zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên không gian Hilbert tách được

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên không gian Hilbert tách được nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên không gian Hirlbert tách được, từ đó xây dựng tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên nhiễu đối. Kết quả nghiên cứu là cơ sở để tìm lời giải phương trình ngẫu nhiên có nhiễu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên không gian Hilbert tách được

DIỄN ĐÀN KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN CÓ NHIỄU TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH ĐƯỢC STUDYING THE UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF THE RANDOM EQUATIONS WITH PERTURBATIONS ON SEPARABLE HILBERT SPACES Trần Thị Kim Thanh Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp Đến Tòa soạn ngày 24/06/2020, chấp nhận đăng ngày 19/08/2020 Abstract: Phương trình toán tử ngẫu nhiên là trung tâm nghiên cứu của Giải tích phi tuyến và Lý thuyết xác suất. Phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu là một trong các dạng của phương trình toán tử ngẫu nhiên. Bài báo nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên không gian Hirlbert tách được, từ đó xây dựng tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên nhiễu đối. Kết quả nghiên cứu là cơ sở để tìm lời giải phương trình ngẫu nhiên có nhiễu. Keywords: Toán tử ngẫu nhiên có nhiễu, toán tử ngẫu nhiên. Tóm tắt: The random equations are the research center of nonlinear analysis and probability theory. The random equations with perturbations are one of the forms of the random equations. Separable Hirlbert space, which is applied to study the unique solution of the random equations with perturbations, applying studies the unique solution of the random equations with opposites perturbations. The result of the research is the basic for the answer to the random equations with perturbations. Từ khóa: The interference random, the random. 1. GIỚI THIỆU mãn – đây là hạn chế hiện nay của mảng lý thuyết này. Phương trình toán tử ngẫu nhiên được bắt nguồn từ nghiên cứu lý thuyết điểm bất động Ở Việt Nam, nhóm nghiên cứu do GS. TSKH với các công trình nổi tiếng của O. Hans và A. Đặng Hùng Thắng (Trường Đại học Khoa học Spacek trong những năm 1950. Sau đó, các bài tự nhiên Hà Nội) hướng dẫn với Seminar định viết đặc sắc của A.T. Bharucha – Ried năm kỳ hàng tháng đã thu được nhiều kết quả giá 1976 thực sự là bước tiến nhảy vọt cho mảng trị. Nhóm nghiên cứu đã mở rộng các kết quả lý thuyết này. Ngày nay, phương trình toán tử của Xu, Tans, Yuan, Shahzad,... Một trong các ngẫu nhiên trở thành trung tâm nghiên cứu của hướng nghiên cứu của các thành viên trong Giải tích phi tuyến và Lý thuyết xác suất. Trên nhóm này là xây dựng các định lí về sự tồn tại thế giới có rất nhiều công trình nghiên cứu nghiệm ngẫu nhiên (tìm điều kiện đủ) của phong phú về phương trình ngẫu nhiên với phương trình toán tử ngẫu nhiên (với các loại nhiều kiểu toán tử và trên nhiều không gian toán tử khác nhau: ngẫu nhiên, ngẫu nhiên có khác nhau. Tuy nhiên, một điều đáng lưu ý là nhiễu, hoàn toàn ngẫu nhiên,...) trên các không trong các kết quả đó, điều kiện các tác giả đặt gian khác nhau (Banach, mêtric đầy đủ, lên các toán tử ngẫu nhiên và trong các không Polish,...). gian thường khá phức tạp, nhiều khi ta khó có Trong bài báo, tác giả trình bày các nghiên cứu thể tìm được ví dụ về toán tử ngẫu nhiên thỏa về tính duy nhất nghiệm của phương trình TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 26 - 2021 95
DIỄN ĐÀN KHOA HỌC toán tử ngẫu nhiên có nhiễu thông thường(có nhiên Y - giá trị. dạng T(w, x) + k(w).x = (w)) trên không gian Phương trình toán tử ngẫu nhiên là phương Hilbert tách được. Câu hỏi đặt ra là với trình có dạng: T(w, x) =  (w). phương trình toán tử ngẫu nhiên có dạng T(w, x)  k(w).x = (w) (phương trình này tác giả Ánh xạ  ( w)  L0 được gọi là nghiệm của X đặt tên là phương trình toán tử ngẫu nhiên phương trình toán tử ngẫu nhiên nếu T(  (w), nhiễu đối) thì tính duy nhất nghiệm sẽ ra sao? x) =  (w). Có sự khác biệt nào không? Bài báo dựa trên Định nghĩa 2.2.3. Ánh xạ đo được  : các kiến thức về Giải tích hàm và Lý thuyết xác suất xây dựng hướng nghiên cứu này.   F là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên T:  x F  F khi và chỉ khi 2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU T(w,  (w)) =  (w)  w   . 2.1. Toán tử ngẫu nhiên Nếu ánh xạ T:  x F  F có điểm bất động Cho F là tập con khác  trên không gian ngẫu nhiên thì với mỗi w   , T(w, .) có điểm bất động ngẫu nhiên trong F. Hilbert tách được và (  , A ) là không gian đo Định lí 2.2.1. Cho X là không gian Hilbert với  là không gian mẫu, khác  . tách được và T là ánh xạ ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 2.1.1. trên X, đơn điệu mạnh và tồn tại biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương m(w) sao cho Ánh xạ T:  x F  F được gọi là toán tử  x1, x2  X ta có: ngẫu nhiên nếu với mỗi x  F, T( , x) là đo được. T (w, x1 )  T (w, x2 ), x1  x2  m(w) x1  x2 2 Toán tử T:  x F  F được gọi là toán tử ngẫu nhiên liên tục nếu với mỗi w   , Khi đó, với bất kì  (w)  LY () , phương 0 T(w, .) là liên tục. trình T(w, x) =  (w) có nghiệm duy nhất. Toán tử T:  x F  F được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính nếu với mỗi w   , 2.3. Phương trình toán tử ngẫu nhiên có T(w, .) là tuyến tính. nhiễu và phương trình toán tử ngẫu nhiên nhiễu đối Toán tử T:  x F  F được gọi là toán tử ngẫu nhiên Lipschitz nếu với mỗi w   , Định nghĩa 2.3.1. Cho ánh xạ T: X  Y là  x, y  X ta có: toán tử ngẫu nhiên và  (w) là biến ngẫu T (w, x)  T (w, y)  L(w) x  y nhiên Y - giá trị. Phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu 2.2. Phương trình toán tử ngẫu nhiên (bình thường) là phương trình có dạng: T(w, x) + k(w).x =  (w) với k(w) là biến ngẫu nhiên Cho (  , A, ǀP) là không gian xác suất và X, Y nhận giá trị dương. Ánh xạ  ( w)  L0 được X là không gian Hilbert tách được. gọi là nghiệm của phương trình toán tử ngẫu Định nghĩa 2.2.1. Ánh xạ  :   F là biến nhiên có nhiễu nếu T(  (w), x) + k(w).  (w) = ngẫu nhiên X – giá trị nếu  là (A, ℬ) – đo  (w). được với ℬ là  - đại số Borel. Kí hiệu: Định nghĩa 2.3.2. Cho ánh xạ T: X  Y là  (w)  L0 . X toán tử ngẫu nhiên và  (w) là biến ngẫu nhiên Y - giá trị. Định nghĩa 2.2.2. Cho ánh xạ T: X  Y là toán tử ngẫu nhiên và  (w) là biến ngẫu Phương trình toán tử ngẫu nhiên nhiễu đối là 96 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 26 - 2021
DIỄN ĐÀN KHOA HỌC phương trình có dạng: T(w, x)  k(w).x = S (w, x)  S (w, y), x  y  k (w)  L(w). x  y 2  (w) với k(w) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị Theo giả thiết ta có k(w)  L(w) > 0 và sử dụng dương. Ánh xạ  ( w)  L0 được gọi là X định lý 2.2.1 cho toán tử ngẫu nhiên S nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên =>đpcm. có nhiễu nếu ii) Cố định w   , vì T (w) < k(w) nên toán T(  (w), x)  k(w).  (w) =  (w). tử liên tục x  S(w, x) = T(w,x) + k(w)x có nghịch đảo liên tục xác định bởi x  S-1(w, x) 3. CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Đặt  (w) = S-1(w, x) thì  đo được và ta có 3.1. Tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên T(w,  (w)) + k(w)  (w) =  (w) hay phương không gian Hilbert tách được [1, 2] trình có nhiễu có nghiệm duy nhất  (w) với Định lí 3.1.1. mỗi w   cố định =>đpcm. Ví dụ 3.1.1. (Ví dụ về phương trình toán tử Cho T là toán tử ngẫu nhiên liên tục trên ngẫu nhiên có nhiễu) Xét phương trình tích không gian Hilbert tách được. Khi đó, với bất phân ngẫu nhiên: kì  (w)  LY () , phương trình toán tử ngẫu 0 1 nhiên có nhiễu T(w, x) + k(w).x =  (w) có nghiệm duy nhất khi thỏa mãn một trong hai  K (w, t, s) x(w, s)ds  h(w) x(w, t )   (w, t ) (4) 0 điều kiện: với K(w, t, s),  (w,t) là các hàm ngẫu nhiên i)T thỏa mãn tính chất Lipschitz tức là tồn tại liên tục xác định trên [0, 1] x [0, 1] và [0, 1] biến ngẫu nhiên giá trị thực không âm L(w) còn h(w) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị với L(w) < k(w) sao cho  x, y  X ta có: dương. Đặt M (w)  max [0,1][0,1] K (w, t , s) . T (w, x)  T (w, y)  L(w) x  y (1) Chứng minh rằng nếu M(w) < h(w) (5) thì phương trình (4) có nghiệm duy nhất x(w, t) là ii) T là ánh xạ ngẫu nhiên trên X sao cho với hàm ngẫu nhiên liên tục trên [0, 1]. mỗi w   , T(w, x) là toán tử ngẫu nhiên tuyến Chứng minh tính liên tục được định nghĩa bởi Ta định nghĩa ánh xạ T trên X = C[0, 1] T (w) và T (w)
DIỄN ĐÀN KHOA HỌC Suy ra: T(w,x)(t) + T(w, y)(t)= T(w, x+y)(t) (6) không gian Hilbert tách được. Khi đó, với bất *    R hoặc C: kì  (w)  LY () , phương trình toán tử ngẫu 0 1 nhiên nhiễu đối T(w, x) - k(w).x =  (w) có T(w,x)(t)   K ( w, t , s)(x)(s)ds nghiệm duy nhất khi thỏa mãn một trong hai 0 điều kiện: 1 Hay T(w,x)(t)    K ( w, t , s) x( w, s)ds i) T thỏa mãn thỏa mãn tính chất Lipschitz tức 0 là tồn tại biến ngẫu nhiên giá trị thực không Suy ra: T (w,x)(t )  T (w, x) (7) âm L(w) với 0  k (w)  [1  2 ]L(w) sao cho *Ta có:  x, y  X ta có: 1 T (w, x)  T (w, y)  L(w) x  y (9) T ( w, x)(s)   K ( w, t , s) x( w, s) ds 0 ii) ([3]) T là ánh xạ ngẫu nhiên trên X với X Suy ra khả ly sao cho với mỗi w  , T(w, x) là toán 1 tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục được định T ( w, x)(s)   max K ( w, t , s) max x( w, s) ds nghĩa bởi T(w, x) và T (w) < k(w) (10) 0s1 0s1 0 Chứng minh Do đó i) Xét phương trình ngẫu nhiên S(w, x) =  (w), T (w, x)(s)  M (w) x trong đó S là ánh xạ ngẫu nhiên được cho bởi Suy ra: T bị chặn bởi M(w) (8) S(w, x) = T(w, x)  k(w)x Từ (6), (7), (8) suy ra T là toán tử tuyến tính Ta có liên tục. S ( w, x)  S ( w, y ), x  y  Ta lại có (11) T ( w, x)  T ( w, y ), x  y  k ( w) x  y 2 1 T ( w, x)(t )  max 0,1  K ( w, t , s ) x( w, s)ds Suy ra 0 1 S ( w, x)  S ( w, y ), x  y  2   M ( w) max [ 0,1] x( w, s )  M ( w) x T ( w, x)  T ( w, y ), x  y  k 2 ( w) x  y 2 4 0 (12) Với x = x(.,t)  C[0,1] =>  2k ( w) x  y 2 T ( w, x)  T ( w, y ), x  y T (w)  M (w)  h(w) Hay S (w, x)  S (w, y), x  y  2 Mặt khác, phương trình (4) có thể viết dưới dạng: T(w, x) + h(w).x =  (w). 2 2 2 4   T ( w, x )  T ( w, y ) . x y  k ( w) x  y Sử dụng Định lí 3.3.1 =>đpcm. 3 (13)  2 k ( w) x  y T ( w, x )  T ( w, y ) 3.2. Tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên nhiễu đối trên Từ (9) và (13) ta có không gian Hilbert tách được [2,3,4] S (w, x)  S (w, y), x  y  2 Định lí 3.2.1. 4  [ L (w)  k 2 (w)  2k (w) L(w)] x  y 2 Cho T là toán tử ngẫu nhiên liên tục trên (14) 98 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 26 - 2021
DIỄN ĐÀN KHOA HỌC Đặt A(w)   L2 (w)  k 2 (w)  2k (w) L(w) và chú ngẫu nhiên nhiễu đối: T(w, x) - h(w).x =  (w). ý rằng với 0  k (w)  [1  2 ]L(w) thì A > 0. Theo chứng minh ở Ví dụ 3.1.1 thì với mỗi w Khi đó (14) trở thành  , T(w, x) là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục được định nghĩa bởi T(w, x) và S (w, x)  S (w, y), x  y  A x y 2 4 T (w) < h(w) với M(w) < h(w). Từ đó, theo Định lý 3.2.1 suy ra đpcm. S (w, x)  S (w, y), x  y  A. x  y 2 Suy ra Nhận xét 3.2.3. Trên không gian Hilbert tách Sử dụng định lý 2.2.1 cho toán tử ngẫu nhiên S được, điều kiện chứng minh tính duy nhất =>đpcm. nghiệm của phương trình ngẫu nhiên có nhiễu ii) Ta viết lại phương trình nhiễu đối có dạng và nhiễu đối giống nhau nếu T(w, x) là toán tử f(w, x) = g(w, x) với f, g là các toán tử ngẫu ngẫu nhiên tuyến tính liên tục (công thức (2) nhiên xác định bởi f(w, x) = T(w, x)  k(w).x và và (10)) và khác nhau trong trường hợp T(w, x) g(w, x) =  (w). Khi đó, f và g là các toán tử là toán tử ngẫu nhiên Lipschitz (công thức (1) ngẫu nhiên liên tục. Theo giả thiết, tồn tại tập và (9)). D có xác suất 1 sao cho T (w) < k(w) với mỗi 4. KẾT LUẬN w  D. Do đó, với mỗi w  D,  u(w)  X sao cho T(w, u(w))  k(w). u(w) =  (w). Bài báo nghiên cứu phương trình toán tử ngẫu Suy ra, phương trình f(w, x) = g(w, x) có nhiên có nhiễu, dựa trên các kiến thức về Lý nghiệm duy nhất =>đpcm. thuyết xác suất, tác giả tổng hợp các công thức chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương Ví dụ 3.2.2. (Ví dụ về phương trình toán tử trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu thông ngẫu nhiên nhiễu đối) Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên: thường trên không gian Hilbert tách được 1 (mục 3.1).  K (w, t, s) x(w, s)ds  h(w) x(w, t )   (w, t ) (15) 0 Dựa trên công thức tổng quát của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu thông thường, bài với K(w, t, s),  (w,t) là các hàm ngẫu nhiên báo xây dựng một dạng phương trình toán tử liên tục xác định trên [0, 1] x [0, 1] và [0, 1] ngẫu nhiên có nhiễu mới, gọi là phương trình còn h(w) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương. toán tử ngẫu nhiên nhiễu đối. Trên cơ sở các Đặt M (w)  max [ 0,1][ 0,1] K (w, t , s) . Chứng kiến thức về phương trình toán tử ngẫu nhiên minh rằng nếu M(w) < h(w) (16) thì phương có nhiễu, tác giả tổng hợp công thức (9) và xây trình (15) có nghiệm duy nhất x(w, t) là hàm dựng công thức (10) trong Định lý 3.2.1 chỉ ra ngẫu nhiên liên tục trên [0, 1]. phương pháp chứng minh tính tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên Chứng minh nhiễu đối. Bài báo cũng so sánh sự giống và Ta định nghĩa ánh xạ T trên X = C[0, 1] như khác nhau khi xác định điều kiện đủ để tìm sau: nghiệm duy nhất của phương trình ngẫu nhiên 1 có nhiễu và nhiễu đối (nhận xét 3.2.3). với x = x(t)  X, T(w, x)(t) =  K (w, t, s) x(s)ds 0 Kết quả nghiên cứu là cơ sở cho việc giải Khi đó, phương trình (15) là phương trình phương trình toán tử ngẫu nhiên. TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 26 - 2021 99
DIỄN ĐÀN KHOA HỌC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thị Kim Thanh, Luận văn thạc sỹ: “Phương trình toán tử ngẫu nhiên’’, Trường Đại học Khoa học tự nhiên (2012), trang 11-28. [2] Trần Thị Kim Thanh, “Áp dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp số 12 (3/2017). [3] Tạ Ngọc Ánh, Luận án tiến sĩ: “Một số vấn đề về phương trình ngẫu nhiên”, Trường Đại học Khoa học tự nhiên (2012), trang 22-23. [4] Thang D.H, Anh T.N, “Some Results on random equations ”, Vietnam J. Math, 38(1), pp. 35-44, (2009). Thông tin liên hệ: Trần Thị Kim Thanh Điện thoại: 0984 439 508 - Email: ttkthanh@uneti.edu.vn Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp. 100 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 26 - 2021

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.