Martingale trong đại số von Neumann và sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện: Phần 1

Chia sẻ: Liên Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 tài liệu Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann trình bày các nội dung: Kỳ vọng có điều kiện và martingale, sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Martingale trong đại số von Neumann và sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện: Phần 1

Môc lôc Trang Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 - 13 1.1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. C¸c ®Æc tr-ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Thêi ®iÓm dõng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . 14 - 30 2.1. §¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. D¹ng kh¸c cña héi tô hÇu ch¾c ch¾n trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Mét d¹ng kh«ng giao ho¸n cña §Þnh lý Egoroff . . . . . . . 27 3. Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - 62 3.1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . 31 3.2. Sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tµi liÖu tham kh¶o.
HÖ thèng ký hiÖu (Ω, F , P) Kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ. G σ−®¹i sè con cña F . (Fn , n ∈ N) D·y kh«ng gi¶m c¸c σ - ®¹i sè con cña F . (ξn , n ∈ N) D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn t-¬ng thÝch víi (Fn , n ∈ N). Lp TËp tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch cÊp p, 1 6 p 6 ∞. Z E(ξ) = ξ(ω)dP Kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn ξ. Ω G E (ξ) = E(ξ|G) Kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ biÕt G . τ ∈T Thêi ®iÓm dõng bÞ chÆn. H Kh«ng gian Hilbert. B(H) TËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trªn H. C∗ C∗ - ®¹i sè. A §¹i sè von Neumann A. A0 Ho¸n tËp cña A. P rojA TËp tÊt c¶ c¸c phÐp chiÕu trùc giao trong A. A∞ = W ∗ {An ; n > 1} §¹i sè von Neumann sinh bëi (An ). φ Tr¹ng th¸i trªn A.
Më §Çu Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ thèng kª lµ mét bé phËn cña to¸n häc, nghiªn cøu c¸c hiÖn t-îng ngÉu nhiªn vµ øng dông chóng vµo thùc tÕ. C¸c kh¸i niÖm ®Çu tiªn cña x¸c suÊt do c¸c nhµ to¸n häc tªn tuæi Pierre Fermat (1601 - 1665) vµ Bailes Pascal (1623 - 1662) x©y dùng tõ thÕ kû thø 17 dùa trªn viÖc nghiªn cøu c¸c quy luËt trong trß ch¬i may rñi. Sau gÇn 3 thÕ kû ph¸t triÓn, lý thuyÕt x¸c suÊt ®· ®-îc A.N. Kolmogorov tiªn ®Ò ho¸. Cã thÓ nãi, cuèn s¸ch "C¸c c¬ së cña lý thuyÕt x¸c suÊt" do «ng xuÊt b¶n lÇn ®Çu tiªn b»ng tiÕng §øc, n¨m 1933 ®-îc coi lµ b»ng chøng khai sinh ra x¸c suÊt hiÖn ®¹i. Dùa trªn nÒn t¶ng ®ã, nhiÒu h-íng nghiªn cøu chuyªn s©u cña x¸c suÊt ®· ra ®êi, trong ®ã cã lý thuyÕt vÒ kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale. §Ò tµi luËn v¨n cña t«i: "Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann" lµ mét phÇn nhá thuéc h-íng nghiªn cøu ®ã. §Ó cã thÓ hiÓu vµ n¾m b¾t ®-îc mét sè kÕt qu¶ cña ®Ò tµi, t«i x©y dùng luËn v¨n theo 3 ch-¬ng nh- sau: Ch-¬ng 1: Kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale. Ch-¬ng 2: Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann. Ch-¬ng 3: Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann. Hai ch-¬ng ®Çu lµ nÒn t¶ng, trong ®ã mét sè ®Æc tr-ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn trong kh«ng gian Lp vµ c¸c d¹ng héi tô trong ®¹i sè von Neumann ®-îc coi lµ quan träng nhÊt. Néi dung chÝnh cña luËn v¨n n»m trong Ch-¬ng 3. ë ®ã, c¸c §Þnh lý 3.2.9 ; 3.2.11 vµ §Þnh lý 3.2.16 vÒ sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von 1
Neumann lµ ®¸ng chó ý nhÊt. Hoµn thµnh ®-îc luËn v¨n trªn, tr-íc tiªn t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn PGS.TS Phan ViÕt Th-, ng-êi ®· tËn t×nh h-íng dÉn, chØ b¶o cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn luËn v¨n. T«i còng muèn ®-îc göi lêi c¶m ¬n ®Õn c¸c thÇy c« thuéc Khoa To¸n - C¬ - Tin häc, Bé m«n X¸c suÊt thèng kª, Phßng §µo t¹o, Phßng Sau ®¹i häc tr-êng §HKHTN - §HQGHN vµ c¸c thÇy bªn ViÖn To¸n häc ®· gi¶ng d¹y, rÌn luyÖn t«i trong suèt thêi gian t«i häc tËp t¹i tr-êng, còng nh- tÊt c¶ c¸c b¹n líp cao häc khãa 2007 - 2009 ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó t«i hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. LuËn v¨n còng lµ mãn quµ nhá cña t«i dµnh kÝnh tÆng bè mÑ, vî con vµ nh÷ng ng-êi th©n trong gia ®×nh ®· dµnh nh÷ng t×nh c¶m yªu th-¬ng nhÊt cho t«i. Cuèi cïng, do kh¶ n¨ng vµ thêi gian cã h¹n nªn luËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. V× vËy, t«i rÊt mong nhËn ®-îc sù h-íng dÉn, chØ b¶o cña c¸c thÇy c«, sù hîp t¸c cña c¸c b¹n ®Ó t«i cã thÓ hoµn thiÖn h¬n. Hµ Néi, ngµy 10 th¸ng 12 n¨m 2009. Häc viªn: §inh Thanh TuÊn. 2
Ch-¬ng 1. kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale 1.1 Kú väng cã ®iÒu kiÖn Kú väng cã ®iÒu kiÖn lµ mét c«ng cô c¬ b¶n vµ h÷u hiÖu cña lý thuyÕt x¸c suÊt. V× vËy, trong phÇn nµy t«i xin tr×nh bµy v¾n t¾t c¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn. Tr-íc hÕt, ta cã ®Þnh nghÜa sau: 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ, G lµ σ− ®¹i sè con cña F vµ ξ ∈ L1 . Ta gäi biÕn ngÉu nhiªn, ký hiÖu lµ E(ξ|G) hay EG (ξ) lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ víi G ®· cho, nÕu nã tho¶ m·n: i) E(ξ|G) lµ G− ®o ®-îc vµ E(ξ|G) ∈ L1 . ii) Víi mäi A ∈ G, ta cã: Z Z E(ξ|G)dP = ξdP. A A Chó ý: 1) NÕu ξ = 1A , A ∈ F th× P(A|G) := E(1A |G) ®-îc gäi lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn σ− ®¹i sè G ®· cho. 2) NÕu η lµ biÕn ngÉu nhiªn ®· cho vµ G = σ(η) lµ σ− ®¹i sè sinh bëi η th× E(ξ|η) := E(ξ|G) ®-îc gäi lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ biÕt η. 1.1.2. VÝ dô. Cho (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, (Bi )i∈K , K ⊂ N lµ mét ph©n ho¹ch nµo ®ã cña Ω, G = σ (Bi )i∈K vµ ξ ∈ L1 . Khi ®ã: X Z 1 G E (ξ) = EBk (ξ)1Bk víi EBk (ξ) = ξdP, k ∈ K. k∈K P(Bk ) Bk 3
1.1.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . Trong suèt môc nµy ta lu«n gi¶ thiÕt (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ cè ®Þnh, c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®Òu kh¶ tÝch vµ G ⊂F lµ σ− ®¹i sè con nµo ®ã cña F. Khi ®ã, kú väng ®iÒu kiÖn cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. NÕu c lµ h»ng sè th× E(c|G) = c (h.c.c). 2. NÕu ξ > η(h.c.c) th× E(ξ|G) > E(η|G) (h.c.c). 3. NÕu a, b lµ h»ng sè ; ξ, η lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn th×: E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G) (h.c.c). 4. E(ξ|{φ, Ω}) = E(ξ) (h.c.c). 5. E(ξ|F ) = ξ (h.c.c). 6. E E(ξ|G) = E(ξ) (h.c.c). 7. TÝnh t-¬ng thÝch: NÕu G1 , G2 lµ c¸c σ− ®¹i sè con cña F vµ G1 ⊂ G 2 th×: E E(ξ|G2 )|G1 = E(ξ|G1 ) = E E(ξ|G1 )|G2 (h.c.c). 8. TÝnh kh«ng gi·n:
E(ξ|G)
6 E |ξ|
G (h.c.c) vµ
E(ξ|G)
6 ||ξ||1. 1 9. NÕu ξ vµ G ®éc lËp th× E(ξ|G) = E(ξ) (h.c.c). 10. NÕu η lµ G− ®o ®-îc, E |η| < ∞ vµ E |ξη| < ∞ th×: E(ξη|G) = ηE(ξ|G) (h.c.c). §èi víi kú väng cã ®iÒu kiÖn, ngoµi nh÷ng tÝnh chÊt trªn cßn cã mét sè tÝnh chÊt quan träng sau ®©y: Nhãm tÝnh chÊt chuyÓn qua giíi h¹n: 11. §Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu Levy: a) NÕu ξn ↑ ξ (h.c.c) vµ tån t¹i n∈N sao cho E(ξn− ) < ∞ th×: E(ξn |G) ↑ E(ξ|G) (h.c.c). b) NÕu ξn ↓ ξ (h.c.c) vµ tån t¹i n∈N sao cho E(ξn+ ) < ∞ th×: E(ξn |G) ↓ E(ξ|G) (h.c.c). 12. Bæ ®Ò Fatou: Gi¶ sö η lµ biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, khi ®ã: 4