Năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều

Chia sẻ: Liễu Yêu Yêu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu "Năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều" sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, là một trong các phương pháp quen thuộc trong cơ học lượng tử đã được áp dụng tính toán cho nhiều bài toán vật lý, để tìm biểu thức năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều

NĂNG LƯỢNG GIẢI TÍCH Ở TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Nguyen Phuong Duy Anh Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường ĐH Thủ Dầu Một Email: anhnpd@tdmu.edu.vn TÓM TẮT Trong công trình này, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn được sử dụng để thu được các biểu thức năng lượng của exciton hai chiều trong từ trường đều. Trong đó, bộ hàm cơ sở dưới dạng đại số được sử dụng là bộ hàm sóng của dao động tử điều hoà rất thuận tiện cho các tính toán giải tích các yếu tố ma trận, đồng thời vẫn mang các đặc điểm của hàm sóng nguyên tử hydro, vì vậy có thể sử dụng hiệu quả cho bài toán đang xét cũng như các bài toán nguyên tử hai chiều khác như exciton âm, exciton dương trong từ trường. Biểu thức tường minh E (  ) thu được mô tả sự phụ thuộc của năng lượng của exciton hai chiều vào từ trường ở trạng thái cơ bản trong vùng từ trường yếu và vùng từ trường mạnh, các kết quả số thu được có sai số nhỏ hơn 1% so với kết quả số thu được của công trình khác. Phương pháp này có thể được áp dụng cho các trạng thái kích khác. TỪ KHOÁ: exciton, từ trường, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. THE EXPLICIT EXPRESSIONS OF THE ENERGY OF A TWO- DIMENSIONAL EXCITON IN UNIFORM MAGNETIC FIELD FOR THE GROUND STATE ASTRACT In this work, the explicit expressions of the energy of a two-dimensional exciton in magnetic field for the ground state are calculated by the perturbation theory method. A basic set in the algebraic form given in the work as a set of harmonic oscillator wave functions is very useful for analytically calculating matrix elements as well as characterizes the hydrogen atom wave functions that makes solving process effective not only for the considered problem but also for other two-dimensional problems such as negatively charged exciton or positively charged exciton in a magnetic field. The explicit expressions of E (  ) are given for analytically describing the dependence of the energy of a two-dimensional exciton on magnetic field intensity for the ground state, with an error of less than 1% for the the weak and the strong of the magnetic field intensity compared with the other theory data. This method can be applied to any excited state. KEYWORDS: exciton, magnetic field, perturbation theory. 142
1. Giới thiệu Exciton là trạng thái liên kết của điện tử và lỗ trống, khái niệm exciton được Frenkel đề xuất vào năm 1931, được xem như là một sóng kích thích điện tử trong tinh thể [1]. Các exciton thường được phân loại theo trạng thái liên kết giữa các điện tử và lỗ trống, bao gồm: nếu một điện tử liên kết với một lỗ trống thì sẽ được gọi là exciton trung hoà (còn gọi là exciton); nếu hai điện tử liên kết với một lỗ trống thì sẽ được gọi là exciton âm, nếu một điện tử liên kết với hai lỗ trống thì sẽ được gọi là exciton dương… Thông thường, khi sử dụng khái niệm exciton, người ta thường đề cập đến exciton trung hoà. Về cấu tạo, exciton có cấu tạo tương tự như nguyên tử hydro nhưng về tính chất thì có sự khác biệt lớn, đó là chúng chỉ tham gia vận chuyển năng lượng chứ không tham gia vận tải dòng điện do exciton là hạt trung hoà về điện; chúng chỉ có thể có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi; hàm sóng mô tả các trạng thái của exciton tương tự như của nguyên tử hydro nhưng năng lượng liên kết của nó nhỏ hơn rất nhiều và kích thước lại lớn hơn nhiều lần nguyên tử hydro; phổ hấp thụ năng lượng của exciton là phổ gián đoạn gồm một dãy các vạch màu như của nguyên tử hydro, vì thế không chỉ có một mức exciton mà có cả một dãy các mức exciton gián đoạn. Trong những năm gần đây, có rất nhiều các nghiên cứu thực nghiệm về việc tính năng lượng liên kết của các loại exciton trong các vật liệu có kích thước cỡ nano. Trong đó, nhóm vật liệu đơn lớp hai chiều như graphene, kim loại chuyển tiếp dichalcogenides (transition metal dichalcogenides)... được quan tâm mạnh mẽ do các tính chất quang, điện của chúng. Do sự giảm số chiều nên các hiệu ứng đặc biệt của exciton trong các bán dẫn này được quan sát dễ dàng hơn so với trong các bán dẫn khối [2]. Mặt khác, các phương pháp tính toán lý thuyết cho trường hợp giả hai chiều cũng có thể được sử dụng cho các hệ bán dẫn hai chiều thực như phương pháp biến phân. Độ chính xác cao của các phương pháp tính cho phép ta có thể khảo sát được các tính chất vật lý của các hiện tượng dựa trên năng lượng liên kết của các exciton. Vì vậy, việc phát triển phương pháp tính toán năng lượng liên kết của exciton hai chiều trong trường điện từ là việc cần thiết. Bài toán exciton hai chiều trong từ trường là một bài toán kinh điển được nghiên cứu nhiều do tầm quan trọng trong vật lí hệ thấp chiều [3]. Bài toán này cũng là mô hình để kiểm tra tính hiệu quả của các phương pháp giải phương trình Schrödinger khác nhau. Do đó, trong công trình này, chúng tôi sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, là một trong các phương pháp quen thuộc trong cơ học lượng tử đã được áp dụng tính toán cho nhiều bài toán vật lý, để tìm biểu thức năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều. Công trình này là một trong các bước quan trọng trong quá trình chúng tôi khảo sát phổ exciton trong hệ bán dẫn hai chiều. 2. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn giải phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong từ trường đều. Phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong từ trường đều không thứ nguyên có dạng [3]: Hˆ  ( r ) = E ( r ) , (1) 143
1  2 2   Hˆ = −  2 + 2  + Lˆz +  2 ( x 2 + y 2 ) − . 1 Z (2) 2  x y  2 8 r Trong đó: - Đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng và đơn vị năng lượng là năng lượng Hartree hiệu dụng có dạng: 4 0 2 m*e4 l  = * 2 ,   = . me 16 2 0 2 2 - Từ trường không thứ nguyên  là tỉ số so sánh giữa năng lượng của từ trường c = eB /  và năng lượng tương tác Cuolomb  e4 / (16 2 0 2 2 ) có dạng 16 2 0 2 3 = B,  2 e3 với c là tần số chuyển động xoáy ốc. Khi đó ta có thang đo của từ trường như sau:  1 là vùng từ trường mạnh,   1 là vùng từ trường trung bình và  1 là vùng từ trường yếu. - Z luôn có giá trị bằng 1 đối với nguyên tử đồng dạng hydro. Để giải phương trình Schrödinger (1), (2) tìm năng lượng giải tích của exciton hai chiều trong từ trường đều ở trạng thái cơ bản, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với các toán tử sinh, hủy Dirac để giải trực tiếp bài toán. 2.1. Trong vùng từ trường yếu Trong phương trình Schrödinger (1), (2) có chứa thành phần tương tác Coulomb dưới mẫu số nên để thuận tiện khi sử dụng các toán tử sinh, hủy Dirac để giải ta sẽ sử dụng phép biến đổi Levi-Civita [4] để đưa bài toán về dạng bài toán dao động tử phi điều hòa để giải [5]. Khi đó ta thu được phương trình Schrödinger trong không gian (u, v) dưới dạng: H  ( u , v ) = Z ( u , v ) (3) với 1  2 2     2 H = −  2 + 2  −  E − Lˆz  ( u 2 + v 2 ) + ( u 2 + v 2 ) , 3 (4) 8  u v   2  8 với toán tử Lˆ z trong không gian (u, v) có dạng 144
i    Lˆ = −  u − v  . 2  v u  Trong phương trình (3), (4), Z chính là trị riêng của phương trình, còn E đóng vai trò như một tham số. Khi giải phương trình này, ta thu được Z dưới dạng là một hàm số phụ thuộc vào E , sau đó ta sẽ giải phương trình Z ( E ) = 1 thì thu được năng lượng E . Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy dưới dạng:  1    1   ˆ = u +  , ˆ = + u −  u  , 2  u  2 (5)  1   ˆ+  1   ˆ = v + ,  = v − . 2   v  2   v  Các toán tử này thỏa tính chất giao hoán ˆ s , ˆt+  =  s ,t ,  ˆs , ˆt+  =  s ,t , với ký hiệu delta- Kronecker  s ,t được sử dụng. Do bài toán đang xét có bảo toàn toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo Lˆ , mà với các toán tử sinh hủy được định nghĩa như trong (5) thì Lˆ không có z z dạng trung hòa. Vì vậy, ta sẽ tổ hợp lại các toán tử trong (5) dưới dạng aˆ = 1 2 ( ) ˆ − i ˆ , aˆ + = 1 2 ( ) ˆ + + i ˆ + , (6) bˆ = 1 2 ( ) ˆ + i ˆ , bˆ + = 1 2 ( ) ˆ + − i ˆ + . Khi đó toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo Lˆ z có dạng trung hòa: 1 ( Lˆz = − aˆ + aˆ − bˆ+bˆ . 2 ) (7) Khi định nghĩa các toán tử sinh hủy như trong (6), ta đã đưa vào tham số thực dương  . Tham số này đóng vai trò như một tần số, được đưa vào nhằm mục đích đẩy mạnh tốc độ hội tụ của bài toán mà không là ảnh hưởng đến kết quả tính toán do H   . Vì vậy, ta có thể chọn giá trị của tham số này tùy ý. Ngoài ra, các toán tử này cũng thỏa tính chất giao hoán  aˆs , aˆt+  =  s ,t , bˆs , bˆt+  =  s ,t .   Từ (6) ta thu được dạng biểu diễn đại số của toán tử Hamilton (4) trong phương trình Schrödinger (3) như sau 145
 2 ( Mˆ ) E ˆ+ ˆ ˆ ( ) ( ) 3 H =− + + Mˆ − Nˆ − M +M +N + Mˆ + + Mˆ + Nˆ (8) 4 2 64 3 với m E =E− . 2 Trong đó, ta đã thay Lˆ z bằng trị riêng m của nó và các toán tử Mˆ + = aˆ +bˆ+ , Mˆ = ab ˆ ˆ, Nˆ = aˆ + aˆ + bˆ+bˆ + 1 được đưa vào để (8) được biểu diễn thuận tiện hơn, ngoài ra các toán tử này cũng lập thành bộ đại số kín, là dạng mà các giao hoán giữa các toán tử này không xuất hiện thêm bất kỳ một toán tử nào khác. Tiếp theo, ta tách toán tử Hamilton trong (8) thành hai thành phần Hˆ 0 và Vˆ với  ˆ+ ˆ ˆ Hˆ 0 = − 4 ( M +M −N − E ˆ+ ˆ ˆ 2 M +M +N , ) ( ) (9) 2 ( ) 3 ˆ V= ˆ + + Mˆ + Nˆ . M (10) 64 3 Như đã nói ở trên, ta có thể lựa chọn giá trị của tham số  và từ dạng biểu diễn của (9) ta nhận thấy nếu chọn  = −2E (11) thì thành phần Hˆ 0 có dạng  Hˆ 0 = Nˆ (12) 2 là dạng trung hòa và E0 luôn có nghiệm chính xác. Từ đây ta sẽ sử dụng Hˆ 0 , Vˆ cùng với  có dạng như trong (12), (10) và (11) để giải phương trình Schrödinger (8). Tiếp theo, chúng tôi chọn bộ hàm cơ sở của bài toán là bộ hàm riêng của dao động tử điều hòa 1 ( aˆ + ) bˆ+( ) 0 ( ) , n1 n2 n1 , n2 osc = (13) n1 !n2 ! với n1 , n2 là các số nguyên không âm; trạng thái chân không được định nghĩa 146
aˆ 0 ( ) = 0, bˆ 0 ( ) = 0, (14) với điều kiện chuẩn hóa 0 ( ) 0 ( ) = 1 . Do bài toán có bảo toàn Lˆ z nên bộ hàm cơ sở (13) phải thỏa mãn phương trình Lˆz n1 , n2 osc = m n1 , n2 osc , (15) với m là số lượng tử từ, nhận các giá trị m = 0, 1, 2, 3,... . Từ (7) và (13) ta được 1 1 m= ( n1 − n2 ) .m = ( n1 − n2 ) . (16) 2 2 Do m là số nguyên, vì vậy n1 − n2 phải là số chẵn. Khi đó n1 + n2 cũng sẽ là số chẵn, nên ta đặt 2n = n1 + n2 (17) là số nguyên không âm. Đối với bài toán đang xét, có sự bảo toàn số lượng tử từ m , vì vậy ta sẽ sử dụng các chỉ số n, m thay cho n1 , n2 khi xét các trạng thái lượng tử. Từ (16), (17) ta được n1 = n + m, n2 = n − m với −n  m  n. Khi đó, ta sẽ chuyển bộ hàm sóng cơ sở n1 , n2 osc thành bộ hàm cơ sở n, m osc đã được chuẩn hóa như sau: ( aˆ ) ( bˆ ) 1 n−m + n+m n, m = + 0 ( ) , (18) osc ( )( n+m ! n−m ! ) trong đó n = 0,1, 2,.... và m = 0, 1, 2,...,  n . Ta cũng thấy rằng bộ hàm cơ sở (18) là trực giao và chuẩn hóa nghĩa là n, m1 k , m2 =  n,k  m1 ,m2 . Từ đây ta sẽ sử dụng bộ hàm sóng (18) để tính các yếu tố ma trận. Thông qua các công thức tác dụng Mˆ + n, m = aˆ + bˆ + n, m = ( n + 1) − m 2 n + 1, m , 2 ˆ ˆ n, m = n 2 − m 2 n − 1, m , Mˆ n, m = ab ( ) Nˆ n, m = aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + 1 n, m = ( 2n + 1) n, m , và định nghĩa các yếu tố ma trận của Hˆ 0 và Vˆ dưới dạng: 147
( Hˆ ) (Vˆ ) m m 0 =  n, m | Hˆ 0 n, m , =  n, m | Vˆ n, m , n , n n , n ta thu được các yếu tố ma trận khác không như sau:  ( Hˆ ) ( 2n + 1) , m 0 = n,n 2 2 ( ) 3 ( 2n + 1) ( 5n 2 + 5n + 3 − 3m 2 ) , m Vˆ = n,n 32 3 2 (Vˆ ) ( 5n 2 + 10n + 6 − m 2 ) ( n + 1) − m 2 , m = 2 (19) n , n +1 64 3 3 2 (Vˆ ) 3 ( 2n + 3) ( n + 1) − m 2 ( n + 2 ) − m 2 , m = 2 2 n,n+ 2 64 2 (Vˆ ) ( n + 1) − m 2 ( n + 2 ) − m 2 ( n + 3) − m 2 . m = 2 2 2 n ,n +3 64 3 ( ) ( ) m m Các yếu tố ma trận khác không còn lại thu được dựa vào tính chất đối xứng Vˆ = Vˆ . n , n n , n Từ (1) và (19) ta thu được nghiệm giải tích của năng lượng trong vùng từ trường yếu cho trạng thái cơ bản n = 0, m = 0 tính đến gần đúng bổ chính bậc ba, có dạng: 2 3 2  2  2  E0 (  ) = −2 + 0.375   − 0.155   − 0.148   . ( 3) (20)  8   8   8  Hình 1. Năng lượng trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường yếu được biểu diễn theo công thức (20), so sánh với nghiệm số chính xác [3] (đường liền nét màu đen) 148
Để kiểm chứng độ chính xác của biểu thức giải tích (20), chúng tôi sẽ so sánh nghiệm số thu được bằng biểu thức (20) với nghiệm số chính xác thu được trong trình trình [3]. Qua phân tích số cùng với đồ thị ở hình 1, biểu diễn năng lượng phụ thuộc vào từ trường, trong vùng từ trường yếu thông qua biểu thức (20) có so sánh với nghiệm chính xác thu được trong [3] chúng tôi nhận thấy: (1) Nghiệm giải tích thu được bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản, trong vùng từ trường yếu, chỉ làm việc tốt đến bổ chính bậc hai (đường màu đỏ) với biểu thức có dạng: 2 2  2  E0( 2) ( ) = −2 + 0.375   − 0.155   . (21)  8   8  (2) Biểu thức giải tích (21) cho kết quả sai số so với nghiệm chính xác thu được trong [3] là dưới 1% trong vùng từ trường yếu. (3) Các bổ chính bậc cao hơn không đóng góp thêm độ chính xác của bài toán mà còn có dấu hiệu phân kỳ. (4) Biểu thức nghiệm giải tích (21) làm việc hiệu quả trong vùng từ trường có giá trị   1.86 . 2.2. Trong vùng từ trường mạnh Ta biểu diễn phương trình Schrödinger (1) dưới dạng:  1  2 2  1 2 2 Z   +  ( x + y 2 ) −  (r ) =  E − m  (r ), 1 −   2 + 2  (22)  2  x y  8 r  2  trong đó ta đã thay toán tử Lˆ z bằng trị riêng m của nó. Để điều kiện lý thuyết nhiễu loạn được thỏa mãn khi cường độ từ trường lớn ta sẽ sử dụng khai triển ngược hệ số tương tác lớn (strong coupling series) đối với từ trường  . Ta đặt x = a x , y = a y , với a là hệ số,  x ,  y là các biến tọa độ mới. Khi đó ta thu được các công thức biến đổi 149
2 2 1  2 2  + =  + , x 2 y 2 a 2   x2  y2  x 2 + y 2 = a 2 (  x2 +  y2 ) , r = a  x2 +  y2 . Thay các công thức này vào (22) ta được:  1  2 2  1 2 4 2 Z 2   −  2 + 2  +  a (  x +  y ) − a  (  ) = a  E − m  (  ) 2 1 (23)  2   x  y  8 r   2  1 Khi  2 a 4 = 1 thì a = . Thay vào (23) ta được:   1  2 2  1 2 1 Z 1   −  2 + 2  + (  x +  y ) − 1  (  ) =  E − m  (  ) . 2 (24)  2   x  y  8  r   2  Ta có thể viết lại (24) dưới dạng:  1  2 2  1 2 1 Z 1  −  2 + 2  + ( x + y ) − 1  ( r ) =  E − m  ( r ) . 2 (25)  2  x y  8  r   2  Sử dụng phép biến đổi Laplace 1 1  e ( − t x2 + y 2 ) Uˆ = =  dt r  0 t thì phương trình (25) trở thành H ( r ) = E ( r ) , (26) với ( −t x2 + y 2 ) 1  2 2  1 H = −  2 + 2  + ( x2 + y 2 ) − Z  e 2  x y  8  0 t dt , (27) 1 1  E=  E − m  . (28)  2  150
Ta biểu diễn phương trình Schrödinger (26) dưới dạng các toán tử sinh hủy được định nghĩa:  1    1   aˆ = x+  , aˆ = x− 2  x  2  x  . (29)  1   ˆ  1   bˆ = y+ , b = y− 2  y  2  y  Khi đó ta thu được dạng đại số của toán tử Hamilton (27) trong phương trình Schrödinger (26) như sau:   H = − + 1  ˆ+ ˆ+ ˆ ˆ  M1 + M 2 + M1 + M 2  4 16  ( ) . (30)  2  ˆ dt + + 1  ˆ ˆ  N1 + N 2 − Z  4 16   0 S t ( ) Trong đó, các toán tử Mˆ 1 = aˆ 2 , Mˆ 1+ = aˆ +2 , Nˆ 1 = 2aˆ + aˆ + 1 , Mˆ 2 = bˆ 2 , Mˆ 2+ = bˆ +2 , Nˆ 2 = 2bˆ + bˆ + 1 được đưa vào để (30) được biểu diễn thuận tiện hơn, ngoài ra các toán tử này cũng lập thành bộ đại số kín và toán tử Sˆ sau khi được về dạng chuẩn, kết hợp khai triển Taylor có dạng −t ( M + N + M ) −t ( M + N + M ) ˆ+ ˆ ˆ ˆ+ ˆ ˆ Sˆ = e 1 1 1 e 2 2 2  = exp  − t  1 + 2t   Mˆ 1+  exp  −  t  1 + 2t  Mˆ 2+  exp − Nˆ 1 ln 1 + 2t  ( ) (   exp − Nˆ 2 ln 1 + 2t exp  −  1 + 2t t   Mˆ 2  exp  −  t  1 + 2t )  Mˆ 1   (31) ( −1) i1 + i2 + i3 + i4 + + + + t i1 +i2 +i3 +i4 =  i1 = 0 i2 = 0 i3 = 0 i4 = 0 i1 !i2 !i3 !i4 ! (1 + 2t )i1 +i2 +i3 +i4 ( ) ( Mˆ ) ( ( ) ( Mˆ ) ) Mˆ 1 ˆ ˆ (1 + 2t ) i1 i3 − N1 + N 2 i4 i2  Mˆ 1+ + 2 2 2 1 . Tiếp theo, ta tách toán tử Hamilton (30) thành hai thành phần Hˆ 0 và Vˆ với    Hˆ 0 =  − +  4 1  ˆ+ ˆ+ ˆ 16  ˆ (  M1 + M 2 + M1 + M 2 +  +  4 1  ˆ 16  ˆ  N1 + N 2 , ) ( ) (32) 1 Z 2  dt Vˆ = −  Sˆ . (33)   0 t 151
1 Từ dạng của Hˆ 0 trong (32) ta chọn  = sao cho thành phần Hˆ 0 có dạng 2 1 Hˆ 0 = Nˆ (34) 4 là dạng trung hòa và Eˆ 0 luôn có nghiệm chính xác và 1 Z  dt Vˆ = − Sˆ .   (35)  0 t Từ đây, ta sẽ sử dụng Hˆ 0 và Vˆ có dạng như (34), (35) để giải phương trình Schrödinger (26) . Sử dụng bộ hàm sóng như trong phần 2.1, khi đó ta tính được các công thức tác dụng như sau: ( Nˆ + Nˆ ) n, m = 2 ( 2n + 1) n, m , 1 2 ( Mˆ ) n, m = i ! C C n + i, m − i , i + 2i n − m + 2i 1 i 2i ( Mˆ ) n, m = i ! C C i + n + m + 2i 2 n + i, m + i , i 2i 2i (36) ( Mˆ ) n, m = i ! C C n − i, m + i ,  i   n −2 m   , i 2i n−m 1 i 2i  n + m ( Mˆ ) i 2 n, m = i ! Ci2i C2ni+ m n − i, m − i ,  i    ,   2  n! a trong đó ký hiệu Ckn = được sử dụng với n, k  0 và n  k và ký hiệu   có nghĩa k !( n − k )! 2 là chỉ lấy phần nguyên của phép chia. Khi đó, ta định nghĩa các yếu tố ma trận của Hˆ 0 và Vˆ như sau: ( Hˆ ) (Vˆ ) m m 0 =  n, m | Hˆ 0 n, m , =  n, m | Vˆ n, m . (37) n , n n , n Trong đó các yếu tố ma trận khác không lần lượt có dạng: 152
( Hˆ ) 1 ( 2n + 1) , m 0 = n,n 2  n+ m   n−m   2  2  (Vˆ )    1 Z   m =− Ci12`i1 C2ni1+ m Ci22 i2 C2ni−2 m (38) n,n + 2 s   i1 = 0 i2 = 0 1 2 s + 2 i1 + 2 i2 −  t 2  Cs2+si+1 2i1 C2ns++22si1+ m Cs2+si+2 2i2 C2ns++22si−2 m  dt. (1 + 2t ) 0 1+ 2 n + 2 s ( ) ( ) m m Các yếu tố ma trận khác không còn lại thu được dựa vào tính chất đối xứng Vˆ = Vˆ . n , n n , n Khi đó, ta thu được nghiệm giải tích của năng lượng trong vùng từ trường mạnh cho trạng thái cơ bản n = 0, m = 0 tính đến gần đúng bổ chính bậc bốn có dạng: −1 −1/2 1/2  1   1   1   1  E0( 4) ( ) = 0.25   − 0.886   − 0.688 − 0.634   + 2.922   . (39)  2   2   2   2  Hình 2. Năng lượng trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong vùng từ trường mạnh được biểu diễn theo công thức (39), so sánh với nghiệm số chính xác [3] (đường liền nét màu đen) Qua phân tích số cùng với đồ thị ở hình 2, biểu diễn năng lượng phụ thuộc vào từ trường trong vùng từ trường mạnh thông qua biểu thức (39) có so sánh với nghiệm chính xác thu được trong [3] ta nhận thấy: (1) Nghiệm giải tích thu được bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản, trong vùng từ trường mạnh, chỉ làm việc tốt đến bổ chính bậc ba (đường màu đỏ) với biểu thức có dạng: 153
−1 −1/2 1/2  1   1   1  E0 (  ) = 0.25   − 0.886   ( 3) − 0.688 − 0.634   . (40)  2   2   2  (2) Biểu thức giải tích (40) cho kết quả sai số so với nghiệm chính xác thu được trong [3] là dưới 1% trong vùng từ trường mạnh. (3) Các bổ chính bậc cao hơn không đóng góp thêm độ chính xác của bài toán mà còn có dấu hiệu phân kỳ. (4) Biểu thức nghiệm giải tích (40) làm việc hiệu quả trong vùng từ trường có giá trị   4.00 . Từ đây, chúng tôi thu được biểu thức năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong vùng từ trường yếu và trong vùng từ trường mạnh với sai số so với nghiệm chính xác thu được trong công trình [3] là dưới 1%, có dạng: 2 2  2  E0( 2) ( ) = −2 + 0.375   − 0.155   , (41)  8   8  −1 −1/2 1/2  1   1   1  E0 (  ) = 0.25   − 0.886   ( 3) − 0.688 − 0.634   . (42)  2   2   2  Hình 3. Năng lượng trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều được biểu diễn theo công thức (41), (42), so sánh với nghiệm số chính xác [3] (đường liền nét màu đen). 154
Qua đồ thị ở hình 3 chúng tôi nhận thấy, trong vùng từ trường từ có giá trị từ 1.86    4.00 , nghiệm số thu được bằng các biểu thức (41), (42) của chúng tôi cho kết quả có sai số lớn hơn 1% so với nghiệm số chính xác trong công trình [3]. Mặc dù kết quả giải tích thu được bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn không thể tính được cho toàn bộ miền biến đổi của từ trường, nhưng với phạm vi làm việc ứng giá trị từ trường trong khoảng   1.86 và   4.00 cũng có thể đủ để đưa ra các kết luận chung khi khảo sát exction hai chiều trong từ trường. 3. Kết luận Như vậy, bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với phép biến đổi Levi-Civita trong vùng từ trường yếu và khai triển ngược hệ số tương tác lớn (strong coupling series) đối với từ trường cùng với phép biến đổi Laplace trong vùng từ trường mạnh, chúng tôi đã thu được các biểu thức năng lượng phụ thuộc từ trường E (  ) cho trạng thái cơ bản. Các biểu thức giải tích này cho kết quả sai số so với nghiệm chính xác thu được trong [3] là dưới 1% , ứng với vùng từ trường yếu có giá trị   1.86 và vùng từ trường mạnh có giá trị   4.00 . Trong vùng từ trường có giá trị 1.86    4.00 , phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho kết quả có sai số lớn hơn 1% so với nghiệm số chính xác. Tài liệu tham khảo [1]. M. A. Lampert, “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic solids,” Physical Review Letters, vol. 1, p. 450, 1958. [2]. B. Ding and K. Alameh, “Simultaneous monitoring of singlet and triplet exciton variations in solid organic semiconductors driven by an external static magnetic field,” Applied Physics Letters, vol. 105, p.101, 2014. [3]. D. N. T. Hoang, D. L. Pham, and V. H. Le, “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength,” Physica B: Condensed Matter, vol. 423, p. 31, 2013. [4]. T. Levi-Civita, Opere matematiche: memorie e note, vol. 6. N. Zanichelli, 1973. [5]. V. H. Le and T. G. Nguyen, “The algebraic method for two-dimensional quantum atomic systems, Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 26, p. 1409, 1993. 155