Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0164<br /> Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 44-52<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> MỘT CÁCH TIẾP CẬN MÔ HÌNH HÓA VỀ DẠY HỌC HÀM SỐ<br /> VÀ ĐÓNG GÓP CỦA CÔNG NGHỆ<br /> <br /> <br /> Trần Kiêm Minh<br /> Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt. Nghiên cứu này đề cập đến dạy học hàm số ở phổ thông và đóng góp của công<br /> nghệ. Chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận hàm số thông qua mô hình hóa hàm các quan hệ<br /> phụ thuộc trong những hệ vật lí. Sau đó, chúng tôi phân tích tiềm năng của cách tiếp cận<br /> này đối với việc dạy và học hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée tích hợp đồng<br /> thời hình học động và đại số máy tính. Kết quả nghiên cứu bước đầu cho thấy cách tiếp cận<br /> hàm số đề xuất ở trên có thể được sử dụng để thúc đẩy việc hiểu của học sinh về hàm số<br /> như là mô hình của mối quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc giữa hai đại lượng trong các hệ<br /> vật lí.<br /> Từ khóa: Hàm số, sự đồng biến thiên, chu trình mô hình hóa hàm, công nghệ, Casyopée.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Hàm số là một khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học. Các phân tích về mặt tri thức<br /> luận và lịch sử [6, 12] cho thấy khái niệm hàm số xuất hiện trong lịch sử từ nhu cầu thực tế và<br /> trong các ngữ cảnh ứng dụng. Quá trình hình thành khái niệm hàm số trong lịch sử cho thấy có hai<br /> khía cạnh cơ bản trong quan niệm về hàm số: khía cạnh tương ứng và khía cạnh đồng biến thiên.<br /> Khía cạnh tương ứng thường xuất hiện trong các định nghĩa mang tính hình thức, trong khi đó khía<br /> cạnh đồng biến thiên xuất hiện sớm trong các ý tưởng hình thành khái niệm hàm số và thường ở<br /> dạng ngầm ẩn. Theo Comin (2005, [2]), khái niệm hàm số được hình thành dựa trên ý tưởng về<br /> các mối quan hệ phụ thuộc và học sinh chỉ có thể đạt được nghĩa đúng về khái niệm này thông qua<br /> việc nghiên cứu các mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa các đại lượng.<br /> Nhiều nghiên cứu về dạy học hàm số đã cho thấy học sinh thường gặp khó khăn liên quan<br /> đến các khía cạnh khác nhau của khái niệm này, đặc biệt trong việc hiểu khái niệm hàm số được<br /> thể hiện trong các kiểu biểu đạt (registers of semiotic representation, theo nghĩa của Duval [3])<br /> khác nhau (hình học, đại số, đồ thị, số học, ngôn ngữ. . . ). Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu giáo dục<br /> toán đã quan tâm đặc biệt đến tiềm năng hỗ trợ của các công cụ công nghệ mới đối với việc dạy và<br /> học hàm số [1, 4, 5, 7]. Việc sử dụng các công cụ công nghệ mới, đặc biệt là các phần mềm hình<br /> học động, cho phép học sinh khám phá các trải nghiệm về quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc giữa<br /> các đại lượng hình học (như độ dài, diện tích. . . ). Tuy nhiên, các môi trường phần mềm này không<br /> hỗ trợ học sinh sử dụng các kí hiệu đại số cũng như làm việc trên các mô hình đại số của các quan<br /> hệ phụ thuộc hàm này.<br /> <br /> Ngày nhận bài: 15/3/2015. Ngày nhận đăng: 10/10/2015.<br /> Liên hệ: Trần Kiêm Minh, e-mail: kiemminh@gmail.com<br /> <br /> <br /> <br /> 44<br />  Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ<br /> <br /> <br /> Dựa trên quan niệm "đồng biến thiên" về hàm số [8] đã đề xuất một cách tiếp cận xem hàm<br /> số như là “mô hình của các quan hệ phụ thuộc” giữa các đại lượng trong một lĩnh vực ứng dụng.<br /> Cách tiếp cận này chứa đựng tiềm năng khai thác sự hỗ trợ của các công cụ công nghệ mới, đặc<br /> biệt là các môi trường phần mềm tích hợp cả hình học động và đại số máy tính. Những môi trường<br /> phần mềm này cho phép kết nối các kiểu biểu đạt khác nhau của một quan hệ phụ thuộc hàm.<br /> Trong bài báo này, chúng tôi mô tả một cách tiếp cận xem hàm số như là mô hình của các<br /> quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng đề xuất trong [8] và vận dụng cách tiếp cận này vào phân<br /> tích một tình huống học tập hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée. Trong phần tiếp theo<br /> của bài báo, chúng tôi phân tích một số khía cạnh lí thuyết chủ yếu liên quan đến cách tiếp cận<br /> này. Sau đó, chúng tôi trình bày phương pháp nghiên cứu và mô tả các kết quả thực nghiệm bước<br /> đầu về vận dụng cách tiếp cận này vào dạy học hàm số ở bậc phổ thông.<br /> <br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Nền tảng lí thuyết<br /> 2.1.1. Nghiên cứu về dạy học hàm số<br /> Từ khía cạnh «quy trình-đối tượng» đến quan niệm «đồng biến thiên»<br /> Từ đầu những năm 1990, hầu hết các nghiên cứu liên quan đến dạy học hàm số dựa trên sự<br /> phân biệt hai quan niệm chủ đạo mà học sinh chấp nhận khi học hàm số: quan niệm “quy trình” và<br /> quan niệm “đối tượng” (Sfard, 1991, [10]). Quan niệm quy trình (process view) về hàm số được<br /> đặc trưng bởi sự tập trung chú ý đến kết quả của các hoạt động tính toán sau một dãy các phép tính,<br /> trong khi quan niệm đối tượng (object view) dựa trên sự khái quát hóa các quan hệ phụ thuộc giữa<br /> các cặp giá trị vào-ra (imput-output) của các đại lượng. Sau đó, một số tiếp cận được phát triển để<br /> mô tả các quan niệm định hướng đối tượng về hàm số đặc biệt nhấn mạnh khía cạnh “đồng biến<br /> thiên” của hàm số (Thompson, 1994, [13]). Điểm mấu chốt của một quan niệm đồng biến thiên<br /> phụ thuộc liên quan đến việc hiểu cách thức trong đó các biến (biến độc lập) và giá trị hàm (biến<br /> phụ thuộc) thay đổi cũng như sự kết hợp giữa các thay đổi này. Điều này kéo theo sự thay đổi trong<br /> cách hiểu một biểu thức từ cách nhìn giá trị vào - giá trị ra có tính đơn lẻ đến cách nhìn động hơn.<br /> Tuy nhiên, quan niệm động về biến thiên này dường như chưa rõ ràng đối với học sinh và vì vậy<br /> đòi hỏi cần thiết phải có các tình huống học tập có thể mang lại cho học sinh cơ hội để suy nghĩ<br /> về bản chất đồng biến thiên phụ thuộc của hàm số trong việc mô hình hóa các sự kiện động.<br /> Việc hiểu khái niệm biến<br /> Một khó khăn đặc biệt trong việc hiểu khái niệm hàm số là hiểu khái niệm về biến.<br /> Thompson (1994, [13]) chỉ ra rằng hình ảnh nổi bậc được gợi lên bởi từ “hàm số” ở học sinh<br /> liên quan đến hai biểu thức rời nhau được liên kết bởi dấu “=”. Với mục đích chỉ ra khó khăn của<br /> học sinh để phát triển việc hiểu cấu trúc của biểu thức hình thức của các quan hệ hàm và vai trò của<br /> các kí hiệu đặc biệt trong đó, tác giả mô tả một ví dụ về công thức tính tổng Sn = 12 + 22 + ...+ n2<br /> n(n + 1)(2n + 1)<br /> được đưa ra bởi một học sinh như là câu trả lời. Học sinh đó viết : f (x) = và<br /> 6<br /> không có học sinh nào tìm thấy chỗ sai trong công thức này vì dường như nó khớp với hình ảnh<br /> về hàm số của học sinh. Ở đây học sinh quan niệm hàm số bao gồm hai thành phần phân biệt mà<br /> không có liên quan gì với nhau và với các đối tượng hay đại lượng hiện tại.<br /> Tình huống học tập mà chúng tôi xây dựng trong nghiên cứu này một phần hướng đến việc<br /> giúp học sinh hiểu hơn về khái niệm biến. Chẳng hạn, việc mô hình hóa tự động với phần mềm<br /> Casyopée giúp học sinh tập trung vào việc thành lập các thành phần của một hàm số (biến, giá trị<br /> hàm) hơn là vào việc tính toán công thức đại số của hàm số.<br /> <br /> <br /> 45<br />  Trần Kiêm Minh<br /> <br /> <br /> Vai trò của biểu tượng hàm số<br /> Nhiều nghiên cứu giáo dục toán đều có chung thừa nhận rằng vấn đề biểu tượng hình thức<br /> (symbolism) về hàm số là một khó khăn chủ yếu đối với học sinh. Cách nhìn của học sinh về các<br /> biểu thức hình thức có thể đơn thuần chỉ là một tương ứng các giá trị vào - ra. Slavit (1997, [11])<br /> chỉ ra vai trò then chốt của biểu tượng được xem xét trong các dạng khác nhau như đồ thị hay<br /> phương trình trong sự phát triển của khái niệm hàm số và gợi ý về sự cần thiết đối với việc khảo<br /> sát quan niệm về hàm số của học sinh trong các ngữ cảnh khác nhau chẳng hạn như ngữ cảnh hình<br /> học hay ứng dụng. Thậm chí khi học sinh đạt được những thành thạo cơ bản về biểu tượng hình<br /> thức đại số, việc kết hợp sự thành thạo này với việc hiểu cấu trúc của công thức đại số của một<br /> hàm số cũng là quan trọng và đặc biệt được hướng đến khi hàm số đó xuất phát từ ngữ cảnh ứng<br /> dụng. Tình huống học tập đưa ra ở phần sau sẽ cho thấy Casyopée có thể hỗ trợ làm tương thích<br /> dạng biểu tượng hình thức và thao tác động các đối tượng toán học cũng như quan hệ phụ thuộc<br /> giữa chúng như thế nào.<br /> 2.1.2. Chu trình mô hình hóa hàm – một cách tiếp cận hàm số trong môi trường công nghệ<br /> Lagrange & Artigue (2009, [5]) đề xuất một bảng phân bậc hoạt động để phân loại và kết<br /> nối các hoạt động về hàm số trong môi trường công nghệ. Bảng phân bậc hoạt động này gồm hai<br /> thành phần: cấp độ biểu diễn các quan hệ phụ thuộc và kiểu hoạt động với các quan hệ phụ thuộc.<br /> Dựa trên bảng phân bậc hoạt động này, Minh (2012b, [8]) đề xuất một chu trình mô hình hóa hàm<br /> nhằm tiếp cận các hàm số. Chu trình này cho phép xem xét các bước trong qua trình xây dựng một<br /> mô hình toán học để nghiên cứu một quan hệ phụ thuộc hàm trong một hệ vật lí.<br /> <br /> <br /> <br /> (1) Mô hình hóa tình huống bằng<br /> một hình động<br /> (2) Chọn biến, giá trị hàm để<br /> biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc<br /> (3) Mô hình hóa bởi một hàm số<br /> (4) Lí giải và kiểm chứng mô<br /> hình<br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1. Chu trình mô hình hóa hàm<br /> <br /> <br /> Hệ vật lí là ngữ cảnh thực tế của tình huống. Bước chuyển từ Hệ vật lí sang cấp độ Hình<br /> học được đặc trưng bởi việc dựng một hình hình học động minh họa tình huống. Hình học là cấp<br /> độ ở đó học sinh có thể di chuyển các đối tượng, quan sát sự biến đổi của các hình hình học nhờ<br /> sự hỗ trợ của công nghệ, và nhận thức các quan hệ phụ thuộc hình học giữa các đối tượng của Hệ<br /> vật lí. Đại lượng là cấp độ ở đó học sinh có thể sử dụng công nghệ để lượng hóa các quan sát và<br /> khám phá, thể hiện qua việc thiết lập các tính toán và biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc giữa các<br /> đại lượng hình học bằng một công thức tiền đại số. Hàm số là cấp độ biểu diễn một quan hệ phụ<br /> thuộc hàm bởi một hàm số cho bởi một công thức đại số. Đây là cấp độ cho các biến đổi đại số và<br /> chứng minh toán học. Bước (4) trong chu trình minh họa việc trở lại trong Hệ vật lí để lí giải và<br /> kiểm chứng tính thích đáng của mô hình toán học.<br /> Chúng tôi xem xét chu trình mô hình hóa hàm này như một khung lí thuyết về cách tiếp cận<br /> hàm số trong môi trường học tập có sự hỗ trợ của công nghệ. Cách tiếp cận hàm số như vậy cho<br /> <br /> 46<br />  Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ<br /> <br /> <br /> phép kết nối một quan hệ phụ thuộc hàm trong các lĩnh vực ứng dụng với phạm vi đại số thông<br /> qua việc mô hình hóa hàm (mô hình hóa một quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong lĩnh vực<br /> ứng dụng bởi một hàm số toán học). Khung lí thuyết này là cơ sở để chúng tôi thiết kế các tình<br /> huống học tập về hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée và phân tích các kết quả quan sát<br /> thực nghiệm ở lớp học.<br /> 2.2. Phương pháp nghiên cứu<br /> 2.2.1. Môi trường phần mềm Casyopée<br /> Casyopée (Có thể tải Casyopée tại https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/) là phần<br /> mềm nguồn mở được thiết kế cho việc dạy và học hàm số ở phổ thông. Casyopée có hai cửa<br /> sổ chính: cửa sổ đại số và cửa sổ hình học. Cửa sổ hình học cung cấp các đặc trưng chủ yếu của<br /> một phần mềm hình học động như khởi tạo và cơ hoạt các đối tượng hình học.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 2. Cửa sổ hình học, cửa sổ đại số và dạng hàm số được xuất của Casyopée<br /> <br /> Đặc biệt, trong cửa sổ hình học có một chức năng gọi là «tính toán hình học», cho phép hỗ<br /> trợ việc mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc hình học giữa các đại lượng như: tạo các «phép<br /> tính hình học» hình thức biểu diễn một đại lượng hình học hoặc số đo của đại lượng đó, chọn một<br /> đại lượng làm giá trị hàm và một đại lượng làm biến để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa<br /> chúng, tính toán tự động và xuất vào cửa sổ đại số một hàm số mô hình hóa quan hệ phụ thuộc<br /> hàm này. Chú ý rằng, với một đại lượng được chọn làm giá trị hàm cho trước, Casyopée cho phép<br /> học sinh có thể chọn nhiều đại lượng làm biến khác nhau để khảo sát các mối quan hệ phụ thuộc.<br /> Nếu đó là một mối quan hệ phụ thuộc hàm, Casyopée cho phép tự động xuất ra một công thức<br /> đại số mô tả quan hệ phụ thuộc đó. Ngược lại, nếu đó không phải là một quan hệ phụ thuộc hàm,<br /> Casyopée đưa ra phản hồi để học sinh có thể điều chỉnh cách chọn biến cho thích hợp.<br /> Cửa sổ đại số được liên kết với của sổ hình học, và học sinh có thể chuyển đổi qua lại giữa<br /> hai cửa sổ một cách dễ dàng. Cửa sổ đại số cung cấp các công cụ để học sinh có thể làm việc trên<br /> các hàm số trong ba hệ thống biểu đạt khác nhau là : biểu tượng (biểu thức đại số), đồ thị, số học<br /> <br /> 47<br />  Trần Kiêm Minh<br /> <br /> <br /> (bảng giá trị). Với một hàm số được xuất vào của sổ đại số, học sinh có thể thao tác, biến đổi trên<br /> biểu thức của hàm số bằng cách khai triển, tính đạo hàm. . . Học sinh cũng có thể khám phá đồ thị<br /> của hàm số hoặc hiển thị một bảng giá trị của hàm số đó.<br /> 2.2.2. Tổ chức thực nghiệm<br /> Các tình huống thực nghiệm trong nghiên cứu này nhằm hỗ trợ học sinh tiếp cận hàm số<br /> thông qua việc mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong một tình huống<br /> thực tế. Một phần của thực nghiệm được thực hiện trên đối tượng là học sinh lớp 12/6 của trường<br /> Trung học phổ thông Trần Hưng Đạo, Thành phố Huế, trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ (Ngô<br /> Thị Nhật Anh, 2013, [9]). Chúng tôi tổ chức thành các nhóm hai học sinh làm việc trên cùng một<br /> máy tính xách tay có cài sẵn phần mềm Casyopée. Kịch bản thực nghiệm bao gồm:<br /> Quan sát lớp học<br /> - Phần 1 (3 buổi): Mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc trong các tình huống đơn giản;<br /> - Phần 2 (2 buổi): Mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc trong các tình huống phức tạp<br /> hơn (làm việc với tham số);<br /> - Phần 3 (1 buổi): Học sinh làm việc tự do hơn để giải quyết vấn đề.<br /> Bảng hỏi: Sau thời gian quan sát thực nghiệm ở lớp, chúng tôi có một bảng câu hỏi để học<br /> sinh trả lời cá nhân. Mục đích là để tìm hiểu những khó khăn của học sinh và tiềm năng hỗ trợ của<br /> phần mềm này trong việc học khái niệm hàm số.<br /> Phỏng vấn nửa cấu trúc: Để tìm hiểu sâu hơn khả năng hiểu của học sinh về hàm số và các<br /> khái niệm liên quan (biến, giá trị hàm) khi làm việc trong môi trường Casyopée, chúng tôi thực<br /> hiện một buổi phỏng vấn nửa cấu trúc vào cuối quá trình thực nghiệm.<br /> Dữ liệu thu thập được bao gồm bài làm của học sinh, tập tin bài làm của học sinh, các tập<br /> tin video ghi lại thao tác của học sinh trên màn hình máy tính, bảng hỏi và tập tin âm thanh ghi lại<br /> cuộc phỏng vấn.<br /> 2.2.3. Tình huống học tập minh họa<br /> Sau đây chúng tôi giới thiệu một tình huống minh họa cho cách tiếp cận đề cập ở trên. Tình<br /> huống này là tình huống được thực nghiệm trong buổi thứ ba của phần quan sát lớp học.<br /> <br /> Tình huống: Một cái hàng rào có<br /> chiều cao AQ = 1dam (1dam =<br /> 10m) song song với bức tường<br /> của một tòa nhà và cách bức<br /> tường một khoảng cách cũng là<br /> 1dam. Người ta muốn làm một<br /> cái thang MN có chiều dài ngắn<br /> nhất, dựng từ vị trí M trên mặt<br /> đất, bắc qua hàng rào AQ tại A<br /> và dựa vào bức tường tòa nhà tại<br /> N. Hỏi cần phải đặt cái thang ở<br /> vị trí nào trên mặt đất?<br /> Hình 3. Chu trình mô hình hóa hàm của tình huống<br /> <br /> Ở đây Hệ vật lí là ngữ cảnh của tình huống. Học sinh được mong đợi dựng một hình động<br /> với Casyopée để mô hình hóa tình huống. Việc dựng điểm M di động trên tia [Qx) có thể là một<br /> <br /> 48<br />  Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ<br /> <br /> <br /> khó khăn đối với hầu hết học sinh vì nó đòi hỏi phân biệt được điểm tự do trong mặt phẳng và trên<br /> đường thẳng (trường hợp M trùng Q thì không thể dựng được hình). Sau khi dựng được hình, học<br /> sinh có thể di chuyển điểm M trên tia [Qx) để kiểm tra cách dựng và quan sát sự thay đổi độ dài<br /> của đoạn MN.<br /> Tiếp theo, học sinh có thể khảo sát mối quan hệ phụ thuộc giữa điểm M và độ dài đoạn<br /> MN bằng cách tạo ra các phép tính độ dài như OM, QM, MN. . . Casyopée cho phép chọn một đại<br /> lượng liên quan đến vị trí điểm M làm biến, chẳng hạn như OM, QM... và MN hoặc MN2 làm giá<br /> trị hàm để mô hình hóa. Nếu đó là một quan hệ phụ thuộc hàm, Casyopée hỗ trợ xuất vào cửa sổ<br /> đại số một hàm số mô tả quan hệ phụ thuộc này. Chẳng hạn, nếu học sinh chọn biến là OM và giá<br /> trị hàm là MN2 thì hàm số được xuất ra là:<br /> <br /> f : OM → M N 2<br /> x4 − 2x3 + 2x2<br /> f (x) = .<br /> x2 − 2x + 1<br /> <br /> Nếu học sinh chọn biến là QM và giá trị hàm là MN2 thì hàm số xuất ra đơn giản hơn:<br /> <br /> g : QM → M N 2<br /> 2 1<br /> g(x) = x2 + 2x + + 2 + 2.<br /> x x<br /> Trong cửa sổ đại số, học sinh có thể làm việc với biểu thức đại số của hàm số (khai triển,<br /> lấy đạo hàm. . . ) hoặc khám phá đồ thị hàm số trước khi tiến hành giải bài toán chính xác. Kết quả<br /> bài toán là điểm đặt vị trí cái thang cách bức tường 2dam.<br /> Tất nhiên, bài toán này có thể được giải bằng phương pháp hình học đơn thuần bằng cách sử<br /> dụng tính chất các tam giác đồng dạng. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh tiềm năng hỗ<br /> trợ của các môi trường phần mềm tích hợp cả hình học động và đại số như Casyopée khi tiếp cận<br /> khái niệm hàm số. Cụ thể hơn, Casyopée cho phép quan sát sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng<br /> trong một hình động, chọn một đại lượng làm biến và một đại lượng làm giá trị hàm để khảo sát<br /> mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa chúng. Nếu đó không phải là mối quan hệ hàm thì Casyopée cung<br /> cấp phản hồi để học sinh lựa chọn biến khác thích hợp hơn. Ngoài ra, học sinh còn có thể khám<br /> phá hàm số thiết lập được trong các kiểu biểu diễn khác nhau như đại số, đồ thị, số học (bảng giá<br /> trị). Chúng tôi cho rằng cách tiếp cận hàm số với Casyopée như vậy chứa đựng tiềm năng giúp học<br /> sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm như biến (biến độc lập), giá trị hàm (biến phụ thuộc),<br /> tập xác định, biểu thức hình thức của hàm số. . .<br /> <br /> 2.3. Phân tích kết quả thực nghiệm<br /> Chúng tôi mô tả lại kết quả quan sát lớp học về tình huống này theo bốn bước: (1) xây dựng<br /> một mô hình hình học động, (2) mô hình hóa hàm (chọn biến và giá trị hàm), (3) làm việc trên mô<br /> hình đại số của tình huống, (4) khả năng hiểu của học sinh về tình huống sau khi làm việc với mô<br /> hình đại số.<br /> Xây dựng mô hình hình học động:<br /> Quan sát thực nghiệm cho thấy phần lớn học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc dựng hình<br /> động với phần mềm Casyopée. Học sinh vẫn còn khó khăn khi thao tác với các chức năng dựng<br /> hình của phần mềm, đặc biệt là vấn đề ngôn ngữ hiện thị (tiếng Anh) vì phần mềm chưa được Việt<br /> hóa. Việc dựng điểm M tự do trên tia [Qx) cũng không dễ đối với một số học sinh. Tuy nhiên, phản<br /> hồi của môi trường phần mềm (hình bị biến dạng) khi di chuyển điểm M giúp học sinh điều chỉnh<br /> cách dựng đúng.<br /> <br /> 49<br />  Trần Kiêm Minh<br /> <br /> <br /> Mô hình hóa hàm:<br /> Việc mô hình hóa hàm với Casyopée được thể hiện qua các bước sau: tạo ra các phép tính<br /> hình học với Casyopée, chọn một đại lượng làm biến, chọn một đại lượng làm giá trị hàm và cuối<br /> cùng Casyopée hỗ trợ xuất ra biểu thức hàm số. Việc Casyopée tính toán tự động và xuất ra công<br /> thức hàm số là ý định của các nhà phát triển Casyopée, nhằm mục đích giúp học sinh giảm bớt<br /> các tính toán phức tạp, thay vào đó học sinh tập trung vào các bước như lựa chọn biến, chọn giá trị<br /> hàm thích hợp, khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa chúng và kết hợp chúng để tạo nên hàm<br /> số. Đây là những yếu tố cơ bản giúp học sinh hiểu đúng bản chất của các khái niệm liên quan đến<br /> hàm số.<br /> Quan sát thực nghiệm cho thấy việc chọn biến và giá trị hàm được học sinh thực hiện khá<br /> dễ dàng. Một số học sinh thực hiện nhiều lựa chọn khác nhau cho giá trị biến như OM, ON, QM.<br /> Trong trường hợp này, nếu chọn giá trị hàm là khoảng cách MN thì hàm số mà Casyopée xuất ra<br /> là hàm vô tỷ và tương đối phức tạp cho học sinh. Phản hồi này của phần mềm đã giúp cho một số<br /> học sinh thay đổi cách chọn giá trị hàm là MN2, và hàm số xuất ra là hàm hữu tỉ đơn giản hơn.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 4. Cách chọn biến và giá trị hàm<br /> của các cặp học sinh Trường – Hiếu (trái) và Hiền – Trí (phải)<br /> <br /> Làm việc trên mô hình đại số:<br /> Sau khi mô hình hóa bởi một hàm số với Casyopée, hầu hết học sinh ít khám phá đồ thị<br /> hàm số về điểm cực tiểu mà chủ yếu làm việc trên biểu thức đại số của hàm số. Điều này có thể do<br /> thể chế dạy học hàm số hiện tại dành nhiều ưu tiên đối với dạng biểu diễn đại số của hàm số. Học<br /> sinh sử dụng đạo hàm để tìm ra điểm cực tiểu, tuy nhiên các chứng minh đại số nói chung chưa<br /> hoàn chỉnh.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 5. Chứng minh của các cặp học sinh Trường – Hiếu (trái) và Hiền –Trí (phải)<br /> <br /> 50<br />  Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ<br /> <br /> <br /> Khả năng hiểu của học sinh về tình huống và các vấn đề liên quan đến hàm số:<br /> Nhìn chung sau khi làm việc với môi trường phần mềm Casyopée, học sinh hiểu được tốt<br /> hơn ý nghĩa của tình huống học tập đưa ra. Việc chọn biến, chọn giá trị hàm, khảo sát mối quan<br /> hệ hàm giữa các đại lượng, làm việc trên mô hình đại số của bài toán trong môi trường Casyopée<br /> giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất và ý nghĩa của khái niệm hàm số và các khái niệm liên<br /> quan như biến, giá trị hàm. . . Bảng 1 dưới đây là một minh chứng cho khẳng định đó.<br /> Các học sinh cho thấy những hiểu biết có ý nghĩa hơn về các khái niệm biến, giá trị hàm và<br /> hàm số như: biến là một giá trị thay đổi; giá trị hàm là một đại lượng biến thiên phụ thuộc, biến<br /> phụ thuộc thay đổi theo biến độc lập; hàm số bao gồm các thành phần lập nên gồm biến độc lập,<br /> biến phụ thuộc, tập xác định, đồ thị. . .<br /> <br /> Khái niệm «giá trị<br /> Khái niệm «biến»<br /> Học sinh hàm» (biến phụ Khái niệm «hàm số»<br /> (biến độc lập)<br /> thuộc)<br /> Biến phụ thuộc Hàm số là một biểu thức gồm<br /> Trí – Hiền Giá trị thay đổi thay đổi theo biến biến độc lập, biến phụ thuộc, tập<br /> độc lập xác định, đồ thị. . .<br /> Trường – Biến là một giá trị Có một giá trị thay Gồm biến độc lập, biến phụ<br /> Hiếu thay đổi đổi và phụ thuộc thuộc, tập xác định, đồ thị<br /> Có thể tăng hoặc<br /> Biến là một giá trị Gồm biến độc lập, biến phụ<br /> Hảo – Lợi giảm phụ thuộc vào<br /> có thể thay đổi thuộc, tập xác định, đồ thị. . .<br /> biến<br /> <br /> <br /> 3. Kết luận<br /> Trong bài báo này, chúng tôi đã mô tả một cách tiếp cận xem hàm số như là mô hình của<br /> các quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng. Sau đó, chúng tôi phân tích tiềm năng của của cách tiếp<br /> cận này trong môi trường phần mềm Casyopée tích hợp đồng thời hình học động và đại số. Tình<br /> huống học tập ở trên nằm trong chuỗi các tình huống học tập với phần mềm Casyopée mà chúng<br /> tôi đã thiết kế và bước đầu thực nghiệm trong lớp học. Kết quả bước đầu cho thấy việc vận dụng<br /> cách tiếp cận mô hình hóa về hàm số đề xuất bởi Minh (2012b, [8]) vào môi trường phần mềm<br /> Casyopée có thể giúp học sinh hiểu hơn ý nghĩa của khái niệm hàm số cũng như các khái niệm<br /> liên quan. Chẳng hạn, trải nghiệm với các quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc giữa hai đại lượng,<br /> phân biệt được một quan hệ phụ thuộc hàm từ các quan hệ đồng biến thiên giữa các đại lượng là<br /> quan trọng và có ý nghĩa cho việc hiểu các khái niệm biến độc lập, biến phụ thuộc, hàm số. Ngoài<br /> ra, quá trình mô hình hóa hàm với sự hỗ trợ của Casyopée và việc khám phá một hàm số trong các<br /> kiểu biểu diễn khác nhau (hình học, đại số, đồ thị, bảng giá trị) để giải bài toán đặt ra cũng giúp<br /> học sinh hiểu hơn khái niệm hàm số cũng như cấu trúc của công thức đại số của một hàm số, được<br /> lập nên từ mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong một ngữ cảnh ứng dụng.<br /> Lời cảm ơn. Nghiên cứu này được tài trợ một phần bởi Quỹ phát triển khoa học và công<br /> nghệ quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số VI1.99-2012.16.<br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> [1] Arzarello, F., Robutti, O., 2004. Approaching functions through motion experiments.<br /> Educational Studies in Mathematics, Special Issue CD Rom.<br /> <br /> 51<br />  Trần Kiêm Minh<br /> <br /> <br /> [2] Comin, E., 2005. Variables et fonctions, du collège au lycée: méprise didactique ou<br /> quiproquo interinstitutionnel. Petit x, 67, 33 - 61.<br /> [3] Duval, R., 2000. Basic issues for research in mathematics education. In T. Nakahara, M.<br /> Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th Conference of the International Group for the<br /> Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 55–69). Hiroshima University.<br /> [4] Falcade, R., Laborde, C., Mariotti, M. A., 2007. Approaching functions: Cabri tools as<br /> instruments of semiotic mediation. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 317-333.<br /> [5] Lagrange, J.-B., Artigue, M., 2009. Students’ activities about functions at upper secondary<br /> level: a grid for designing a digital environment and analysing uses. In M. Tzekaki, M.<br /> Kaldrimidou, C. Sakonidis (Eds.), Proceedings of the 33rd Conference of the International<br /> Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 465-472). Thessaloniki,<br /> Greece: PME.<br /> [6] Minh, T. K., 2011. Apprentissage des fonctions au lycée avec un environnement logiciel:<br /> situations d’apprentissage et genèse instrumentale des élèves. Thèse de doctorat, Université<br /> Paris Diderot. Available at https://tel.archives-ouvertes.fr/<br /> [7] Minh, T. K., 2012. Fonctions dans un environnement numérique d’apprentissage: étude<br /> des apprentissages des élèves sur deux ans. Canadian Journal of Science, Mathematics and<br /> Technology Education, 12(3), 233-258.<br /> [8] Minh, T. K., 2012. Une approche expérimentale des fonctions avec le logiciel Casyopée. Petit<br /> x, 88, 49-74.<br /> [9] Ngô Thị Nhật Anh, 2013. Một cách tiếp cận hàm đối với đại số và đóng góp của công nghệ.<br /> Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế.<br /> [10] Sfard, A., 1991. On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes<br /> and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1–36.<br /> [11] Slavit, D., 1997. An alternate route to the reification of function. Educational Studies in<br /> Mathematics, 33(2), 259-281.<br /> [12] Youschkevitch, A. P., 1976. The concept of function up to the middle of the 19th century.<br /> Archive for History of Exact Sciences, 16(1), 37-85.<br /> [13] Thompson, P. W., 1994. Students, functions, and the undergraduate curriculum. In E.<br /> Dubinsky, A. H. Schoenfeld, J. J. Kaput (Eds.), Research in collegiate mathematics<br /> education, I: Issues in mathematics education (Vol. 4, pp. 21 – 44). Providence, RI: American<br /> Mathematical Society.<br /> <br /> ABSTRACT<br /> <br /> A modelling approach to the teaching and learning<br /> of functions and the contribution of technology<br /> <br /> This research refers to the teaching and learning of functions at the upper secondary level<br /> and the contribution of technology. We proposed an approach to functions through the functional<br /> modelling of dependencies in physical systems. We then analyzed the potential for the use of<br /> this approach in the teaching and learning of functions in the Casyopée learning environment<br /> integrating dynamic geometry and computer algebra. Initial results suggest that this approach to<br /> functions can be used to promote students’ understanding of functions as models of covariation<br /> between two magnitudes in physical systems.<br /> Keywords: Function, covariation, functional modelling cycle, technology, Casyopée.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 52<br />