Một kết quả hội tụ nghiệm bị chặn của hệ tựa gradient bậc hai không thuần nhất

Chia sẻ: DanhVi DanhVi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày nghiên cứu sự hội tụ của đạo hàm bậc nhất nghiệm bị chặn của phương trình ii(t) + y(t). Đồng thời đưa ra một số ví dụ thể hiện sự độc lập của điều kiện đủ với điều kiện đã đặt ra. Để nắm nội dung mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một kết quả hội tụ nghiệm bị chặn của hệ tựa gradient bậc hai không thuần nhất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ISSN: 1859-3100 Tập 14, Số 6 (2017): 165-171 Vol. 14, No. 6 (2017): 165-171 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn MỘT KẾT QUẢ HỘI TỤ NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA HỆ TỰA GRADIENT BẬC HAI KHÔNG THUẦN NHẤT Phạm Tiến Kha* Khoa Toán – Tin học – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Ngày Tòa soạn nhận được bài: 21-4-2017; ngày phản biện đánh giá: 22-5-2017; ngày chấp nhận đăng: 05-6-2017 TÓM TẮT Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của đạo hàm bậc nhất nghiệm bị chặn 1 của phương trình u(t )  (t )u (t )   (u (t )) g (t ), trong đó  là hàm lồi bị chặn dưới và g  L . 1 3 Cụ thể, chúng tôi khẳng định rằng nếu  bị chặn,    L ,   L và  2  L1 thì u (t ) 0 khi  t   . Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ thể hiện sự độc lập của điều kiện đủ này với điều kiện được nêu trong [1]. Từ khóa: hệ tựa gradient, hệ số chống xóc, sự hội tụ. ABSTRACT The convergence of the first derivative of bounded solution of Gradient system In this article, we study the convergence of the first derivative of bounded solution of the equation u(t )  (t )u ( t )   (u (t )) g (t ), where  is a bounded below convex function and 1 3 g  L1 . In specific, we claim that if  is bounded,    L ,   L and  2 1  L , then u (t )  0 as  t   . We also give some examples showing the independence between this sufficient condition and one given in [1]. Keywords: gradient-like system, damping term, convergence. 1. Giới thiệu Xét hệ tựa gradient bậc hai không thuần nhất, có dạng u(t )  (t )u (t )   (u (t )) g (t ), trong đó  : n  ,g:   n và  :    (1) là các hàm thỏa hệ điều kiện sau: 1 i.  thuộc C , lồi và bị chặn dưới. ii.  Lipschitz địa phương. 1,1 iii.   Wloc (  ,  ). iv. g  L1 . * Email: phamtienkha@gmail.com 165 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 6 (2017): 165-171 Dưới đây ta sẽ dùng kí hiệu Lp thay cho Lp(0,∞). Trong [1], Jendoubi đã đưa ra định lí về một điều kiện đủ để u (t )  0 khi t   với u là một nghiệm bị chặn của (1), cụ thể như sau. Định lí 1 ([1, Định lí 1.1]). 1 1 Giả sử argmin    ,    L (0, ) và   L (0, ) . Nếu u là một nghiệm bị chặn của (1) thì u (t )  0 và  (u (t ))  min  khi t  . 1 2 1 1 Nhận xét rằng giả thiết    L là quan trọng. Chẳng hạn, lấy  (t )  t ,  (t ) 2 2 t 1 cos t và g (t )  2 . Xét phương trình t 1 1 cos t u(t )  2 u (t )  u (t )  2 . t 1 t 1 Phương trình này có nghiệm u (t )  sin t bị chặn, tuy nhiên u (t )   0 khi t   . Do 1 đó chúng tôi tin rằng điều kiện    L trong Định lí 1 là rất khó thay thế. Trong quá trình khảo sát bài toán, chúng tôi phát hiện ra rằng có những lớp hàm  không thỏa điều kiện   L1 nhưng vẫn thu được kết quả hội tụ nghiệm của (1). Với ý tưởng này, chúng tôi đã đưa ra một điều kiện đủ độc lập với Định lí 1 để u (t )  0 khi t   với u là một nghiệm bị chặn của (1). 2. Kết quả chính Trước hết, ta chứng minh một kết quả cơ bản và quan trọng đã được đề cập trong [1]. Mệnh đề 2. Nếu u là một nghiệm của (1) thì u  L và  u  L2 . Chứng minh. Xét hàm số 1 J (t )  || u (t ) ||2  (u (t ))  inf   1. 2 Do  (u (t ))  inf   1  0, t  0 nên J (t )  1 || u (t ) ||2 , suy ra || u (t ) || 2 J (t ) . 2 Vì u là nghiệm của (1) và thỏa (2) nên J (t )   u (t ), u(t )   (u (t ))   u (t ), g (t )   (t )u (t )  u (t ), g (t ) || u (t ) ||  || g (t ) ||  2 J (t )  || g (t ) || . Do J (t )  0 nên 166 J (t )  2 || g (t ) || . Lấy tích phân hai vế trên (0, t ) , suy ra J (t ) (2) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM J (t )  1  2 t 0 Vì g  L1 nên Phạm Tiến Kha || g ( s ) || ds  J (0). J (t )  M với M  1  || g ( s ) || ds  J (0) . 2 0 (3). Từ (2) và (3), ta được || u (t ) || M 2. Vậy u  L . Xét hàm năng lượng  1 E (t ) || u (t ) ||2  (u (t ))  inf     g ( ), u ( ) d . t 2 dE Ta có E bị chặn dưới bởi  || u ||L || g ||L1 . Do (t )   (t ) || u (t ) ||2 nên dt t   (s) || u(s) || 2 0 Vậy (4) ds  E(0)  E(t )  E(0) || u ||L || g ||L1  .  || u || L2 . Định lí 3. 1 3 Giả sử argmin    và  bị chặn,    L ,   L và  2  L1 . Nếu u là một nghiệm  bị chặn của (1) thì u (t )  0 và  (u (t ))  min  khi t  . Chứng minh. Xét hàm năng lượng được xác định như (4). Ta có dE (t )   u(t )   (u (t ))  g (t ), u (t ) dt   (t ) || u (t ) ||2  0. Suy ra E giảm. Hơn nữa, ta có   t  g ( ), u( ) d    ||g ( ) ||  || u( ) || d t || u |L || g ||L1 . Do đó E bị chặn dưới bởi  || u ||L || g ||L1 . Vậy E có giới hạn hữu hạn E khi t . Mặt khác, ta cũng có   t  g ( ), u ( ) d || u ||L  t  | | g ( ) || d  0 khi t   , nên E cũng là giới hạn khi t   của hàm E xác định bởi 1 E (t ) || u (t ) ||2  (u (t ))  inf . 2 Như vậy để chứng minh định lí, ta chỉ cần chứng minh E  0 . 167 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 6 (2017): 165-171 Lấy v  argmin  và xét hàm h (t )  1 || u (t )  v ||2 . 2 Ta có h(t )+  (t ) h(t ) || u (t ) ||2   (u (t )), u (t )  v    g (t ), u (t )  v. Do  là hàm lồi nên  (v )   (u (t ))    (u (t )), v  u ( t ) , do đó h(t )   (t )h(t ) || u ||2  (v)   (u (t ))   g (t ), u (t )  v 3  || u (t ) ||2  E (t )  (|| u ||L  || v ||) || g (t ) || . 2 Lấy T  0 . Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với  (t ) (do  nhận giá trị dương nên bất đẳng thức giữ nguyên chiều) và lấy tích phân trên [0, T ] , ta có  T 0 T T 0 0  (t ) E (t )dt  M 0    (t )h(t )dt    2 (t )h(t )dt với 3   (t ) || u (t ) ||2 dt  (|| u ||L  || v ||) || g ||L1 sup |  (t ) | .  0 2 t 0 Ta sẽ chứng minh tồn tại số M  0 sao cho M0   T 0  (t )h(t )dt   T 0  2 (t )h(t )dt  M . Ta chỉ cần chứng minh từng số hạng trong tổng trên bị chặn bằng cách đánh giá từng tích phân.  Theo công thức tích phân từng phần, ta có  T 0 T  (t )h(t )dt   (t )h(t ) |T0  (t )h(t )dt. 0 Theo giả thiết thì  bị chặn, đồng thời do u , u cũng bị chặn nên  (t ) h(t ) bị chặn. Đồng thời  T 0 (t )h(t )dt   T 0  (t )   (t ) u (t ), u (t )  v dt  (t ) 1  T  2 (t )  2   dt   0  (t )     (t)u(t), u(t)  v dt  T 2 0 1  T  2 (t )  2   dt   0  (t )  168 1 2 1 2    (t) || u(t) || dt   T 0 2 sup(|| u (t ) ||  || v ||). t0 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Theo giả thiết thì  2  L1 và  Phạm Tiến Kha T  u  L2 nên từ đây suy ra   (t )h(t )dt bị chặn. 0  Ta có  T 0  2 (t )h(t )dt T  2 (t )u (t ), u (t )  v dt         (t)dt     (t) || u(t ) || dt   0 T 0  (t )  (t )   (t )u (t )(u(t )  v )dt T 3 1 2 0 T 2 0 T Do   L3 và 1 2  u  L2 nên suy ra  2 sup(|| u (t ) ||  || v ||). t 0 (t )h(t )dt bị chặn. 0 Vậy  T 0  (t ) E (t )dt  M 0  M . Cho T   , suy ra    (t )E (t )dt   . Do 0 E (t )  0 với mọi t  0 và lim E (t )  E t  nên E  0 . Nếu E  0 thì       (t ) E (t )dt  E   (t )dt, 0 0 1 điều này mâu thuẫn với giả thiết    L. Vậy E  0 . Định lí được chứng minh hoàn toàn. 3. Một số ví dụ Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra sự độc lập giữa kết quả trong Định lí 3 và Định lí 1 bằng một vài ví dụ. Cụ thể, chúng tôi đưa ra một lớp các hàm  thỏa các giả thiết của Định lí 3 nhưng không thỏa giả thiết   L1 của Định lí 1 và ngược lại. Ta xét hàm  0 : (0, )  (0, ) xác định như sau:  0 (t )  sin 2  (t  1)5/8   1 t 1 , t  0. Khi đó  0 thỏa mãn các tính chất sau: i. lim  0 (t )= 0 ; t  ii.  0  L3 ,  0  L1 ; iii. 0  L1 , 02 1 L . 0 169