intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học chuyên đề: Phương trình lương giác

Chia sẻ: Phan Duy Kha | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST
Báo xấu
123
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới thiệu đến các bạn tài liệu Luyện thi Đại học chuyên đề: Phương trình lương giác. Chuyên đề sẽ mang đên cho các bạn những kiến thức về cách giải nhanh các phương trình lượng giác, các bài tập liên quan. Hi vọng tài liệu sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học chuyên đề: Phương trình lương giác

  1. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (Trong các kỳ thi Đại Học Toàn Quốc ) -----------–˜&™—------------ A- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: 1) (ĐHB-02) sin 2 3x - cos 2 4 x = sin 2 5 x - cos 2 6 x Gợi ý: TXĐ: D = R Dùng công thức hạ bậc: 1 - cos6x 1 + cos8x 1 - cos10x 1 + cos12x (1) Û - = - Û cos6x + cos8x = cos10x + cos12x 2 2 2 2 écosx = 0 Û 2cos7x.cosx = 2cos11x.cosx Û 2cosx ( cos11x - cos7x ) = 0 Û ê ëcos11x = cos7x sin 4 x + cos 4 x 1 1 2) (Dự bị 02) = cot2 x - 5sin2 x 2 8sin2 x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý î 2þ 1 Dùng kết quả sin 4 x + cos 4 x = 1 - sin 2 2 x 2 1 - 1 sin 2 x cos2 x 2 1 (1) Û 2 = - Û 8 - 4sin 2 2 x = 20cos2 x - 5 5sin2 x 2sin2 x 8sin2 x Û 4 (1 - cos 2 2 x ) + 20cos2 x - 13 = 0 Û -4cos 2 2 x + 20cos2 x - 9 = 0 (2 - sin 2 x)sin3x (2 - sin 2 2 x)sin3x 3) (Dự bị 02) tan 4 x + 1 = hay tan 4 x + 1 = cos 4 x cos 4 x ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ Sử dụng công thức nhân ba: sin3 x = 3sinx - 4sin 3 x sin 4 x (2 - sin 2 x)sin3 x (1) Û + 1 = Û sin 4 x + cos 4 x = (2 - sin 2 x)sin3 x cos 4 x cos 4 x Û sin 4 x + cos 4 x = (2 - sin 2 x)(3sinx - 4sin 3 x) Û sin 4 x + (1 - sin 2 x) 2 = (2 - sin 2 x)(3sinx - 4sin 3 x) x 4) (Dự bị 02) tanx + cosx - cos 2 x = sinx(1 + tanxtan ) 2 ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ; p + k 2p ý î2 þ x sin sinx 2 (1) Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + sinx. . cosx cos x 2 x sin x x sinx 2 Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + 2sin .cos . . 2 2 cosx cos x 2 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  2. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học x 2sin 2 .sinx 2 (1 - cosx)sinx Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + cosx cosx sinx.cosx + (1 - cosx )sinx Û tanx + cosx - cos2 x = cosx écosx = 0 (lo¹i) Û tanx + cosx - cos2 x = tanx Û cosx - cos2 x = 0 Û ê ëcosx = 1 1 5) (Dự bị 02) = sinx 8cos 2 x ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ ìsinx ³ 0 ï ìsinx ³ 0 ìsinx ³ 0 é 2 ï ì sinx ³ 0 ï ïï êsin 2 x = (1) Û í 1 Û í Û í 2 1 Û íê 2 ïî 8cos2 x = sin x î8sin x.cos x = 1 ïsin 2 x = 2 2 2 î 4 ï ê ï êsin 2 x = - 2 îï ë 2 é p ê x = + kp 2 8 * Với sin 2 x = Ûê 2 ê x = 3p + kp êë 8 p 3p Đối chiếu điều kiện sinx ³ 0 ta nhận được các nghiệm là: x = + m2p ; x = + m2p 8 8 2 Tương tự, với trường hợp sin 2 x = - . 2 cos2 x 1 6) (ĐHA-03) cot x - 1 = + sin 2 x - sin2 x 1 + tanx 2 ì p p ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ; - + kp ý î 2 4 þ cos2 x.cosx 1 (1) Û cot x - 1 = + sin 2 x - sin2 x sinx + cosx 2 cosx - sinx ( cosx - sinx ) ( cosx + sinx ) .cosx 1 Û = + sin 2 x - sin2 x sinx sinx + cosx 2 cosx - sinx 1 cosx - sinx 1 Û = ( cosx - sinx ) .cosx + sin 2 x - sin2 x Û = 1 - sinx.cosx - sin2 x sinx 2 sinx 2 cosx - sinx = 1 - sin 2 x Û cosx - sinx = (cosx - sinx ) sinx 2 Û sinx Û (cosx - sinx )ëé(cosx - sinx )sinx - 1ûù = 0 7) (Dự bị 03) 3 - tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 ì p p ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ; - + kp ý î 2 4 þ “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  3. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học sinx + 2sinxcosx sinx (1 + 2cosx ) (1) Û ( 3 + 6cosx ) - tanx. = 0 Û 3 (1 + 2cosx ) - tanx =0 cosx cosx é1 + 2cosx = 0 Û (1 + 2cosx ) ( 3 - tan 2 x ) = 0 Û ê ë3 - tan x = 0 2 8) (Dự bị 03) cos2 x + cosx(2tan 2 x - 1) = 2 ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ é æ 1 ö ù æ 2 ö (1) Û cos2 x + cosx ê 2 ç 2 - 1÷ - 1ú = 2 Û cos2 x + cosx ç 2 - 3÷ = 2 ë è cos x ø û è cos x ø 2 Û 2cos 2 x - 1 + - 3cosx = 2 Û 2cos3 x - 3cos 2 x - 3cosx + 2 = 0 cosx 2 9) (ĐH B-03) cotx - tanx + 4sin2 x = sin2 x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý î 2þ 2 æ cos x sinx ö 2 (1) Û ( cotx - tanx ) + 4sin 2 x = Ûç - ÷ + 4sin 2 x = sin 2 x è sinx cos x ø sin 2 x cos 2 x - sin 2 x 2 2cos 2 x 2 Û + 4sin 2 x = Û + 4sin 2 x = sinx.cos x sin 2 x sin 2 x sin 2 x Û 2cos 2 x + 4sin 2 x = 2 Û cos 2 x + 2 (1 - cos 2 x ) - 1 = 0 2 2 écos 2 x = 1 ( lo¹i ) Û -2cos 2 x + cos 2 x + 1 = 0 Û ê 2 êcos 2 x = - 1 ë 2 10) (Dự bị 03) 3cos4 x - 8cos x + 2cos x + 3 = 0 6 2 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 3 (1 + cos4 x ) + 2cos 2 x (1 - 4cos 4 x ) = 0 Û 6cos 2 2 x + 2cos 2 x (1 - 2cos 2 x )(1 + 2cos 2 x ) = 0 Û 6cos 2 2 x - 2cos 2 x (1 + 2cos 2 x ) cos2x = 0 Û 2cos2x ëé3cos2x - 2cos 2 x (1 + 2cos 2 x ) ûù = 0 écos2x = 0 écos2x = 0 Ûê Û ê ëê3cos2x - 2cos x (1 + 2cos x ) = 0 ëê3 ( 2cos x - 1) - 2cos x (1 + 2cos x ) = 0 2 2 2 2 2 æx pö ( 2 - 3 ) cosx - 2sin 2 ç - ÷ è 2 4 ø =1 11) (Dự bị 03) 2cosx - 1 ì p ïï x ¹ 3 + k 2p Gợi ý: ĐK: 2cosx - 1 ¹ 0 Û í ï x ¹ - p + k 2p ïî 3 é æ p öù (1) Û (2 - 3)cosx - ê1 - cos ç x - ÷ ú = 2cosx - 1 Û - 3cosx + sinx = 0 ë è 2 øû p Û tan x = 3 Û x = + kp 3 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  4. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 4p Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = + k 2p 3 æx pö x 12) (ĐHD-03) sin 2 ç - ÷ tan 2 x - cos 2 = 0 è2 4ø 2 ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ 1é æ p öù 2 1 sin 2 x (1) Û 1 - cos ç x - ÷ tan x - (1 + cos x ) = 0 Û (1 - sinx ) . - (1 + cosx ) = 0 2 êë è 2 ø úû 2 cos 2 x Û (1 - sinx ) . (1 - cosx ) (1 + cosx ) - 1 + cosx = 0 Û 1 + cosx é (1 - cosx ) - 1ù = 0 ( ) ( )ê ú (1 - sinx ) (1 + sinx ) ë (1 - sinx ) û é1 + cosx = 0 ê écosx = -1 écosx = -1 Û ê (1 - cosx ) Ûê Ûê -1 = 0 ë1 - cosx = 1 - sinx ë tan x = 1 ëê (1 - sinx ) cos 2 x(cosx - 1) 13) (Dự bị 03) = 2(1 + sinx) sinx + cosx ì p ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í- + k 2p ý î 4 þ (1) Û (1 - sinx ) (1 + sinx ) (cosx - 1) - 2(1 + sinx) = 0 Û (1 + sinx) é (1 - sinx ) (cosx - 1) - 2ù = 0 ê ú sinx + cosx ë sinx + cosx û é1 + sinx = 0 ésinx = -1 Ûê Ûê ë(1 - sinx ) (cosx - 1) = 2 ( sinx + cosx ) ë -1 + cosx + sinx - sinxcosx = 2 ( sinx + cosx ) ésinx = -1 Ûê ë( sinx + cosx ) - sinxcosx + 1 = 0 (Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng) 2cos4 x 14) (Dự bị 03) cotx = tanx + sin2 x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý î 2þ 2cos4 x cosx sinx 2cos4 x (1) Û cotx - tanx = Û - = sin 2 x sinx cosx sin 2 x cos2 x - sin 2 x 2cos4 x cos2x 2cos4 x 2cos2x 2cos4 x Û = Û = Û = sinx.cosx sin 2 x sinx.cosx sin 2 x sin2x sin 2 x Û 2cos4 x = cos2x Û ( 2cos 2x - 1) = cos2x 2 écos2x = 1 (Tháa ®k) Û 2cos 2x - cos2x - 1 = 0 Û ê 2 êcos2x = - 1 (Tháa ®k) ë 2 15) (ĐHB-04) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tan 2 x ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  5. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 2 2 sin x sin x (1) Û 5sinx - 2 = 3(1 - sinx) Û 5sinx - 2 = 3(1 - sinx) 2 cos x (1 - sinx)(1 + sinx) sin 2 x Û 5sinx - 2 = 3 Û ( 5sinx - 2 ) (1 + sinx ) = 3sin 2 x (1 + sinx) 16) (ĐHD-04) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2 x - sinx Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx - sinx Û (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sinx(2cosx - 1) Û (2cosx - 1) [ (2sinx + cosx) - sinx ] = 0 é 2cosx - 1 = 0 Û (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 0 Û ê ësinx + cosx = 0 17) (ĐHA-05) cos 2 3 xcos2 x - cos 2 x = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R 1 + cos6x 1 + cos2 x (1) Û .cos2 x - = 0 Û cos6x.cos2 x - 1 = 0 2 2 1 Û ( cos8x + cos4x ) - 1 = 0 Û cos8x + cos4x - 2 = 0 2 écos4x = 1 Û 2cos 4x - 1 + cos4x - 2 = 0 Û 2cos 4x + cos4x - 3 = 0 Û ê 2 2 êcos4x = - 3 (lo¹i) ë 2 18) (ĐHB-05) 1 + sinx + cosx + sin2 x + cos2 x = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û (1 + sin2 x ) + ( sinx + cosx ) + cos2 x = 0 Û ( sinx + cosx ) + ( sinx + cosx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx ) = 0 2 Û ( sinx + cosx ) ëé( sinx + cosx ) + 1 + ( cosx - sinx ) ûù = 0 ésinx + cosx = 0 Û ( sinx + cosx ) ( 2cosx + 1) = 0 Û ê ë 2cosx + 1 = 0 æ pö æ pö 3 19) (ĐHD-05) cos4 x + sin 4 x + cos ç x - ÷ sin ç 3 x - ÷ - = 0 è 4ø è 4ø 2 Gợi ý: TXĐ: D = R æ 1 ö æ pö æ pö 3 (1) Û ç1 - sin 2 2x ÷ + sin ç 3 x - ÷ cos ç x - ÷ - = 0 è 2 ø è 4ø è 4ø 2 æ 1 ö 1é æ pö ù Û ç1 - sin 2 2x ÷ + êsin ç 4x - ÷ + sin2x ú = 0 è 2 ø 2ë è 2ø û æ 1 ö 1 1 1 1 1 Û ç1 - sin 2 2x ÷ - cos4x + sin2x = 0 Û 1 - sin 2 2x - (1 - 2sin 2 2x ) + sin2x = 0 è 2 ø 2 2 2 2 2 æ pö 20) (Dự bị 05) 2 2cos3 ç x - ÷ - 3cosx - sinx = 0 è 4ø Gợi ý: TXĐ: D = R “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  6. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 3 é æ p öù (1) Û ê 2cos ç x - ÷ ú - 3cosx - sinx = 0 ë è 4 øû Û ( sinx + cosx ) - 3cosx - sinx = 0 ( Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3) 3 x æ 3p ö 21) (Dự bị 05) 4sin 2 - 3cos2 x = 1 + 2cos 2 ç x - ÷ 2 è 4 ø Gợi ý: TXĐ: D = R é æ 3p öù (1) Û 2 (1 - cosx ) - 3cos2 x = 1 + ê1 + cos ç 2x - ÷ú ë è 2 øû Û - 3cos2 x = 2cosx - sin2 x Û sin2 x - 3cos2 x = 2cosx 1 3 æ pö æ pö æp ö Û sin2 x - cos2 x = cosx Û sin ç 2x - ÷ = cosx Û sin ç 2x - ÷ = sin ç - x ÷ 2 2 è 6ø è 6ø è2 ø 22) (Dự bị 04) sin4 xsin7 x = cos3xcos6 x Gợi ý: TXĐ: D = R 1 1 (1) Û ( cos11x - cos3x ) = ( cos9x - cos3x ) 2 2 Û cos11x - cos3x = cos9x - cos3x Û cos11x = cos9x 23) (Dự bị 04) 1 - sinx + 1 - cosx = 1 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û (1 - sinx ) + 2 1 - sinx . 1 - cosx + (1 - cosx ) = 1 Û 2 (1 - sinx ) (1 - cosx ) = ( sinx + cosx ) - 1 (*) Đặt t = sinx + cosx Þ - 2 £ t £ 2 ì1 £ t £ 2 t2 -1 ï Lúc đó: (*)tt: 2 1 - t - = t -1 Û í æ t2 -1 ö ÷ = ( t - 1) 2 2 4 ï ç 1 - t - î è 2 ø ì1 £ t £ 2 ï ïì1 £ t £ 2 ï ét = 1 Ûí Ûí 2 ïî4 - 4t - 2(t - 1) = t - 2t + 1 ï3t + 2t - 5 = 0 Û 2 2 ê êt = - 5 (lo¹i) ïî ë 3 æ pö t = 1: sinx + cosx = 1 Û 2sin ç x + ÷ = 1 è 4ø æp ö cos2 x - 1 24) (Dự bị 05) tan ç + x ÷ - 3tan 2 x = è2 ø cos 2 x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý î 2þ -2sin 2 x (1) Û - cot x - 3tan 2 x = 2 Û - cot x - 3tan 2 x = -2tan 2 x cos x 1 p Û - cot x = tan 2 x Û - = tan 2 x Û tan 3 x = -1 Û tanx = -1 Û x = - + kp tanx 4 25) (Dự bị 05) sinxcos2 x + cos x(tan x - 1) + 2sin x = 0 2 2 3 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  7. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ sin 2 x - cos 2 x (1) Û sinx (1 - 2sin x ) + cos x. 2 2 2 + 2sin 3 x = 0 cos x Û sinx + sin x - cos x = 0 Û sinx + sin 2 x - (1 - sin 2 x ) = 0 2 2 ésinx = -1 Û 2sin x + sinx - 1 = 0 Û ê 2 êsinx = 1 ë 2 æ 3p ö sinx 26) (Dự bị 05) tan ç - x÷ + =2 è 2 ø 1 + cosx ì1 + cosx ¹ 0 Gợi ý: ĐK: í Û sinx ¹ 0 Û x ¹ kp î sinx ¹ 0 sinx cosx sinx (1) Û cot x + =2Û + =2 1 + cosx sinx 1 + cosx Û cosx (1 + cosx ) + sin 2 x = 2sinx (1 + cosx ) 1 Û 1 + cosx = 2sinx (1 + cosx ) Û 2sinx = 1 Û sinx = 2 27) (Dự bị 05) sin 2 x + cos 2 x + 3sin x - cos x - 2 = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 2sin x.cos x + ( 2cos 2 x - 1) + 3sin x - cos x - 2 = 0 Û 2sin x.cos x + 2cos 2 x + 3sin x - cos x - 3 = 0 Û 2cos 2 x + ( 2sin x - 1) cos x + 3sin x - 3 = 0 (*) D = ( 2sin x - 1) - 8 ( 3sin x - 3) = 4sin 2 x - 20sin x + 25 = ( 2sin x - 5 ) 2 2 é 1 - 2sin x + ( 2sin x - 5 ) êcos x = = -1 (*) Û ê 4 ê 1 - 2sin x - ( 2sin x - 5 ) êëcos x = 4 = 1 - sin x 2 ( cos 6 x + sin 6 x ) - sinxcosx 28) (ĐHA-06) =0 2 - 2sinx ì p ïï x ¹ 4 + k 2p Gợi ý: ĐK: 2 - 2sinx ¹ 0 Û í ï x ¹ 3p + k 2p îï 4 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  8. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học (1) Û 2(cos x + sin x) - sinxcosx = 0 Û 2 (1 - 3sin xcos x ) - sinxcosx = 0 6 6 2 2 æ 3 ö 1 3 1 Û 2 ç1 - sin 2 2 x ÷ - sin 2 x = 0 Û 2 - sin 2 2 x - sin 2 x = 0 è 4 ø 2 2 2 ésin 2 x = 1 Û 3sin 2 x + sin 2 x - 4 = 0 Û ê 2 êsin 2 x = - 4 (lo¹i) ë 3 p Ta cã: sin 2 x = 1 Û x = + kp . 4 5p §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: x = + k 2p 4 2+3 2 29) (Dự bị 06) cos3 xcos3 x - sin3 xsin 3 x = 8 Gợi ý: Dùng công thức nhân ba 3cosx + cos3x 3sinx - sin3x 2 + 3 2 (1) Û cos3 x - sin3 x = 4 4 8 2+3 2 Û cos3 x ( 3cosx + cos3x ) - sin3 x ( 3sinx - sin3x ) = 2 2+3 2 Û ( cos 2 3 x + sin 2 3 x ) + 3 ( cosxcos3x - sinxsin3 x ) = 2 é p ê x = + kp 2+3 2 3 2 2 8 Û 1 + 3cos2x = Û 3cos2x = Û cos2x = Ûê 2 2 2 ê x = - p + kp ëê 8 æ pö 30) (Dự bị 06) 2sin ç 2 x - ÷ + 4sinx + 1 = 0 è 6ø Gợi ý: TXĐ: D = R æ p pö æ 3 1 ö (1) Û 2 ç sin2 xcos - cos2 xsin ÷ + 4sinx + 1 = 0 Û 2 ç sin2 x - cos2 x ÷ + 4sinx + 1 = 0 è 6 6ø è 2 2 ø Û 3sin2 x - cos2 x + 4sinx + 1 = 0 Û 2 3sinxcosx + (1 - cos2 x ) + 4sinx = 0 Û 2 3sinxcosx + 2sin 2 x + 4sinx = 0 Û 2sinx ( ) 3cosx + sinx + 2 = 0 ésinx = 0 ésinx = 0 Ûê Ûê ë 3cosx + sinx + 2 = 0 ë 3cosx + sinx = -2 31) (ĐHD-06) cos3 x + cos2 x - cosx - 1 = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û ( cos3 x - cosx ) - (1 - cos2 x ) = 0 Û 2sin 2 x sin x - 2sin 2 x = 0 ésin x = 0 Û 2sin x ( sin 2 x - sin x ) = 0 Û ê ësin 2 x = sin x 32) (Dự bị 06) cos3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1 Gợi ý: TXĐ: D = R “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  9. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học (1) Û cos3 x + sin 3 x = 1 - 2sin 2 x Û ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2x Û ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2 x - sin 2 x Û ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx ) Û ( cosx + sinx ) éë(1 - cosxsinx ) - ( cosx - sinx ) ùû = 0 écosx + sinx = 0 Ûê ë1 - cosxsinx + sinx - cosx = 0 (Ph­¬ng tr×nh ph¶n xøng) 33) (Dự bị 06) 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2 x + 6cosx = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 4sin 2 x ( sinx + 1) + 6cosx ( sinx + 1) = 0 Û ( sinx + 1) ( 4sin 2 x + 6cosx ) = 0 ésinx = -1 Û ( sinx + 1) éë 4 (1 - cos 2 x ) + 6cosx ùû = 0 Û ê ë -4cos x + 6cosx + 4 = 0 2 x 34) (ĐHB-06) cotx + sinx(1 + tanx.tan ) = 4 2 ì ïsinx ¹ 0 ï p Gợi ý: ĐK: ícos x ¹ 0 Û sin2x ¹ 0 Û x ¹ k ï 2 x ïcos ¹ 0 î 2 x sin cos x sinx 2 =4 (1) Û + sinx + sinx . sinx cos x cos x 2 x sinx.2sin 2 Û cos x + sinx + 2 = 4 Û cot x + sinx + sinx. (1 - cos x ) = 4 sinx cos x cos x sinx - sinx cos x Û cot x + sinx + = 4 Û cot x + sinx + tan x - sinx = 4 Û cot x + tan x = 4 cos x 2 1 Û = 4 Û sin2x = sin2x 2 æ xö æ x xö sin ç cos x.cos +sinx.sin ÷ x ç sinx 2 ÷ = sinx è 2 2ø Hoặc: Biến đổi sinx(1 + tanx.tan ) = sinx ç1 + . ÷ 2 x x ç cos x cos ÷ cos x.cos è 2ø 2 æ xö x cos ç x - ÷ cos è 2 ø = sinx 2 sinx = sinx = x x cos x cos x.cos cos x.cos 2 2 35) (Dự bị 06) ( 2sin x - 1) tan 2 x + 3 ( 2cos 2 x - 1) = 0 2 2 ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ écos2x = 0 (1) Û -cos2x.tan 2 2 x + 3cos2x = 0 Û cos2x ( - tan 2 2 x + 3) = 0 Û ê 2 ë tan 2 x = 3 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  10. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 36) (Dự bị 06) cos2 x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û ( cos 2 x - sin 2 x ) + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 Û (cosx - sinx)(cosx + sinx) + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 Û (cosx - sinx) [ (cosx + sinx) - (1 + 2cosx)] = 0 Û (cosx - sinx) ( sinx - cosx - 1) = 0 écosx = sinx Ûê ësinx - cosx = 1 2 æ x xö 37) (ĐHD-07) ç sin + cos ÷ + 3cosx = 2 è 2 2ø Gợi ý: TXĐ: D = R x x x x (1) Û sin 2 + 2sin .cos + cos 2 + 3cosx = 2 Û 1 + sin x + 3cosx = 2 2 2 2 2 1 3 1 æ pö 1 Û sin x + 3cosx = 1 Û sin x + cosx = Û sin ç x + ÷ = 2 2 2 è 3ø 2 38) (ĐHB-07) 2sin 2 2 x + sin7 x - 1 = sinx Gợi ý: TXĐ: D = R ( ) (1) Û sin7 x - sinx - 1 - 2sin 2 2 x = 0 Û 2cos 4 xsin3x - cos 4 x = 0 Û cos 4 x ( 2sin3x - 1) = 0 écos 4 x = 0 Ûê ë 2sin3x - 1 = 0 39) (ĐHA-07) (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2 x Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û cosx + sin 2 xcosx + sinx + cos2 xsinx - (1 + sin 2 x ) = 0 Û ( sinx + cosx ) + sinxcosx ( sinx + cosx ) - ( sinx + cosx ) = 0 2 Û ( sinx + cosx ) ëé1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) ûù = 0 ésinx + cosx = 0 Ûê ë1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) = 0 (Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng) 1 1 40) (Dự bị 07) sin2 x + sinx - - = 2cot2 x . 2sinx sin2 x ìsinx ¹ 0 p Gợi ý: ĐK: í Û sin2x ¹ 0 Û x ¹ k îsin2x ¹ 0 2 (1) Û - cos22x - cosxcos2x = 2cos2x vì sin2x ¹ 0 é cos2 x = 0 Û ê 2 ëê2 cos x + cos x + 1 = 0 ( v« nghiÖm ) p p p Û cos2x = 0 Û 2 x = + kp Û x = + k 2 4 2 æ 5x p ö æx p ö 3x 41) (Dự bị 07) sin ç - ÷ - cosç - ÷ = 2 cos è 2 4ø è2 4ø 2 Gợi ý: TXĐ: D = R “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  11. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học æ 5x p ö é p æ x p öù 3x (1) Û sin ç - ÷ - sin ê - ç - ÷ ú = 2 cos è 2 4ø ë 2 è 2 4 øû 2 æ 5x p ö æ 3p x ö 3x æ 5x p ö æ x 3p ö 3x Û sin ç - ÷ - sin ç - ÷ = 2 cos Û sin ç - ÷ + sin ç - ÷ - 2 cos = 0 è 2 4ø è 4 2ø 2 è 2 4ø è2 4 ø 2 æ 3x p ö æ pö 3x 3x æ pö 3x Û 2sin ç - ÷ cos ç x + ÷ - 2 cos = 0 Û -2cos cos ç x + ÷ - 2 cos = 0 è 2 2ø è 4ø 2 2 è 4ø 2 é 3x ê cos = 0 3x é æ pö ù 2 Û - cos ê 2cos ç x + ÷ + 2 ú = 0 Û ê 2 ë è 4ø û ê 2cos æ x + p ö + 2 = 0 êë ç ÷ è 4ø æ p ö 42) (Dự bị 07) 2 2 sin ç x - ÷ cos x = 1 è 12 ø Gợi ý: TXĐ: D = R é æ p ö p ù (1) Û 2 êsin ç 2 x - ÷ - sin ú = 1 ë è 12 ø 12 û æ p ö p 1 Û sin ç 2 x - ÷ - sin = è 12 ø 12 2 æ p ö p p p p Û sin ç 2 x - ÷ = sin + sin = 2 sin cos è 12 ø 4 12 6 12 æ p ö p 5p Û sin ç 2 x - ÷ = cos = sin è 12 ø 12 12 p 5p p 7p Û 2x - = + k 2p hay 2 x - = + k 2p (k Î Z ) 12 12 12 12 p p Û x = + kp hay x = + kp ( k Î Z ) 4 3 43) (Dự bị 07) 2cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 sin x + 3 cos x ( ) Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 2cos2 x + 2 ( ) ( ) 3 cos x .sin x + sin2 x + cos2 x = 3(sin x + 3 cos x ) Û 3cos2 x + 2 ( ) 3 cos x .sin x + sin2 x = 3(sin x + 3 cos x ) ( ) ( ) 2 Û 3 cos x +2 3 cos x .sin x + sin2 x = 3(sin x + 3 cos x ) Û( ) 2 3 cos x + sin x = 3(sin x + 3 cos x ) Û (sin x + 3 cos x )(sin x + 3 cos x - 3) = 0 ésin x + 3 cos x = 0 Ûê 2 2 ëêsin x + 3 cos x = 3 (V« nghiÖm do: 1 + 3 = 4 < 3 ) 2 sin 2 x cos 2 x 44) (Dự bị 07) + = tanx - cot x cos x sin x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý î 2þ “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  12. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học sin 2 x sin x + cos 2 x cos x cos 2 x - sin 2 x (1) Û = cos x sin x sin x cos x é x = k 2p cos x cos 2 x Û = Û cos 2 x = cos x Û ê cos x sin x cos x sin x ê x = k 2p ë 3 §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: 2p 2p x= + k 2p ; x = - + k 2p 3 3 45) (Dự bị 07) (1 - tan x ) (1 + sin 2 x ) = 1 + tan x ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ cos x - sin x cos x + sin x ( sin x + cos x ) = 2 (1) Û cos x cos x Û ( sin x + cos x ) ëé( cos x - sin x ) ( sin x + cos x ) - 1ûù = 0 ésin x + cos x = 0 (Tháa ®k) Û ( sin x + cos x ) ( cos x - 1) = 0 Û ê ëcos x - 1 = 0 (Tháa ®k) 1 1 æ 7p ö 46) (ĐHA-08) + = 4sin ç - x÷ sinx æ 3p ö è 4 ø sin ç x - ÷ è 2 ø ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý î 2þ 1 1 æ p ö Û + = 4sin ç 2p - - x ÷ sinx cosx è 4 ø 1 1 æ pö 1 1 1 Û + = -4sin ç x + ÷ Û + = -4. ( sin x + cosx ) sinx cosx è 4ø sinx cosx 2 sin x + cosx Û sin x.cosx ( + 2 2 ( sin x + cosx ) = 0 Û ( sin x + cosx ) 1 + 2 2 sin x.cosx = 0) é tan x = -1 ésin x + cosx = 0 ê Ûê Û êsin 2 x = - 2 ë1 + 2 2 sin x.cosx = 0 êë 2 47) (ĐHB-08) sin x - 3cos x = sinxcos x - 3sin 2 xcosx 3 3 2 Gợi ý: TXĐ: D = R ( ) ( (1) Û sin 3 x + 3sin 2 xcosx - 3cos3 x + sinxcos 2 x = 0 ) ( ) Û sin 2 x sinx + 3cosx - cos 2 x ( ) ( ) 3cosx + sinx = 0 Û sinx + 3cosx ( sin 2 x - cos 2 x ) = 0 ésinx + 3cosx = 0 é tan x = - 3 Ûê 2 Ûê êësin x - cos x = 0 ëcos2x = 0 2 48) (ĐHD-08) 2sinx (1 + cos2 x ) + sin2 x = 1 + 2cosx Gợi ý: TXĐ: D = R “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  13. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học (1) Û 2sinx.2cos x + 2sinxcosx - (1 + 2cosx ) = 0 Û 2sinxcosx ( 2cosx + 1) - (1 + 2cosx ) = 0 2 é 1 é 2cosx + 1 = 0 ê cosx = - Û ( 2cosx + 1) ( 2sinxcosx - 1) = 0 Û ê Û 2 ë 2sinxcosx - 1 = 0 ê ësin2 x = 1 49) (Dự bị 08) tan x = cot x + 4cos 2 2 x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý î 2þ sin x cos x sin 2 x - cos 2 x (1) Û - = 4cos 2 2 x Û = 4cos 2 2 x cos x sin x cos x sin x -2cos 2 x æ 1 ö Û = 4cos 2 2 x Û 2cos 2 x ç + 2cos 2 x ÷ = 0 sin 2 x è sin 2 x ø écos 2 x = 0 écos 2 x = 0 (Tháa ®k) Ûê 1 Ûê ê + 2cos 2 x = 0 ë 2sin 2 x cos 2 x = -1 (Tháa ®k) ë sin 2 x æ pö æ pö 2 50) (Dự bị 08) sin ç 2 x - ÷ = sin ç x - ÷ + è 4ø è 4ø 2 Gợi ý: TXĐ: D = R æ pö æ pö (1) Û 2 sin ç 2 x - ÷ = 2 sin ç x - ÷ + 1 Û sin 2 x - cos 2 x = sin x - cos x + 1 è 4ø è 4ø Û ( cos x - sin x ) - cos 2 x - (1 - sin 2 x ) = 0 Û ( cos x - sin x ) - ( cos 2 x - sin 2 x ) - ( cos x - sin x ) = 0 2 Û ( cos x - sin x ) - ( cos x - sin x ) ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) = 0 2 Û ( cos x - sin x ) éë1 - ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) ùû = 0 é tan x = 1 écos x - sin x = 0 ê Û (cos x - sin x )(1 - 2cos x ) = 0 Û ê Û ë1 - 2cos x = 0 êcos x = 1 ë 2 æ pö æ pö 1 51) (Dự bị 08) 2sin ç x + ÷ - sin ç 2 x - ÷ = è 3ø è 6ø 2 Gợi ý: TXĐ: D = R æ pö æ pö 1 æ pö æ pö p (1) Û 2sin ç x + ÷ = sin ç 2 x - ÷ + Û 2sin ç x + ÷ = sin ç 2 x - ÷ + sin è 3ø è 6ø 2 è 3ø è 6ø 6 æ pö æ pö æ pö ép æ p öù Û 2sin ç x + ÷ = 2sin x.cos ç x - ÷ Û 2sin ç x + ÷ = 2sin x.sin ê - ç x - ÷ ú è 3ø è 6ø è 3ø ë2 è 6 øû æ 2p ö é æ p öù æ pö = 2sin x.sin ç - x ÷ = 2sin x.sin êp - ç x + ÷ ú = 2sin x.sin ç x + ÷ è 3 ø ë è 3 øû è 3ø x 52) (Dự bị 08) 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 4sin x cos 2 2 Gợi ý: TXĐ: D = R “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  14. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học (1) Û 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 2sin x (1 + cos x ) Û 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 2sin x + sin 2 x Û 3sin x + cos 2 x = 2sin x Û cos 2 x + sin x = 0 ésin x = 1 Û -2sin x + sin x + 1 = 0 Û ê 2 êsin x = - 1 ë 2 53) (Dự bị 08) 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos 4 x + sin 2 x = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R æ 1 ö (1) Û 4 ç1 - sin 2 2 x ÷ + (1 - 2sin 2 2 x ) + sin 2 x = 0 Û 4 - 2sin 2 2 x + (1 - 2sin 2 2 x ) + sin 2 x = 0 è 2 ø ésin 2 x = -1 Û -4sin 2 x + sin 2 x + 5 = 0 Û 2 ê êsin 2 x = 5 (Lo¹i) ë 4 54) (ĐHA-2009) (1 - 2sin x ) cos x = 3 (1 + 2sin x ) (1 - sin x ) ì p ï x ¹ 6 + k 2p ï ì1 + 2sin x ¹ 0 ï 5p Gợi ý: ĐK: í Û íx ¹ + k 2p î1 - sin x ¹ 0 ï 6 ï x ¹ kp ï î (1) Û (1 - 2sin x ) cos x = 3 (1 + 2sin x ) (1 - sin x ) Û cos x - 2sin x cos x = 3 (1 - sin x + 2sin x - 2sin 2 x ) Û cos x - sin 2 x = 3 ( sin x + 1 - 2sin 2 x ) Û cos x - sin 2 x = 3 ( sin x + cos 2 x ) Û 3 sin x - cos x = - sin 2 x - 3 cos 2 x 3 1 1 3 æ pö æ pö Û sin x - cos x = - sin 2 x - cos 2 x Û sin ç x - ÷ = - sin ç 2 x + ÷ 2 2 2 2 è 6ø è 3ø æ pö æ pö Û sin ç x - ÷ = sin ç -2 x - ÷ è 6ø è 3ø 55) (ĐHB-2009) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x ) Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x) Û ( sin x - 2sin 3 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x Û sin x (1 - 2sin 2 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x Û ( sin x cos 2 x + cos x sin 2 x ) + 3 cos3 x = 2cos 4 x Û sin 3 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x 1 3 æ pö æ pö æp ö Û sin 3 x + cos3 x = cos 4 x Û sin ç 3 x + ÷ = cos 4 x Û sin ç 3 x + ÷ = sin ç - 4 x ÷ 2 2 è 3ø è 3ø è2 ø 56) (ĐHD-2009) 3 cos5 x - 2sin 3x cos 2 x - sin x = 0 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  15. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 3 cos5 x - ( sin 5 x + sin x ) - sin x = 0 Û 3 cos5 x - sin 5 x = 2sin x 3 1 æp ö Û cos5 x - sin 5 x = sin x Û sin ç - 5 x ÷ = sin x 2 2 è3 ø p (1 + sinx + cos2 x ) sin æç x + ö÷ 1 è 4ø 57) (ĐH A- 2010) = cosx 1 + tanx 2 ìp ü Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý î2 þ æ pö (1) Û (1 + sinx + cos2 x ) 2sin ç x + ÷ = cosx (1 + tanx ) è 4ø sinx + cosx Û (1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = cosx Û (1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = sinx + cosx cosx Û ( sinx + cosx ) ëé(1 + sinx + cos2 x ) - 1ûù = 0 Û ( sinx + cosx ) ( sinx + cos2 x ) = 0 é ê tan x = -1 (Tháa) ésinx + cosx = 0 é tan x = -1 ê Ûê Ûê Û êsinx = 1 (Lo¹i) ësinx + cos2 x = 0 ë -2sin x + sinx + 1 = 0 2 ê 1 êsinx = - (Tháa) ë 2 58) (ĐH B- 2010) ( sin2x + cos2 x ) cosx + 2cos2 x - sinx = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û sin2xcosx + cos2 xcosx + 2cos2 x - sinx = 0 Û ( 2sin 2 xcosx - sinx ) + ( cos2 xcosx + 2cos2 x ) = 0 Û sin x ( sin 2 x - 1) + cos2 x ( cosx + 2 ) = 0 Û - sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx - sinx ) ( cosx + sinx ) ( cosx + 2 ) = 0 2 Û ( cosx - sinx ) é- ë sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx + 2 ) ùû = 0 Û ( cosx - sinx ) ( - sin xcosx + sin 2 x + cos 2 x + 2cosx + sin xcosx + 2sin x ) = 0 é tan x = 1 écosx - sinx = 0 Û ( cosx - sinx ) éë1 + ( cosx + sinx ) ùû = 0 Û ê Ûê ë cosx + sinx = -1 ê 2 sin çæ x + p ÷ö = -1 ëê è 4ø 59) ( ĐH D-2010) sin2x - cos2 x + 3sinx - cosx - 1 = 0 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 2sinxcosx - cosx + ( 2sin 2 x - 1) + 3sinx - 1 = 0 Û cosx ( 2sinx - 1) + sinx ( 2sinx - 1) + 4sinx - 2 = 0 é 2sinx - 1 = 0 Û ( 2sinx - 1) ( cosx + sinx + 2 ) = 0 Û ê ëcosx + sinx + 2 = 0 (V« nghiÖm) 60) (Dự bị B1 2010) cos2 x + 2cosx + sinx = cosx ( cos2 x - sin2x ) “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  16. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học æp ö æp ö 1 é p pù 61) (Dự bị B2 2010) cos ç + 2 x ÷ cos ç - 2 x ÷ + sin 2 x ( cos2 x + 1) = với x Î ê - ; ú è4 ø è4 ø 4 ë 4 4û 1 + sin2x + cos2 x 62) ( ĐH A-2011) = 2sinxsin2x 1 + cot 2 x Gợi ý: ĐK: sin x ¹ 0 Û x ¹ kp (1) Û (1 + sin2x + cos2 x ) sin 2 x = 2 2sin 2 xcosx Û 1 + sin2x + cos2 x = 2 2cosx ( do sinx ¹ 0 ) Û sin2x + (1 + cos2 x ) - 2 2cosx = 0 Û 2sinxcosx + (1 + cos2 x ) - 2 2cosx = 0 ( Û 2sinxcosx + 2cos 2 x - 2 2cosx = 0 Û cosx sinx + cosx - 2 = 0 ) é p êcosx = 0 Û x = 2 + kp Ûê êsinx + cosx = 2 Û 2sin æ x + p ö = 2 Û sin æ x + p ö = 1 Û x = p + k 2p êë ç ÷ ç ÷ è 4ø è 4ø 4 63) ( ĐH B-2011) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx Gợi ý: TXĐ: D = R sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx (1) Û sinx (1 + cos2x ) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx Û cos2x ( sinx - 1) + cosx ( sinx - 1) = 0 Û ( sinx - 1) ( cos2x + cosx ) = 0 é p êsinx = 1 Û x = 2 + k 2p Ûê êcos2x = -cosx = cos ( p - x ) Û x = p + k 2p êë 3 3 sin2x + 2cosx - sinx - 1 64) ( ĐH D-2011) =0 tan x + 3 ì p ìïcos x ¹ 0 ïï x ¹ 2 + kp Gợi ý: TXĐ: í Ûí îï tan x ¹ - 3 ï x ¹ - p + mp ïî 3 (1) Û sin2x + 2cosx - sinx - 1 = 0 Û 2cosx ( sinx + 1) - ( sinx + 1) = 0 ésinx = -1 ( lo¹i do ®k cosx ¹ 0 ) Û ( sinx + 1) ( 2cosx - 1) = 0 Û ê êcosx = 1 ë 2 é p ê x = + k '2p 1 3 Ta xét: cosx = Û ê 2 ê x = - p + k '2p êë 3 p Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: x = + k 2p 3 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
  17. Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học B- TÌM NGHIỆM THUỘC KHOẢNG: 1) (ĐHA-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2p ) của: æ cos3 x + sin3 x ö 5 ç sinx + ÷ = cos2 x + 3 . è 1 + 2sin2 x ø 2) (ĐHD-02) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đúng : cos3 x - 4cos2 x + 3cosx - 4 = 0 . “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1117 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2