zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nghiên cứu khử phân kỳ hồng ngoại cho bài toán tán xạ ở trường điện từ ngoài

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết tập trung nghiên cứu việc áp dụng các phương pháp điều chỉnh của phân kỳ tử ngoại cho phân kỳ hồng ngoại và thảo luận mối liên hệ giữa hai phương pháp trên. Tính toán biên độ tán xạ và bổ chính của nó cho bài toán tán xạ electron ở trường ngoài.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu khử phân kỳ hồng ngoại cho bài toán tán xạ ở trường điện từ ngoài

Equipment with new general education program, Volume 1, Issue 302 (December 2023) ISSN 1859 - 0810 Nghiên cứu khử phân kỳ hồng ngoại cho bài toán tán xạ ở trường điện từ ngoài Đỗ Thu Hà* *ThS, Trường Đại học Tài Nguyên và Môi Trường Hà Nội Received: 02/10/2023; Accepted: 12/10/2023; Published: 20/10/2023 Abstract: In field theory, there exist two types of divergence: The first is ultraviolet divergence that occurs in the momentum region of large virtual particles in the inner line of the Feynman diagram. The second is infrared divergence that occurs in the momentum region of small real and virtual particles. To eliminate ultraviolet divergence, there are 3 methods: Pauli-Vallars method, dimension adjustment method, large momentum cutting method. To eliminate infrared divergence, the lmin method is used. In this article, we study the application of correction methods of ultraviolet divergence to infrared divergence and discuss the relationship between the two above methods. Calculate the scattering amplitude and its correction for the problem of electron scattering in the external field. Keywords: De-divergence; Electron scattering; Field theory. 1. Đặt fvấn| đề < f |1| i > +iT < f | L ( x)d 4 x | i > + ( i ) T < f | L ( x) L ( y )d 4 xd 4 y | i > +... (3) 2 < | S i >= ∫ int Trong lý thuyết trường tồn tại hai loại phân kỳ: 2! ∫ int int Thứ nhất là phân kỳ tử ngoại xảy ra ở vùng xung Xét quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường lượng của các hạt ảo lớn thuộc đường trong của giản điện từ ngoài trong gần đúng bậc 1. = exp ( ∫ Lint ( x ) d 4 x ) ; Lint ( x ) đồ Feynman. Thứ hai là phân kỳ hồng ngoại xảy ra S T= ieN (ψγ µψ Aµ t ) ; ex ở vùng xung lượng của các hạt thực và hạt ảo nhỏ. = 1; S1 T ( ∫ Lint ( x ) d= T ( ie ∫ N (ψγ µψ ) Aµ ( x ) d 4 x ) ; S0 = 4 x) ext Để khử phân kỳ tử ngoại có 3 phương pháp: Phương pháp Pauli-Vallars, phương pháp điều chỉnh thứ (4) nguyên, phương pháp cắt xung lượng lớn. Để khử Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ phân kỳ hồng ngoại người ta sử dụng phương pháp Feynman [2 - 4] theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. λmin. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu việc áp Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) dụng các phương pháp điều chỉnh của phân kỳ tử theo điện tích e và các giản đồ Feynman tiếp theo mô ngoại cho phân kỳ hồng ngoại và thảo luận mối liên tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này. hệ giữa hai phương pháp trên. Tính toán biên độ tán xạ và bổ chính của nó cho bài toán tán xạ electron ở trường ngoài. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. S – ma trận và giản đồ Feynman cho bài toán tán xạ electron ở trường ngoài Biên độ sác xuất của các quá trình tán xạ được Hình 2.1: Giản đồ Feynman diễn tả quá trình tán xạ xác định bằng các yếu tố của S- ma trận. ( i ) T L ( x) L ( y )d 4 xd 4 y + ..., electron trong trường điện từ ngoài. của 2 S =S ( 0) + S (1) + ... = + iT ∫ Lint ( x)d 4 x + 2! ∫ 1 int int Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ (1a) theo quy tắc ( i ) T L ( x) L ( y )d 4 xd 4 y + ..., (1) 2 ∫ int int Feynman có thể viết như sau: 4 Lint ( x)d x + 2! 1/2 −e  m '  u r ' ( p ') γ µ u r ( p ) Aµ t ( p ' r ' | S1 | pr = p '− p ) ex 2 Yếu tố ma trận của các quá trình vật lý có thể biểu pp   0  0 diễn dưới dạng: (5) < f | S | i= δ fi + i ( 2π ) δ 4 ( Pf − Pi ) M f i , (2) 4 > Chú ý có thể viết yếu tố ma trận (5) dưới dạng: Thay (1) vào (2) ta có: p ' r ' S1 = δ ( p '0 − p0 ) R fi pr (6) (i ) T < 2 < f | S | i >= f |1| i > +iT < f | ∫ Lint ( x)d 4 x | i > + < f | ∫ Lint ( x) Lint ( yRfi 4được |gọi là biên độ tán xạ của electron trong đó )d xd 4 y i > +... 2! 190 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn
Equipment with new general education program, Volume 1, Issue 302 (December 2023) ISSN 1859 - 0810 trong trường điện từ ngoài tĩnh:  1  1 n −3  +2imσ µ v q v Γ 3 −2 1/2C 2  2 y − 2 xy − 2 xy 2 + ( 4 − n ) xy 2   ≡ A ( q 2 ) γ µ + iB ( q 2 ) mσ µ v q v (11)  m n  r'  R fi =  −2π a.  2  u ( p ')γ u r ( p ) Aext ( p '− p ) , (7)   '  µ µ  p0 p0  Trong đó: Ta có: Rfi = δ(Pf − Pi ) Mfi. Trong trường hợp tán xạ e2 1 1  1  1 n −3 1  1  trên thế Coulomb, thì Mfi có dạng: = A ( q2 ) n ∫ dxdyy  ( 2 − n ) Γ  2 − n  C 2 − Γ  3 − n  C − me r ' u ( p ')γ µ u r ( p ) Aµ t ( M fi = p '− p ) . ex (8) 2 π 0 ( )2  2  1 1 2  2  e2  1 −12 xy − 4 xy 2 + ( 4 − n ) 2 xy 2 ) + q 2 ) 2 + 2 y − n2∫ 2 + 2 2y 2 + ( 4 − ) ( x 2π A ( q2 dxdyy  2 ( 2 − n ) Γ 2 − Thay (8) vào công thức tiết diện tán xạ vi phân và 1 = − (2 π ) 0 xy ( x n 2  e2 1  1  1 n −3 1  1  1 n −3 lấy giới hạn phi tương = đối tính ta có: ) 1 A ( 1 q2 dxdyy 1 n −3 ( 21 n Γ  2 −  n1−C 2 − Γ  3 − n  C 2 ×  m 2 (4 + 2 y − 2  n ∫1   − ) 1 dxdyy  ( 2 − 2 ) Γ )2 − n  C 2 2 − Γ  3 − n 2 2 ×  m 2 (4 +  y − 12 xy − 4 xy 2 + ( 4 − n ) 2 xy ) + q 2 ( −2 + 2 y − 2 e  A ( q2 ) (n π 0 n 3 = n ∫ 2   C  2 2 −2  0  dσ    (2 π ) 0  2 Ze 2   2  2  2   =  4 xy 2 + θ  −12 2 − 4 xy 2(9)4 − n ) 2 xy 2 ) +2q 2 ( −2 + 2 y − 22xy 2 + 2 x 2 y 2 + ( 4 − n ) ( xy 2 − x 2 y 2 ) )  . xy 2 + (  d Ω  −12 xy −π E sin ( 4 −  ) 2 xy ) + q ( −2 + 2 y − 2 xy + 2 x y + ( 4 − n ) ( xy − x y ) )   n 2 2 2 2    16 2  2 e 2 1    1  1 n −3  = B (q ) 2 dxdyy 2Γ  3 − n  C 2  2 y − 2 xy − 2 xy + ( 4 − n ) xy 2   ∫  2  (2 π ) n    2   Công thức (9) khác công thức Rutherford bởi bổ 0 p2 θ Ta thấy B hội tụ trong vùng hồng ngoại khi n = 4. chính 2 cos 2 , là sự đóng góp spin của e. m 2 Lấy tích phân theo dy của A(q2): 2.2. Bổ chính cho biên độ tán xạ ở trường ngoài e    1 1 2  1 1 δ v A ( q 2 ) − A(0) n = = n ∫ dx Γ  2 − n  ( 2 − n )   m 2 − q 2 x (1 − x )  2   2.2.1.Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần (2 π ) 0    2 2  đúng bậc nhất 1    2 1 e2  1 1 n−4  δ A ( q 2 ) − (0) n−2 Giản đồv FeynmanAcho bổ chínhdx Γ  2 − ảo  ( 2 − n )   m − q x (1 − x )  2 − m  n ∫ photon n được 2 = =   ( 2 π ) 0   chúng ta  đưa ra trong hình 2. Trong vùng hồng  ngoại 2 2  chỉ cần tính đối với giản đồ (2b) bởi vì tất cả các giản −Γ  3 − 1 n  m2   m2 − q 2 x (1 − x ) − mn−6   4 + 2 − 12 x − 2 x  1 n−2 2     đồ còn lại đều hội tụ [3].  2    n − 4 n−3      1 1  2 2 n−2  2   −Γ  3 − n   m 2 − q 2 x (1 − x )    q2 − + + x2 − x   2   n−4 n−3  (12) Từ công thức (12) ta nhận thấy, phân kỳ hồng ngoại xuất hiện khi n = 4 và n = 3. Giá trị thặng dư Hình vẽ 2.2: Giản đồ Feynman cho bổ chính cho tán của δv được tính như sau: a q2 1 1 − 2 x (1 − x ) xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài R esδ v = ∫ dx m2 − q 2 x (1 − x ) (13) Theo quy tắc Feynman ta có bổ chính cho giản π 2 0 đồ đỉnh (2b): 2.2.2. Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ trong d k γ ( p '− k + im ) γ µ ( p − k + im ) γ gần đúng bậc nhất 4 v Λ µ ( p ', p ) = 4 v 2 2 −ie 2 ∫ ( 2π ) k ( k − 2 p ' k )( k 2 − 2 pk ) Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên (10) Lấy tích phân n chiều và công thức ma trận Dirac γ, công thức tham số hóa Feynman ta có: 1  1 n −3 Hình 2.3: 1  đồ 3Feynman cho tán xạ trong trường Giản 1 n − 1 e2  1  1  Λ µ ( p ', p ) = ∫ dxdyy γ µ ( 2 − n ) Γ  2 − n  C 2 −γ µ Γ  3 − n  C 2 (2 π ) điện2  từ ngoài bức xạ photon thực“mềm” n 0  2  2  2  Theo công thức tính tiết diện tán xạ vi phân ta có:  2 1  1 n −3 1  1  1 n −3 − n  C 2 −γ µ Γ  3 − n  C 2 ×  m 2 ( 4 + 2 y − 12 xy − 4 xy 2 + ( 4 − n ) 2 xy 2 )d+ q 2 −2π )2S f− i2 xyp '+ k x 2 p 2 + ( 4 − 'n ) M p − x 2 y 2 )  = ( S δ ( 2 + − − q) p k 4 σB 2  2  2   2+ y 2 y ( ( xy 2 (14)  ) Theo quy tắc Feynman ta tính được các yếu tố ( ) − 12 xy − 4 xy 2 + ( 4 − n ) 2 xy 2 ) + q 2 −2 + 2 y − 2 xy 2 + 2 x 2 y 2 + ( 4 − n ) ( xy 2 − x 2 y 2 )   ma trận: ( 2) 2 ( 0) 2 e d 3 k  2 p. p ' m2 m2  1  1 n −3  S f p 'k M p 3 ∫  = p 'k M p  − − 2 +2imσ µ v q Γ  3 − n  C 2  2 y − 2 xy − 2 xy 2 + ( 4 − n ) xy 2   ≡ A ( q 2 ) γ µ + iB ( q 2 ) mσ µ v q v ( 2π ) 2k0  k. pk . p ' ( k. p ) ( k. p ')  2 v      2   (15) 191 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn
Equipment with new general education program, Volume 1, Issue 302 (December 2023) ISSN 1859 - 0810 thay (15) vào (14) ta thu được: 2.3. Tiết diện tán xạ dσ B  dσ  0 d 3k  2 p. p ' m2 m 2   dσ  0 Giá trị thặng dư của (20) khi n = 1 ta nhận được: d Ω  dantinh ∫ 2k0 ( 2π )3   .e 2  =  − −   .δ B dΩ    k . pk . p ' ( k . p )2 ( k . p ')2   d Ω  dantinh  a 1 q 2 (1 − 2 x + 2 x 2 ) (16) Resδ B = − π ∫ dx (23) m 2 − q 2 x (1 − x ) ở đây,  dσ  0 là giá trị nhỏ nhất của tiết diện 0   Từ (13) và (22) tiết diện tán xạ vi phân trong vùng  d Ω  dantinh tán xạ đàn tính đã thu được từ giản đồ Feynman (1a) hồng ngoại được cho bởi: IR 0 0 và được xác định bởi công thức (9). Trong đó thừa  dσ   dσ   dσ  =    [ 2δ v + δ B ] ≡   δ IR (24) số δB:  dΩ   dΩ   dΩ  d nk  2 p. p ' m2 m2  Ta thấy rằng khi n = 4 thì (23) có giá trị: δB e 2 2π ∫ δ ( k 2 )θ ( k0 ) θ ( ∆E − k0 )  − −  ( 2π ) k . pk . p ' ( k . p )2 ( k . p ')2  q 2 (1 − 2 x (1 − x ) ) n    a q2 1 1 − 2 x (1 − x ) a 1 δ IR 2 = π 2 0∫ dx m2 − q 2 x (1 − x ) − π ∫ dx m2 − q 2 x (1 − x )= 0 (17) 0 Để tính tích phân (17) ta cần chuyển tích phân  dσ  IR ⇒ 0  = theo k và k0 thành tích phân theo |k| và ω.  dΩ  d 3k d nk d 4k d n−4 k ∫ 2k ( 2π ) →∫ →∫ Kết quả (24) chứng tỏ rằng các phân kỳ hồng ( 2π ) ∫ 2ω ( 2π ) (18) 2ω ( 2π ) 3 n 2 n−4 0 ngoại của các bổ chính cho bài toán tán xạ ở gần Trong biểu thức (17) thì k0 chính là giá trị ω, viết đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn bị triệt tiêu lại biểu thức δB dạng: lẫn nhau. d n−4 k d 4k  1 dx m2 m2  Tóm lại: Tiết diện tán xạ vi phân của electron = e2 ∫ δB ∫ ( 2π ) ×  2 p. p ' ∫ − − 2 2ω ( 2π ) n−4 2  0 ( k .P ) 2 ( k . p ) ( k . p ')  2 trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất theo  x  lý thuyết nhiễu loạn có thể biểu diễn dưới dạng: (19) vat ly à ðn tính IR  dσ   dσ   dσ   dσ  Tích phân (19) trong hệ toạ độ cực, ta tìm được   =   + =   (25)  dΩ   dΩ   dΩ   d Ω 0 thừa số liên quan của bức xạ hãm như sau: a  ∆E  n−4 1   1 1 P2  3. Kết quả đạt được δB  2 F1 1, n − 2; ( n − 1) ; − 2    1 Trên cơ sở bài toán tán xạ của electron trong π 2 π  ( n − 4) Γ  ( n − 4)    2   2 m  2  trường điện từ ngoài ở bậc thấp nhất của lý thuyết (20) nhiễu loạn, chúng tôi đã chỉ ra rằng: Phương pháp λmin 1. Các phân kỳ hồng ngoại trong điện động lực Trong điện động lực học lượng tử (QED) ta hay học lượng tử có thể bị loại bỏ được nhờ sử dụng gặp phân kỳ hồng ngoại. Muốn các tích phân hội tụ phương pháp điều chỉnh thứ nguyên – phương pháp ta phải cho photon một khối lượng λmin nào đó, trong của khử phân kỳ tử ngoại. biểu thức dưới dấu tích phân ta sẽ thay hàm truyền 2. Tiết diện tán xạ vi phân vật lý bằng tiết diện tán photon 1/k2 bằng hàm truyền 1/k2 + λ2min, trong đó xạ đàn tính, phân kỳ hồng ngoại bị triệt tiêu lẫn nhau, λ2min = m2 và trong kết quả cuối cùng ta cho λmin → 0. ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn cho đóng Từ (16) ta dẫn lại công thức tính tiết diện tán xạ. góp không đáng kể. Tích phân này chứa phân kỳ hồng ngoại. Việc mở rộng phương pháp khử phân kỳ bằng d 3k  2 p. p ' m2 m2  điều chỉnh thứ nguyên có ý nghĩa quan trọng trong 2. (21) = e2 ∫ δB  − − vật lý hiện đại vì khả năng khử cả hai loại phân kỳ 2k0 ( 2π )  k . pk . p ' ( k . p ) ( k . p ')  3 2   bằng cùng một phương pháp. Thay thế p→p1; p' →p2 và λmin → λ. Chú ý 0 ≤ |k| ≤ ε, Tài liệu tham khảo ở đây ε là giới hạn để (21) là phân kỳ hồng ngoại. Khi [1]. Nguyễn Xuân Hãn, Cơ sở lý thuyết trường đó ta được: lượng tử, ĐHQG Hà Nội, 1998 e2   2ε 1   [2]. J. M. Jauch and F. Rohrlich, Theory of photons =δB 2 ( 2 yth 2 y − 1) ln − + 4 ycth 2 y 1 − h ( 2 y )     4π 2   λ 2   and electrons, Addison-Wesley Readind Mass., 1955. (22) [3]. N. N. Bogoliubov and D. V. Shirkov, 1 Introduction to the Theory of Quantized Fields, 3th Đặt 2y = th−1β và cth2 y = . Từ (22) ta có: Edition, John Wiley&Sons, New York, 1984. β  1  [4]. A. I. Akhiezer and V. B. Berestetskii, Quantum δ= C1 ln + ln ε  + C ( β ) , biểu thức này phân kỳ λ → 0. B  λ  Electrodynamics, New York, 1965. 192 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.