mười vạn câu hỏi vì sao toán học: phần 2

101. Làm thế nào để việc kiểm tra<br /> bệnh định kì ít tốn kém nhất?<br /> Ở một số nước có nền y học tiên tiến thường có việc kiểm tra<br /> định kì một số bệnh xã hội. Một phương pháp kiểm tra bệnh thông<br /> thường là phương pháp thử máu. Thông qua việc thử máu có thể phát<br /> hiện sớm các loại bệnh viêm gan, tả, nhiễm trùng máu và nhiều bệnh<br /> khác, nhờ đó có thể chẩn đoán và chữa trị bệnh sớm.<br /> Phương pháp thực hiện kiểm tra thường là: Các nhân viên y tế<br /> đến các điểm kiểm tra gọi mỗi người lấy một ít máu, ghi phiếu, nhân<br /> viên y tế đem về cơ quan kiểm tra, nghiên cứu, cuối cùng thông báo<br /> kết quả kiểm tra cho từng người được kiểm tra. Phương pháp kiểm<br /> tra này có hiệu quả, tuy nhiên quá trình kiểm tra khá tốn công sức.<br /> Liệu có phương pháp nào tiết kiệm được sức lực hay không? Câu trả<br /> lời là có. Chúng ta nêu lên một ví dụ để thuyết minh vấn đề này.<br /> Ở một thành phố lớn nọ người ta lấy được một số lượng lớn mẫu<br /> máu trong một cuộc kiểm tra định kì. Để xử lí số lượng mẫu máu rất<br /> lớn này có thể có hai phương án: Phương án thông thường là tiến<br /> hành nghiên cứu từng mẫu máu. Phương án khác chia các mẫu máu<br /> thành từng nhóm, mỗi nhóm 100 mẫu. Sau đó từ mỗi nhóm lấy mỗi<br /> mẫu một lượng nhỏ máu (số lượng máu ít) đem trộn lẫn với nhau,<br /> sao đó tiến hành kiểm tra hỗn hợp máu đã trộn. Nếu kết quả kiểm tra<br /> trong mẫu hỗn hợp này là âm tính, chứng tỏ ở 100 mẫu máu vừa xét<br /> là không có mầm bệnh. Nếu kết quả kiểm tra mẫu máu hỗn hợp là<br /> dương tính (ví dụ bệnh viêm gan) thì trong nhóm máu đã chọn mẫu<br /> hỗn hợp ít nhất có một mẫu máu có mầm bệnh. Để kiểm tra mẫu máu<br /> nào có mầm bệnh trong 100 mẫu máu này phải tiến hành kiểm tra cụ<br /> thể từng mẫu máu trong nhóm này. Thế dùng phương án kiểm tra<br /> nào thì tốt hơn?<br /> Nếu dùng phương án thứ nhất, phải thực hiện 100 lần kiểm tra<br /> cho mỗi nhóm mẫu máu; nếu dùng phương án hai thì có khả năng chỉ<br /> tiến hành một lần kiểm tra, hoặc có thể có khả năng phải làm 101 lần<br /> kiểm tra. Để làm phép so sánh, cần phải xem xét số lần trung bình cần<br /> tiến hành kiểm tra cho mỗi nhóm mẫu máu, nhờ đó mà trong hai loại<br /> phương án thì phương án nào phải thực hiện số lần kiểm tra nhiều<br /> <br /> hơn và nhiều hơn bao nhiêu lần?<br /> Dựa vào số liệu kiểm tra sơ bộ trước đó (trước khi làm kiểm tra<br /> đại trà phải làm thí nghiệm kiểm tra cho một phạm vi nhỏ) và nhận<br /> được tỉ lệ viêm gan trung bình là 0,1%, tức cứ 1000 người có một<br /> người bị lây nhiễm bệnh viêm gan, hoặc có thể nói ở mỗi nhóm mẫu<br /> máu khả năng có 0,1% số mẫu máu có bệnh viêm gan. Vì vậy ở mỗi<br /> nhóm 100 mẫu máu khả năng để một mẫu máu không mang bệnh là:<br /> (1 - 0,1%)100 ≈ 90,48%.<br /> và khả năng có mẫu máu mang bệnh là<br /> 1- 90,48% = 9,52%.<br /> Vì vậy nếu dùng phương án kiểm tra hai thì số lần trung bình cần<br /> thực hiện cho một nhóm máu là:<br /> 1 x 90,48% + 101 x 9,52% = 10,52 lần.<br /> So với phương án đầu thì tiết kiệm được 89,48%. Nếu mỗi lần<br /> thử máu cần 10.000 đ thì để thử một triệu mẫu máu theo phương án<br /> một phải tốn đến 1,4 tỉ đồng, trong khi dùng phương án hai chỉ tốn<br /> 1.472.800 đ, như vậy so với phương án một thì tiết kiệm đến hơn 10<br /> triệu đồng.<br /> Trong thực tế, khi xét nghiệm máu theo phương án hai không<br /> nhất thiết phân chia thành nhóm 100 mẫu máu, mà có thể chia thành<br /> nhóm, mỗi nhóm có 50 mẫu, 150 mẫu tuỳ số lượng mẫu máu đã thu<br /> thập được. Các bạn thử tính xem so với phương án một thì phương<br /> án hai tiết kiệm được bao nhiêu nếu số mẫu máu là 10.000 mẫu.<br /> <br /> 102. Làm thế nào để tính số lượt trận<br /> đấu cho thể thức thi đấu loại trực<br /> tiếp?<br /> Giả sử ở trường bạn đang tổ chức một cuộc thi đấu cờ theo thể lệ<br /> đấu loại trực tiếp, ví dụ số người ghi tên thi đấu là 50, bạn có thể tính<br /> <br /> được số trận đấu để dựa vào đó bố trí lịch thi đấu, số đấu trường. Nếu<br /> bạn được giao tổ chức cuộc thi đấu, bạn có tính được không?<br /> Bởi vì trận đấu chung kết chỉ xảy ra giữa hai người cuối cùng, hai<br /> người này lại chọn từ 22 = 4 người trong trận đấu trước đó, mà bốn<br /> người này lại được chọn trực tiếp từ 33 = 8 người trong cuộc đấu<br /> trước đó... Nếu số người ghi tên đúng bằng các luỹ thừa của 2 như 2,<br /> 4 (22), 8 (23), 16 (24), 32 (25)...thì chỉ cần theo số người ghi tên thành<br /> nhóm tiến hành thi đấu cho từng nhóm, sau đó loại dần từng bước là<br /> được. Giả sử số người ghi tên không đúng bằng luỹ thừa nguyên của<br /> 2 thì trong thi đấu có vòng được miễn. Nếu ta xếp 2 người một thi<br /> đấu ngay từ đầu thì sẽ có một số vòng được miễn thi đấu ở giai đoạn<br /> giữa hoặc giai đoạn cuối, mà các trận đấu ở giai đoạn này thường khá<br /> căng thẳng vì các đấu thủ ngày càng mạnh, cơ hội được miễn hay<br /> không, rõ ràng không bình đẳng. Để cho cơ hội tương đối đồng đều<br /> khiến thi đấu ngày càng sôi nổi, nói chung người ta thường miễn thi<br /> đấu ở vòng một. Vì 50 là trung gian giữa 32 (25) và 64 (26) mà 50 - 32<br /> = 18 nên vòng đầu cần loại 18 đấu thủ, tức cần tiến hành thi đấu 18<br /> trận đấu cho vòng đầu tức có 36 người tham gia thi đấu và 14 người<br /> miễn thi đấu. Sau loạt trận thi đấu ở vòng một sẽ loại 18 đấu thủ và<br /> còn lại 32 người. Từ vòng đấu thứ hai sẽ không còn trường hợp miễn<br /> thi đấu nữa. Và ở vòng hai sẽ có 16 trận đấu, vòng thứ ba có 8 trận<br /> đấu, vòng đấu thứ tư có bốn trận đấu, vòng đấu thứ năm sẽ có hai<br /> trận đấu. Vòng đấu thứ sáu sẽ là trận chung kết để giành chức vô địch.<br /> Vậy tổng cộng số các trận đấu sẽ là 18 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 49 trận so<br /> với số đấu thủ 50 thì nhỏ hơn 1.<br /> Ta lại xét ví dụ về trận thi đấu quốc tế về bóng đá năm 1998 ở<br /> Pháp, tổng số có 32 đội bóng đá tham gia vòng chung kết giải bóng đá<br /> thế giới năm 1998. Phương thức thi đấu ở vòng chung kết chia làm<br /> hai giai đoạn. Giai đoạn đầu chia bảng, đấu vòng tròn tính điểm, sau<br /> đó theo thể thức đấu loại trực tiếp. Nếu tiến hành thi đấu theo thể<br /> thức đấu loại trực tiếp ngay từ vòng đầu thì phải xếp bao nhiêu trận<br /> đấu? Vì 32 chính bằng 25 nên tổng số các trận đấu theo thể thức đấu<br /> loại trực tiếp sẽ là 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 trận, ít hơn số đội tham gia<br /> là 1.<br /> Bây giờ ta xét trường hợp chung có M người tham gia thi đấu. Giả<br /> sử M lớn hơn 2n và nhỏ hơn 2n+1, thế thì cần n + 1 vòng thi đấu, trong<br /> đó số vòng thi đấu đầu tiên sẽ là M - 2n. Sau vòng đầu, số người còn<br /> <br /> chưa thi đấu sẽ là M -(m - 2n) = 2n. Trong n vòng thi đấu tiếp sau,<br /> tổng số các trận thi đấu sẽ là:<br /> 2n-1 +2n-2 + 2n-3 +...+23 + 22 + 2 + 1<br /> = (2n-1 +2n-2 + 2n-3 +...+23 + 22 + 2) + 1 x (2 - 1)<br /> = (2n + 2n-1 + 2n-2 + ... +23 + 22 + 2) - (2n-1 + 2n-2 + 2n-3 +...+23 +<br /> 22 + 2 + 1) = 2n-1<br /> Và tổng số các trận thi đấu sẽ là:<br /> (M - 2n) + 2n -1 = M - 1<br /> Nghĩa là ít hơn số đội tham gia là 1.<br /> Thực ra, trong mỗi trận thi đấu sẽ loại bỏ một đấu thủ. Trong M<br /> người tham gia thi đấu sẽ chọn được 1 vô địch và loại bỏ M - 1 đấu thủ<br /> vì vậy số trận thi đấu là M - 1. Bạn hãy theo cách trình bày, tính số<br /> trận thi đấu bóng bàn có 158 đấu thủ nam và 96 đấu thủ nữ tham gia.<br /> Từ khoá: Thể thức đấu loại.<br /> <br /> 103. Tính số trận thi đấu theo thể thức<br /> thi đấu vòng tròn một lượt như thế<br /> nào?<br /> Dùng thể thức đấu loại trực tiếp số trận thi đấu tương đối ít, thời<br /> gian thi đấu ngắn. Khi số người ghi tên thi đấu nhiều thường dùng<br /> thể thức này. Thế nhưng thể thức thi đấu này có nhược điểm là nếu<br /> muốn đạt chức vô địch thì không được phép có trận thua giữa chừng.<br /> Vả lại nếu có trường hợp do bốc thăm, các đấu thủ mạnh gặp nhau<br /> trực tiếp quá sớm một số đội mạnh có thể bị loại quá sớm, nên làm<br /> cho á quân và các thứ bậc tiếp sau có khi có trình độ chưa phù hợp<br /> với trình độ thực tế. Vì vậy trong một số cuộc thi đấu giải đồng đội, số<br /> đơn vị ghi tên thi đấu không nhiều, người ta thường không dùng thể<br /> thức đấu loại trực tiếp mà dùng thể thức thi đấu khác: thể thức thi<br /> <br /> đấu vòng tròn.<br /> Làm thế nào để tính số trận đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn?<br /> Dưới đây ta sẽ xem một ví dụ, ví dụ ở một trường học có 15 lớp, mỗi<br /> lớp có một đội bóng tham gia thi đấu, nếu cuộc thi đấu được thi đấu<br /> theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt, xem xét cần tiến hành tổ<br /> chức bao nhiêu trận đấu?<br /> Nếu dùng thể thức thi đấu vòng tròn một lượt, mỗi đội sẽ lần lượt<br /> thi đấu một trận với một đội khác. Nếu có 15 đội thi đấu, mỗi đội phải<br /> thi đấu với 14 đội khác, nên với 15 đội thi đấu sẽ có 15 x 14 trận đấu.<br /> Nhưng mỗi trận có hai đội thi đấu với nhau nên số trận đấu chỉ còn<br /> một nửa nên số trận đấu thực tế sẽ là (15 x 14)/2 = 105 trận.<br /> Ta lại xét số trận đấu trong giải vô địch bóng đá thế giới năm 1998<br /> ở Pháp. Vòng chung kết này có 32 đội tham gia. Nếu suốt từ đầu đến<br /> cuối đều thi đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn thì số trận đấu phải<br /> tổ chức là (32 x 31)/2 = 496 trận.<br /> Nói chung nếu cuộc thi đấu vòng tròn một lượt tính cho n đội<br /> tham gia thì số trận thi đấu sẽ là n x (n-1)/2.<br /> Như vậy số trận thi đấu sẽ rất nhiều, thời gian thi đấu sẽ rất dài.<br /> Vì vậy nhiều cuộc thi đấu thường tổ chức thi đấu kết hợp giữa hai thể<br /> thức: thi đấu vòng tròn và đấu loại trực tiếp. Giai đoạn đầu chia bảng<br /> đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn cho từng bảng, sau đó ở giai đoạn<br /> hai người ta cho tiến hành thi đấu theo thể thức đấu loại trực tiếp.<br /> Nếu với 15 đội thi đấu ta chia làm ba nhóm, mỗi nhóm năm đội.<br /> Trong từng nhóm sẽ tổ chức thi đấu vòng tròn. Ta thử xem ở giai<br /> đoạn này cần phải tiến hành bao nhiêu trận đấu?<br /> Từ ba nhóm thi đấu vòng tròn sẽ tìm được ba đội đầu bảng, ba<br /> đội đầu bảng này sẽ tiếp tục thi đấu vòng hai để chọn các á quân. Như<br /> vậy:<br /> Trong vòng 1: 5 x 4/2 + 5 x 4/2 + 5 x 4/2 = 30 trận.<br /> <br />