Nghiên cứu các kỹ thuật điều khiển tự động (Tập 1): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:180

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Kỹ thuật điều khiển tự động (Tập 1)" cung cấp cho người đọc các nội dung: Mô hình toán học, biểu diễn hệ bằng phương trình vi phân trạng thái. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu các kỹ thuật điều khiển tự động (Tập 1): Phần 2

CHƯƠNG 6 MÔ HÌNH TOÁN HỌC Từ các hiện tượng trong tự nhiên, chúng ta phân tích và xây dựng mô hình cho các hiện tượng trẽn cơ sở Các phần tử cơ bản. Đ ể hiểu và điều khiển được chúng ta cần phải có m ô hình toán học. Phép biểu diễn m ối quam hệ giữa các biến cùa hệ ờ dạng phương trình được gọi là mô hình toán học. M uốn có m ô hình toán, cần phải phân tích m ô hình và biểu diễn m ối quan hệ giữa các biến trong m ô hình bằng cấc phương trình vi phân. Thực tế, phần lớn các phần tử có m ối quan hệ cơ bản là hàm phi tuyến, vì vậy hệ phương trình nhận được cũng là hệ phương trình vi phân phi tuyến. Để đơn giản cho quá trình phân tích, thiết kế, chúng ta đã xây dựng m ô hình mô tả hệ với m ột số giả thiết để các phẩn tử của hệ là phần tử lý tưởng, vì vậy hệ phương trình m ô tả là các phương trình vi phẫn tuyến tính. Bằng công cụ toán học như chuyển đổi Laplace, sơ đổ khói, graph dòng tín hiệu và các công cụ khác cho phép chúng ta giải phương trình tìm đáp ứng cùa hệ. 6.1 TÍN HIỆU V À O -R A Mỗi hệ thống luôn tồn tại hai nhóm biến. Nhóm biến thứ nhất bắt nguồn từ ngoài h ệ và nó độc lập với quá trình xảy ra trong hệ, nhóm biến này được gọi là biến vào. Nhóm biến th ứ hai được sinh ra bởi hệ và nó tồn tại cùng với hệ, nhóm biến này được gọi là b iến ra . Hai nhóm biến trên đều không thể hiện trạng thái của chính hệ. Bởi vậy, sự biến đổi trạng thái hệ được biểu diễn bởi biến, biến đó gọi là biến trạ n g th ái. Biến trạng thái dùng m ô tả tổng hợp trạng thái cùa hệ ở thời điểm cố định nào đó. HINH 6-1 Sa đò khói biểu diên Lệ rnôt tía hiệu vào-xa M ột hệ có thê có m ột hoặc nhiều biến vào và m ột hoặc nhiều biến ra. Hệ chỉ có một biến vào và m ột biến ra được chỉ rõ ở sơ đồ khối hình 6-1. M ối quan hệ giữa biến vào X và biến ra y của hệ m ột biến vào-ra được biểu diễn bời phương trình vi phân bậc n : , dx d " 'x dy d"y dl dt dl dt 14S
Trong các hệ kỹ thuật thường tồn tại tính trễ vốn có của nó bời vậy, bậc cùa tín hiệu vào nhỏ hơn tín hiệu ra m < n . N ếu hệ m à thời gian 1 không phải là đối sí tường m inh của hàm / hệ đó được gọi là h ệ tự đ iề u k h iể n và biểu diễn bởi phương trình vi phân: , , dx d mx dy d "yL) - 0 '= " (6.2) f d t ’ " ' d t m ' y ' d t ’ ’ dt" Đ ối với hệ tuyến tính ổn định, hàm / là tổng các thành phần tuyến tính đối vối đối sò' của nó và phương trình biến vào-ra được viết: d"y d nAy dy dt dt dt (6.3) d mx u d"'~'x , dx b„ — + b,„ - 1 + - * 1— + V dtm " d r' ■ dt T rong đó a 0, a ,, :..a„ và bữ,b I, là hệ số. Phương trình (6.1), (6.2) và (6.3) là phương trình tổng quát của hệ có m ột biến vào và m ột biến ra.. V >y 1 *2 - Hệ độag lực ■ /2 HINH 6-2 Sơ dổ tbối bieu diẻa bệ abiểu bica vòo-ra Đ ối với hệ tuyến tính có k biến vào và p biến ra như chỉ ra trên sơ đổ khối hình 6- 2 , được m ô tả bởi p phương trình biến độc lập vào-ra: ............ , x [ m\ . . . x k , x k , t ) = 0 f , S y { \ - ỳ ì , y 1, x \ m\ . . . x i , x ị ,x[m\ . . . x 1, x 1 ỉ x[m\ . . . x k , x k , t ) = 0 (6.4) f p ( y i n),...ỷl, , y ll, x ị m\ . . . x t , x ì , x ị m\..Jcỉ , x 2, .......... x[m\ . . . x k , x k , t ) = 0 p trong đó m < n . Nếu hệ là tuyến tính, hàm f ị , f 2 ■■■fr là tổ hợp tuyến tính của tín hiệu vào-ra và các đạo hàm cùa nó, phương trình cùa hệ đa tín hiệu vào-ra viết dưới dạng rút gọn là: .(»0 Ì X y í° = Ế Ỉ>1 jk*T i=0 7=1 h=0 n k m /= 0 7=1 h=0 (6.5) Ế a r ,y p >=Ế í l brji.x T 1=0 1 = 1 h =0 146
Chú ý rằng ứ và Ế là hệ số, hệ số này cũng có thể bằng không và cũng có thể bằng nhau a u = a 2l = •■■= a p l, với i = 1 ,2 ,3 ..,« . Đ ể sáng tò, chúng ta xét hệ cơ học gồm trục có khối lượng m đặt trên ổ trượt được bói trơn dầy đủ (ổ trượt sinh ra lực cản tỷ lệ với tốc độ chuyển động của trục) và lực f ( t ) tác dụng làm trục chuyển động tịnh tiến theo phương X , kết cấu hệ chỉ rõ trên hình 6-3. Thâu ổ / Bạc trưạt --------------, / True HINH 6-3 Két cíu bê ca hoe Từ kết cấu cơ hệ, chúng ta nhận thấy trục có khối lượng nên thay nó bằng phần tử khối lượng tịnh tiến m , ổ trượt được bôi trơn đầy đù nên thay bằng phần tử giảm chấn tịnh tiến với hệ số giảm chấn B , cuối cùng chúng ta nhận được biểu diễn hệ bằng phần tử lý tưởng như hình 6-4. Bảy giờ, lựa chọn biến vào-ra cho hệ. Khi đặt lực vào khối lượng, hệ xảy ra chuyển động dọc theo phương tác dụng lực, lực là thành phần ngoài hệ. Bời vậy, dẻ dàng nhận thấy lực là biến vào. K ết quả lực làm trục chuyên động với vận tốc V hoặc gia tốc a là tín hiệu ra (tín hiệu ra là tham số mà người phân tích hệ cần quan tâm ). N ếu chọn tín hiệu ra là vận tốc V , piiương (rình cân bẳng lực được viết là: _ dv m — +Bv ( 6 .6 ) dt hoặc viết dưới dạng ẩn: dv m —-+ B v -F -- 0 dt So sánh phương trình chuyển động ( 6 .6) với phương trình (6.3) ta nhận thấy hai phương trình có dạng giống nhau có nghĩa là mô hình khảo sát là hệ tuyến tính ổn định. V m B m K e HINH 6-4 Biổu diẽa hệ bàng phả ũ từ iý tưởag 147
Bây giờ, chúng ta xét trường hợp kết cấu đẩu đọc trục m ềm củ a m áy tính nhtt chỉ ra trèn hình 6-5. Đ ầu tiên, chúng ta phân tích kết cấu đầu đọc để biểu diễn hình hệ. Đáu đọc quay nhờ động cơ m ột chiều, đây là phần tử biến đổi năng lượng từ điện nàng sang cơ nãng. G iả thiết ràng kết quà cùa quá trình biến đổi từ năng lượng diện thành mô m en trên trục động cơ M j đã cho, ngoài ra hệ còn chịu tác động cù a m ô m en nhiẻu M c từ ngoài vào. HINH 6-6 Biéu diêu diêu đàu đọc bằng các phán tử lý tưởng Roto động cơ có chuyển động quay bời vậy, thay th ế bằng phần tử quán tính quay với m õ m en quán tính J ị , giá m ang đầu đọc có chuyển động quay nên cũng được thay bằng phần tử quán tính quay vói m ô m en quán tính J 2 . Nối trục giữa giá đầu đọc và động cơ làm bằng vật liệu có khả nãng đàn hổi nên được thay bằng phán tử lò xo quay có hệ sô' cứng K . T rục động cơ và trục m ang đầu đọc được đạt trên hai ổ và ổ được bôi trơn đẩy dù nên thay th ế bằng phần tử giảm chấn quay với hệ số giảm chấn là Dq . Từ phân tích trẽn ta có biểu diễn bằng các phần từ lý tướng chỉ ra trẽn hình 6- 6 . M ô m en và M c là các yếu tố ngoài hệ tác dộng vào hệ nên đó 148
là các biến vào cùa hệ. Biến ra cùa hệ tuỳ theo m ục đích phân tích hệ. Trong trường hợp này chúng ta quan tâm tá i vận tốc góc cùa đầu đ ọ c è . Đ ể viết phương trình biểu diễn quan hệ biến vào-ra, ta vẽ sơ đồ tách rôto dộng cơ với m ô m en quán tính J, như chỉ ra trên hình 6-7 và sơ dồ tách đầu đọc J 2 chi ra trên hình 6-7. Phương trình cân bằng mô men của đẩu dọc được viết như sau: y ^ + ã íỏ i- è ^ + A T ^ - e ,) =Md +M' (6.7) j ' é 2+ B (é 2- é t) + K ( 6 2 - 0 ,) =0 5 (ẽ2 - A ) 5 ( è 2 - Ò l) HÍNH 6-7 Sa đò tách tiệ cùa đẩu đọc Xét hệ điện với sơ đồ m ạch R, L, c chỉ ra trên hình 6- 8. Biến vào trong trường hợp này là nguồn V ,, và giả thiết rằng cần khảo sát điện áp rơi trên tụ vc , đây là biến ra. Để thuận lợi trong quá trình phân tích, ta đặt: v s = V lg ( 6 .8 ) trong đó vls là điện áp giữa điểm ( 1 ) và nút ( g ). 0) ! rW V W V HINH 6-8 So dòmạcli điện 149
Xác định dòng qua R ị : '* , = T '( V * - V2fr) . trong đó v2g là điện áp giữa điểm ( 2 ) và điểm ( g ) Đ iện áp rơi trên cuộn cảm: V2 g ~ VỈK = L ị J V^ = L = L D ‘l. =i (6-10) trong đó v3e là diện áp giữa điểm (3) và điểm ( g ). Đ iện áp rơi điện trở R 2 Vì f - R ĩh. (611) Dòng qua tụ C: ic = C ^ - = C D v2g (6.12) Tại nút (2) ta có: '■*, = '/. + ‘c
động quay cùa cơ cấu chấp hành theo biến góc e bằng cách điều khiển dịch chuyển cần pit tông van điều khiển m ột lượng X . HINH 6-9 Xi lanh thúy lực và van trurạt điêu khiên Hoạt động của hệ được m ô tả như sau: khi con trượt van trượt điều khiển ở vị trí cân bằng X = 0 , lú c n à y c ả h a i c ử a v an đ ề ú ở trạ n g th á i đ ó n g , k ế t q u ả là xi lanh không chuyển động. K hi con trượt van điều khiển chuyển động sang phải X > 0 như chi ra trên hình 6-9. D ầu cao áp p 2qua khoang giữa cùa van điều khiển và vào buồng phải của xi lanh, làm pit tông chuyển động sang trái, dầu buồng trái qua buồng trái van điéu khiến về bể. Ngược lại khi X < 0 , hai cửa van điều khiển đều mở, dầu cao áp p 2 từ buồng giữa của van điều khiển vào buồng trái của xi lanh làm pit tòng chuyển động sang phải, dầu từ buồng phải xi lanh qua buồng phải van điều khiển về bể. Ở đây dẻ dàng thấy rằng tín hiệu vào là dịch chuyển con trượt van điều khiển X và ta c h ọ n b iế n ra là g ó c q u a y 0 c ù a c ơ c ấ u c h ấp hàn h . Giả thiết rằng vận tốc thể tích dòng dầu Q chảy qua m ép van tỷ lệ với dịch chuyền X , quan hệ trên được xác định theo công thức: Ỡ = - ^ ( P 2 - P 3) ' ' 2 * ( 6 -20 ) pRt Q, là vận tốc thể tích dòng dầu qua cửa van vào buồng phải xi lanh. Tương tự , vận tốc thế tích dòng dầu Q, thoát khỏi buồng trái xi lanh về bể là: Q i~ { p * -p ù m x ( 6 .2 1 ) pR 2 trong đó Rị , R 2 là sức cản thủy lực tại m ép của các van điều khiển. Bời vì, chất lòng có tính chất liên tục nên ta có: Aỳ = Q =Q2 (6.22) 151
trong đó A là diện tích làm việc của pit tỏng. Phương trình biểu diễn cân bằng l ạ trên pit tông là: :rj A P }-P t)~ F = m ỹ (6.23) ở đây m là khối lượng của pit tông và cẩn pit tông. F là lực càn cùa cơ cấu chấp hành tác động lên cần pit tông thông qua cơ cấu thanh truyền như chỉ ra ư ẽn hình 6-9. X ác định cân bằng lực trên cơ cấu chấp hành: J ế - F t COS 0 + ^ =0 (6.24) ờ đây J là m ô m en quán tính của cơ cấu thanh truyền, Fa là lực cản đặt lén cơ cíu chấp hành. M ối quan hệ động học giữa dịch chuyển củ a pit tông và góc quay cùa cơ cấu truyền được biểu diễn bời phương trình: y =ts'\ĩ\Q (6.25) Thông thường người ta thiết k ế van điều khiển sao cho trở thủy lực tại các mép van Rị, R2 là bằng nhau có nghĩa là R ị = R 2 = R . T ừ phương trình (6.20) đến (6.24) ta nhận được quan hệ: P i-P i= P t~ P \ (6.26) M ối quan hệ (6.26) là tổng hợp các phương trình vi phân phi tuyến chuyển động của cần pit tông. Giải phương trình vi phân trẽn để tìm đáp ứng của hệ rít phức tạp và khó khăn. Bởi vậy, cần tuyến tính hóa và đơn giảm hóa bằng cách xét hệ trong trường hợp khi ỷ = a (không đổi), 'ỳ= 0 và không có ngoại lực F = 0 , từ phương trình ( 6.22 ) đến phương trình (6.26), ta có: P 3 = P 4 = £ ? y £L (6.27) N ếu coi 0 là rất nhỏ có nghĩa là sin0 = 9 , phương trình (6.25) có dạng y = i 8 . Đ ạo hàm y theo 0 , ta nhận được: ỳ = (è (6.28) T hay (6.27) vào phương trình (6.22): A ( é =Q2 (6.29) T hay (6.21) vào (6.29) nhận được: p R Biến đổi và xác định 0 theo X : 9 =Ấ p ~ P ' x (6 30) ■ T Ỉ A R t. N ếu ý = c o n s t và F * 0 từ phương trình (6.22) và (6.26) xác định: p 7 + p, + F I A ■ ' -------- 2 (6.31) và: 152
Ồ JEẸẸẸ]1X (63) .2 ■ ỈĨA pR Í Kết quả cho ta tích phân đơn giản giữa biến vào X , biến ra 9 và hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào tài trọng F . D ùng lệnh in t của M aTL A B , tính tích phân cho phương trình (6:32), ta nhận được góc xoay 6 . Trong chương trình ta ký hiệu 9 bằng chữ teta, vâ p bằng chữ ro , chương trình tính tích phân viết cho M aT L A B là: % Tích phan xac dinh Teta cua phuong trinh (6.32) syms téta p2 p1 F A ro L R X) y=int(sqrt(p2-p1-(FÍA))/(sqrt(2)*A*ro*R*L*teta)) teta = 1/2*(p2-p1-F/A)»(1/2)*2*(1/2)/A/R/L*log(ro) 6.2 PH Ư Ơ N G P H Á P BIẾN Đ ổ l L A P L A C E Chúng ta đã biết rằng phương trình vi phân có thể giải theo nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp giải cổ điển, kỹ thuật hình số tám -véc tơ, số tám kết hợp với công thức biến trạng thái, phương pháp biến đổi L aplace và các phương pháp khác. Trong mục này chúng ta nhắc lại phương pháp biến đổi Laplace. 6.2.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN Đ ổ l LAPLACE Phương pháp biến đổi L aplace sử dụng để giải phương trình vi phân biểu diễn hệ trong lý thuyết điểu khiển cổ điển. Phương pháp chỉ sử dụng để giải các phương trình vi phân tuyến tính hay nói khác đi nó chỉ có thể sử dụng để phân tích các hệ tuyến tính biến đổi theo thời gian. Phương phấp dùng khá thuận lợi khi phân tích và thiết kế hệ điều khiển tuyến tính. Thực chất cùa phương pháp biến đổi L aplace là biến phương trìn h vi p h â n tu y ế n tín h (h ệ s ố k h ô n g đ ổ i) b iế n th ờ i g ia n th à n h phươ ng trình đại số với biến s . Đ iều kiện để phương trình vi phân tuyến tính f i t ) có khả năng biến đổi L aplace là phương trình phải hội tụ có nghĩa là: £ ữ ự ) ) ẽ * * d t < co (6.33) Với số thực 6,dương, nếu độ lớn của I / ( í ) I < M ea' với tất cả 0 < / < 00 tích phân sẽ hội tụ khi s, >a , vùng hội tụ nàm trong khoảng x > 8, > a , và a được hiểu là tọa độ của m iền hội tụ tuyệt đối và s = 8, + ja> là biến toàn phần của hàm Laplace. Biến đổi L aplace cùa hàm theo thời gian f ( t ) được định nghĩa như sau: F ( s ) = L {/(f)} = £ f{Ị)e-"d t (6.34) trong đó L là ký hiệu biến đổi L aplace, £{/(/)} có nghĩa là biến đổi L aplace hàm f ( t ) . V ế phải của phương trình (6.34) là tích phàn giới hạn theo biến thời gian t với miền giới hạn từ 0” đến 00. Thực ra kết quả của tích phân này chính là hàm F ( s ) . Đê thuận lợi cho quá trình biến đổi Laplace, biến J có thể ký hiệu là toán tử vi phân: 153
và toán tử tích phân: (6.3® 6.2.2 BIẾN Đ ổ l HÀM BIÊN THỜI GIAN SANG HÀM BIẾN s Bây giờ, chúng ta biến đổi m ột số hàm thường xuyên dùng để kiểm tra đặc tính điều khiển của hệ theo thời gian sang hàm L aplace đó là hàm bước, hàm xung, hàm mũ suy giảm và hàm sin. 6.2.2.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE HÀM BƯỚC, HÀM XUNG VÀ HÀM MŨ SUY GIẢM H à m bước, hình 6-10 biểu diễn hàm bước (step function), hàm có đặc điểm là với giá trị í < 0 giá trị của hàm bằng không và với / > 0 giá ư ị cù a hàm bằng h. H àm bước dùng để đánh giá sự thay đổi của tín hiệu vào và được ký hiệu hu(t). N ếu h = 1 người ta gọi hàm bước là h à m bước đơ n vị và ký hiệu u ( t ) . Chúng ta biến đổi Laplace hàm bước theo định nghĩa là: F ( s ) = L { h u ( t ) } = ựữ h e - « d t _ he~" _ h ( - e ~ s (
hàm xung với diên tích xung k . Thay h = — vào phương ữ ình (6.38), lấy giới hạn *0 khi l0 tiến tới không, và biến đổi L aplace ta được kết quả: F (í) = z { /tỗ ( r ) } = lim - ( 1 -« -< •’ ) (6.39) í0->0 HIMH6-11 Hàmxumg Sừ dụng nguyên tắc Lopital để đánh giá giới hạn hàm , nhận được: d \k( l - ẹ - r° ') | d tn kse '°* F ( s ) = lim - = lim — — (6.40) Iq - * 0 dtọS 'o->0 s dtr, UI 0 Từ phương trình (6.40) cho thấy khi biến đổi hàm xung sang hàm Laplace, hàm Laplace bằng diện tích của xung. H àm xung có diện tích là đơn vị được gọi là h àm xung đơn vị và được ký hiệu 8( 0 . H à m m ũ su y g iả m f ( t ) =e~a' chỉ rõ trẽn hình 6-12. Bày giờ, chúng ta dùng định nghĩa biến đổi L aplace để biến đổi sang hàm L aplace và kết quả là: 1 F ( í ) = L ( e - “' ) = j " e - (“+' ),rfí = R e [j] > - a (6.41) m \ m = e - ũ t HINH 6-12 Hàm m ũ suy giảm f ( í ) = e ~ 155
Bảng 6 -1 chì ra hàm / (í) và hàm F ( s ) tương ứng cù a các cặp hàm biến dổi Laplace quan trọng. Bảng 6-1 m F(s) 1. 8(0 1 1 • 2. u(t) s 3. t 7 1 4. e~°' s+a n\ 5. t" s"*' n\ 6. (» + « )" ' to 7. sinco 1 s 2 + ũ)2 s 8. COS C t ở J 2 +C02 co 9. e~a' sin co t ( j + a ) 2 +cú2 ( i + ứ) 10 e~“' COSÍO 1 ( j + a ) 2 +Cù2 H àm sin chỉ ra trên hình 6-13 được biểu diễn bời phương trình / ( / ) = sin ( 0/. Á p dụng định nghĩa biến đổi L aplace để biến đổi hàm sin co? sang hàm Laplace; F ( s ) = £ ( s in c o /) = e~s' sin cof dt (6.42) Sử dụng phương trình ơ le ta có: ejữ = COS0 + ý s in 9 (6.43a) e "16 = C O S 0- 7 'sin 0 (6.43b) Cộng phương trình ơ le (6.43a) với ( 6 .4 3 b ) , kết quả nhận được: e fi + e Jữ COS0 = — Y — (6.44) T rừ phương trình ơ le (6.43a) cho (6.43b), ta dược: 156
sin 9 = - (6.45) 2j Thay phương trình (6.45) vào phương trình (6.42) và tích phân hàm , kết quả biến đổi Laplace hàm sin co/ là: pJm' — r h e ' s' dt (6.46) 1 1 s - j lũ s + j 10 HIHH 6-13 Hàm sin Để có thể sử dụng tốt phương pháp biến đổi L aplace cần phải nắm vững các định lý quan trọng cùa biến đổi Laplace. Dưới đây là định lý biến đổi Laplace. 6.2.2.2 ĐỊNH LÝ BIẾN Đ ổ l LAPLACE Định lý trượt thời gian Hàm / ( r ) chỉ ra trên hình 6-14, bắt đầu từ thời điểm t= 10 . Đây là hàm trượt so với thời gian 1 = 0 , K hi T = 0 trùng với t = t 0 nên X = t - t ữ, thay I vào phương trình / ( T) ta có / ( x ) = / ( / - í 0). Sử dụng định nghĩa biến đổi L aplace (6.34), biến đổi hàm / ( t ) sang hàm Laplace: £{/(*■)} = f f(T~ld )est= J T /( r ) e " 'c * (6.47) Vì hàm / ( t ) = / (í - í 0) là bầng không khi / < I0 , để thực hiện biến đổi tiếp theo cần thay I bằng T và dt bằng ch , ta nhận được: i { / ( T ) } = f 0/ ( T ) < r '('° + ,)
J f / ( T ) e - * Irft = ' f / ( O e - ' ,A = F (s) (6.49# Trong đó F ( s ) là hàm biến đổi L aplace của hàm không trượt. Từ(6.48), (6.49a) và (6.47), ta nhận được: £ { / « } = L { f ( t - t 0} = e - ' ° ' F ( s ) (6.49b) T ừ biểu thức (6.49b) cho nhận xét, nếu hàm không trượt theo thời gian có biến đổi L aplace F ( s ) th ì hàm đó trượt sau thời gian l0 , hàm trượt khi biến đổi sang Laplace có kết quả bằng tích của hàm biến đổi L aplace không trượt với e~‘° ' . t = 0 x= 0 t=k HIMH 8-14 Hàm trê tbời gian Đ ịnh lý đạo hàm Biến đổi hàm vi phân tuyến tính theo thời gian sang hàm L aplace theo dịnh nghĩa người ta thường dùng tích phân từng phần. Công thức tính tích phân từng phần là: ịudv = uv - ịvdu (6.50) đặt u = f ( t ) và v = -------- , sau đó du = ( d / d t ) [ f ( t ) ] d l và d v =e~“d t . Lấy giới s hạn từ không đến vô cùng, ta nhận được: ■ cung, o nnạn aược: £ m e " ‘đ t = - f i t ) — + x i ± m e - " dt - (6.51) ■° 5 s dt V ế phải của phương trình (6.51) chính là F(s) nên: F (s). # (0 1 dt i 5 ■ dt (6.52) d f(t) dt ở đây / ( 0 ) là giá trị ban đầu cùa hàm / ( / ) . G iải phương trình (6.52) cho ta biến đổi hàm vi phân sang Laplace: =sF(s) - m (6.53) đt 158
sử dụng phương pháp phân tích trên để chuyển đổi các hàm vi phân bậc cao, chúng ta nhận được: V ^ = ^ ) - , / ( 0) d m dr dt d lm = s 3F ( s ) - í 2/(0 ) - í _ dl Ạ ° ì (6.54) dt3 dt dt2 d " m ......... dt" dt dt J ; . /m d f ( 0) d " - ' f ( 0 ) „ . . . . . _. _ ưong dó / ( 0), — , -------^— ị— là diéu kiên ban đấu tương ứng với các phương dt dt" trình cần biến đổi L aplace thực tế. Định lý trượt tần số Biến đổi hàm e~“' f ( t ) sang hàm Laplace, nhận được: L { e - a , m ) = F ( s + à) (6.55) Kiêm tra lại định lý bằng cách thay i bằng s + a vào công thức chung của biến đổi F (j) đó là: F ( i + a ) = f f ( t ) e - ^ ° )‘d t = % [ e a' f ( t ) ] e - ’' d t (6.56) Như vậy,F ( s + a ) là hàm biến đổi của thành phần trong ngoặc e a' f ( t ) và đây cũng là điều cần kiểm tra. vi DỤ 6-1 Biến đổi hàm ea' r sang hàm Laplace. GIẢI Từ bàng 6-1 cho ta biến đổi Laplace hàm t" là: EV N _ n! =-£r s Dựa vào định lý trượt tần số để biến đổi hàm eal f ( t ) bằng cách thay biến s ỵị\ v trong hàm Laplace F ( s ) = ——- của hàm t" bằng biến s - a , ta nhận được: n\ Ỷ ' t n)= - (s ~ á ) Trường hợp cụ thế với X = e 5't 2 . Áp dụng kết quả biến đổi L aplace cùa ví dụ 6- 1, nhận được: 159
* 0 ) = — ^ -3 - ( í - 5 )3 Kiểm tra kết quả th í dụ 6-1 nhờ lệnh L a p la c e trong M A TLA B, %Kiem tra bien doi Laplace vi du 6-1 sy m s X t y x-exp(5‘ t)*tA2 y=laplace(x) y = 2/(s-5)A3 K ết quả phù hợp với định lý trượt tẩn số. VÍ DỤ 6-2 Biến đổi L aplace hàn / ( / ) = e “' sin co í . GIẢI Từ bảng 6-1 ta có cặp biến đổi L apce cù a hàm /(< )= s in c o / là F(s) m . ứ n g dụng định lý trượt tần số để biến đ ổi L aplace hàm ỉ +C0 / ( í ) = e a' sin ( 0/ bằng cách thay 5 trong hàm L aplace F { s ) = ■, m - của hàm 5+0) / (í) = sin (ùt bằng biến s - a , k ết quả biến đổi như sau: L (e a' sin co/) = -------- ^ ------ T- (s - a ) +C0 Đ ịnh lý biến dổi tỳ lệ K ết quả biến đổi L aplace hàm / (at) là: z [/•(
e" . y = - —- , d o đó d u = f (í) và dv = e~ “d t . Áp dụng công thức tích phân từng phần, nhận được: f {\m d t}e-"d t = ị m d t \ ; + - f fự )e-*dt (6.60) V ế phải c hàm tích phân f ( t ) ■Gii •ng nên ta có: hoặc: ở đây ký hiệu của tích phân. ờ đây: Trường h' ng khoảng [0./]: (6.63) Từ phươn, bằng cách lấy Định lý nhân hệ số Một trong tính chất quan trọng cùa biến đổi L aplace là tính chất tuyến tính (tỷ lệ) cùa nó. Nếu k là hệ sô' hoặc là biến nhưng biến này độc lập với (v à s , ta có quan hệ sau: L { k f ( l ) } = k /.{ /(/)} = k F ( s ) (6.64) Định lý tổng và hiệu 161
NẾU biến đổi Laplace của hàm / , ( í ) là F |( í) v à / 2(0 l à F2( s ) , biẾn đổi L aplace tổng hoặc hiệu của hai hàm bằng tổng hoặc hiệu hàm L aplace củ a hai him tương ứng: L { m ± / 2« } = ^ ) + F 2( s ) (6 .6 5 ) Định lý giá trị cuối cùng Đ ịnh lý này cho khả nãng nhận được giá trị của hàm / ( 0 ờ I =00 ưực tiếp từ hàm L aplace F ( s ) . G iá trị cuối cùng cho ta thông tin tương tự thông tin phân tích trạng thái ổn định. Đ ịnh lý được thực hiện như sau: Đ ầu tiên viết phương trình biến đổi đạo hàm ở dạng: f ị - m e - " dt = s F ( s ) - / ( 0 ) (6.66) ■ at ° Sau đó, cho giá trị i xấp xỉ bằng không, do đó e~“ * 1 , bời vậy: r ± f ự ) d t = lim íF (í)-/(0 ) (6.67) . "V at 0 V ế trái của phương ư ìn h (6.67) có thể viết dưới dạng: r ị - m d t = f ( t f = lim / ( 0 - / ( 0) ( 6.68) ■» dt 10 I-W T ừ v ế phải cùa phương trình (6.67) và v ế phải của phương trình ( 6 .68), ta có: l i m i F ( j ) = lim / ( f ) (6.69) s->0 /->00 Phương trìnn (6.69) là biểu diễn toán học của định lý giới hạn cuối cùng, vi DỤ 6-3 Tim giá trị cuối cùng của hệ phù hợp với phương trình Laplace: F(s) = — ----- s(s + 2 í + 15) GIẢI Á p dụng định lý giá trị cuối cùng, ta có: / ( • ) = s y ( s ị _ _ 0 = - ; - ỵ * + 5\ _ =M = 1 í ( i + 2 í + 15) 15 Đ ịnh lý giá trị ban đầu Với định lý giá trị ban đầu, cho phép xác định giá trị của hàm f ( t ) à th ờ i điểm t = 0 từ hàm L aplace F ( s ) . Chú ý rằng không có giá trị ban đầu / ( 0 ) m à chỉ ở xấp xỉ 1 = 0 . Bày giờ, chúng ta tìm biểu diẻn toán học cho định lý. Đ ạo hàm f ( t ) và lấy r « 0 nên e~" « 1, biến đổi L aplace đạo hàm của hàm / ( í ) , ta có: 1 = + & d i ^ l)e ' dl =SF(S) ~ f{ ữ ) (6 -7°) 162
yi s xấp xỉ vô hạn hay s - » 00 nên e~* « 0 , số hạng tích phân thứ hai trong phương trình (6.70) là bằng không. Bây giờ, ta tích phân số hạng thứ nhất: / ( 0 +) - / ( 0 ) = \ i r n s F ( s ) - m hoặc: / ( 0 +) = l i m i F ( i ) (6.71) Phương trình (6.71) là phương trình toán học của định lý giá trị ban đầu. VÍ DỤ 6-4 Tìm giá trị ban đầu của hàm / ( / ) = h + / ( 0 ) chỉ rõ trên hình 6-15. GIẢI Sử dụng định lý giá trị ban đầu (6.71) ta có: = h + m Như vậy, bước thay đổi chiều cao h xảy ra tại 1=0. A t)‘ m = h + A 0) 4- Ẩ 0 )-| HINH8-15 ĐÒ thị hàm b ird c /(í) = h + Nhãn thời gian t Cho / ( / ) tìm biến đổi L aplace hàm / / ( /) (6.72) ds Kiểm tra lại định lý này: V ế phải của biến đổi Laplace, thành phần trong ngoặc t f ( t ) chính là hàm cẩn biến đối L aplace đó là điều cẩn chứng m inh. Nếu hàm / ( í ) = u ( t ) , ta đã biết biến đổi Laplace c ủ a « (í) là F ( í ) = 1 / í = í " 1bởi vậy, biến đổi L aplace cùa hàm lu(t) là d J_ L { ,u « )} = L { t} = -? -s -'= 2 \ (6.73a) ds H àm f ( t ) = t c ó biến dổi L aplace \ / s 2 được gọi là hàm dốc đơn vị. Dạng chung cho trường hợp này là: 163
v í DỤ 6-5 Tim biến đổi L aplace cùa hàm / ( / ) Bảng 6-2 là cái Bảng 6-2 H àm thời 1. L{m ) 2. L ịkf(tjị 3. ! { /,( /) ± 4. L 5. i Ị ỹ / ( 0 : 6 4^^ 7- 8. Z,{/(-">(o} 9. * |{ / ( r ) * | 10. i { / ( a í ) } 11. F (í-a)