Mục lục MỤC LỤC MỤC LỤC

Chia sẻ: Thethang Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:109

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục lục MỤC LỤC MỤC LỤC ............................................................................................................... - 1 Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC .. - 5 Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT............................................................... - 6 §1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất ................................................... - 6 1.1 Ứng suất ..................................................................................................... - 6 1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất ............................................................... - 7 1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp .......................................................... - 8 1.4 Công thức xoay trục ................................................................................... - 9 §2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mục lục MỤC LỤC MỤC LỤC

Mục lục MỤC LỤC MỤC LỤC ............................................................................................................... - 1 - Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC .. - 5 - Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT............................................................... - 6 - §1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất ................................................... - 6 - 1.1 Ứng suất ..................................................................................................... - 6 - 1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất ............................................................... - 7 - 1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp .......................................................... - 8 - 1.4 Công thức xoay trục ................................................................................... - 9 - §2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất ........................................ - 11 - 2.1 Ứng suất chính – Phương chính .............................................................. - 11 - 2.2 Tenxơ ứng suất ......................................................................................... - 15 - §3. Trạng thái ứng suất phẳng............................................................................ - 16 - §4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch ........................................ - 20 - §5. Mặt ứng suất pháp ........................................................................................ - 21 - §6. Phương trình vi phân cân bằng .................................................................... - 22 - Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG ........................................................... - 23 - §1. Các khái niệm ban đầu ................................................................................. - 23 - 1.1 Chuyển vị.................................................................................................. - 23 - 1.2 Biến dạng dài ........................................................................................... - 23 - 1.3 Biến dạng góc........................................................................................... - 25 - §2. Biến dạng chính - phương chính biến dạng - Tenxơ biến dạng .................. - 27 - 2.1 Tenxơ biến dạng ....................................................................................... - 27 - 2.2 Biến dạng chính và phương chính biến dạng .......................................... - 28 - §3. Vòng tròn Mo biến dạng .............................................................................. - 31 - §4. Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh ................................................ - 32 - §5. Phương trình tương thích biến dạng ............................................................ - 32 - Chương 3: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG ......................... - 35 - §1. Các hằng số đàn hồi ..................................................................................... - 35 - 1.1 Chứng minh phương chính ứng suất trùng với phương trình biến dạng. - 35 - 1.2 Hệ số đàn hồi trong vật liệu đẳng hướng ................................................ - 36 - 1.3 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất đơn .......................................... - 38 - 1.4 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất khối - Định luật Hooker tổng quát - 39 - NguyÔn Danh Tr-êng -1-
Mục lục §2. Thế năng biến dạng đàn hồi ......................................................................... - 40 - §3. Các phương pháp cơ bản giải bài toán đàn hồi ............................................ - 41 - Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG ................ - 47 - §1. Các định nghĩa ............................................................................................. - 47 - Mômen tĩnh.......................................................................................... - 47 - 1.1 1.2 Mômen quán tính ................................................................................ - 47 - §2. Công thức chuyển trục song song ................................................................ - 48 - §3. Công thức xoay trục ..................................................................................... - 49 - §4. Ví dụ tính đặc trung hình học của một số hình đơn giản ............................. - 50 - 4.1 Hình tam giác vuông ................................................................................ - 51 - 4.2 Hình nửa hình tròn................................................................................... - 52 - 4.3 Hình quạt.................................................................................................. - 53 - 4.4 Hình chữ nhật........................................................................................... - 53 - 4.5 Hình tròn .................................................................................................. - 53 - 4.6 Xác định trọng tâm, hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng đ ược ghép từ các hình phẳng đã có trọng tâm ....................................................... - 54 - Chương 5: THANH, NỘI LỰC TRONG THANH ........................................... - 55 - §1.Một số định nghĩa về thanh, liên kết thanh ................................................... - 55 - §2. Nội lực trong thanh ...................................................................................... - 56 - §3. Tương quan giữa nội lực và ứng suất .......................................................... - 57 - §4. Tương quan giữa nội lực và cường độ tải trọng phân bố trong bài toán phẳng . - 57 - §5. Biểu đồ nội lực ............................................................................................. - 58 - 5.1 Trường hợp thanh thẳng .......................................................................... - 58 - 5.2 Trường hợp khung phẳng......................................................................... - 60 - 5.3 Trường hợp thanh cong ........................................................................... - 61 - 5.4 Trường hợp khung không gian................................................................. - 63 - Chương 6: THANH CHỊU UỐN - KÉO(NÉN) ................................................. - 64 - §1. Trạng thái ứng suất của thanh chịu uốn – kéo(nén)..................................... - 64 - §2. Các trường hợp riêng ................................................................................... - 66 - Thanh chịu kéo(nén) đúng tâm ........................................................... - 66 - 2.1 2.2 Uốn thuần túy ...................................................................................... - 66 - 2.3 Uốn xiên ................................................................................................... - 67 - 2.4 Kéo (nén) lệch tâm ................................................................................... - 68 - §3. Thí nghiệm kéo và nén vật liệu .................................................................... - 69 - NguyÔn Danh Tr-êng -2-
Mục lục Thí nghiệm kéo .................................................................................... - 69 - 3.1 Thí nghiệm nén .................................................................................... - 71 - 3.2 §4. Các điều kiện dẻo và điều kiện bền ............................................................. - 73 - Điều kiện dẻo của Culong-Tơretska ................................................... - 73 - 4.1 Điều kiện dẻo của Vông Midet ............................................................ - 73 - 4.2 Biểu diễn hình học của điều kiện dẻo ................................................. - 74 - 4.3 Đường nội tại – Thuyết bền của Mohr ................................................ - 76 - 4.4 Chương 7: UỐN NGANG PHẲNG .................................................................... - 78 - §1. Ứng suất của dầm chịu uốn ngang phẳng .................................................... - 78 - 1.1 Định nghĩa................................................................................................ - 78 - 1.2 Công thức của ứng suất tiếp .................................................................... - 78 - §2. Áp dụng với một số mặt cắt thường gặp ...................................................... - 80 - §3. Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng ............................................ - 83 - §4. Dầm chống uốn đều và dầm có mặt cắt hợp lý ............................................ - 84 - Chương 8: ĐƯỜNG ĐÀN HỒI........................................................................... - 87 - §1. Định nghĩa và nhận xét ................................................................................ - 87 - §2. Phương trình vi phân của đường đàn hồi ..................................................... - 87 - §3. Các phương pháp xác định đường đàn hồi .................................................. - 88 - 3.1 Phương pháp tích phân không định hạn .................................................. - 88 - 3.2 Phương pháp thông số ban đầu ............................................................... - 89 - 3.3 Phương pháp dầm giả tạo ........................................................................ - 91 - Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY........................................................................ - 93 - §1. Khái niệm chung .......................................................................................... - 93 - §2. Xoắn thuần túy thanh tiết diện tròn ............................................................. - 93 - 2.1 Thí nghiệm................................................................................................ - 93 - 2.2 Giả thuyết về biến dạng ........................................................................... - 94 - Ứng suất thanh chịu xoắn ................................................................... - 94 - 2.3 Biến dạng thanh chịu xoắn.................................................................. - 97 - 2.4 Điều kiện bền và điều kiện cứng thanh chịu xoắn .............................. - 97 - 2.5 Các dạng bài toán cơ bản ................................................................... - 98 - 2.6 Các ví dụ ............................................................................................. - 98 - 2.7 §3. Xoắn thanh mặt cắt bất kỳ ......................................................................... - 101 - 3.1 Công thức ứng suất và biến dạng .......................................................... - 101 - Một số trường hợp cụ thể .................................................................. - 103 - 3.2 Chương 10: BÀI TOÁN THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP .......................... - 105 - NguyÔn Danh Tr-êng -3-
Mục lục §1. Uốn và xoắn đồng thời ............................................................................... - 105 - 1.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, xoắn đồng thời ...................................... - 105 - 1.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, xoắn đồng thời ....................... - 106 - §2. Uốn cộng kéo(nén) và xoắn đồng thời ....................................................... - 107 - 2.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời................... - 107 - 2.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời ... - 107 - §3. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn ...................................................... - 108 - NguyÔn Danh Tr-êng -4-
Bài Mở đầu Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC Một kỹ sư chế tạo máy có thể thiết kế ra một chi tiết máy, một kỹ sư xây dựng thiết kế một kết cấu dầm chịu lực…Những chi tiết máy hay dầm chịu lực đó có thể làm việc đạt yêu cầu đặt ra, nhưng vẫn đề tiếp theo cần quan tâm là chúng làm việc đạt yêu cầu như vậy được trong bao lâu? Đó chính là vẫn đề tuối thọ. Giải quyết vấn đề này chính là nhiệm vụ của môn học Sức bền vật liệu. Mục địch chính của môn học là cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về phương pháp tính toán độ bền, độ cứng và ổn định của kết cấu chịu lực. Cụ thể là tính toán cho hệ thanh, dầm, tấm, vỏ, thanh thành mỏng… . Từ đó người học có thể phân tích và thiết kế các kết cấu chịu lực đảm bảo: - Độ bền: tức là đảm bảo cho kết cấu có một kích thước hợp lý nhất làm việc trong một thời gian dài mà không bị hỏng. - Độ cứng: tức là đảm bảo cho kết cấu chịu lực có biến dạng nhưng vẫn nằm trong một giới hạn cho phép. - Ổn định: tức là đảm bảo cho kết cấu khi làm việc luôn trong trạng thái cân bằng ban đầu. Đối tượng của môn học Cơ lý thuyết là vật rắn tuyệt đối còn đ ối tượng nghiên cứu của môn học Sức bền vật liệu là vật rắn thực, có biến dạng được làm từ các cật liệu thực như: sắt, thép, gỗ, bê tong…với giả thuyết là vật liệu có tính liên tục và đồng nhất. - Tính liên tục có nghĩa là tại mọi nơi trong vật thể đều có vật liệu - Tính đồng nhât nghĩa là tất mọi nơi trong vật thể, vật liệu đều có tính chất cơ, lý, hóa như nhau. - Ngoài hai giả thuyết trên ta còn thừa nhận khi không có tác dụng của ngoại lực thì trong lòng vật thể không tồn tại ứng suất, nói các khác vật thể không có ứng suất ban đầu trước khi chịu tác dụng của ngoại lực. NguyÔn Danh Tr-êng -5-
Chương1: Trạng thái ứng suất Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT §1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất 1.1 Ứng suất Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của ngoại lực. ? Ứng xử bên trong lòng vật thể xảy ra như thế nào?  Để tìm hiểu, ta lấy một điểm M thuộc vật thể và t ưởng tượng cắt qua M một mặt cắt π. Mặt cắt π chia vật thể làm hai phần: A và B P1 P1 P4 A B A P2 P2 P5 P3 P3 Hình 1.1 Tưởng tưởng vứt bỏ phần B đi và xét cân bằng cho phần A: Phần A ở trạng thái cân bằng là do phần B tác dụng lên phần A một hệ lực phân bố trên toàn mặt cắt, hệ lực đó cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên phần A. Hệ lực đó gọi là nội lực hay ứng lực trong lòng vật thể. Xét một phân tố diện tích ∆F bao quanh điểm M, trên phần diện tích đó có lực  P (thuộc hệ nội lực trên). Khi đó:   P dP  p lim (1.1) F dF F 0 được gọi là ứng suất toàn phần tại điểm M trên mặt cắt Ta dựng một hệ trục tọa độ Oxyz với Oz vuông góc với mp Gọi là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz Khi đó ứng suất tại M có thể được biểu diện như sau: (1.2) Trong biểu thức (1.2) ta gọi là ứng suất pháp, là các ứng suất tiếp. Ứng suất tiếp có chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó. NguyÔn Danh Tr-êng -6-
Chương1: Trạng thái ứng suất 1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất Qua điểm M có vô số mặt cắt, ứng với mỗi mặt cắt khác nhau, ta có các véc tơ  ứng suất p khác nhau. Vậy có vô số véc tơ ứng suất qua một điểm trong lòng vật thể.  Tập hợp tất cả các véc tơ ứng suất p trên các mặt cắt qua một điểm được gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó. ? Tập các véctơ ứng suất tại một điểm là tập độc lập hay phụ thuộc lẫn nhau?  Xét tại một điểm, ta thấy rằng chỉ cần biết được véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt bất kỳ, thì ứng suất trên mặt cắt thứ 4 phải cân bằng với ứng 3 ứng suất kia. Vì sao? z Vì 4 mặt cắt đó tạo nên một phân tố  C Px bao quanh điểm đang xét. Mà vật thể   Px p4 nằm cân bằng nên phân tố đó cũng phải  nằm cân bằng suy ra tổng véctơ ứng suất  p1 Px  trên 4 mặt đó phải bằng không, tức chúng  p2 phụ thuộc lẫn nhau. Px  Vậy tại một điểm chỉ có 3 véctơ O Px  ứng suất độc lập với nhau. Px B Để thuận tiện ta xét 3 mặt cắt đi qua  A y   Px M vuông góc với nhau từng cặp một. Giao x  Px  Px p3 của các mặt cắt đó tạo nên hệ trục Oxyz. Px Hình 1.2: Phân tố tứ diện  Xét thêm mặt cắt thứ 4 có cosin chỉ Px phương trong hệ trục Oxyz là (l,m,n). Mặt cắt thứ 4 này cắt các trục Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Vậy 4 mặt cắt tạo nên một tứ diện vuông OABC, vuông tại O Trên 3 mặt cắt ban đầu có véctơ ứng suất chiếu lên các trục tọa độ là:     OBC : p1 i j k    x xy xz  OCA : p2 i j k (1.3)    yx y yz  OAB : p3 i j k zx zy z  i , j , k là các véctơ đơn vị trên hệ trục Oxyz. Gọi ứng suất trên mặt thứ 4 là:     p4 Xi Yj Zk (1.4) Trong đó X, Y, Z là tọa độ của véctơ ứng suất p4 chiếu lên các trục. Tứ diện vuông OABC nằm cân bằng nên ta có:      p1.FOBC p2 .FOAC p3 .FOAB p4 .FABC 0 (1.5) NguyÔn Danh Tr-êng -7-
Chương1: Trạng thái ứng suất Chiếu (1.5) lên các trục tọa tọa độ ta có: X .FABC .FOBC .FOAC .FOAB x yx zx Y .FABC .FOBC .FOAC .FOAB (1.6) xy y zy Z .FABC .FOBC .FOAC .FOAB xz yz z Trong đó Fi là diện tích của mặt i tương ứng. Chia 2 vế của (1.6) cho FABC với chú ý: FOBC FOAC FOAB l; m; n FABC FABC FABC là các cosin chỉ phương của mặt nghiêng với các mặt Oxy, Oyz, Ozx. Viết lại (1.6): X .l .m .n x yx zx Y .l .m .n (1.7) xy y zy Z .l .m .n xz yz z Viết (1.7) dưới dạng ma trận ta có: σ x τ yx τ zx X l Y = τ xy σ y τ zy . m (1.8) τ xz τ yz σ z Z n Trong đó ta ký hiệu: σ x τ yx τ zx τ xy σ y τ zy (1.9) T τ xz τ yz σ z chứa các thành phần của các véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc với nhau. Tς đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại điểm đang xét. Kết luận: Khi biết được 3 véctơ ứng suất trên 3 mặt đi qua một điểm thì của véctơ ứng   suất pu trên mặt cắt thứ 4 bất kỳ có véctơ chỉ phương là u l , m, n được xác định thông qua biểu thức (1.8). z  ? Các thành phần của Tς có gì đặc biệt Px không? 1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp Xét phương trình cân bằng mômen qua  yz các trục đi qua trọng tâm của tứ diện và G   vuông góc với các cạnh của phân tố. Px Px Ví dụ: phương trình cân bằng mômen qua trục Gx’ chỉ có yz , zy gây mômen: x’ y    x Px zy  Px Px  Hình 1.3 Px NguyÔn Danh Tr-êng -8-
Chương1: Trạng thái ứng suất h' h .F . .F . yz OAC zy OAB 3 3 h' h Trong đó: FOAC . V là thể tích tứ diện. Suy ra: FOAB . 3 3 Tương tự với các ứng suất tiếp còn lại, ta có: ; ; (1.10) xy yx yz zy zx xz Kết luận: Xét trên hai mặt cắt vuông góc với nhau. Nếu mặt này xuất hiện ứng suất tiếp thì bề mặt kia cũng xuật hiện ứng suất tiếp với trị số bằng nhau, có chiều cùng hướng vào hoặc hướng ra khỏi cạnh chung  Định luật đối ứng của ứng suất tiếp. ? Tiếp tục ta xét tiếp các thành phần của Tς khi ta chọn các mặt cắt vuông góc khác nhau hay nói cách khác, các thành phần đó thay đổi như thế nào trong một hệ trục tọa độ mới? 1.4 Công thức xoay trục Xét một hệ trục mới với gốc như cũ: Ouvw Các cosin chỉ phương của các trục trong hệ trục tọa độ mới được xác định trong hệ trục cũ như sau:  Ou : n1 n11 , n12 , n13  (1.11) Ov : n2 n21 , n22 , n23  Ow : n3 n31 , n32 , n33 Theo công thức (1.8) véctơ ứng suất toàn phần trên mặt Ovw là: σ x τ yx τ zx n11 τ xy σ y τ zy . n12 p1' (1.12) τ xz τ yz σ z n13  ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của p1' lên trục Ou : T σ x τ yx τ zx n11 n11 τ xy σ y τ zy . n12 (1.13) n12 u τ xz τ yz σ z n13 n13  ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của p1' lên các trục Ov,Ow: T T σ x τ yx τ zx σ x τ yx τ zx n11 n21 n11 n31 τ xy σ y τ zy . n12 τ xy σ y τ zy . n12 ; (1.14) n22 n32 uv uw τ xz τ yz σ z τ xz τ yz σ z n13 n23 n13 n33 Tương tự các thành phần còn lại ta có: NguyÔn Danh Tr-êng -9-
Chương1: Trạng thái ứng suất T T σ x τ yx τ zx σ x τ yx τ zx n21 n21 n21 n31 τ xy σ y τ zy . n22 τ xy σ y τ zy . n22 n22 ; n32 ; v vw τ xz τ yz σ z τ xz τ yz σ z n23 n23 n23 n33 T σ x τ yx τ zx n31 n31 τ xy σ y τ zy . n32 (1.15) n32 w τ xz τ yz σ z n33 n33 Vậy Tσ đã hoàn toàn xác định trong hệ trục tọa độ mới qua cá biểu thức (1.13-1.15). Một cách tổng quát ta có công thức xoay trục: i, j 1, 2,3 T với T' (1.16) T n n j j , 1, 2,3 (1.16) là công thức tổng quát cho phép ta xác định tất cả các thành phần của Tς trong hệ trục tọa độ mới. z Ví dụ1.1: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm trong hệ w v trục tọa độ Oxyz đặc trưng bởi: 311 450 T 102 120 O y Xác định Tς tại điểm đó trong hệ trục mới Ouvw bằng cách xoay hệ trục Oxyz quanh Ox x u góc 450(quay ngược chiều kim đồng hồ) Giải: Với cách xoay hệ trục như trên ta có các véctơ chỉ phương của hệ Ouvw trong hệ trục Oxyz là:  ou : (1, 0, 0)   22 ov : (0, ,) 22  22 ow : (0, ,) 22 Dùng công thức xoay trục (1.16) ta có: T T 0 311 1 1 311 1 2 102 0 0 3 102 0 2 2 u uv 120 0 0 120 0 2 2 NguyÔn Danh Tr-êng - 10 -
Chương1: Trạng thái ứng suất T 0 0 T 0 311 311 1 2 2 2 102 2 102 0 0 2 2 2 v uw 120 120 0 2 2 2 2 2 2 T T 0 0 0 0 311 311 2 2 2 2 102 0 102 2 2 2 2 2 vw w 120 120 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy ta có được Tς tại điểm đó trong hệ trục mới Ouvw là: 3 2 0 T 2 2 0 0 0 2 Từ việc xoay trục như trên ta thấy sẽ tồn tại một hệ trục mà ở đó Tς có dạng đường chéo(các ứng suất tiếp bằng không). §2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất 2.1 Ứng suất chính – Phương chính Khái niệm: Trên mặt cắt đi quan một điểm mà ở đó chỉ có ứng suất pháp(ứng suất tiếp bằng không) thì ta gọi mặt cắt đó là mặt chính, ứng suất trên mặt đó được gọi là ứng suất chính, phương của véctơ pháp tuyến của mặt cắt đó được gọi là phương chính. *) Xác định ứng suất chính và phương chính Gọi phương chính cần tìm là khi đó ứng suất trên mặt chính đó được tính theo công thức (1.8) là: n1 x yx zx (1.17) pn . n2 xy y zy n3 xz yz z  Do pn là ứng suất chính nên ta cũng có: .n1   (1.18) pn .n pn .n2 .n3 Trong đó ς là trị số ứng suất chính. n .n2 .n3 n1 x1 yx zx Từ (1.17) và (1.18) ta có: .n1 n .n3 n2 xy y2 zy .n1 .n2 n n3 xz yz z3 NguyÔn Danh Tr-êng - 11 -
Chương1: Trạng thái ứng suất n1 .n2 .n3 0 x yx zx Chuyển vế ta có: (1.19) .n1 n2 .n3 0 xy y zy .n1 .n2 n3 0 xz yz z Do n12 n22 n32 1 nên n1, n2, n3 không đồng thời bằng không hay nói cách khác (1.19) không có nghiệm tầm thường nên ta có: x yx zx (1.20) 0 xy y zy xz yz z Khai triển ta có: 3 2 (1.21) I1. I 2 . -I3 0 I1 x y z x yx zx Trong đó: (1.22) ; I3 xy y zy x yx y zy z xz I2 xz yz z xy y yz z zx x  Giải (1.21) ta tìm được nghiệm ς thế lên (1.19) ta tìm được phương chính n Phương trình bậc 3 (1.21) có gì đặc biệt? ?  Do là phương trình bậc 3 với các hệ số là các số thực nên phương trình (1.21) luôn có 3 nghiệm thực (có thể nghiệm bằng không).  Gọi 3 nghiệm thực đó là 1 , tương ứng ta tìm được 3 phương chính là 2 3     u1 l1, m1, n1 ; u2 l2, m2, n2 ; u 3 l 3, m3, n 3 ta sẽ chứng minh u1; u2 ; u3 vuông góc với nhau từng cặp một. Điều này dễ nhận thấy theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp thì nếu tồn tại một mặt cắt là mặt chính(ứng suất tiếp trên đó bằng 0) thì sẽ tồn tại mặt cắt khác vuông góc với mặt cắt ban đầu và trên đó ứng suất tiếp cũng bằng không vậy đây cũng là mặt chính. Một cách khác để chứng minh là từ phương trình (1.19) ta có: l1 .m1 .n1 l2 0 x yx zx (1.23) .l m1 .n1 m2 0 xy 1 y zy .l .m1 n1 n2 0 xz 1 yz z Và: l2 .m2 .n2 l1 0 x yx zx (1.24) .l m2 .n2 m1 0 xy 2 y zy .l .m2 n2 n1 0 xz 2 yz z NguyÔn Danh Tr-êng - 12 -
Chương1: Trạng thái ứng suất Cộng 3 phương trình trong (1.23) trừ đi tổng 3 phương trình trong (1.24) ta có: l1l2 m1m2 n1n2 0 (1.25) 1 2 Do (1.25) đúng với mọi , nên: 1 2 l1l2 m1m2 n1n2 0 (1.26)       Vậy u1 u2 , tương tự ta chứng minh được u2 u3 và u3 u1 .  Các nghiệm của phương trình (1.21) không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ. Để chứng minh điều này, ta đi chứng minh các hệ số I 1, I2, I3 không đổi khi ta xoay trục. Ví dụ với I1 x y z Từ biểu thức (1.13),(1.15) ta tìm được: 2 2 2 n11 n12 n13 2 xyn11n12 2 yz n12n13 2 zx n13n11 u x y z 2 2 2 n n n 2 xyn21n22 2 yz n22n23 2 zx n23n21 (1.27) v x 21 y 22 z 23 2 2 2 n n n 2 xyn 31n 32 2 yz n 32n 33 2 zx n 33n 31 w x 31 y 32 z 33 Ta sẽ đi chứng minh: (1.28) I1 u v w x y z Việc chứng minh (1.28) đi tới chứng minh: 2 2 2 n11 n21 n 31 1 n11n12 n21n22 n 31n 32 0 2 2 2 n n n 1 và n12n13 n22n23 n 32n 33 0 (1.29) 12 22 32 2 2 2 n13n11 n23n21 n 33n 31 0 n n n 1 13 23 33 Thực vậy: Xét từ: n11 n12 n13 2 2 2 2 2 2 suy ra n11n11 n11n12 n11n13 n11 1 2 n11n21 n12n22 n13n23 0 suy ra n11n21 n12n21n22 n13n21n23 0 (1.30) 2 n11n31 n12n32 n13n 33 0 suy ra n11n 31 n12n 31n 32 n13n 31n 33 0 Cộng 3 phương trình ở (1.30) lại ta có: 2 2 2 n11 n11 n21 n 31 n12 n11n12 n21n22 n 31n 32 n13 n11n13 n21n23 n 31n 33 n11 (1.31a) Tương tự ta có: 2 2 2 n21 n11 n21 n 31 n22 n11n12 n21n22 n 31n 32 n 32 n11n13 n21n23 n 31n 33 n21 (1.31b) 2 2 2 n 31 n11 n21 n 31 n 32 n11n12 n21n22 n 31n 32 n 33 n11n13 n21n23 n 31n 33 n 31 (1.31c) Nhân phương trình (1.31a) với n11, phương trình (1.31b) với n21, phương trình (1.31c) với n31 sau đó cộng lại ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 n11 n21 n31 1 n11 n21 n31 n11n12 n21n22 n 31n 32 n11n13 n21n23 n 31n 33 0 (1.32) 2 2 2 2 2 2 Xét (1.32) ta suy ra: n11 n21 n31 1 n11 n21 n31 0 NguyÔn Danh Tr-êng - 13 -
Chương1: Trạng thái ứng suất 2 2 2 n11 n21 n 31 1 Tương tự ta có: 2 2 2 n12 n22 n 32 1 (1.33) 2 2 2 n13 n23 n 33 1 Xét (1.33) có tổng vế trái: n11 n12 n13 n21 n22 n23 n 31 n 32 n 33 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 Suy ra: 2 2 2 n11 n21 n 31 1 2 2 2 n n n 1 (1.34) 12 22 32 2 2 2 n n n 1 13 23 33 Thay (1.34) vào (1.32) suy ra: n11n12 n21n22 n 31n 32 0 n12n13 n22n23 n 32n 33 0 (1.35) n13n11 n23n21 n 33n 31 0 Vậy (1.29) đã được chứng minh hay nói cách khác ta đã chứng minh được I1 không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ. Tương tự ta cũng chứng minh được I2, I3 không đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ. Các đại lượng I1, I2, I3 được gọi là các bất biết. Kết luận: Với một hệ ngoại lực xác định tác dụng lên vật thể đàn hồi, thì trạng thái ứng suất tại một điểm M bên trong vật thể có các ứng suất chính 1 và 3 2 3 phương chính không đổi với mọi hệ trục tọa độ. Ví dụ 1.2: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi: 311 T 102 120 Xác định ứng suất chính và phương chính? Giải: Các ứng suất chính là nghiệm của phương trình: 3 1 1 3 2 1 2 0 I1. I 2 . -I3 0 1 2 I1 3003 x y z 31 02 01 Trong đó: x yx y zy z xz I2 141 6 10 20 13 xy y yz z zx x 311 x yx zx I3 102 8 xy y zy 120 xz yz z NguyÔn Danh Tr-êng - 14 -
Chương1: Trạng thái ứng suất Suy ra phương trình: 3 2 3 6 80 1 4 2 0 Suy ra nghiệm cũng là các ứng suất chính cần tìm: 4; 1; 2 1 2 3 Xác định các phương chính tương ứng: *) Với 1 4 Ta có: n11 1 1 1 n12 1 4 2 0 2 1 1 n11 ; n12 ; n13 n13 1 2 4 6 6 6 2 2 2 n n n 1 11 12 13 Tương tự với các ứng suất chính còn lại. Ta có: 1 1 1 n21 ; n22 ; n23 3 3 3 1 1 n 31 0; n 32 ; n 33 2 2 2.2 Tenxơ ứng suất Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng dưới một ngoại lực xác định. Trạng thái ứng suất tại điểm bên trong lòng vật thể hoàn toàn xác định với các đại lượng vật lý không đổi là: ứng suất chính, phương chính, mặt chính. Trạng thái ứng suất tại M được gọi là Tenxơ ứng suất. Các thành phần của tenxơ ứng suất: σ x τ yx τ zx chuyển sang trục tọa độ chính τ xy σ y τ zy (1.36) T τ xz τ yz σ z Có ba trường hợp xảy ra: Nếu đều khác không thì ta có trạng thái ứng suất khối. Nếu có một trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất phẳng. Nếu có hai trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất đơn. Hình 1.4a Hình 1.4b Hình 1.4c NguyÔn Danh Tr-êng - 15 -
Chương1: Trạng thái ứng suất Hình 1.4a.Trạng thái ứng suất đơn, 1.4b.Trạng thái ứng suất phẳng, 1.4c.Trạng thái ứng suất khối Trạng thái ứng suất tại một điểm còn được biểu thông qua phân tố hình hộp: z z zy zx yz y xz yx xy y x x Hình 1.5: Biểu diễn trạng thái ứng suất qua phân tố hình hộp Để tiện cho tính toán sau này ta gọi các phương của hệ trục Oxyz là 1, 2, 3 khi đó các ứng suất pháp được ký hiệu là: ς11, ς22, ς33 còn các ứng suất tiếp là ς12, ς23, ς31, chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó. Khi đó Tenxơ ứng suất được viết lại như sau: (1.37) Dạng thu gọn: với i,j=1,2,3 Trong đó chỉ số đầu chỉ cột, chỉ số sau chỉ hàng. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp lúc này trở thành: với i≠j, i,j=1,2,3 Trạng thái ứng suất trong trường hợp ví dụ 1.2 là trạng thái ứng suất khối §3. Trạng thái ứng suất phẳng Trong phần này ta sẽ đi tìm ứng suất trên một mặt nghiêng bất kỳ, đi tìm ứng suất chính, phương chính của một trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải tích và hình học. Xét phân tố hình hộp tạo bởi 3 mặt chính trong đó: Oz là một phương chính với : như hình 1.6a: NguyÔn Danh Tr-êng - 16 -
Chương1: Trạng thái ứng suất u y B xy x x C x yx A y Hình 1.6a y z Hình 1.6b Phân tố trên là phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng. Do các mặt cắt còn lại là bất kỳ nên : (Nếu trùng với mặt chính thì, ) Một phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng như trên khi biết được thì trạng thái đó xác định. Từ đây ta có thể tính được bất kỳ ứng suất tại các mặt cắt khác nhau song song với Oz. *)Phương pháp giải tích Bây giờ ta cắt phân tố trên bằng một mặt cắt bất kỳ song song với Oz.  Ta gọi pháp tuyến của mặt cắt bất kỳ đó là u có phương hợp với Ox một góc   , xoay u 900 theo chiều kim đồng hồ ta có véctơ , bây giờ ta đi tìm ứng suất pháp và ứng suất tiếp u , uv . Thực tế đây là một bài toán tìm các thành phần của tenxơ ứng suất trong hệ trục tọa độ mới Ouv. (Hình 1.6b) Các cosin chỉ phương của u,v trong hệ trục tọa độ Oxy là: cos(u , x) cos cos(v, x ) sin ; (1.38) u v cos(u , y ) sin cos(v, y ) cos Sử dụng công thức quay trục ta có: T cos cos x yx u sin sin xy y T cos sin x yx uv sin cos xy y Khai triển ra ta có: sin 2 cos 2 ( 2 cos sin u y x xy (cos 2 sin 2 ) ( )sin cos uv x y xy cos 2 1 ) cos2 ( sin 2 ( ) sin 2 u x y y xy u x y y xy 2 ( ) ( ) x y sin 2 cos 2 x y sin 2 cos 2 uv xy 2 uv xy 2 NguyÔn Danh Tr-êng - 17 -
Chương1: Trạng thái ứng suất ( ) ( ) x y x y cos 2 sin 2 u xy 2 2 (1.39) ( y) x sin 2 cos 2 uv xy 2 (1.39) là biểu thức xác định trạng thái ứng suất tại mặt cắt song song với trục Oz và tạo với Ox một góc . *)Phương pháp đồ thị - Vòng tròn Mohr ứng suất Biến đổi (1.39) ta có: ( ) ( ) x y x y cos 2 sin 2 u xy 2 2 (1.40) ( ) x y sin 2 cos 2 uv xy 2 Bình phương 2 vế của hai phương trình ở (1.40) sau đó cộng lại với nhau ta có: 2 ( ) ( ) là phương trình một đường tròn trong hệ 2 x y x y 2 2 ( ) ( ) u uv xy 2 2 2 ( ) ( ) trục O với tâm là điểm : và bán kính R 2 x y x y ,0 u uv xy 2 2 Vòng tròn trên được gọi là vòng tròn Mohr ứng suất. Trước khi vẽ vòng tròn Mo ta quy ước dấu của ứng suất như sau: M P M0 xy M β 0 M’ 0 y x C O M Hình 1.7: Quy ước dấu ứng suất Hình 1.8: Vòng tròn Mohr ứng suất Để thuận mắt ta vẽ O u // Ox và O // Oy và lấy điểm P có tọa độ P σ y ,τ xy được uv gọi là điểm cực của vòng tròn Mo ứng suất. Từ điểm cực P ta vẽ tia tạo với trục O u góc α ngược chiều kim đồng hồ. tia đó cắt vòng tròn Mo tại M khi đó hoành độ điểm M là ứng suất pháp, tung độ của M là ứng suất tiếp tại mặt cắt của phân tố có phương pháp tuyến trùng với PM . Chứng minh: Từ tâm C của vòng tròn Mo, gọi M’ là hình chiếu của M trên trục hoành. Gọi β là  góc M 0CM NguyÔn Danh Tr-êng - 18 -
Chương1: Trạng thái ứng suất OM'=OC+CO'=OC+CM.cos( +2 ) Ta có: MM'=CM.sin( +2 ) Áp dụng công thức lượng giác: sin( sin cos2 sin 2 cos 2) σ x -σ y CM.cosβ=CM 0 .cosβ và để ý thấy: 2 CM.sinβ=CM 0 .sinβ=τ xy σ x +σ y σ x +σ y σ x -σ y +CM.cosβcos2α-CMsinβsin2α= + cos2α- sin2α OM'= xy 2 2 2 Suy ra: (1.41) σ x -σ y MM'=CM.sinβcos2α+CM.cosβsin2α= cos2α+ sin2α xy 2 So sánh với công thức (1.41) với (1.39) dễ dàng thấy điều phải chứng minh. Chú ý: điểm P lấy như trên để PM0 song song với trục Ox như vậy để thuận mắt khi biểu diễn ứng suất tại điểm M trên mặt cắt (khi đó mặt cắt sẽ nhận PM làm pháp tuyến luôn), còn thực ra có thể lấy tùy ý bất kỳ điểm nào trên đường tròn làm điểm cực và ta vẫn có các tính chất biểu diễn như trên. Tọa độ P(σ y ,τ xy ) cũng phụ thuộc vào quy ước dấu của ứng suất tiếp. * Xác định ứng suất chính, phương chính trong trạng thái ứng suất phẳng  Từ (1.39) ta có, nếu u là phương chính thì ứng suất pháp tại đây là ứng suất chính và đó chính là giá trị cực trị nên suy ra: ( ) x y (1.42) u 2 sin 2 2 cos 2 2 0 xy uv 2 (vậy ứng suất tiếp bằng không khi ứng suất pháp đạt cự trị) ( ) 2 x y xy (1.43) 0 sin 2 cos 2 0 tg 2 uv xy 2 x y 1 Ta có: cos 2 (1.44) 1 tg 2 2 ( ) ( ) x y x y Thay (1.43),(1.44) vào: cos 2 sin 2 u xy 2 2 ( ) ( ) x y x y ( tg 2 ) cos 2 u xy 2 2 2 ( ) ( ) x y 2 x y 2 xy ( y) ( ) ( ) 2 2 x x y x y 2 .( ) xy ( y) 2 2 2 2 ( ) x x y 2 2 xy 2 2 ( ) ( ) x y x y 2 Suy ra: (1.45) max xy 2 2 min xy và (1.46) tg max max y min NguyÔn Danh Tr-êng - 19 -
Chương1: Trạng thái ứng suất Công thức (1.45), (1.46) chính là công thức dùng để xác định ứng suất chính và phương chính tại trạng thái ứng suất phẳng đang xét. Trên vòng tròn Mo ứng suất, gọi điểm mà vòng tròn giao với trục xy hoành là M1,M2 thì OM1, OM2 P chính là hai giá trị ứng suất chính và M1 PM1 và PM2 là hai phương chính cần M2 y x xác định. O m in max Hình 1.9: Ứng suất chính, phương chính *)Trạng thái ứng suất trượt thuần túy Là trạng thái phân tố chỉ chịu P ứng suất tiếp τ, ứng suất pháp bằng không. Vòng tròn Mo cho trạng thái M1 450 M2 ứng suất trượt thuần túy có tâm trùng gốc tọa độ. O 3 1 max Nhìn vòng tròn Mo dễ dàng thấy trong m in trường hợp này: 3 ςmax= τ v{ ςmin= -τ 1 Hình 1.10: TTƯS trượt thuần túy §4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch Một trạng thái ứng suất bất kỳ có thể được xem là cộng tác dụng của hai trạng thái ứng suất Cho Tenxơ ứng suất Tσ ta phân tích như sau: 0 0 x yx zx bd x bd yx zx T 0 0 xy y zy bd xy y bd zy 0 0 xz yz z bd xz yz z bd 1 Trong đó: được gọi là ứng suất bát diện bd x y z 3 0 0 bd c (1.47) T 0 0 bd 0 0 bd gọi là Tenxơ của trạng thái ứng suất cầu –Ten sơ cầu x bd yx zx (1.48) D xy y bd zy xz yz z bd NguyÔn Danh Tr-êng - 20 -