Lý thuyết tương quan và hàm hồi qui

Chia sẻ: Thu Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

702
lượt xem 131
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu toán học: Lý thuyết tương quan và hàm hồi qui

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết tương quan và hàm hồi qui

Chuong 6 ’’ ´ ´ ˆ ` ` ` ˆ LY THUYET TU’ONG QUAN VA HAM HOI QUI ’ ´ ˜’ ˜ MOI QUAN HE GIUA HAI ¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN 1. ˆ ˆ . D. .’ ˆ ˆ Khi khao s´t hai dai luong ngˆu nhiˆn X, Y ta thˆy giua ch´ng c´ thˆ’ c´ mˆt sˆ ’ a ¯ . ’ .’ a˜ e ´ a ˜ ’ u o e o o o . ´ quan hˆ sau: e . a ¯o a . . ´ ’ ´ a e ’ . a . a . ’ ¯ . ’ .’ ˜ i) X v` Y dˆc lˆp voi nhau, tuc l` viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn n`y a e a o ’ khˆng anh huong ¯e ’ ´ e . a . a . ’ ¯ . ’ .’ a˜ ’’ dˆn viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn kia. e o o´ . o a . ´ ii) X v` Y c´ mˆi phu thuˆc h`m sˆ Y = ϕ(X). a o iii) X v` Y c´ su phu thuˆc tuong quan v` phu thuˆc khˆng tuong quan. a o .’ . o ’’ . a . o . o ’’ 2. ˆ ˆ´ HE SO TU’ONG QUAN ’ . 2.1 Moment tuong quan (Covarian) ’’ ˜ 2 ¯ inh nghia 1 D. ’’ e . ’’ ’ ¯. ’.’ ˜ * Moment tuong quan (hiˆp phuong sai) cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y, k´ a e a ı . a o´ duoc x´c d. nh nhu sau hiˆu cov(X, Y ) hay µXY , l` sˆ ¯ ’.’ a ¯i e ’ cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} ´ e ı o ¯. ’.’ ˜ * Nˆu cov(X, Y ) = 0 th` ta n´i hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y khˆng tuong quan. a e a o ’’ Ch´ y u´ cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) Thˆt vˆy, ta c´ a a . . o cov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) 99
100 ’’ y ´ ’’ e a a ` Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui o ⊕ Nhˆn x´t 1 a . e ´ e ` . * Nˆu (X, Y ) roi rac th` ’ ı n m cov(X, Y ) = xi yj P (xi , yj ) − E(X)E(Y ) i=1 j=1 ´ * Nˆu (X, Y ) liˆn tuc th` e e . ı +∞ +∞ cov(X, Y ) = xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y ) −∞ −∞ ⊕ Nhˆn x´t a . e ´ e a a ¯ . ’ .’ ˜ i) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` ch´ng khˆng tuong quan. a e ¯ˆ a . . ı u o ’’ ii) Cov(X,X)=Var(X). 2.2 . ´ Hˆ sˆ tuong quan e o ’’ ˜ . ´ e o ’’ ’ ¯. ’.’ ˜ 2 ¯ inh nghia 2 Hˆ sˆ tuong quan cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y, k´ hiˆu rXY , D. a e a ı e . ´ l` sˆ duoc x´c d. nh nhu sau a o ¯ ’.’ a ¯i ’ cov(X, Y ) rXY = SX .SY ´’ a ¯o e . . e ’ a ’ voi Sx , SY l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn cua X, Y . ´ ˜ ’ . ´ • Y nghia cua hˆ sˆ tuong quan e o ’’ . ´ e o ’’ ¯ ´ ¯ˆ ’ . . o . ´ e ınh ˜ Hˆ sˆ tuong quan do muc do phu thuˆc tuyˆn t´ giua X v` Y . Khi |rXY | c`ng ’ a a a` ı o ´ e . ´ e ınh a a . a a` ı e . ´ gˆn 1 th` mˆi quan hˆ tuyˆn t´ c`ng ch˘t, khi |rXY | c`ng gˆn 0 th` quan hˆ tuyˆn e ’ leo”. t´ c`ng ”long ’ ınh a 2.3 ’´ ’. . ´ Uoc luong hˆ sˆ tuong quan ’ ’ e o ’’ . ˜ a ˜ Lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WXY = [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ) . . . (Xn , Yn )]. a a e E(XY ) − E(X).E(Y ) De’ ’ ´ ’ .’ ’ . ´ ¯ ˆ uoc luong hˆ sˆ tuong quan rXY = e o ’’ ´ ta d`ng thˆng kˆ u o e SX .SY XY − X.Y R= SX .SY trong d´ ¯o 1 n 1 n 1 n X= Xi , Y = Yi , XY = Xi Yi n i=1 n i=1 n i=1 2 1 n 1 n SX = (Xi − X)2 , 2 SY = (Yi − Y )2 n i=1 n i=1
´ 2. Hˆ sˆ tuong quan e o ’’ 101 Voi mˆu cu thˆ’, ta t´ duoc gi´ tri cua R l` ´ a . e ’ ˜ ınh ¯ ’ .’ a . ’ a xy − x.y rXY = sx .sy trong d´ ¯o 1 n 1 n 1 n x= xi , y= yi , xy = xi yi n i=1 n i=1 n i=1 1 n 2 1 n 2 s2 = x x − (x)2 , s2 = y − (y)2 n i=1 i y n i=1 i Ta c´ o n xy − ( x)( y) rXY = n( x2 ) − ( x)2 . n( y2) − ( y)2 2.4 ´ ınh a ’ . ´ T´ chˆt cua hˆ sˆ tuong quan e o ’’ xy − x.y . ´ Hˆ sˆ tuong quan r = e o ’’ duoc d`ng dˆ’ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su ¯ ’ .’ u ¯e ¯´ a ´ ¯o a ’ . . ’ ’ .’ sx .sy . . ´ e ınh ˜ ’ a˜ phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y , n´ c´ c´c t´ o ’’ ¯ . ’ .’ e a o o a ınh ´t sau dˆy: chˆ a ¯a i) |r| ≤ 1. ´ a o e . ´ ii) Nˆu |r| = 1 th` X v` Y c´ quan hˆ tuyˆn t´ e ı e ınh. ´ ´’ . o ’’ . ´ e ınh ˜ iii) Nˆr |r| c`ng lon th` su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua X v` Y c`ng ch˘t e a ı .’ ’ a a a . ’ che. ´ ı ˜’ o o . o . ´ iv) Nˆu |r| = 0 th` giua X v` Y khˆng c´ phu thuˆc tuyˆn t´ tuong quan. e a e ınh ’ ’ ´ e ı a o ’’ a . a ı a ´ v) Nˆu r > 0 th` X v` Y c´ tuong quan thuˆn (X t˘ng th` Y t˘ng). Nˆu r < 0 th` e ı a o ’’ . ’ ı ’ X v` Y c´ tuong quan nghich (X giam th` Y giam). ’ ´ . ` o e ¯ ’.’ ’’ ’ . ´ ’ • V´ du 1 Tu sˆ liˆu duoc cho boi bang sau, h˜y x´c d. nh hˆ sˆ tuong quan cua Y v` ı . a a ¯i e o ’’ a X X 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 2 4 4 5 7 8 9 ’ Giai a . ’ Ta lˆp bang sau
102 ’’ y ´ ’’ e a a ` Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui o xi yi x2i xi yi 2 yi 1 1 1 1 1 3 2 9 6 4 4 4 16 16 16 6 4 36 24 16 8 5 64 40 25 9 7 81 63 49 11 8 121 88 64 14 9 196 126 81 2 2 x = 56 y = 40 x = 524 xy = 364 y = 256 . ´ e o ’’ ’ Hˆ sˆ tuong quan cua X v` Y l` a a n xy − ( x)( y) rXY = n( x2 ) − ( x)2 . n( y2) − ( y)2 8.364 − (56).(40) 672 = = = 0, 977 8.524 − (56)2 . 8.256 − (40)2 687, 81 2.5 ´ ’ o ’’ Ty sˆ tuong quan De’ ¯´ a ´ ¯o a ’ . . ’ ’ .’ . o ’’ . ´ e ’` ¯ ˆ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su phu thuˆc tuong quan phi tuyˆn, nguoi ta d`ng ’ u ´ ’ o ’’ ty sˆ tuong quan: sy ηY /X = sy trong d´ ¯o 1 1 sy = ni .(yxi − y)2 ; sy = mj .(yj − y)2 n n ´ ’ o ’’ ´ Ty sˆ tuong quan c´ c´c t´ chˆt sau: o a ınh a i) 0 ≤ ηY /X ≤ 1. ii) ηY /X = 0 khi v` chi’ khi Y v` X khˆng c´ phu thuˆc tuong quan. a a o o . o ’’ . a a . o a . ´ iii) ηY /X = 1 khi v` chi’ khi Y v` X phu thuˆc h`m sˆ. o iv) ηY /X ≥ |r|. ´ . o ’’ . ’ a o . ´ Nˆu ηY /X = |r| th` su phu thuˆc tuong quan cua Y v` X c´ dang tuyˆn t´ e ı .’ e ınh. 2.6 . ´ ˜ Hˆ sˆ x´c d.nh mˆu e o a ¯i a Trong thˆng kˆ, dˆ’ d´nh gi´ chˆt luong cua mˆ h` tuyˆn t´ nguot ta c`n x´t ´ o e ¯e ¯a ´ a a ’ .’ ’ o ınh ´ e ınh ’`’ o e . ´ ˜ a 2 ´ ’ ´ hˆ sˆ x´c d. nh mˆu β = r voi r l` hˆ sˆ tuong quan. Ta c´ 0 ≤ β ≤ 1. e o a ¯i a e o ’’ . o
` 3. Hˆi qui o 103 3. ` ˆ HOI QUI 3.1 y . o ¯e` K` vong c´ diˆu kiˆn e . D. ’ .’ ˜ a e ` . i) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac ’ o ¯ e` e ’ ¯ . ’ .’ . ˜ a e ` .’ ´ ¯ e` e * K` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac Y voi diˆu kiˆn X = x l` y . ’ . a m E(Y /x) = yj P (X = x, Y = yj ) j=1 ’’ o ¯ e` e ’ ¯ . ’ .’ . ˜ a e ` .’ ´ ¯ e` e * Tuong tu, k` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X voi diˆu kiˆn .’ y . ’ . Y = y l` a n E(X/y) = xi P (X = xi , Y = y) i=1 D. ’ .’ ˜ ii) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc a e e . +∞ E(Y /x) = yf (y/x)dy −∞ +∞ E(X/y) = xf (x/y)dx −∞ trong d´ ¯o ´ ’ f (y/x) = f (x, y) voi x khˆng dˆi ’ o ¯o ´ ’ f (x/y) = f (x, y) voi y khˆng dˆi ’ o ¯o 3.2 ` H`m hˆi qui a o ` ’ ¯o ´ ´ ’ * H`m hˆi qui cua Y dˆi voi X l` f (x) = E(Y /x). a o a ` ’ ¯o ´ ´ ’ * H`m hˆi qui cua X dˆi voi Y l` f (y) = E(X/y). a o a ´ ’`’ a . ¯ . ’ .’ a˜ e o o e e ´ ´ Trong thuc tˆ ta thuong g˘p hai dai luong ngˆu nhiˆn X, Y c´ mˆi liˆn hˆ voi nhau, .’ e . ’ . ’ a trong do viˆc khao s´t X th` dˆ o ¯´ e ı e˜ c`n khao s´t Y th` kh´ hon thˆm ch´ khˆng thˆ’ khao ’ a ı o ’ a. ı o e ’ s´t duoc. Nguoi ta muˆn t` mˆi liˆn hˆ ϕ(X) n`o d´ giua X v` Y dˆ’ biˆt X ta c´ thˆ’ a ¯ ’ .’ ` ’’ ´ ´ o ım o e e . a ¯o ˜ ’ a ¯e e ´ o e du do´n duoc Y . ’ ¯ a ¯ ’ .’ . ’ ’’ e ´ ´ .’ ¯ a ` ´ . Gia su biˆt X, nˆu du do´n Y bang ϕ(X) th` sai sˆ pham phai l` E[Y − ϕ(X)]2 . e ˘ ı o ’ a ´ a ¯e` ¯ ’ .’ ¯˘ ´ Vˆn dˆ duoc dat ra l` t` ϕ(X) nhu thˆ n`o dˆ . a ım ’ e a ¯e ’ E[Y − ϕ(X)]2 l` nho nhˆt. a ’ a´ e ´ ’ . ´ Ta s˜ chung minh khi chon ϕ(X) = E(Y /X) (voi ϕ(x) = E(Y /x)) th` E[Y − ϕ(X)]2 ’ ı ’ a ´ s˜ nho nhˆt. e Thˆt vˆy, ta c´ a a . . o E[Y − ϕ(X)]2 = E{([Y − E(Y /X)] + [E(Y /X) − ϕ(X)])2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{[E(Y /X) − ϕ(X)]2 } +2E{[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)]}
104 ’’ y ´ ’’ e a a ` Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui o Ta thˆy E(Y /X) chi’ phu thuˆc v`o X nˆn c´ thˆ’ dat T (X) = E(Y /X) − ϕ(X). ´ a . o a . e o e ¯˘ . V` E[E(Y /X)T (X)] = E[Y T (X)] nˆn ı e 2E[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)] = 2E{[Y − E(Y /X)]T (X)} = 2E[Y T (X)] − 2E[E(Y /X)T (X)] = 0 Do d´ ¯o E{[Y − ϕ(X)]2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{E(Y /X) − ϕ(X)]2 ’ a ´ nho nhˆt khi E{[(Y /X) − ϕ(X)]2 = 0 a` Ta chi’ cˆn chon . ϕ(X) = E(Y /X) (6.1) ’’ ınh ¯ ’ .’ . a ’’ ı ’’ ’’ ı o` Phuong tr` (6.1) duoc goi l` phuong tr`nh tuong quan hay phuong tr`nh hˆi qui. 3.3 a ¯i a ` X´c d.nh h`m hˆi qui o ’` ´ . a) Truong hop ´ sˆ liˆu (tuong quan c˘p) ’ .’ ıt o e ’’ a . ’ ’’ ˜ ’ ˜ a e a o ’’ ´ Gia su giua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y c´ tuong quan tuyˆn t´ ¯ . ’ .’ ´ a e ınh, tuc l` ’ E(Y /X) = AX + B. a . a . ’ Dua v`o n c˘p gi´ tri (x1 , x2 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) cua (X, Y ) ta t` h`m .’ a ım a yx = y = ax + b (∗) dˆ’ uoc luong h`m Y = AX + B. ¯e ’ ´ ’ .’ ’ a ` ´ ˜ (*) duoc goi l` hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu. ¯ ’ .’ . a o e ı a ı a a . a . e a . a ´ ’ a e ’ o a . ´ ’ V` c´c c˘p gi´ tri trˆn l` tri xˆp xi’ cua x v` y nˆn thoa (*) mˆt c´ch xˆp xi. a Do d´ yi = axi + b + εi hay εi = yi − axi − b. ¯o ım a ´ o o . . ´ e ¯o ’ a ´ Ta t` a, b sao cho c´c sai sˆ εi (i = 1, n) c´ tri tuyˆt dˆi nho nhˆt hay h`m a n S(a, b) = (yi − axi − b)2 i=1 dat cuc tiˆ’u. Phuong ph´p t` n`y duoc goi l` phuong ph´p b`nh phuong b´ nhˆt. ¯ . .’ e ’’ a ım a ¯ ’ .’ . a ’’ a ı ’’ e a ´ Ta thˆy S s˜ dat gi´ tri nho nhˆt tai diˆ’m dung thoa m˜n ´ a e ¯. a . ´ ’ a . ¯e ` ’ ’ a n ∂S 0= = −2 xi (yi − axi − b) ∂a i=1 n ∂S 0= = −2 (yi − axi − b) ∂b i=1
` 3. Hˆi qui o 105 hay n n n x2 .a + i xi .b = xi yi i=1 i=1 i=1 (6.2) n n xi .a + nb = yi i=1 i=1 e e o ¯i . ´ Hˆ trˆn c´ d.nh thuc ’ n 2 n n n 2 i=1 xi xi D= n i=1 =n x2 i − xi i=1 xi n i=1 i=1 ı a a e ´ ’ a ¯˘ ´ V` c´c xi kh´c nhau nˆn theo bˆt dang thuc Bunhiakovsky ta c´ ( ’ o n i=1 xi )2 < n n i=1 2 e e o . e . ´ xi . Do d´ D > 0. Suy ra hˆ trˆn c´ nghiˆm duy nhˆt ¯o a n n xi yi − ( n xi ) ( n yi ) i=1 i=1 i=1 a= n i=1 xi − ( i=1 xi )2 n 2 n n n n n ( i=1 x2 ) ( i i=1 yi ) − ( i=1 xi ) ( i=1 xi yi ) b= n 2 n 2 n i=1 xi − ( i=1 xi ) ´ . e ¯˘ Nˆu dat 1 n 1 n 1 n 1 n 2 x= . xi , y= . yi , xy = . xi yi , x2 = x n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 i th` nghiˆm cua hˆ c´ thˆ’ viˆt lai duoi dang ı e . ’ e o e e . . ´ ’´ . ’ xy − x.y xy − x.y x2 .y − x.xy x2 .y − x.xy a= = ; b= = x 2 − (x)2 s2 x x2 − (x)2 s2 x T´m lai, ta c´ thˆ’ t` h`m yx = ax + b tu c´c cˆng thuc o . o e ım a ` a o ’ ´ ’ xy − x.y n( xy) − ( x)( y) a= = s2 x n( x2 ) − ( x)2 b = y − a.x Ch´ y u´ -bb-error = D ’` ´ o a ¯ e’ ´ ¯ uong gˆp kh´c nˆi c´c diˆm (x1 , y1 ), ’ a u ¯ ’ .’ . a ¯ ’` (x2 , y2 ) , . . . , (xn , yn ) duoc goi l` duong hˆi ’ ` o qui thuc nghiˆm. .’ e . D ’` ˘’ a ¯ ’ .’ ’’ ¯ uong thang y = ax + b nhˆn duoc boi ’ . ´ b` phuong b´ nhˆt khˆng di qua cˆng thuc ınh o ’ ’’ e a ´ o ¯ duoc tˆt ca c´c diˆ’m nhung l` duong thang ´ ¯ ’ .’ a ’ a ¯ e ’ a ¯ ’`’ ’ ˘ ”gˆn” c´c diˆ’m do nhˆt duoc goi l` duong a` a ¯ e ¯´ ´ a ¯ ’ .’ . a ¯ ’` ’ ˘ tha’ ng hˆi qui v` thu tuc l`m th´ hop duong o` a ’ . a ıch .’ ¯ ’`’ tha’ ng thˆng qua c´c diˆ’m du liˆu cho truoc ˘ o a ¯e ˜ e ’ . ’´’ duoc goi l` hˆi ¯ ’ .’ . a o ´ ınh. ` qui tuyˆn t´ e e o ¯´ ¯ e o ˘ e ¯ ’`’ ’ Theo trˆn ta c´ b = y − a.x, do do diˆ’m (x, y) luˆn nam trˆn duong thang hˆi qui. ` ˘ o`
106 ’’ y ´ ’’ e a a ` Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui o • V´ du 2 U’oc luong h`m hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu xua Y theo X trˆn co so bang tuong ı . ´ ’.’ ’ a o` ´ e ı ˜ a ’ e ’ ’’ ’ ’’ quan c˘p sau a . X 15 38 23 16 16 13 20 24 Y 145 228 150 130 160 114 142 265 ’ Giai a . ’ Ta lˆp bang sau xi yi x2 i xi yi 15 145 225 3175 38 228 1444 8664 23 150 529 3450 16 130 256 2080 16 160 256 2560 13 114 169 1482 20 142 400 2840 24 265 576 6360 2 x = 165 y = 1334 x = 3855 xy = 29611 Ta c´ o n( xy) − ( x)( y) a= n( x2 ) − ( x)2 8(19611) − (165)(1334) 16778 = 2 = = 4, 64 8(3855)(165) 3615 1334 16778 165 b = y − ax = − = 71 8 3615 8 a a . o` ´ ˜ Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = 4, 64x + 71. e ınh a a . ’ Do a ’ o ı ’ ´ ’ ’’ ¯e .’ ’ ’ ’´ • V´ du 3 ¯ ˆ ˆm cua khˆng kh´ anh huong dˆn su bay hoi cua nuoc trong son khi ı . ’ ’ phun ra. Nguoi ’’ ´ a e ´ ’ ´ e e ˜ ¯o a o . ’ . ’ ` ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu mˆi liˆn hˆ giua dˆ ˆm cua khˆng kh´ X v` dˆ e ’ o ı a ¯o . ’ .’ e’ ´ e e` o ´ . ´ . e e ¯ ’.’ ’.’ ’ ˘ ` bay hoi Y . Su hiˆu biˆt vˆ mˆi quan hˆ n`y s˜ gi´p ta tiˆt kiˆm duoc luong son bang e a e u ’ ’ . ı .’ ´ c´ch chinh s´ng phun son mˆt c´ch th´ch hop. Tiˆn h`nh 25 quan s´t ta duoc c´c sˆ a u o a e a a ¯ ’.’ a o ´ liˆu sau: e .
` 3. Hˆi qui o 107 a Do a ’ Quan s´t ¯ ˆ ˆm ¯ ˆ Do bay hoi ’ ’ Quan s´t ¯ ˆ ˆm ¯ ˆ a Do a Do bay hoi ’ . . . . (%) (%) (%) (%) 1 35,3 11,0 14 39,1 9,6 2 29,7 11,1 15 46,8 10,9 3 30,8 12,5 16 48,5 9,6 4 58,8 8,4 17 59,3 10,1 5 61,4 9,3 18 70,0 8,1 6 71,3 8,7 19 70,0 6,8 7 74,4 6,4 20 74,4 8,9 8 76,7 8,5 21 72,1 7,7 9 70,7 7,8 22 58,1 8,5 10 57,5 9,1 23 44,6 8,9 11 46,4 8,2 24 33,4 10,4 12 28,9 12,2 25 28,6 11,1 13 28,1 11,9 ` ´ ˜ H˜y t` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b. a ım a o e ınh a ’ Giai Ta c´ o n = 25 x = 1314, 9 y = 235, 7 x2 = 76308, 53 y 2 = 2286, 07 xy = 11824, 44 Do d´ ¯o n( xy) − ( x)( y) 25 × 11824, 44 − (1314, 9 × 235, 7) a= 2) − ( 2 = = −0, 08 n( x x) 25 × 76308, 53 − (1314, 9)2 b = y − ax = 9, 43 − (−0, 08) × 52, 6 = 13, 64 a a . o` ´ ˜ Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = −0, 08x + 13, 64 e ınh a a ’` ’ .’ ` ´ . b) Truong hop nhiˆu sˆ liˆu (tuong quan bang) e o e ’’ ’ ’ ’’ Gia su a a . a . ´ a ’ ` a´ X nhˆn c´c gi´ tri xi voi tˆn suˆt ni i = 1, k, a a . a . ´ a ’ ` ´ Y nhˆn c´c gi´ tri yj voi tˆn suˆt mj j = 1, h, a a a . a . ´ a ’ ` ´ XY nhˆn c´c gi´ tri xi yj voi tˆn suˆt nij i = 1, k, j = 1, h, a ` ´ e ınh a ˜ ’` ´ . e` o e Ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b trong truong hop c´ nhiˆu sˆ liˆu. Theo ım o ’ .’ o (6.2) ta c´ o
108 ’’ y ´ ’’ e a a ` Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui o k k k h ni x2 .a + i ni xi .b = nij xi yj i=1 i=1 i=1 j=1 k h (6.3) ni xi .a + nb = mj yj i=1 j=1 k h k h Thay ni xi = nx, mj yj = ny, ni x2 = nx2 , i 2 mj yj = ny 2 , i=1 j=1 i=1 j=1 k h nij xi yj = nxy v`o (6.3) ta duoc a ¯ ’ .’ i=1 j=1 x2 .a + x.b = xy (i) x.a + nb = y (ii) ` Tu (ii) ta c´ b = y − a.x ’ o Thay b v`o yx = ax + b ta suy ra a yx − y = a(x − x) (6.4) ’’ Ta t` a boi ım k h i=1 j=1 nij xi yj − ( k ni xi )( h mj yj ) i=1 j=1 n2 xy − nx.ny a= = n k ni x2 − ( k ni xi )2 i=1 i i=1 n.nx2 − (nx)2 xy − x.y xy − x.y = = x2 − (x)2 s2 x ´ ˜ ´ xy − x.y ım o` T´m lai, ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b voi a = o . e ınh a ’ , b = y − ax . s2 x Ch´ y u´ ´ . ´ xy − xy sy i) Ta biˆt hˆ sˆ tuong quan rXY = e e o ’’ nˆn a = rXY e sx .sy sx Thay a v`o (6.4) ta c´ a o sy yx − y = rXY (x − x) sx hay yx − y (x − x) = rXY sy sx Tu phuong tr` n`y ta c´ thˆ’ suy ra phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax+b ` ’ ’’ ınh a o e ’’ ınh o` ´ e ınh a˜ mˆt c´ch thuˆn loi hon v` thˆng qua viˆc t` rXY ta da t´ sx , sy . o a . a .’ ’ ı o . e ım . ¯˜ ınh ii) Khi c´c gi´ tri cua X, Y kh´ lon, ta c´ thˆ’ d`ng ph´p dˆi biˆn a a . ’ a ´ ’ o e u ’ e ¯o e ´ xi − x0 yj − y0 ui = (∀i = 1, k); vj = (∀j = 1, h) hx hy
` 3. Hˆi qui o 109 trong d´ ¯o a ˜ ’` a a . ’ ´ ´ a o ’ ` ´ * x0 , y0 l` nhung gi´ tri t`y y (thuong chon x0 , y0 l` gi´ tri cua X, Y ung voi tˆn sˆ ’ a . u ´ ’ . ’ ´’ ´ ’ nij lon nhˆt trong bang tuong quan thuc nghiˆm), a ’’ .’ e . ’`’ . a ’ a a a . e e´ ´ * hx , hy l` c´c gi´ tri t`y y (thuong chon hx , hy l` khoang c´ch c´c gi´ tri kˆ tiˆp a a a . u ´ ’ nhau cua X, Y). ’ ¯o ´ a ´ ’ ´ ´ ` ´ Lˆp bang tuong quan dˆi voi c´c biˆn moi U, V v` t´ to´n c´c gi´ tri cˆn thiˆt ta a . ’’ e ’ a ınh a a a . a e ` ´ t` duoc h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu ım ¯ ’ .’ a o e ınh a ˜ vu = a0 .u + b0 trong d´ ¯o uv − u.v a0 = , b0 = v − a0 .u s2 u ¯o a ´’ ¯ ’ .’ ım ’’ o ´ Khi d´ ta suy ra h`m yx = ax + b voi a, b duoc t` boi cˆng thuc ’ hy hy a = a0 , b = y0 + b0 .hy − a0 . .x0 hx hx ı . a ¯i . ´ e o ’’ a a o` ´ e ınh a ˜ ’ • V´ du 4 X´c d. nh hˆ sˆ tuong quan v` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b cua ˜ e a ’’ ’ c´c dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y cho boi bang tuong quan thuc nghiˆm sau: a ¯. ’ ’ a ’’ .’ e . X 1 2 3 Y 10 20 20 30 1 30 1 48 ’ Giai a . ’ Ta lˆp bang sau 2 X 1 2 3 mj mj yj mj yj Y 10 200 20 200 2000 |20 20 1200 60 31 620 12400 |30 |1 30 60 4320 49 1470 44100 |1 |48 ni 20 31 49 n=100 y = 2290 y 2 = 58500 ni xi 20 62 147 x = 229 ni x2 i 20 124 441 x2 = 585 xy = 5840
110 ’’ y ´ ’’ e a a ` Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui o xy = 200 + 1200 + 60 + 60 + 4320 = 5840 a` e o a ’ o Phˆn trˆn g´c tr´i cua ˆ ghi c´c t´ nij xi yj . Ta c´ a ıch o 229 2290 x= = 2, 29; y= = 22, 9; 100 100 585 58500 5840 x2 = = 5, 58; y2 = = 585 xy = = 58, 4; 100 100 100 s2 = x2 − (x)2 = 5, 85 − (2, 29)2 ≈ 0, 6059 x =⇒ sx ≈ 0, 78 sy = y 2 − (y)2 = 585 − (22, 9)2 ≈ 7, 78 Do d´ ¯o xy − x.y 58, 4 − 2, 29 × 22, 9 a= 2 = = 9, 835 sx 0, 6059 b = y − a.x = 22, 9 − 9, 835 × 2, 29 = 0, 378 ` ´ ˜ H`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = 9, 835x + 0, 378 a o e ınh a a . ´ Hˆ sˆ tuong quan l` e o ’’ a xy − x.y 58, 4 − 2, 29 × 22, 9 rxy = = ≈ 0, 982 sx .sy 0, 78 × 7, 78 4. ` ˆ BAI TAP . a . a ’ ¯ . ’ .’ ˜ a e a ’’ ’ 1. Cho c´c gi´ tri quan s´t cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y o bang sau: a X 5 10 10 10 15 15 15 20 20 20 Y 20 20 30 30 30 40 50 50 60 60 ’ ’’ . o ’’ . ´ Gia su X v` Y c´ su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ a o .’ ` ´ e ınh. T` h`m hˆi qui tuyˆn ım a o e ˜ t´ mˆu: y x = ax + b. ınh a ’`’ ¯ e` a a ¯´ a . o ı a ´ u e . ’ 2. Nguoi ta do chiˆu d`i vˆt duc v` khuˆn th` thˆy ch´ng lˆch khoi qui d.nh nhusau: ¯i ’ X 0.90 1,22 1,32 0,77 1,30 1,20 1,32 0,95 0,45 1,30 1,20 Y -0,30 0,10 0,70 -0,28 0,25 0,02 0,37 -0,70 0,55 0,35 0,32 Trong do X, Y l` c´c dˆ lˆch. ¯´ a a ¯o e . . a ¯i . ´ X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan. e o ’’ ´ . o e ´ o e ˘ ` e ´ . ’ ’ e ˜ o ’ ’ ´ 3. Sˆ liˆu thˆng kˆ nham nghiˆn cuu quan hˆ giua tˆng san phˆm nˆng nghiˆp Y voi ’ a o e . ’ o’ a . a ’ o ¯i ´ ’ tˆng gi´ tri t`i san cˆ d.nh X cua 10 nˆng trai (t´ trˆn 100 ha) nhu sau: o . ınh e ’
4. B`i tˆp a a . 111 X 11,3 12,9 13,6 16,8 18,8 20,0 22,2 23,7 26,6 27,5 Y 13,2 15,6 17,2 18,8 20,2 23,9 22,4 23,0 24,4 24,6 a ¯i ¯ ’`’ o` ´ e ınh a ˜ X´c d.nh duong hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y x = ax + b. Sau do t` phuong sai sai ¯´ ım ’’ ´ thuc nghiˆm v` khoang tin cˆy 95% cho hˆ sˆ g´c cua duong hˆi qui trˆn. sˆ .’ o e . a ’ a . e o . ´ o ’ ¯ ’` ’ o` e D e` a . ’ .’ ’ . ´ ¯ ’ .’ e ’ 4. ¯ o chiˆu cao X (cm) v` trong luong Y (kg) cua 100 hoc sinh, ta duoc kˆt qua sau: X 145 − 150 150 − 155 155 − 160 160 − 165 165 − 170 Y 35 − 40 3 40 − 45 5 10 45 − 50 14 20 6 50 − 55 15 12 5 55 − 60 6 4 ’ ´ a o o´ . o ’’ . ´ Gia thuyˆt X v` Y c´ mˆ phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ e ` e ınh. T` c´c h`m hˆi qui ım a a o a) y x = ax + b; b) xy = cy + d ´ a u ’ u ’’ o u 5. Theo d˜i luong phˆn b´n v` n˘ng suˆt l´a cua 100 hecta l´a o mˆt v`ng, ta thu o ’ .’ a o a a . ¯ ’ .’ ’ ´ . duoc bang sˆ liˆu sau: o e X 120 140 160 180 200 Y 2,2 2 2,6 5 3 3,0 11 8 4 3,4 15 17 3,8 10 6 7 4,2 12 a a o a a a ´ a u ´ Trong do X l` phˆn b´n (kg/ha) v` Y l` n˘ng suˆt l´a (tˆn/ha). ¯´ a a ’ ´ ’ .’ . ´ ´ a) H˜y uoc luong hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´ r. ’ e o ’’ e ınh b) T` phuong tr` tuong quan tuyˆn t´ ım ’’ ınh ’ ’ ´ e ınh: y x = ax + b. e` a ¯ ’` ınh ’ ´ ’ ’’ ’ 6. ¯ o chiˆu cao v` duong k´ cua mˆt loai cˆy, ta duoc kˆt qua cho bo bang sau: D ’ o . . a ¯ ’ .’ e X 6 8 10 12 14 Y 30 2 17 9 3 35 10 17 9 40 3 24 16 13 45 6 24 12 50 2 11 22
112 ’’ y ´ ’’ e a a ` Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui o a ¯ ’`’ ınh a a e` Trong do X l` duong k´ (cm) v` Y l` chiˆu cao (m). ¯´ . ´ ´ ˜ a) X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´ mˆu r. a ¯i e o ’’ e ınh a ım a ’’ ınh o` ´ b) T` c´c phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu. e ınh a ˜ ’’ ınh e e ¯o’ ´ ’ e a e ´ c) C´c phuong tr` trˆn s˜ thay dˆi nhu thˆ n`o nˆu X duoc t´ theo don vi l` a ¯ ’ .’ ınh ¯’ . a m´t (m)? e • ’ ` ’ ` ˆ 2 TRA LOI BAI TAP . 1. x = 14, y = 39, y x = 8 x + 5 . 3 3 2. r = −0, 3096. 3. y x = 0, 67x + 7, 18, σ 2 = 1, 126, (0, 6280 ; 0, 7176). 4. a) y x = 0, 7018x − 61, 5537, b) xy = 0, 91y + 112, 96. 5. r = 0, 8165; y x = 0, 017x + 0, 5622. 6. a) r = 0, 69, b) y x = 0, 218x + 2, 434, xy = 2, 18y + 15, 87. c) y x = 21, 8x + 2, 434, xy = 0, 0218y + 0, 1587.