Luận văn tốt nghiệp Đại học: Động học của nguyên tử siêu lạnh trong bẫy quang học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là khảo sát quá trình động học của nguyên tử 87Rb siêu lạnh trong mạng quang học thông qua nghiên cứu dao động Bloch bằng chương trình giải số phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian (TDSE) trong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn tốt nghiệp Đại học: Động học của nguyên tử siêu lạnh trong bẫy quang học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÍ HỒ HOÀNG HUY ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRONG BẪY QUANG HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÍ HỒ HOÀNG HUY ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRONG BẪY QUANG HỌC NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÍ MÃ NGÀNH: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2018
Lời cảm ơn Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Tp.HCM, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và động viên từ bạn bè, Thầy Cô và Gia đình . Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành của mình đến • Các thành viên trong gia đình đã luôn quan tâm, ủng hộ về mặt tinh thần, tạo nên nguồn động lực để tôi phấn đấu trong quá trình học tập tại trường đại học và bền chí xuyên suốt quá trình thực hiện khóa luận. • Các Thầy, Cô giảng viên của Khoa Vật lí - Đại học sư phạm Tp.HCM đã tận tâm trong quá trình giảng dạy để tôi có thể lĩnh hội kiến thức học thuật và phong cách của một người giáo viên. • Thầy, TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh, người hướng dẫn khoa học đã hỗ trợ và dẫn dắt tôi ngay từ những ngày đầu thực hiện nghiên cứu khoa học; giúp tôi phát triển bản thân về tư duy học thuật, thái độ làm việc; và đã tận tình đọc và góp ý để tôi có thể hoàn thiện luận văn này. • Thầy, TS. Tomotake Yamakoshi - Đại học Điện tử - Truyền thông (UEC), Tokyo, Nhật Bản, người đồng hướng dẫn khoa học, đã tận tâm cố vấn về mặt nội dung cũng như kĩ thuật tính toán và lập trình trong suốt quá trình thực hiện nghiên cứu khoa học và đặc biệt là trong khóa luận tốt nghiệp này. • Các thành viên của nhóm nghiên cứu AMO - Đại học Sư phạm Tp. HCM đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu khoa học từ năm thứ hai. Tp. HCM, ngày 28 tháng 4 năm 2018 Tác giả Hồ Hoàng Huy
Mục lục Danh mục chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Bài toán Wannier - Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Bậc thang Wannier - Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3.1 Bẫy quang học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3.2 Dao động Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3.3 Dao động Bloch cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Sơ đồ tính toán mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Phương pháp chia ô Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Bài toán TISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Bài toán TDSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán cho bài toán dao động tử điều hòa một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.2 Tính chính xác của chương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Quá trình động học của nguyên tử siêu lạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.1 Biểu hiện của bó sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.1.1 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào cường độ của trường ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1.2 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào độ cao rào thế quang học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2 Vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của nguyên tử . . . . . . . . . . 37 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Danh mục chữ viết tắt Chữ viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh BEC Ngưng tụ Bose - Einstein Bose - Einstein condensation MOT Bẫy từ quang học Magneto - optical trap Phép gần đúng xoay mặt phẳng RWA Rotating wave approximation sóng SBA Gần đúng đơn mạng Single band approximation TBA Gần đúng tight - binding Tight - binding approximation Time - Independent Schr¨odinger TISE Phương trình Schr¨odinger dừng Equation Phương trình Schr¨odinger phụ Time - dependent Schr¨odinger TDSE thuộc thời gian Equation i
Danh sách hình vẽ 1.1 Tần suất xuyên ngầm Landau - Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Bố trí các nguồn laser để tạo ra bẫy quang học ba chiều. . . . . . . . . . . . 12 1.3 Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Dao động Bloch trong không gian động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 Sơ đồ tính toán mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1 Sự sai khác của mức năng lượng so với kết quả giải tích . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Hàm mật độ xác suất của dao động tử điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Hàm mật độ xác suất của trạng thái n = 100 và sai số tương đối tương ứng . 29 3.4 Sự sai khác của hàm mật độ xác suất theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Biểu hiện của bó sóng dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6 Biểu hiện của bó sóng khi thay đổi cường độ trường tuyến tính . . . . . . . . 32 3.7 Xác suất xuyên ngầm Landau - Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.8 Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào cường độ trường ngoài . . . . 34 3.9 Biểu hiện của bó sóng khi thay đổi chiều cao rào thế . . . . . . . . . . . . . 35 3.10 Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học . . . . . . . . . . . . 36 3.11 Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào chiều cao của rào thế quang học 37 3.12 Dao động Bloch cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.13 Vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của nguyên tử . . . . . . . . . . . . . . 39 ii
MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Ngày nay, các nghiên cứu về nguyên tử siêu lạnh, ở nhiệt độ thấp là một lĩnh vực hấp dẫn, được đông đảo cộng đồng khoa học quan tâm. Để đưa nguyên tử về trạng thái có nhiệt độ thấp này, các kĩ thuật làm lạnh như làm lạnh bay hơi (evaporative cooling) hay kĩ thuật bẫy nguyên tử bằng bẫy từ quang học (magneto - optical trap - MOT) thường được sử dụng. Nhắc đến các kĩ thuật bẫy nguyên tử, chúng tôi không thể không đề cập đến bẫy quang học (optical lattice), được xem như một phương pháp hiệu quả nhất và được ứng dụng để tạo ra sự ngưng tụ Bose - Einstein (Bose - Einstein condensation - BEC) ở miền nhiệt độ rất thấp (xấp xỉ vài nK). Đặc trưng cho loại bẫy này đó chính là tính tuần hoàn hoàn hảo của nó, mang đến nhiều ứng dụng với ưu điểm vượt trội trong nghiên cứu thực nghiệm. Trong vật lí chất rắn, biểu hiện của hệ lượng tử trong hàm thế có tính chất tuần hoàn là một bài toán phổ biến và mang đến nhiều thông tin hấp dẫn như cấu trúc vùng năng lượng Bloch hay hàm sóng Bloch của hệ có tính tuần hoàn với chu kì của thế tuần hoàn. Khi đặt thêm một trường ngoài tuyến tính vào hệ nguyên tử trong thế tuần hoàn, phổ năng lượng của hệ sẽ trở thành phổ gián đoạn, còn được biết đến với tên gọi phổ bậc thang Wannier - Stark [1]. Bên cạnh đó, nhờ vào sự đóng góp của trường ngoài tuyến tính, các hạt ở mức năng lượng thấp có thể chuyển lên các vùng năng lượng cao, vượt qua cả vùng cấm năng lượng trong cấu trúc năng lượng Bloch. Đó cũng chính là hiện tượng xuyên ngầm Landau - Zener [2]. Ngoài bậc thang Wannier - Stark và hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, dao động Bloch là một hiệu ứng quan trọng trong các nghiên cứu về nguyên tử siêu lạnh, nhận được sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu. Bài toán về hệ lượng tử đặt dưới tác dụng của thế 1
tuần hoàn và trường ngoài tuyến tính hay còn được gọi là bài toán Wannier - Stark. Lần lượt vào các năm 1929 và 1934, Bloch và Zener đã công bố các nghiên cứu tính toán lí thuyết cho electron tinh thể khi được đặt trong trường tĩnh điện [3]. Theo suy luận thông thường, electron là các hạt mang điện, khi bị đặt vào trường tĩnh điện sẽ chịu tác dụng của lực điện qE trường và bị gia tốc với giá trị a = . Tuy nhiên, hai nhà khoa học đã cho rằng, thay vì me bị gia tốc tuyến tính, các electron này sẽ tiến hành một dao động đặc biệt, gọi là dao động Bloch với chu kì được xác định bởi 2π~ TB = . (1) dF Tuy nhiên, giả thuyết này đã vấp phải một làn sóng tranh cãi dữ dội suốt nhiều năm liền giữa các nhà khoa học. Hàng loạt các công trình đã được công bố để phản bác và ủng hộ lí thuyết do Bloch và Zener đưa ra [4],[5],[6]. Vào thời điểm này, các nghiên cứu thực nghiệm đều chưa thể chỉ ra được liệu dao động Bloch có tồn tại hay không bởi vì chưa thể tạo ra được các thông số phù hợp để quan sát biểu hiện của hệ trong khoảng thời gian đủ dài để kết luận về sử dao động. Với sự ra đời của bán dẫn siêu mạng (semiconductor superlattices), điều kiện tiên quyết để tạo ra được thời gian quan sát phù hợp đã được đáp ứng. Vào năm 1992, Karl Leo và các đồng nghiệp đã gián tiếp quan sát được dao động Bloch trong bán dẫn siêu mạng [7], qua đó chính thức chấm dứt những nghi ngờ về hiện tượng trên. Mặc dù đã chứng minh được sự tồn tại của dao động Bloch nhưng bán dẫn siêu mạng vẫn chưa phải là một công cụ tối ưu để đưa ra những kết quả thực nghiệm rõ ràng, trực tiếp nhất. Những khuyết điểm của bán dẫn siêu mạng được khắc phụ tuyệt đối bằng việc sử bẫy quang học để thay thế. Nhờ vào đó, năm 1996, Dahan và cộng sự đã đưa ra bố trí thí nghiệm như sau: tại thời điểm ban đầu, nguyên tử bị giam trong bẫy quang học và bẫy điều hòa; sau đó, bẫy điều hòa bị tắt đi và trường tuyến tính được bật lên đột ngột. Với sự sắp xếp này dao động Bloch trong không gian động lượng đã được quan sát, mở ra nhiều nghiên cứu tiềm năng khác liên quan đến BEC [8]. Năm 2001, Morsch công bố công trình trên tạp chí Physical Review Letters sau 87 khi quan sát được dao động Bloch của nguyên tử Rb ở trạng thái BEC [9]. Vào năm 2013, nhóm nghiên cứu thực nghiệm ở Bắc Kinh đã đề xuất một phương pháp rút ngắn khoảng 2
87 thời gian để đưa nguyên tử Rb ở trạng thái BEC vào mức kích thích của mạng quang học [10], đồng thời đưa ra các tính toán lý thuyết tương ứng. Để phát triển những nghiên cứu này, quá trình động học của nguyên tử siêu lạnh cần được làm rõ, được biểu hiện cụ thể qua dao động Bloch. Gần đây, trong năm 2017, các nghiên cứu về dao động Bloch vẫn diễn ra sôi nổi với các công bố trên các tạp chí khoa học nổi tiếng như nghiên cứu về dao động Bloch khi không dùng đến tính tuần hoàn của mạng, công bố trên tạp chí Science [11] hay nâng cao tính hiệu quả của dao động Bloch trong giới hạn của mô hình tight - binding [12], dao động Bloch của nguyên tử BEC trong thế quang học tạo bởi các hố quang học có tính chuẩn xác cao [13] trên tạp chí Physical Review A. Vì vậy, các nghiên cứu về dao động Bloch vẫn có tính ứng dụng cao và mang tính thời sự. Hiện tại trong nước, theo ghi nhận của tác giả, dao động Bloch là một chủ đề mới và chưa có công bố khoa học từ các nhóm nghiên cứu hay cá nhân. Từ kết quả của những nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài "ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRONG BẪY QUANG HỌC" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp, để có thể nghiên cứu sâu hơn trong chủ đề này. Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi tiến hành khảo sát dao động Bloch dưới tác dụng của bẫy quang học và trường ngoài tuyến tính trong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng (single band approximation), khi đó, xác suất xuyên ngầm Landau - Zener là rất nhỏ, có thể bỏ qua. Mục tiêu luận văn 87 Khảo sát quá trình động học của nguyên tử Rb siêu lạnh trong mạng quang học thông qua nghiên cứu dao động Bloch bằng chương trình giải số phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian (TDSE) trong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp giải số: sử dụng giải thuật Fourier để giải TDSE. Từ đó, các kết quả được sử dụng để mô phỏng dao động Bloch trong không gian tọa độ và các đại lượng liên quan. 3
Trong phương pháp giải số này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 để lập trình tính toán, xử lý số liệu. Nội dung nghiên cứu • Tìm hiểu về bài toán Wannier - Stark và các mô hình gần đúng để giải bài toán. • Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình giải số cho trường hợp bài toán dao động tử điều hòa một chiều. • Sử dụng chương trình giải số tính toán các đại lượng liên quan như vận tốc trung bình hay cấu trúc vùng năng lượng của hệ. • Mô phỏng chuyển động của bó sóng trong không gian tọa độ và sự thay đổi của giả động lượng theo thời gian với mô hình gần đúng đơn mạng. Từ đó, đưa ra kết luận về phạm vi áp dụng của mô hình. • So sánh kết quả mô phỏng dựa trên việc giải TDSE với kết quả theo thuyết cổ điển thông qua việc giải phương trình Hamilton. • So sánh kết quả giải số với kết quả thực nghiệm của Dahan đã công bố [8]. Đối tượng nghiên cứu Trong luận văn này, các nguyên tử siêu lạnh bị giam trong bẫy quang học dưới tác dụng của trường thế tuyến tính sẽ được khảo sát. Nội dung của luận văn • Chương 1: Cơ sở lí thuyết: Trình bày về các tính chất của hệ lượng tử trong bài toán Wannier - Stark. Từ đó, đi sâu vào tìm hiểu về quá trình dao động Bloch của hệ. Đặc biệt, chi tiết về kĩ thuật bẫy 4
quang học và quá trình dao động Bloch trong bẫy quang học cũng được nhấn mạnh. Ngoài ra, dao động Bloch cổ điển cũng được giới thiệu trong phần này. • Chương 2: Phương pháp tính: Giới thiệu về chương trình giải số sử dụng để giải bài toán Wannier - Stark. Sau đó, trình bày về thuật toán được sử dụng để mô phỏng biểu hiện của bó sóng. • Chương 3: Kết quả nghiên cứu Kiếm chứng tính chính xác của chương trình giải số thông qua bài toán dao động tử điều hòa một chiều. Ngoài ra, quá trình động học của bó sóng, mà cụ thể là dao động Bloch, dưới tác dụng của mạng quang học và trường tuyến tính cũng được khảo sát. 5
Chương 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn là một trong những vấn đề quen thuộc trong bộ môn vật lí chất rắn, mang đến nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán này thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học bởi tính chất tuần hoàn của hàm sóng, còn được gọi là hàm Bloch. Xét Hamiltonian của hệ 2 2 ˆ B = − ~ ∂ + V (x), H (1.1) 2m ∂x2 với V (x) là hàm thế có tính chất tuần hoàn với chu kì d sao cho V (x) = V (x + d), (1.2) bằng việc giải phương trình Schr¨odinger dừng (Time-Independent Schr¨odinger Equation - TISE) ˆ B ψ(x) = En (q)φn (x), H (1.3) q hàm sóng của hệ với Hamiltonian Bloch (1.1) tuân theo định lý Bloch: Hàm riêng của phương trình sóng cho hệ trong thế tuần hoàn được xác định bằng tích của sóng phẳng và hàm tuần hoàn uq với chu kì là chu kì của hàm thế, được biểu diễn qua biểu thức n iqx n φq (x) = exp uq (x). (1.4) ~ Trong đó hàm u(x) cũng mang tính chất tuần hoàn với chu kì tương tự với chu kì của hàm thế V (x) unq (x) = unq (x + d). (1.5) 6
Bên cạnh đó, En (q) là cấu trúc vùng năng lượng theo động lượng tinh thể (crystal momen- tum), bao gồm các mức năng lượng khác nhau của hệ. Ở giữa mức năng lượng thứ nhất và thứ hai, vùng cấm năng lượng xuất hiện tại vị trí biên của vùng Brillouin thứ nhất. Tương tự, tại vị trí rìa của các vùng Brillouin tiếp theo, vùng cấm năng lượng cũng xuất hiện ứng với các mức năng lượng cao hơn. Đây là những tính chất đặc trưng của một hệ lượng tử trong thế tuần hoàn. Do trạng thái Bloch được biểu diễn trong không gian động lượng, gọi là biểu diễn Bloch, hàm Wannier, đóng vai trò là cơ sở trong không gian tọa độ, đã được đưa ra bằng việc lấy tích phân của trạng thái Bloch theo động lượng tinh thể trong vùng Brillouin thứ nhất, qua đó biểu diễn trạng thái của hệ trong không gian tọa độ (biểu diễn Wannier) Z π/d n Wl (x) = exp(idqj)φnq (x)dq, (1.6) −π/d với j là số lượng hố thế tuần hoàn trong vùng không gian khảo sát, có giá trị nguyên. Hơn thế nữa, hàm Wannier có tính chất hữu hạn trong khoảng xác định, ngoài khoảng này, giá trị của hàm Wannier giảm nhanh về 0. Điều này hoàn toàn ngược lại với tính chất của hàm Bloch. 1.2 Bài toán Wannier - Stark Hệ lượng tử được giam hãm trong thế tuần hoàn cùng với trường thế tuyến tính cũng là một bài toán hấp dẫn, thu hút nhiều sự quan tâm từ các nhóm nghiên cứu. Nguồn gốc của vấn đề này xuất phát từ quá trình tương tác của các electron tinh thể với trường tĩnh điện qua lực tĩnh điện F = |q|E. Vấn đề trên được biết đến với tên gọi bài toán Wannier - Stark, được mở rộng cho trường hợp các nguyên tử trung hòa về điện bằng cách gia tốc tuyến tính thế tuần hoàn với gia tốc a at2 V (x) → V (x + ). (1.7) 2 Như vậy, trong hệ tọa độ gắn với thế tuần hoàn, các nguyên tử trung hòa về điện chịu tác dụng của lực quán tính F = −M a, (1.8) 7
tạo nên trường thế tuyến tính. Bên cạnh phương pháp trên, việc giam hãm các nguyên tử trong một bẫy điều hòa theo phương thẳng đứng và tận dụng gia tốc trọng trường g = 9.8 m/s2 tạo nên thế tuyến tính cũng được đề xuất. Tuy nhiên, phương pháp này ít được sử dụng vì gặp phải khó khăn trong thay đổi cường độ của thế tuyến tính [14]. Hamiltonian cho bài toán Wannier - Stark này được viết dưới dạng 2 2 ˆ WS = − ~ ∂ + V (ˆ H x) + F xˆ, (1.9) 2m ∂x2 trong đó, hai số hạng đầu tiên là Hamiltonian Bloch và số hạng còn lại chính là trường thế tuyến tính Hˆ 0 . Phương trình (1.9) được biết đến với tên gọi Hamiltonian Wannier - Stark. Vấn đề trên đã mở ra các hướng nghiên cứu nhỏ hơn bao gồm hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, bậc thang Wannier - Stark và dao động Bloch. 1.2.1 Bậc thang Wannier - Stark Sự xuất hiện của trường ngoài tuyến tính là nguyên nhân dẫn đến tính chất đối xứng của Hamiltonian Bloch bị phá vỡ. Bằng cách sử dụng kí hiệu của Dirac, các phương trình trị ˆ B và trường thế tuyến tính Hˆ 0 sẽ là riêng và hàm riêng ứng với Hamiltonian Bloch H ˆ B |qi = En |qi , H (1.10) Hˆ 0 |ji = F dj |ji , (1.11) với |qi, |ji lần lượt là trạng thái Bloch và trạng thái Wannier. Bên cạnh đó, hàm sóng của hệ còn được viết dưới dạng [15] ∞ X |ψi = cB (n, q) |qi (1.12) n,q=1 X ∞ = cW (n, j) |ji , (1.13) n,j=1 với cB (n, q) và cW (n, j) là các hệ số chuẩn hóa thỏa mãn X∞ |cB (n, q)|2 = 1, (1.14) n,q=1 X∞ |cW (n, j)|2 = 1. (1.15) n,j=1 8
Ngoài ra, |qi và |ji cũng thỏa mãn tính chất trực giao ha|bi = δab . (1.16) Sử dụng các phương trình vừa nêu trên, phổ năng lượng của hệ được xác định bởi ˆ WS |ψi Eq,j = hψ| H ˆ B |ψi + hψ| Hˆ 0 |ψi = hψ| H ∞ X ∞ X 2 = |cB (n, q)| En + |cW (n, j)|2 F dj (1.17) n,q=1 n,j=1 = Eqn + F dj. (1.18) với Eqn là cấu trúc vùng năng lượng của hệ khi cường độ trường ngoài F = 0. Như đã đề cập ở trên, j mang các giá trị nguyên dương, khác không. Biểu thức (1.18), khi đó, trở thành phổ năng lượng gián đoạn, tạo thành các bậc thang, được gọi là bậc thang Wannier - Stark. Trong khuôn khổ luận văn này, phổ năng lượng Wannier - Stark sẽ được trình bày trong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng. Ý tưởng của mô hình này đó là chỉ tập trung khảo sát biểu hiện của các thành phần đang ở mức năng lượng cơ bản, bỏ qua các hiện tượng kết cặp giữa các mức năng lượng. Hay nói cách khác, xác suất để xảy ra hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener là rất nhỏ và hoàn toàn có thể bỏ qua. Hiện tượng xuyên ngầm Landau - Zener sẽ được trình bày chi tiết hơn trong phần tiếp theo. Đối với các mức năng lượng càng cao, độ rộng của vùng cấm năng lượng giảm dần. Như vậy, tần suất xuyên ngầm Landau - Zener càng thường xuyên, tức là khả năng các thành phần ở các mức năng lượng thấp hơn chuyển lên các mức năng lượng cao hơn càng nhiều. Điều này dẫn đến hệ quả rằng số lượng các mức năng lượng giảm theo tốc độ phân rã τ được cho bởi ~ bn τ= , Γn = an exp − , (1.19) Γn F trong đó, an và bn là hai thông số đặc trưng của cấu trúc vùng năng lượng đang khảo sát. Phổ năng lượng (1.18) được hiệu chỉnh thành phổ năng lượng phức, với phần thực chính là phổ bậc thang Wannier - Stark; còn phần ảo phụ thuộc vào tốc độ phân rã [1] Γn Eq,j = Eqn + F dj − i . (1.20) 2 9
Mục đích cuối cùng của vấn đề bậc thang Wannier - Stark đó chính là khảo sát và mô tả được phổ năng lượng phức của hệ. 1.2.2 Hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener Khi khảo sát hệ lượng tử có dưới tác dụng của thế tuần hoàn và trường ngoài tuyến tính, luôn tồn tại một xác suất để các thành phần có mức năng lượng thấp có thể vượt qua vùng cấm năng lượng chuyển lên các mức năng lượng cao hơn. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener. Cơ chế của hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener được giải thích như sau: Khi nguyên tử đặt trong trường thế tuần hoàn, các hạt ở trạng thái ứng với mức năng lượng thấp không thể vượt qua được vùng cấm năng lượng để đạt được những trạng thái kích thích cao hơn. Với sự xuất hiện của trường thế tuyến tính có cường độ đủ mạnh, các hạt được cung cấp thêm năng lượng đủ để vượt qua vùng cấm và đạt được trạng thái kích thích cao hơn [16]. Năm 1932, Zener đã đưa ra công thức ước tính xác suất xuyên ngầm [3] ac r = exp − (1.21) aexp với tham số ac đặc trưng cho cấu trúc vùng năng lượng của hệ còn tham số aexp phụ thuộc trực tiếp vào cường độ của trường ngoài đặt lên hệ. Như vậy, xác suất xuyên ngầm này là một hàm mũ, phụ thuộc vào cường độ trường ngoài và thế tuần hoàn tạo nên cấu trúc Bloch. Đối với trường hợp cường độ trường ngoài yếu, giá trị xác suất này rất nhỏ và có thể bỏ qua; đó chính là giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng [17]. Khi giá trị cường độ trường ngoài tăng lên đáng kể, xác suất này tăng rất nhanh, tần suất các thành phần ở vùng năng lượng thấp chuyển lên các vùng năng lượng cao hơn ngày càng nhiều. Theo cơ học lượng tử, hiệu ứng xuyên ngầm là một trong những hiện tượng đặc trưng trong thế giới vi mô, chứa đựng nhiều thông tin về quá trình động học của hệ. Sự xuyên ngầm Landau - Zener cung cấp dữ liệu cho các nghiên cứu về động học giữa các mức năng lượng. Nhờ vào các nghiên cứu về chủ đề này, công thức (1.19) đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm bởi nhóm nghiên cứu của Bharucha thể hiện bởi hình 1.1 biểu thị thời gian sống của trạng thái theo giá trị gia tốc của mạng tạo nên bởi sự chênh lệch tần số (chi tiết về 10
Hình 1.1: Tần suất xuyên ngầm Landau - Zener được đo bởi Bharucha và cộng sự vào năm 1996 cho kết quả phù hợp với lý thuyết Landau - Zener [2]. quá trình gia tốc này sẽ được trình bày trong phần giới thiệu về mạng quang học). Kết quả cho thấy thời gian sống giảm nhanh theo gia tốc, điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (1.19), qua đó khẳng định lại nguyên nhân của sự suy giảm số nguyên tử bị giam hãm là do hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener. Đặc biệt, đối với các nghiên cứu về hiện tượng ngưng tụ Bose - Einstein, quá trình xuyên ngầm Landau - Zener thường được khảo sát vì khả năng mô tả sự chuyển mức năng lượng giữa các vùng năng lượng Bloch [9],[17],[18]. 1.2.3 Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học 1.2.3.1 Bẫy quang học Để tạo ra bẫy quang học một chiều, hai nguồn laser được đặt trực diện, chiếu trực tiếp vào nhau tạo nên sự giao thoa. Tương tự như vậy, để tạo nên bẫy quang học ba chiều, hệ gồm ba cặp laser đặt trực diện nhau cần được sử dụng. Trong thực tế, bẫy quang học một chiều có thể được tạo ra đơn giản bằng cách chiếu một nguồn laser phân cực thẳng vào một 11
Hình 1.2: Ba cặp nguồn laser được bố trí như hình vẽ để tạo ra bẫy quang học ba chiề u [19]. gương phẳng để thu được hai chùm sáng trực diện nhau. Tuy nhiên, cách thức này gặp phải khó khăn trong việc điều chỉnh độ cao của rào thế. Điều này được khắc phục bằng việc sử dụng tế bào Bragg để tạo ra sự sai lệch về tần số giữa các chùm sáng [16], [20]. Về cơ chế, bẫy quang học và cả các kĩ thuật bẫy nguyên tử khác sử dụng laser tác dụng lên nguyên tử đều dựa trên sự dịch chuyển Stark. Khi đặt nguyên tử dưới tác dụng của trường laser, thành phần điện trường dao động sẽ tác động và tạo ra moment lưỡng cực điện cho nguyên tử. Quá trình tương tác giữa moment lượng cực điện này và thành phần điện trường dao động của ánh sáng tạo nên sự dịch chuyển năng lượng. Thông qua việc sử dụng phép gần đúng xoay mặt phẳng sóng (rotating wave approximation - RWA) [14], biểu thức toán học mô tả thế quang học được cho bởi V (x) = V0 sin2 (kR x), (1.22) 12
trong đó kR là động lượng giựt lùi, phụ thuộc vào bước sóng λ của xung laser sử dụng 2π kR = , (1.23) λ và V0 được gọi là chiều cao của rào thế, thường được tính theo năng lượng giật lùi ~2 kR2 ER = . (1.24) 2m Sự tuần hoàn của thế quang học theo không gian cũng phụ thuộc vào bước sóng của laser. Ta có hằng số mạng d bằng một nửa bước sóng [19] λ d= . (1.25) 2 Cũng như các dạng thế tuần hoàn khác, các nguyên tử bị giam trong thế quang học có cấu trúc vùng năng lượng Bloch. Cấu trúc của vùng năng lượng phụ thuộc vào chiều cao rào thế V0 được thể hiện qua hình (1.3) cho các trường hợp hạt tự do, chiều cao rào thế bằng 3ER và 9ER trong vùng Brillouin thứ nhất với giá trị của động lượng tinh thể thuộc [−~k, ~k]. Qua đó, sự phụ thuộc của độ rộng vùng cấm năng lượng vào chiều cao rào thế được thể hiện. Như đã đề cập ở phần trên, bài toán Wannier - Stark được khảo sát đầu tiên trên đối tượng điện tử tinh thể, một trường hợp mà điện trường tĩnh có thể đóng vai trò là trường thế tuyến tính. Tuy nhiên, khi mở rộng vấn đề đối với nguyên tử trung hòa điện, kĩ thuật trên không còn phù hợp, dẫn đến sự cần thiết để đưa ra một phương pháp khác có thể tạo ra được trường tuyến tính lên nguyên tử trung hòa. Phương pháp này dựa trên ý tưởng về lực quán tính mà các nguyên tử chịu khi thế quang học bị gia tốc. Khi tần số giữa hai nguồn laser trực đối bị thay đổi, tạo sự chênh lệch ∆ν, thế quang học sẽ chuyển động theo quy luật v = d∆ν (1.26) Như vậy, theo cơ học cổ điển, các nguyên tử trung hòa bị giam hãm trong thế tuần hoàn sẽ chịu tác dụng của lực quán tính dv d∆ν F = −m = −md (1.27) dt dt 13