  mlc2 I m2lc2 cos2  , x4 Đưa về phương trình trạng thái ta đặt các biến như sau x1 x, x2 x, x 3     x  u (t ) ml x 2 c 4 sinx 3  mlc2 I 2 lc2 gsinx 3 cosx 3  m 2 m0 m  mlc2 I m 2lc2 cos 2 x 3  c gsinx 3 mlc cosx3 u(t ) mlc x42 sinx3 m0 m ml  x 4  m0 m  mlc2 I m2 lc2 cos 2 x 3 Mặt khác ta lại có x  1  x 2 , x 3 x 4 Từ đó ta có phương trình trạng thái của hệ x 1 x2 x  u (t ) ml x 2 c 4 sinx 3  mlc2 I 2 lc2 gsinx 3 cosx 3  m 2 m0 m  mlc2 I m l 2 2 c cos2 x 3 (1.7) x 3 x4 mlc gsinx 3 mlc cosx 3 u (t )  m0 m  mlc x42 sinx 3  x  4 m0 m  mlc2 I m2 lc2 cos2 x3 Hay viết dưới dạng xf ( x, u ) Trong đó :
8 x=[x 1,x 2,x 3,x 4 ] T x2  u (t ) mlc x4 sinx3  2 lc2 gsinx3 cosx3 2 mlc2 I  m   m0 m  mlc2 I m 2lc2 cos 2 x 3 f  x 4 m0 m ml  c gsinx 3 mlc cosx 3 u (t ) ml c x 24 sinx 3     m0 m  mlc2 I m 2lc2 cos 2 x 3 1.3 Vị trí cân bằng của hệ Điểm cân bằng của hệ được xác định từ hệ phương trình x f( x, 0)  0 Hay x2 0 u (t ) ml x 2 c 4 sin x3  ml c2 I 2l c2 gsin x3 cos x3  m 0 m0 m  mlc2 I m l 2 2 c cos 2 x3 x 4 0 mlc gsin x3 mlc cos x3 u (t ) mlc x42 sin x3 m0 m  0 m0 m  mlc2 I m 2lc2 cos2 x3 Từ đó ta dễ dàng tính được x2 0  sin x3 cos x3 0  x4 0  sin x3 0 Hệ trên có hai tập nghiệm là { x1 tùy ý; x2 0; x 3 0; x4  0 } và { x1 tùy ý; x 2  0; x 3 ; x 4 0 }
9 Từ đó ta có hai tập điểm cân bằng cua hệ là: x , x, 1,  1    *,0,0,0 và x, x 1  , 1,   *,0, ,0 CHƯƠNG 2 ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LQR Phương pháp điều khiển LQR ( linear-quadratic regulator ) là một áp dụng của nguyên lý cực đại Pontryagin để điều khiển tối ưu các hệ tuyến tính [9,11]. Trong phần này sử dụng các kết quả đã trình bày trong [11] để điều khiển vị trí cân bằng thẳng đứng của con lắc ngược. 2.1 Điều khiển ổn định của điểm cân bằng không ổn định x , x, 1,  1    *,0,0,0 Ta nhận thấy rằng điểm cân bằng x , x, 1 ,  1   *,0,0,0 là không ổn định. Thực vậy để xem xét tính không ổn định của điểm cân bằng x, x, 1 ,  1   *,0,0,0 ta làm như sau: Thực hiện tuyến tính hóa hệ quanh điểm cân bằng về dạng x= Ax + Bu trong đó f A x 0 ,0
10 0 1 0 0  0 gl 2c m2 0 0  mlc2 I m0 m  l m 2 c 2 A  0 0 0 1  0 gl cm m0 m  0 0   mlc2 m0 m  I l m 2 c 2  0     mlc2 I  B f   m0 m mlc2 I m2 lc2   u 0,0  0   l cm     mlc2 I m2l c2  m0 m    0 1 0 0 0 0 a 0 Tổng quát như sau A   0 0 0 1  0 0 b 0 glc2 m2 glc mm0 m  Trong đó a  0, b  0.  mlc2 I m0 m  l m2 c 2 m0 m  mlc2 I lc2m2 Để nghiên cứu tính ổn định ta tính các trị riêng của ma trận A , ta có: s 1 0 0  0 s a 0  s a 0 s 1 det( sI A) det  s 0 s 1 s2 2 s ( s 2 b) 0 0 s 1  b s   0 b s 0 0 b s  s 0  Do đó det( sI A ) 0  s 2 ( s 2 b) 0  s b . Ta thấy rằng ma trận có trị  A s   b riêng bên phải trục ảo, do đó điểm cân bằng là không ổn định.
11 Xét tính điều khiển được của hệ quanh vị trí cân bằng không ổn định x, x, 1, 1  *,0,0,0 Xét det(B | AB | A2 B | A3 B) 0 1 0 0   2 2  0 gl m 0 c 0   m0 m  ml I c 2 l m 2 c 2  Với A   0 0 0 1    0 gl cm m0 m  0 0    m0 m  ml 2 c I l m 2 c 2    0     ml c2 I  c  c   m 0 m ml 2 I  m 2 2  l B   0   l cm     m0 m    c  c  ml 2  I m 2 2 l Bằng sự trợ giúp của matlab ta tính được g 2lc4m 4 det(B | AB | A 2B | A3B )  0 m0mlc2 Im Im0  4 Do vậy ta có: rank (B | AB | A 2 B | A 3 B )  4 . Áp dụng định lý Kalman1 ở chương 1 của [11] ta có hệ là điều khiển được trong lân cận điểm cân bằng. Với mô hình con lắc ngược gắn với xe như ở Mục 1.1. Vị trí cân bằng thẳng đứng không ổn định. Bài toán đặt ra, ta đặt thêm vào một lực nằm ngang u(t). Thông qua hàm u(t) vị trí cân bằng thẳng đứng của hệ không ổn định trở nên ổn định. Hàm u(t) được chọn sao năng lượng tiêu hao là cực tiểu trong quá trình điều khiển con lắc ngược .