Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức" gồm có những nội dung: Dẫn nhập, định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức, vận dụng phép chia đa thức như thế nào để tính được lũy thừa ma trận? Quy trình tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức

Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 16 tháng 4 năm 2020 A. Dẫn nhập Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó ta định nghĩa lũy thừa bậc k của A (với k là số tự nhiên), ký hiệu là Ak , là tích k lần của ma trận A, tức là Ak = A · A · . . . · A . k lần Lũy thừa của ma trận xuất hiện tự nhiên trong tính toán, ví dụ trong việc giải phương trình vi phân. Vì vậy, nắm được kỹ thuật lũy thừa là một việc hữu ích. Có hai cách khả dĩ để thực hiện lũy thừa: Một là thông qua chéo hóa ma trận. Hai là thông qua định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức. Thông qua chéo hóa ma trận Giả sử A chéo hóa được. Khi đó tồn tại ma trận C khả nghịch, sao cho   λ1  λ2  C −1 AC =  .    ...  λn   λk1  λk2  Đặt D = C −1 AC. Ta suy ra A = CDC −1 và Dk =  .   ..  .  k λn Do đó, Ak = (CDC −1 )k = (CD C −1 ) · (C D C −1 ) · (C DC −1 ) · . . . · (CDC −1 ). triệt tiêu triệt tiêu Ta suy ra Ak = CDk C −1 . Như vậy, nếu xác định được ma trận C thì ta hoàn toàn có thể tính được lũy thừa bậc k của A nhờ các thông tin từ quá trình chéo hóa. Trong bài viết này, tôi muốn trình bày cho các bạn sinh viên cách thứ hai để tính lũy thừa ma trận, đó là thông qua định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức, với mục đích giúp các bạn sinh viên mở rộng kỹ thuật tính toán. 1
B. Định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức Khái niệm đa thức của ma trận Đa thức (1 biến) là một biểu thức có dạng f (x) = c0 xn + c1 xn−1 + . . . + cn−1 x + cn với ci là các số và x là ẩn. Xét A là ma trận vuông. Ta định nghĩa f (A) = c0 An + c1 An−1 + . . . + cn−1 A + cn I với I ở cuối là ma trận đơn vị cùng cấp. Khi đó f (A) là một ma trận vuông cùng cấp với A và biểu hiện nhiều tính chất từ A. Định lý (Cayley-Hamilton (thừa nhận, không chứng minh)). Cho A là ma trận vuông nào đó. Ký hiệu PA (x) = det(A − xI) là đa thức đặc trưng của A. Khi đó PA bị triệt tiêu bởi A, tức là PA (A) = 0 (lưu ý: 0 ở đây là ma trận 0 cùng cấp với A). Tiếp theo là ta trình bày về phép chia đa thức. Phép chia đa thức Nếu các bạn còn nhớ phép chia số học thông thường, tức là nếu bạn có hai số tự nhiên a, b, và bạn đem số này chia cho số kia, bạn sẽ thu được thương và một số dư. Điều tương tự cũng xảy ra với đa thức. Cụ thể như sau: Cho f (x), g(x) là hai đa thức không tầm thường (tức không ≡ 0). Khi đó, tồn tại duy nhất đa thức q(x) và r(x) thỏa mãn f (x) = g(x)q(x) + r(x) và bậc của r(x) nhỏ hơn hẳn bậc của g(x) (ý tô đậm này quan trọng). C. Vận dụng phép chia đa thức như thế nào để tính được lũy thừa ma trận? Giả sử ta có ma trận A và được yêu cầu tính lũy thừa Ak . Ta thấy là Ak chính là đa thức f (A) với f (x) = xk . Bây giờ ta chia f (x) cho đa thức đặc trưng PA (x). Khi đó, tồn tại duy nhất đa thức q(x) và r(x) sao cho f (x) = PA (x)q(x) + r(x), trong đó r(x) là đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của PA (x). Ta thay x = A vào biểu thức, lưu ý rằng PA (A) = 0, và thu được Ak = f (A) = PA (A)q(A) + r(A) = 0 · q(A) + r(A) = r(A). Như vậy, việc tính lũy thừa Ak quy về xác định đa thức dư r(x). Câu hỏi Việc làm này có giúp giảm phức tạp tính toán không? Câu trả lời là có. Lý do: thông thường, k là một số lớn. Trong khi đó, bậc của r(x) bé hơn bậc của PA (x), và bậc của PA (x) bằng cấp của ma trận A. Do đó tính r(A) sẽ quy về tính lũy thừa bậc nhỏ của A. Điều này hoàn toàn khả dĩ nhờ tính bằng tay, hoặc dùng công cụ tính toán online. Câu hỏi Xác định r(x) như thế nào? Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó r(x) là đa thức bậc < n. Như vậy ta phải xác định n hệ số của r(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + cn−1 xn . Để xác định các hệ số này, ta thay x = λi là nghiệm của PA (x) (tức các giá trị riêng của A) vào đẳng thức f (x) = PA (x)q(x) + r(x). Khi đó, ta thu được f (λi ) = PA (λi )q(λi ) + r(λi ) = r(λi ) = c0 + c1 λi + c2 λ2 + . . . + cn−1 λn . i i Đây là một phương trình tuyến tính với các hệ số c0 , c1 , . . . , cn−1 . Từ các phương trình tuyến tính này, ta giải ra các hệ số c0 , c1 , . . . , cn−1 . 2
D. Quy trình tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức Ta tóm tắt các bước đã phân tích ở trên thành một quy trình tính toán như sau. Đầu tiên, nhắc lại là ta cần tính lũy thừa Ak của ma trận vuông A cấp n. Ta giả sử A có n giá trị riêng phân biệt. • Bước 1: Tính đa thức đặc trưng PA (x) = det(A − xI), có thể đổi dấu PA (x) cho tiện tính toán, không ảnh hưởng tới kết quả cuối cùng. • Bước 2: Xác định đa thức dư r(x) trong phép chia đa thức xk = PA (x)q(x) + r(x) bằng cách thay x = λ1 , λ2 , . . . , λn vào phép chia để thu được n phương trình tuyến tính theo n ẩn là các hệ số của đa thức r(x). • Bước 3: Giải hệ phương trình tuyến tinh thu được và xác định chính xác r(x). • Bước 4 - Kết luận: Ak = r(A), tính cụ thể r(A) bằng tính tay hoặc nhờ máy tính online. E. Ví dụ 2020 3 2 Đề bài Tính lũy thừa sau . 2 0 Giải Đầu tiên, đa thức đặc trưng 3−x 2 PA (x) = = −(3 − x)x − 4 = x2 − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4). 2 −x Như vậy A có hai giá trị riêng phân biệt là -1 và 4. Bước 2-3: Ký hiệu r(x) là đa thức dư trong phép chia x2020 = PA (x)q(x) + r(x). Khi đó r(x) là đa thức có bậc bé hơn 2, do đó ta viết r(x) = ax + b. Ta cần xác định các hệ số a, b. Thay x = −1 ta thu được −a + b = r(−1) = (−1)2020 = 1. Thay x = 4 ta thu được 4a + b = r(4) = 42020 . 2020 2020 Giải hệ phương trình tuyến tính trên, ta thu được a = 4 5 −1 và b = 4 5 +4 . Kết luận: 42020 − 1 42020 + 4 A2020 = r(A) = A+ I. 5 5 Tức là 2020 2021 2020 3 2 42020 − 1 3 2 42020 + 4 1 0 4 5 +1 2 · 4 5 −1 = + = 2020 42020 +4 . 2 0 5 2 0 5 0 1 2 · 4 5 −1 5 3
F. Bài tập vận dụng Tính các lũy thừa ma trận sau: 10 1 0 (a) . −1 2 30 1 0 (b) . 6 −1  2020 26 28 −10 (c) −23 −25 8 7 8 −1 Lưu ý Các bạn nên tính theo cả hai phương pháp. Mục đích là nắm được kỹ năng. 4