Nghiệm cổ điển chính xác của các phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết trường gauge không-Abel (còn gọi là lý thuyết trường Yang-Mills) đã được thừa nhận là một trong những lý thuyết có nhiều triển vọng nhất để xây dựng lý thuyết thống nhất các tương tác cơ bản trong tự nhiên. Bài viết Nghiệm cổ điển chính xác của các phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài trình bày khảo sát trường gauge không-Abel SU(2) với nguồn ngoài.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm cổ điển chính xác của các phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài

158 Nguyễn Văn Thuận NGHIỆM CỔ ĐIỂN CHÍNH XÁC CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI EXACT CLASSICAL SOLUTION TO THE YANG-MILLS EQUATIONS WITH AN EXTERNAL SOURCE Nguyễn Văn Thuận Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh; thuanvatli@yahoo.com Tóm tắt - Trong bài báo này chúng tôi khảo sát trường gauge Abstract - In this paper, we are to investigate an SU(2) non-Abelian không-Abel SU(2) với nguồn ngoài. Trong trường hợp nguồn ngoài gauge field with an external source. If the external source is static tĩnh và có dạng đối xứng trục, chúng tôi nhận được nghiệm cổ điển and axisymmetric, we obtain the exact classical solution to the chính xác của các phương trình Yang-Mills tương ứng. Nghiệm corresponding Yang-Mills equations. This solution has singularity at này có kì dị tại r0 = 1/ b. Một hạt bất kỳ mang tích gauge SU(2) r0 = 1/ b. It can be seen that any particle, which carries an SU(2) nếu đi vào miền r  r0 thì sẽ bị giam cầm trong miền này. Như vậy, gauge charge, becomes confined if it crosses into the region r  r0. nghiệm thu được biểu lộ tính chất về sự giam cầm tích gauge Therefore the obtained solution exhibits the property of the SU(2) SU(2). Từ nghiệm cổ điển này, chúng tôi cũng tìm được các đại gauge charge confinement. From this classical solution, we also find lượng vật lý đặc trưng của trường gauge không-Abel SU(2) liên kết the characteristic physical quantities of the SU(2) non-Abel gauge với nguồn ngoài, đó là các thế gauge, cường độ điện từ trường, field coupled with the external source, namely gauge potentials, mật độ tích ngoài và mật độ năng lượng của trường gauge non- electromagnetic field intensities, external charge density and SU(2) Abel SU(2). Khi hàm trường k ( r ) = 0 và chỉ số topo n = 1, thế non-Abel gauge field energy density. With the field function k ( r ) = 0 gauge SU(2) tương ứng với thế của một đơn cực từ điểm. and topological index n = 1, the SU(2) gauge potential corresponds to the potential of a point magnetic monopole. Từ khóa - trường Yang-Mills, phương trình Yang-Mills, trường Key words - Yang-Mills field; Yang-Mills equation; non-Abel gauge gauge không-Abel, nguồn ngoài, nhóm SU(2), nghiệm cổ điển. field; external source; SU(2) group; classical solution. 1. Đặt vấn đề điển tương tác với nguồn ngoài cũng được nhiều tác giả quan Lý thuyết trường gauge không-Abel (còn gọi là lý thuyết tâm khảo sát [9-11]. Đối với bài toán loại này, một trong trường Yang-Mills) đã được thừa nhận là một trong những lý những kết quả hấp dẫn nhất là tìm ra được một số nghiệm thuyết có nhiều triển vọng nhất để xây dựng lý thuyết thống riêng có thể xảy ra hiệu ứng màn chắn (screening) đối với tích nhất các tương tác cơ bản trong tự nhiên [1-3]. Cùng với việc màu ngoài, tương tự như hiệu ứng màn chắn đối với điện tích khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên trong điện động lực học. Người ta cho rằng sự cầm tù quark các mô hình chuẩn, một hướng nghiên cứu khác thu hút sự có thể liên hệ với hiệu ứng màn chắn tích màu vừa nêu. quan tâm của nhiều nhà vật lý, đó là nghiên cứu các tính chất Bài báo này đề cập đến lý thuyết Yang-Milss SU(2) với cơ bản của lý thuyết trường gauge không-Abel như là các hệ nguồn ngoài. Trong trường hợp nguồn ngoài tĩnh và có dạng động lực phi tuyến. Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát đối xứng trục, chúng tôi đã tìm được một dạng nghiệm cổ triển mạnh trong những năm gần đây. Như đã biết, các phương điển chính xác (còn gọi là nghiệm vortex) của các phương trình phi tuyến là đối tượng nghiên cứu của vật lý toán phi trình trường Yang-Mills SU(2) tương ứng, và xét các đặc tuyến, lĩnh vực mà về công cụ và các đặc trưng khác xa vật lý trưng vật lý của nó. Nghiệm cổ điển này biểu lộ tính chất toán truyền thống. Các nghiệm của các phương trình trường giam cầm các tích gauge của lý thuyết gauge không-Abel. cổ điển, tức là các phương trình trong đó các hàm trường là các hàm c - số (chứ không phải là các toán tử) đóng vai trò 2. Các phương trình trường Yang-Mills với nguồn ngoài quan trọng khi khảo sát cấu trúc của lý thuyết trường lượng tử Các phương trình trường Yang-Mills SU(2) trong sự có tương ứng [4-8]. Dựa trên các nghiệm này, dùng các phương mặt của dòng ngoài ja có dạng [10]: pháp phân tích bán cổ điển, có thể thu được nhiều thông tin D  F a = ja , (1) vật lý quan trọng về lý thuyết lượng tử mà trước đây không Fa =  W −  Wa + g abcWbWc , a (2) thể có được bằng lý thuyết nhiễu loạn. Chẳng hạn như khi phân tích các phương trình Yang-Mills cổ điển người ta phát Ở đây g là hằng số liên kết của trường chuẩn, hiện ra rằng, cực trị của phiếm hàm tác dụng trong không gian  , = 0,1, 2,3 là các chỉ số không-thời gian, a, b, c, =1, 2,3 Euclide không tương ứng với các trường đồng nhất bằng là các chỉ số của nhóm SU(2). Khi lấy tỉ lệ xích thích hợp không, mà tương ứng với cấu hình trường không tầm thường, cho các thế gauge, trong phương trình (2) người ta có thể định xứ theo không-thời gian được gọi là instanton. Trong lý đặt g = 1. Chúng tôi sử dụng tenxơ metric, được xác định thuyết lượng tử, các instanton mô tả hiệu ứng đường hầm bởi g00 = − gii = 1. Vì tenxơ cường độ trường F a là phản trong các trạng thái chân không suy biến. Kết quả này dẫn đến  a đối xứng nên đạo hàm hiệp biến D D F = D ja = 0. cách nhìn mới về cấu trúc chân không của lý thuyết Yang- Điều này cho thấy dòng ngoài được coi như mật độ tích Mills, cho phép giải thích định tính về vấn đề tai biến hồng ngoài tĩnh. ngoại và sự cầm tù quark. Ta xét nguồn ngoài tĩnh đối xứng trục trong hệ tọa độ Bài toán tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills cổ trụ và không phụ thuộc vào tọa độ z:
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(90).2015 159 j =  e q ( r ) , a 0 a ar k (r ) = (3) , (13) e a = 1a cos( n ) +  2a sin ( n ) , (4) 1 − br 1 − 3br f (r ) =  a Ở đây e là vectơ đơn vị trong không gian đồng vị của , (14) trường gauge, và n trong phương trình (4) là số cuộn, nghĩa 1 − br là số lần trường cuộn quanh vectơ e a khi góc phương vị  Ở đây a, b ( b  0 ) là các tham số. Dễ dàng thấy rằng quét một vòng từ 0 đến 2 người ta gọi n là chỉ số topo, nghiệm trên thỏa mãn phương trình (12). Khi thế (13), (14) nó phân thành các lớp nghiệm. Từ phương trình (3) dễ dàng vào phương trình (11) ta sẽ nhận được hàm q ( r ) là mật độ thấy rằng: tích ngoài không-Abel SU(2). Nó có dạng (trường hợp hàm j0a = ea q ( r ) . (5) f ( r ) lấy dấu +): Như vậy ta có thể xem hàm q ( r ) như là mật độ tích 9b 2 6b 2 q (r ) = + ngoài không-Abel, chỉ phụ thuộc vào tọa độ r. 4r (1 − 3br ) (1 − br ) r (1 − 3br )1/2 (1 − br )2 3/2 Để tìm nghiệm của các phương trình trường chuẩn 2b 2 (1 − 3br ) b (1 − 3br ) 1/2 1/2 Yang-Mills, chúng tôi sử dụng ansatz đối xứng trục cho các − + thế gauge không-Abel SU(2). Nó có dạng [11]: r (1 − br ) r 2 (1 − br ) 3 2 f (r ) 3b (15) W0a = ea , (6) − 2r 2 (1 − 3br ) (1 − br ) gr 1/2  −k ( r ) + n   W =  3a  a gr e , (7) (1 − 3br )1/2  a 2 r 2  . + − 1  r 3 (1 − br )  (1 − br )2  Trong đó ea cho bởi phương trình (4), e là vectơ đơn vị   trên trục tọa độ  , số nguyên n là chỉ số topo của nghiệm, Với nghiệm (13), (14), các thế gauge không-Abel f ( r ) , k ( r ) là các hàm trường chỉ phụ thuộc vào r. SU(2) (6), (7) trở thành: Các cường độ trường gauge không-Abel được xác định 1 − 3r W0a = ea , (16) bởi các phương trình: gr (1 − br ) 1  −ar + n (1 − br )  Eia = F0ai , Bia = −  ijk F jka . (8) a W =  3a e . (17) 2 gr (1 − br ) Từ đây ta có: Khi tham số a = 0 (nghĩa là hàm trường k (r ) bằng  df  không) và chỉ số topo n = 1, biểu thức (17) trở thành:  f −r  dr  a  E = a e er + a 1 a gr 2 (9) W =  3 eˆ (18) gr fk  + sin ( n ) 1a − cos ( n )  2a  2 e , Đây là thế của một đơn cực từ điểm không-Abel SU(2),   gr 1  dk  có độ lớn bằng . g  dr   B = −    3a ez . a (10) Từ (13), (14), chúng tôi xác định được dạng tường minh gr của cường độ điện trường và cường độ từ trường của trường Khi thế các phương trình (2), (3), (6), (7) vào (1), chúng gauge không-Abel SU(2) (khi hàm f ( r ) lấy dấu +): tôi nhận được hệ hai phương trình vi phân phi tuyến liên kết: d2 f 1 df 1 − k 2 a E = ( 2 − 7br + 9b r ) 2 2  ea er − + 2 f = −rq, (11) 2 gr 2 (1 − 3br ) (1 − br )2 1/2 dr 2 r dr r 2 2 (19) d k 1 dk f k a (1 − 3br ) 1/2 − + 2 = 0. (12) dr r dr r + sin ( n ) 1a − cos ( n )  2a  ,   gr (1 − br ) 2 Chú ý rằng, chỉ số n không xuất hiện tường minh trong  hai phương trình (11) và (12) B =− a a  3a ez . (20) gr (1 − br ) 3. Nghiệm giải tích và các đại lượng vật lý đặc trưng cho trường Yang-Mills SU(2) với nguồn ngoài Mật độ năng lượng h ( r )của trường gauge không-Abel Cho đến nay người ta vẫn chưa tìm được phương pháp SU(2) tương tác với nguồn ngoài là hàm của r được cho tổng quát để giải các phương trình vi phân phi tuyến. Cách bởi phương trình: ( ) + ( B )  . thông thường là đưa ra một vài dự đoán về dạng của 1 a 2 a 2 nghiệm và thế nó vào các phương trình trường để xem nó h(r ) =  E (21) 2 có thỏa mãn các phương trình trường hay không. Một dạng nghiệm cổ điển chính xác mà chúng tôi tìm được là: Từ (9), (10) suy ra:
160 Nguyễn Văn Thuận  df  2  dk  2 tương đối tổng quát. Kết quả cho thấy rõ có sự liên thông  f − r  + f 2 k 2 + r 2    giữa lý thuyết trường chuẩn không-Abel và lý thuyết hấp  dr   dr   h(r ) =  . (22) dẫn. Đây cũng là một minh chứng về vai trò quan trọng của 2g 2r 4 lý thuyết trường chuẩn không-Abel trong việc xây dựng lý thuyết thống nhất các tương tác cơ bản trong tự nhiên. Khi thế (13), (14) (ứng với hàm f ( r ) lấy dấu (+)) vào (22), chúng tôi nhận được: Nói tóm lại, từ việc khảo sát các phương trình Yang-Mills SU(2) với nguồn ngoài tĩnh đối xứng trục, chúng tôi đã tìm 1  9b 2 r 2  được một dạng nghiệm cổ điển chính xác. Nghiệm của chúng h(r ) = 1 +  2 g 2 r 4 (1 − br )  4 (1 − 3br )  tôi có ý nghĩa trong việc giải thích cơ chế giam cầm các tích 2 gauge không-Abel. Từ nghiệm cổ điển này, chúng tôi cũng 3b 2 r − 2b xác định được các đại lượng vật lý đặc trưng cho trường chuẩn + (23) 2 g 2 r 3 (1 − br ) không-Abel SU(2) tương tác với nguồn ngoài: các thế gauge, 3 cường độ điện từ trường, mật độ tích ngoài, mật độ năng lượng b 2 − 3b3 r + 2a 2 − 3a 2br của trường gauge không-Abel SU(2). Trong trường hợp hàm + . 2 g 2 r 2 (1 − br ) 4 k (r ) = 0 và chỉ số topo n = 1, thế gauge không-Abel SU(2) có 1 Biết mật độ năng lượng, ta có thể tìm được năng lượng của dạng thế của một đơn cực từ điểm, có độ lớn bằng . g trường gauge không-Abel SU(2) tương tác với trường ngoài. 4. Thảo luận kết quả và kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Nghiệm giải tích (13), (14) mà chúng tôi tìm được là ổn [1] C. N. Yang, R. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic định, bởi vì: gauge invariance, Phys. Rev. 96, (1954), 191-195. Khi r → 0 thì k ( r ) → 0, f ( r ) → 1, [2] P. Ramon, Field theory: Amodern primer, Revised printing (24) (Addison-Wesley Publishing Company), (1995). a [3] R. K. Kaul, Gauge theory of gravity and supergravity, Phys. Rev. D Khi r →  thì k ( r ) → − , f ( r ) → 0. (25) 73, (2006), 065027-1-13. b [4] A. S. Cornell, G. C. Joshi, Non-Abelian monopole and dyon 1 solutions in a modified Einstein-Yang-Mills-Higgs system, Phys. Nghiệm của chúng tôi có kì dị tại r0 = . Nghiệm này Rev. D 67, (2003), 105015-1-11. b [5] B. Kleihaus, J. Kunz, Y. Shnir, Monopoles, antimonopoles, and có dạng tựa nghiệm Schwarzschild trong lý thuyết tương vortex rings, Phys. Rev. D 68, (2003), 101701-1-4. đối tổng quát. Các thế gauge không-Abel (16), (17) cũng [6] M. Nielsen, N. K. Nielsen, Explicit construction of constrained 1 có kì dị tại r0 = . Vì vậy, một hạt bất kỳ mang tích gauge instanton, Phys. Rev. D, Vol. 61, (2000), 105020-1-15. b [7] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha, Dynamical of global vortex string, SU(2) đi vào miền r  r0 thì không thể rời khỏi miền này. Jour. Math. Phys. 52, (2011), 102302-1-9 Điều này thì tương tự như đã xảy ra với nghiệm [8] Nguyen Van Thuan, Non-Abel classical solution of the Yang-Mills- Higgs theory, Journal of Science of HNUE, Vol. 57, No. 7, (2012), 3-11. Schwarzschild trong lý thuyết tương đối tổng quát, ở đó [9] C. H. Oh, R. R. Parwani, Bifurcation in the Yang-Mills field một hạt đi qua đường chân trời (horizon) thì sẽ bị giữ lại. equations with static sources, Phys. Rev. D 36, (1987), 2527-2531. Ngoài ra, các thế gauge không-Abel còn có kì dị tại r = 0, [10] P. Sikivi, N. Weiss, Classical Yang-Mills theory in the presence of cũng giống như nghiệm Schwarzschild và thế Coulomb của external sources, Phys. Rev. D, Vol. 18, No. 10, (1978), 3809-3821. một điện tích điểm trong hình thức luận điện từ cổ điển. [11] M. P. Filho, A. K. Kerman, H. D. Trottire, Topologically nontrivialsolutions to Yang-Mills equations with external sources, Từ lý thuyết chuẩn không-Abel, chúng tôi đã tìm được Phys. Rev. D 40, (1989), 4142-4150. nghiệm chính xác tựa nghiệm Schwarzschild trong lý thuyết (BBT nhận bài: 30/10/2014, phản biện xong: 09/03/2015)