Luận văn:Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

Chia sẻ: Rose_12 Rose_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

489
lượt xem 106
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số. Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng. Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn:Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

BÁO CÁO TỐT NGHIỆP Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai 1
LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hư ớng: nghiên cứu định tính và giải số. Mặc dù đã có lịch sử phát triển h àng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm m ạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng. Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Để làm được điều n ày, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao h ơn. Phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M. V. Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng n ày. Lu ận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo các tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003 -2008). Lu ận văn gồm ba Chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương trình vi phân. Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số cổ điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản. Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào những năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyến tính, theo các tài liệu [9]-[11]. Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M. V. Bulatov và G. V. Berghe ([4], 2009). 2
Thông qua việc tính toán đạo h àm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M. V. Bulatov và G. V. Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất. Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB và tính toán trên máy các ví dụ của M. V. Bulatov và G. V. Berghe. Lu ận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học). Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy. Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , các Thày Cô và các cán bộ khoa Toán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đ ã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học Cao học. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo và các cán bộ, giáo viên Học viện Quân y đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình, b ạn b è đã thông cảm, sẻ chia, hy sinh và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học Cao học và viết luận văn. Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009 Tác giả Vũ Thị Thanh Bình 3
CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị Trong Chương 1 chúng tôi nh ắc lại những khái niệm cơ bản nhất của giải số phương trình vi phân nh ằm thuận tiện cho trình bày ở các mục sau . 1.1. Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phân Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình t   0,1 (1.1) x(t )  f ( x(t ), t ), thỏa mãn đ iều kiện ban đầu x (0)  x0 , (1.2) trong đó f  x, t  , x  t  là các hàm vectơ n - chiều , h àm f xác định trên hình hộp vô h ạn D : 0, 1 R n . Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm của (1.1)- (1.2) là một hàm khả vi x (t ) trên  0,   ,   1 sao cho x(t )  f ( x(t ), t ) trên  0,   và x(0)  x0 . Cùng với bài toán (1.1), ta cũng xét trường hợp hàm f ( x, t ) là tuyến tính, tức là f ( x, t )  B(t ) x  g (t ) , trong đó B(t ) là ma trận cấp n  n , còn g (t ) là vectơ n -chiều, tức là hệ tuyến tính t   0,1 . (1.3) x(t )  B (t ) x  g (t ), Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận B(t ) , của các vectơ f  x, t  , g (t ) là đủ trơn (có đ ạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán). Khi ấy theo đ ịnh lí Picard- Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nh ất nghiệm x(t ) trên toàn đoạn  0,1 (nghiệm có th ể kéo d ài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem [8], tran g 467). Lưu ý n ày là quan trọng trong giải số hệ ph ương trình (1.1)-(1.2). 4
1.2. Giải số bài toán Cauchy Để chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nh ất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của b ài toán (1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm. Có hai phương pháp xây dựng dãy n ghiệm xấp xỉ: ph ương pháp giải tích và phương pháp số kết quả đư ợc cho d ưới d ạng bảng, như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước,... Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta,... xu ất phát từ qui tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [2]). 1 .2.1 . Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân Quy tắc cầu phương cơ bản (basic quadrature rules) có thể được coi là phương pháp quan trọng để tính tích phân. Vì giải phương trình vi phân th ường (1.1) với điều kiện ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân t (1.4) x(t )  x0   f ( x(s ), s )ds t0 n ên ta cũng có thể sử dụng quy tắc cầu phương cơ bản trong việc giải số phương trình vi phân. Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải số phương trình vi phân có th ể suy ra từ quy tắc cầu phương cơ bản. Trước tiên ta nhắc lại quy tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [1]). b Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: để tính tích phân ta thay f (t )  f (t )dt a b ởi một đa thức nội suy (interpolating polynomial). Tích phân của hàm f (t ) được xấp xỉ bởi tích phân của hàm đa thức (tính đ ược chính xác). Giả sử ta có s điểm nội suy khác nhau c1 , c2 ,..., cs trong khoảng  a , b  . Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ hơn s có d ạng (xem [1]): s  (t )   f (c j ) L j (t ) , j 1 5
b s s (t  c ) f (t ) dt    j f (c j ) .  j (c  ci ) . Khi ấy trong đó L j (t )   j 1 i 1,i  j i a b Các trọng số  j đ ược tính theo công thức  j   L j (t )dt. a Nếu s  1 thì đa thức nội suy  (t )  f (c1 ) và ta có: b  f (t )dt  (b  a) f (c1 ). a Ta nói độ chính xác (precision) của quy tắc cầu phương là p nếu quy tắc n ày chính xác cho mọi đa thức bậc nhỏ hơn p , tức là với mọi đa thức Pk (t ) bậc nhỏ h ơn p ta có: b s  Pk (t )dt    j f (c j ). j 1 a Nếu b  a  0(h) thì sai số trong quy tắc cầu phương của độ chính xác p là 0(h p 1 ). Ta xét m ột số trường hợp đặc biệt.  Nếu chọn s  1 và c1  a thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABCD (Hình 1.1): b (1.5)  f (t )dt  (b  a) f (a). a Nếu x (t ) là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) - (1.2) (nghiệm của phương trình tích phân (1.4)) thì: t h (1.6) x (t  h )  x (t )  f ( x( s ), s )ds  t Kết hợp với công thức (1.5) ta đi đến công thức: (1.7) x(t  h)  x(t )  h. f ( x(t ), t ) Gọi h là độ dài bước (stepsize) của biến độc lập t ( h có thể dương hoặc âm, khi h dương thì nghiệm được xây dựng về bên ph ải của điểm t0 và ngược lại, khi h âm 6
thì nghiệm được xây dựng về b ên trái của t0 ). Dưới đây ta coi h  0 , trường hợp h  0 có thể được xét tương tự. f Từ công thức (1.7 ) ta có x1  x0  h. f ( x0 , t0 ) ; D C x2  x1  h. f ( x1 , t1 ) ; b a .....; x O B A xn 1  xn  h. f ( xn , tn ) . Đây chính là công thức Euler tiến quen thuộc. Hình 1.1  Nếu chọn s  1 và c1  b thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABEF (Hình 1.2): f E F b  f (t )dt  (b  a) f (b). a Từ đây ta có: a b x(t  h)  x(t )  h. f ( x(t  h), t  h) x O A B Suy ra công thức Euler lùi: xn 1  xn  h. f ( xn 1 , tn 1 ) . Hình 1.2 Hai phương pháp Euler tiến và Euler lùi là những phương pháp Runge-Kutta bậc nhất (có độ xấp xỉ bậc nhất). f a b  Nếu chọn s  1 và c1  thì ta có N 2 M công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích h ình chữ nhật ABMN (Hình 1.3): b a x ab O B A t h h h f ( x( s ), s)ds  h. f ( x(t  ), t  )  2 2 2 t Từ đây ta có: Hình 1.3 h h x(t  h)  x(t )  h. f ( x(t  ), t  ) . 2 2 7
Từ công thức trên ta có h h xn 1  xn  h[ f ( x(tn  ), tn  ] . 2 2 Đây chính là phương pháp trung điểm (midpoind method). t b t a  Nếu chọn s  2 và c1  a, c2  b thì L1 (t )  và L2 (t )  . ( a  b) (b  a ) Suy ra b b b 1 (t  b) 2 t b ba 1   L1 (t )dt   dt   ( a  b) (a  b ) 2 2 a a a và a b b 1 (t  a ) 2 t a ba 2   L2 (t )dt   dt   . (b  a ) (b  a ) 2 2 a a b Chứng tỏ b ba [ f ( a )  f (b )] .  f (t )dt  2 a th Như vậy nếu xấp xỉ tích phân f ( x( s ), s ) ds bởi công thức trên (bởi diện tích h ình t thang ABED, Hình 1 .4) thì ta đ ược: f E th h f ( x( s ), s) ds  [ f ( x(t  h), t  h)  f ( x(t ), t )] .  D 2 t Từ đây ta có công thức h ình thang: h b a xn1  xn  [ f ( xn , tn )  f ( xn1 , tn1 )] . x O A B 2 Phương pháp điểm giữa và phương pháp h ình thang là hai phương pháp ẩn, Hình 1.4 chúng có độ chính xác p  2 . ab  Nếu chọn s  3 và c1  a , c2  , c3  b thì, đ ặt h  b  a , ta có: 2 8
a b (t  )(t  b ) ab 2 2 L1 (t )   2 (t  )(t  b ), a b 2 )(a  b) h (a  2 (t  a )(t  b) 4 L2 (t )   2 (t  a )(t  b), ab ab  b) h  a )( ( 2 2 ab (t  a )(t  ) ab 2 2 L3 (t )   2 (t  a )(t  ). ab 2 h (b  a )(b  ) 2 Suy ra b b b a b a b 2 2 1   L1 (t )dt  2  (t  )(t  b)dt  2  (t  b  )(t  b)dt 2 2 ha ha a b b 2 (t  b)3 a  b (t  b ) 2 a b 2 [(t  b)2  (  )(t  b)]dt  2 [ ( ) ] h2  2 3 2 2 h a a 2 (b  a )3 h  . h 2 12 6 và b b b 4 4 2   L2 (t )dt  2  (t  a )(t  b)dt  2  (t  a )(t  a  (a  b ))dt ha ha a b 4 (t  a )3 (t  a) 2 4h   ( a  b)]  . [ 2 3 2 6 h a Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có h .  3  1  6 Từ các tính toán trên ta đi đến công thức Simpson: b ab h )  f (b )] .  f (t )dt  6 [ f (a)  4 f ( 2 a Suy ra công thức xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân 9
h h h x(t  h)  x(t )  [ f ( x(t ), t )  4 f ( x(t  ), t  )  f ( x(t  h), t  h)] 6 2 2 và công thức sai phân h h h xn1  xn  [ f ( xn , tn )  4 f ( x(tn  ), tn  )  f ( xn 1 , tn 1 )] . 6 2 2 Đây là công th ức ẩn của phương pháp Runge-Kutta kinh điển cấp bốn (classical fourth-order Runge-Kutta method). 1 .2.2 . Phương pháp Runge-Kutta 1 .2.2.1. Dẫn tới phương pháp Runge - Kutta Vì ph ương pháp ẩn đòi hỏi tại mỗi bước phải giải một phương trình phi tuyến, điều n ày không đơn giản, nên ta cố gắng xây dựng các công thức Runge-Kutta hiển từ công thức hình thang ẩn, công thức điểm giữa ẩn và công thức Runge-Kutta kinh đ iển cấp bốn ẩn tương ứng như sau.  Trong công thức hình thang ẩn: h xn 1  xn  [ f ( xn , tn )  f ( xn 1 , tn 1 )] , 2 ta thay giá trị xn1 ở vế phải bằng công thức Euler tiến: xn 1  xn  hf ( xn , tn ) . ˆ Khi ấy ta được công thức: h ˆ xn 1  xn  [f ( xn , tn )  f ( xn 1 , tn 1 )] 2 Công thức n ày đư ợc gọi là phương pháp hình thang hiển (explicit trapezoidal m ethod). h  Bằng cách sử dụng xấp xỉ bậc nhất của x(tn  ) theo phương pháp Euler tiến: 2 h ˆ  xn  x f ( xn , t n ) 1 2 n 2 và thay vào công thức của phương pháp trung điểm ẩn h h xn 1  xn  hf ( x(tn  , tn  ) 2 2 10
ta nh ận được phương pháp trung điểm hiển (explicit midpoint method): h ˆ xn 1  xn  hf ( x , tn  ) 1 2 n 2  Từ phương pháp Runge-Kutta ẩn cấp bốn kinh điển h h h xn1  xn  [ f ( xn , tn )  4 f ( x(tn  ), tn  )  f ( xn 1 , tn 1 )] , 6 2 2 ta có công thức Runge-Kutta hiển bậc bốn kinh điển sau: h xn 1  xn  ( k1  2 k2  2k3  k4 ), n  0,1, 2,... 6 trong đó: k1  f ( xn , t n ); hk1 h k2  f ( xn  , tn  ); 2 2 hk h k3  f ( xn  2 , tn  ); 2 2 k4  f ( xn  hk3 , tn ). 1 .2.2.2. Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Nội dung cơ b ản của phương pháp Runge-Kutta tổng quát như sau. Chia đoạn  0,1 thành một lưới đều 1 ti  ih , i  0,1, 2,..., N , h  , N và kí hiệu xi là giá trị xấp xỉ x  ti  , Bi  B(ti ) , g i  g  ti  . Phương pháp Runge-Kutta cho bài toán (1.1)-(1.2) có dạng (xem, [2], [4]-[7]) s xi 1  xi  h bi X i , (1.8) i 1 trong đó X i là vectơ n -chiều và là nghiệm của hệ phương trình phi tuyến   s X i  f  x i  h a i j X j , t i  c i h  . (1.9)     j 1 Các tham số aij , ci , bi xác định bậc xấp xỉ của phương pháp, còn s được gọi là số 11
nấc. Nếu aij  0 với mọi j  i thì ta có phương pháp Runge-Kutta hiển . Khi ấy tính toán khá đơn giản ( X i được tính theo công thức truy hồi). Nếu aij  0 với j  i nào đó thì ta có phương pháp Runge-Kutta ẩn . Khi ấy tại mỗi bước ta phải giải một hệ ns phương trình phi tuyến (tuyến tính nếu f ( x, t )  B(t ) x  g (t ) ) để tìm s vectơ X i (mỗi vectơ X i có n tọa độ). Thường phương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher (Butcher table) c A bT Hai phương pháp Runge-Kutta quan trọng thư ờng hay được sử dụng là phương pháp Runge-Kutta b ậc hai và phương pháp Runge-Kutta bậc bốn. 1 .2.2.3. Công thức lặp của phương pháp Runge-Kutta bậc hai Giả thiết rằng ta đã biết giá trị của x tại tn là xn . Phương pháp Runge-Kutta hiển h ai n ấc cấp hai sử dụng điểm ( xn , tn ) để xấp xỉ giá trị của x tại điểm tiếp theo bằng công thức (1.10) xn 1  xn  h(b1k1  b2 k 2 ), trong đó k1  f ( xn , yn ); k2  f ( xn  c2 h, yn  ha21k1 ). Khái niệm s -nấc ( s -stage) th ể hiện rằng số lần tính các giá trị của hàm f (tại các đ iểm kh ác nhau trong công thức Runge-Kutta) là s . Để tìm các phương pháp Runge-Kutta bậc hai, ta làm như sau (xem [2]). Khai triển Taylor h àm f ( x, t ) theo phương trình (1.1) và theo công thức (1.10) rồi so sánh, ta đi đ ến kết luận: Các h ệ số trong phương pháp Runge-Kutta cấp hai phải thoả mãn h ệ phương trình 1 1 b1  b2  1, c2b2  , a21b2  . 2 2 12
Đây là m ột h ệ ba phương trình (phi tuyến) bốn ẩn. Ta có thể chọn một hệ số, thí dụ, b2  0 tự do. Khi ấy các hệ số còn lại biểu diễn qua b2  0 b ởi các công thức: 1 1 b1  1  b2 , c2  , a21  . 2b2 2b2 1 1 Chọn b2  , thì b1  và a21  c2  1 . Khi ấy ta có một phương pháp Runge-Kutta 2 2 cấp hai cho phép tính xn 1 dựa trên công thức: 1 1 xn 1  xn  hf ( xn , tn )  hf ( xn  hf ( xn , tn )tn  h ) . 2 2 Công thức này được gọi là phương pháp Runge-Kutta đơn giản (Simple Runge- Kutta Method) ho ặc phương pháp tiếp tuyến cải tiến (Impoved Tangent Method), vì nó trùng với phương pháp Euler cải tiến. 1 1 Nếu chọn b2  1 thì a21  , b1  0 và c2  . Khi ấy ta có công thức 2 2 h h f ( xn , tn ), tn  ) . xn 1  xn  h(b1k1  b2 k2 )  xn  .h. f ( xn  2 2 Phương pháp tính theo công thức trên được gọi là phương pháp Euler-Cauchy. 1 .2.3 . Phương pháp cổ điển đa bước Phương pháp cổ điển k -bước cho b ài toán (1.1) có d ạng (xem, [3], [4 ]-[7 ]) k k   j xi1 j  h j f ( xi1 j , ti1 j ) . (1.11) j 0 j 0 Phương pháp một tựa tương ứng với nó là k k k   j xi1 j  hf (  j xi 1 j ,   jti1 j ) . (1.12) j 0 j 0 j 0 Đối với phương pháp này ta giả thiết rằng các giá trị xuất phát x1, x2 ,..., xk 1 đã được tính tương đối chính xác. Nếu 0  0 và  0  0 thì phương pháp là phương pháp hiển. Nếu 0  0 và  0  0 thì ta có ph ương pháp ẩn. 13
1.3. Mô hình thử và ổn định của phương pháp số 1 .3.1 . Mô hình thử Để phân tích hiệu quả của các phương pháp, ta thường thử chúng trên mô hình G. Dahlquist (gọi là phương trình thử hay mô h ình thử) x   x, x  0   x0  R, t   0,1 , (1.13) trong đó  là m ột hằng số (thực hoặc phức). Nghiệm của phương trình này là x(t )  e t x0 . Ta thư ờng viết    R  i I , trong đó  R và  I tương ứng là các phần thực và phần ảo của  . Tương ứng với phương trình (1.13), xét phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất x n 1  x n , n  0,1,2,... , trong đó x 0 cho trước và  nói chung là một số phức. Nghiệm của phương trình n ày là x n   n x0 . Ta thấy rằng nghiệm này bị chặn khi và chỉ khi   1 . Giả sử bước h  0 cố định. Khi ấy giá trị của nghiệm chính xác tại các điểm t n  nh sẽ là x n  e t x0  e nh x 0   n x0 , trong đó   e h . n Nếu nghiệm chính xác bị chặn thì   e h  1 . Điều này ch ỉ có thể xảy ra nếu Re  h   R h  0 . Điều này có ngh ĩa là, trên mặt phẳng với trục hoành Re(h) và trục tung Im(h) , miền ổn định của nghiệm chính xác phải là nửa mặt phẳng mở bên trái. Phương pháp một bước được gọi là ổn định tuyệt đối nếu   1 và ổn định tương đối n ếu   e h . Nếu  là thuần ảo và   1 thì ổn định tuyệt đối được gọi là ổn định tuần hoàn (P- ổn định). Khi miền ổn định của ph ương trình sai phân đồng nhất với miền ổn định của phương trình vi phân, lược đồ sai phân hữu hạn được gọi là ổn định - A. 14
Phương trình thử thường đư ợc sử dụng như một mô h ình để dự đoán tính ổn định của phương pháp số giải hệ dạng tổng quát (1.1)-(1.2). Để thuận tiện, ta cũng có thể đưa ra các khái niệm ổn định tương tự như sau. Kí hiệu z   h , mọi phương pháp Runge-Kutta (1.8)-(1.9) đều có th ể viết dưới dạng xi 1  R( z ) xi , trong đó R( z ) được gọi là hàm ổn định. Định nghĩa 3.1 Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức M mà R( z )  1 được gọi là miền ổn định của phương pháp (1.8)-(1.9 ). Nếu tập hợp đó chứa to àn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi là ổn định-A, còn nếu ngoài ra lim R( z )  0 thì phương pháp z  được gọi là ổn định -L(hay còn gọi là ổn định tiệm cận ). 1 .3.2 . Sự ổ n định của phương pháp Euler Phương pháp Euler áp dụng cho phương trình thử (3.1 ) có dạng x n1  xn  hf ( xn , t n )  x n  hxn  1  hx n . Nghiệm của phương trình sai phân tương ứng là x n  1  h  x n   n x0 , n trong đó   1  h . Phương pháp số là ổn định nếu   1 . Xét các trường hợp sau 1 )  là số thực. Khi ấy   1  h  1 , hay  2  h  0 . 2 )  là thu ần ảo (   i , trong đó  là số thực khác 0). Khi ấy   1  ih  1   2 h 2  1 . Chứng tỏ phương pháp là không ổn định nếu  là thuần ảo. 3 )  là số phức (    R  i I ). Khi ấy 1   R h 2   I h 2  1,   1  h  1   R h  i I h  15
nghĩa là h nằm trong h ình tròn đ ơn vị tâm là  1;0  (Hình1 .5). Hình tròn này tiếp xúc với trục ảo. Im h -- Re 1 h O H ình 1 .5 Như vậy, chỉ có một phần rất nhỏ (hình tròn bán kính bằng 1) của nửa mặt phẳng trái là miền ổn định của phương pháp Euler. Với mọi giá trị khác của h trong n ửa mặt phẳng trái và bên ngoài hình tròn này, n ghiệm số sẽ b ị phóng đại (blow-up) khi nghiệm chính xác triệt tiêu (decays). Phương pháp số n ày đư ợc gọi là ổn định có điều kiện. Để n hận được nghiệm số ổn định, b ước h ph ải đ ược chọn sao cho h nằm trong 2 h ình tròn. Nếu  là số thực âm thì từ điều kiện  2  h  0 suy ra  h  0.  Nếu  là thực và nghiệm số không ổn định thì 1  h  1 , ngh ĩa là 1  h là m ột số âm và có trị tuyệt đ ối lớn hơn 1. Vì x n  1  h n x 0 n ên nghiệm số sẽ đổi dấu qua mỗi bước. Sự thay đổi của nghiệm số mô tả khá rõ tính không ổn định. Tương tự, ta có thể xét tính ổn định của các phương pháp Euler cải tiến. Ta đi đến kết luận sau. Phương pháp Euler ẩn là ổn định-L và hội tụ cấp một; Phương pháp hình thang là ổn định-A và hội tụ cấp hai, còn ph ương pháp Euler hiển không phải là ổn định -A và hội tụ cấp 1. z 1 1 2 và 1  z . Hàm ổn định của các phương pháp này tương ứng là , 1 z 1 z 2 16
1.3.3 . Sự ổ n định của phương pháp Runge-Kutta 1 .3.3.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử (1.13). Ta có k1  hf ( x n , t n )  hxn ; k 2  hf ( x n  k1 , t n  h)  h x n  k1   h x n  hxn   h1  hx n và 22   k1  k 2   xn  1 h  h1  hx n  1  h   h 1  xn . x n1  x n    2 2 2   2 h 2 Để phương pháp ổn định th ì   1 , trong đó   1  h  . 2 2 h 2 Trường hợp 1.  là số thực. Khi ấy 1  h   1 hay  2  h  0 . 2 Trường hơp 2.   i thu ần ảo,   0 . 1 Khi ấy   1   4 h 4  1 . Phương pháp không ổn định. 4 Trường hợp 3.   R  i I là số phức. Khi ấy 2  2 2  2 h 2  h   i I   R  I   1   R h  R I 1  h    2 2   2 h 2  e i và tìm nghiệm phức h của phương trình bậc hai là số phức. Đặt 1  h  2 theo các giá trị của  . Nh ận xét rằng   1 với mọi giá trị của  . Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6. 1 .3.3.2. Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn Xét phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình thử (1.13). Ta có k1  hf ( x n , t n )  hxn ; k  h   k 2  h xn  1   h x n  hxn   h1   xn ; 2 2   17
  h 2 h 2  1  h   k   k 3  h xn  2   h x n  h1   xn ;  x n   h1    2    2 2 2 4       h  2 h 2  2 h 2 3 h 3     k 4  h x n  k 3   h x n  h1   x n   h1  h   xn      4  2 4 2      Và 22 33 44   k1  2k 2  2k 3  k 4   1  h   h   h  h  x n . 1 x n1  x n   3! 4!  6 2   2 h 2 3 h 3 4 h 4 Để phương pháp ổn định th ì   1 , trong đó   1  h  .  2 3! 4! Trường hợp 1.  là số thực. Khi ấy  2.785  h  0 . Trường hơp 2.   i thu ần ảo,   0 . Khi ấy 0  h  2 2 .  2 h 2 3 h 3  4 h 4  e i và tìm Trường hợp 3.   R  i I là số phức. Đặt 1  h   2 3! 4! n ghiệm phức h của ph ương trình bậc bốn theo các giá trị của  . Nhận xét rằng   1 với mọi giá trị của  . Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1 .6. H ình 1 .6 18
1.3.4 . Sự ổ n định của phương pháp đa bước Áp dụng các ph ương pháp (1.11) và (1.12) cho bài toán (1.13) ta được k    j  z j  xi1 j  0 . (1.14) j 0 Phương trình đ ặc trưng của ph ương trình sai phân tuyến tính trên có dạng k    j  z j  k  j  0 . (1.15) j 0 Định nghĩa 3.2 Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức M mà  ( z )  1 với mọi nghiệm của (1.15) và  ( z )  1 đối với các nghiệm bội được gọi là miền ổn định của phương pháp (1.14). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp đư ợc gọi là ổn định-A. Nhận xét Với mọi phương pháp cổ điển miền ổn định chứa gốc tọa độ của mặt phẳng phức. Tương ứng với bậc của phương pháp ta đã biết nhữn g điều sau (xem [11]): 1 ) Bậc của các phương pháp Runge-Kutta s -nấc cho phương trình (1.13)-(1.15) không vượt quá 2 s (chắn Butcher). 2 ) p là cấp chính xác, k là số bước của phương pháp (1.11).Nếu ph ương pháp ổn đ ịnh thì p không vượt quá k  2 khi k ch ẵn và k  1 khi k lẻ (chắn Dahlquist thứ nhất). 3 ) Phương pháp (1.11) ổn định – A không thể có cấp chính xác vượt quá 2 (chắn Dahlquist thứ hai). Trong Chương sau ta sẽ trình bày phương pháp do Bulatov đề nghị cải tiến được những hạn chế n êu trên. 1 .3.5 . Sự ổn định của phương pháp sai phân hữu hạn Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc hai x   kx   0 , trong đó k là hằng số và đủ lớn so với 1. 19
Phươn g trình có nghiệm là x(t )  A  Be  kx , trong đó A và B là các hằng số bất kì được xác định bởi điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên tương ứng. Nếu k  0 và x   thì nghiệm bị chặn. Đại lượng e  kx là nghịch biến khi k  0 và đồng biến khi k  0 . Xấp xỉ sai phân trung tâm cho hệ là 1 xi1  2 xi  xi 1   k xi 1  xi 1   0 . 2 2h h i  2  kh  Phương trình sai phân này có nghiệm là xi  A  B .  2  kh  i  2  kh  2  kh Nếu k  0 đại lượng là ngh ịch biến. Khi k  0 thì  1 n ên    2  kh  2  kh 2  kh 2  1 nếu h  . Đây chính là điều kiện ổn định cho hệ sai phân. 2  kh k 20