Nguyên Lí Dirichle Tổng Quát

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

237
lượt xem 90
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Nguyên Lí Dirichle Tổng Quát " sẽ giúp cho các em học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức hoá học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nguyên Lí Dirichle Tổng Quát

NguyÔn H÷u §iÓn: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyªn lÝ lång vµ thá Nguyªn lý §irichlª tæng qu¸t Bµi 2. Trong mét líp häc cã 40 häc sinh, biÕt r»ng NguyÔn H÷u §iÓn tÊt c¶ häc sinh ®Òu sinh mét n¨m. Chøng minh ViÖn To¸n häc r»ng cã kh«ng d−íi 4 em sinh cïng mét th¸ng. Lêi gi¶i. Mét n¨m cã 12 th¸ng, nÕu mçi th¸ng chØ Nguyªn lý nh÷ng chiÕc lång vµ c¸c chó sinh ra nhiÒu nhÊt lµ 3 häc sinh th× sè häc sinh chØ thá ngay trong tr−êng phæ th«ng c¬ së ®Òu ®· lµ 12.3=36 < 40. Nh− vËy Ýt nhÊt ph¶i cã 1 th¸ng ®−îc biÕt vµ ®«i lÇn ¸p dông gi¶i bµi tËp to¸n. cã 4 häc sinh ®−îc sinh ra (Nguyªn lý §irichlª më Nguyªn lý ®ã lµ ta nhèt mét sè thá vµo mét sè réng).☺ lång, nÕu sè lång Ýt h¬n sè thá th× Ýt nhÊt cã hai Bµi 3. H·y t×m sè tù nhiªn nhá nhÊt m sao cho thá nhèt cïng mét lång. RÊt nhiÒu bµi tËp to¸n gi÷a mçi bé m sè tù nhiªn cã hai sè mµ hiÖu cña ®−îc gi¶i b»ng nguyªn lý nµy, t«i ®· tËp hîp l¹i chóng chia hÕt cho 5. thµnh cuèn s¸ch "Ph−¬ng ph¸p §irichlª vµ øng Lêi gi¶i. Ta chia tËp hîp c¸c sè tù nhiªn thµnh 5 dông", NXB Khoa häc vµ kü thuËt, 160 trang, ®· tËp hîp con Mi (i=1,2,3,4) sao cho M1 gåm tÊt c¶ ®−îc ph¸t hµnh vµo th¸ng 3/1999. Trong cuèn c¸c sè chia hÕt cho 5; M2 gåm tÊt c¶ c¸c sè chia s¸ch nµy bao gåm trªn 200 bµi to¸n ®iÓn h×nh vÒ cho 5 cßn d− 1; M3 gåm tÊt c¶ c¸c sè chia cho 5 viÖc dïng ph−¬ng ph¸p §irichlª. S¸ch ®−îc chia ra cßn d− 2;... NÕu ta lÊy 5 sè trong c¸c tËp hîp con 16 ch−¬ng mçi ch−¬ng theo mét chñ ®Ò : Nguyªn kh¸c nhau, th× hiÖu cña bÊt kú hai sè trong c¸c sè lý §irichlª vµ vÝ dô, Sè häc, D·y sè, H×nh häc, Më nµy ®Òu kh«ng chia hÕt cho 5. NÕu ta lÊy 6 sè tù réng nguyªn lý §irichlª, Nguyªn lý §irichlª cho nhiªn bÊt kú, th× hai trong chóng ph¶i n»m trong diÖn tÝch, To¸n tæ hîp, Mét sè ®Ò thi v« ®Þch quèc cïng mét tËp hîp trªn (nguyªn lý §irichlª). Suy ra tÕ,... Trong mçi ch−¬ng trªn cã 10 bµi tËp ®−îc hiÖu cña chóng chia hÕt cho 5. Nh− vËy sè l−îng gi¶i kü theo chñ ®Ò vµ c¸ch ¸p dông nguyªn lý nhá nhÊt nh÷ng sè ta ph¶i lÊy lµ 6 sè tù nhiªn.☺ §irichlª, sau ®ã lµ kho¶ng 5 bµi luyÖn tËp nh−ng Bµi 4. Mét lÇn 20 ng−êi quyÕt ®Þnh ®i b¬i thuyÒn còng ®−îc gi¶i ë ch−¬ng 15 nÕu ng−êi ®äc thÊy b»ng 10 chiÕc thuyÒn ®«i. Mét sè ng−êi ®· quen khã kh¨n. NhiÒu bµi to¸n gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p nhau, mét sè ng−êi kh«ng quen nhau. Nh−ng biÕt nµy rÊt ng¾n gän, mét sè bµi gi¶i b»ng ph−¬ng r»ng mçi cÆp hai ng−êi A vµ B mµ kh«ng quen ph¸p nµy mµ ta kh«ng ®Ó ý tíi khi ¸p dông. Theo nhau, th× tæng nh÷ng ng−êi quen cña A vµ nh÷ng t«i ®©y lµ cuèn s¸ch tham kh¶o cho c¸c thµy c« ng−êi quen cña B kh«ng nhá h¬n 19. Chøng minh gi¸o vµ c¸c b¹n häc sinh ham thÝch To¸n häc. r»ng cã thÓ ph©n chia sè ng−êi vµo c¸c thuyÒn ®«i sao cho trong mçi thuyÒn ®Òu lµ nh÷ng ng−êi quen I. Mét sè bµi to¸n míi. nhau. Bµi 1. Trong mét cöa hµng hoa qu¶ ng−êi ta trë Lêi gi¶i. DÔ thÊy r»ng Ýt nhÊt cã 1 thuyÒn mµ ®Õn 25 sät cam trong ba lo¹i chÊt l−îng, biÕt r»ng ng−êi ta xÕp hai ng−êi quen nhau. Ta ký hiÖu k sè mçi sät chØ chøa mét lo¹i cam. Chøng minh r»ng l−îng thuyÒn lín nhÊt , mµ trong ®ã ng−êi ta cã Ýt nhÊt cã 9 sät cã cïng mét lo¹i chÊt l−îng. thÓ xÕp nh÷ng cÆp quen nhau vµ ®Ó cô thÓ ta ký Lêi gi¶i. NÕu mçi lo¹i chÊt l−îng ®Òu cã kh«ng hiÖu trong thuyÒn thø nhÊt xÕp hai ng−êi quen A1 qu¸ 8 sät, th× sè l−¬ng chung sät cam sÏ kh«ng vµ B1 , thuyÒn thø hai lµ A2 vµ B2 , ,... vµ trong v−ît qu¸ 8.3 = 24, ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt ®· thuyÒn thø k xÕp hai ng−êi quen nhau Ak vµ Bk . cho ta cã 25 sät (Nguyªn lý §irichlª më réng). NÕu k =10, th× bµi to¸n ®· ®−îc gi¶i. V× thÕ ta gi¶ Suy ra mét lo¹i chÊt l−îng nµo ®ã ph¶i cã nhiÒu sö r»ng k ≤ 9. Ta ký hiÖu tËp hîp M gåm tÊt c¶ h¬n 8 sät, nghÜa lµ Ýt nhÊt 9 sät.☺ nh÷ng ng−êi ch−a ®−îc xÕp vµo thuyÒn. DÔ thÊy kh«ng cã hai ng−êi A vµ B tõ M quen nhau, v× 1
NguyÔn H÷u §iÓn: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyªn lÝ lång vµ thá nÕu ng−îc l¹i A vµ B cã thÓ xÕp vµo thuyÒn thø sÏ t×m ®−îc hai sè hiÖu cña chóng nhá h¬n 3 ( nÕu k+1. Ta chän hai ng−êi bÊt kú A vµ B tõ M. Theo ng−îc l¹i hiÖu cña sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong ®iÒu kiÖn ®Çu bµi tæng cña nh÷ng ng−êi quen cña c¸c sè ®· chän kh¶ n¨ng lín h¬n 3.666 = 1998, A vµ tæng nh÷ng ng−êi quen cña B kh«ng nhá h¬n ®iÒu nµy kh«ng thÓ xÈy ra). nghÜa lµ hiÖu cña 19 vµ nh÷ng ng−êi quen hä n»m trong sè nh÷ng chóng chØ lµ hoÆc 1, hoÆc 2. Trong tr−êng hîp thø ng−êi ®· xÕp vµo k thuyÒn råi. Tån t¹i mét thuyÒn nhÊt mäi sè ®Òu chi hÕt cho 1, nghÜa lµ c¶ tæng cña ®· xÕp mµ sè l−îng quen biÕt gi÷a mét trong hai chóng; tr−êng hîp thø hai, hai sè sÏ cïng tÝnh ng−êi A vµ B vµ mét trong nh÷ng ng−êi trong ch½n, lÎ vµ khi ®ã tæng cña chóng lµ mét sè ch½n. thuyÒn nµy kh«ng nhá h¬n 19/k > 2. DÔ thÊy khi Trong tr−êng hîp nµy tæng cña hai sè ta lÊy sÏ ®ã mét ng−êi nµo ®ã trong A hoÆc B quen biÕt hai chia hÕt cho hiÖu cña nã. ng−êi trong thuyÒn ®· biÕt, cßn mét trong nh÷ng Nh− vËy tõ 1999 sè d· cho kh«ng thÓ ng−êi d−íi thuyÒn quen c¶ A vµ B. §Ó cô thÓ hãa chän h¬n 666 sè sao cho tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu ta cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng trong thuyÒn nµy xÕp hai bµi. Ta còng x©y dùng ®−îc c¸ch chän 666 sè. Suy ng−êi Ak vµ Bk . Nh−ng khi ®ã ta cã thÓ xÕp l¹i : ra sè l−îng lín nhÊt c¸c sè ta ph¶i t×m lµ 666.☺ trong k-1 thuyÒn ®Çu tiªn vÉn gi÷ nguyªn, cßn Bµi 7. Cho S lµ tËp hîp n phÇn tö trong thuyÒn thø k xÕp Ak vµ B, cßn thuyÒn thø Mi ∈ S , Mi ≠ ∅ , i = 1, 2, 3,.....n+1 k+1 xÕp A vµ Bk . Theo c¸ch xÕp nµy ta tiÕp tôc Chøng minh r»ng tån t¹i hai bé sè xÕp ®Õn hÕt 10 thuyÒn sao cho trong mçi thuyÒn 1 ≤ i1 < i2 < .... < ir ≤ n+1 vµ 1 ≤ j1 < j2 < .... hai ng−êi ®Òu quen nhau.☺ < jr ≤ n+1 Bµi 5. Cho 12 sè cã hai ch÷ sè . Chøng minh r»ng sao cho gi÷a chóng cã hai sè mµ hiÖu cña chóng còng lµ M i1 ∪ M i2 ∪...∪ M i1 = M j1 ∪ M j2 ∪...∪ M j1 hai ch÷ sè, hai ch÷ sè nµy trïng nhau. Lêi gi¶i. Sè l−¬ng nh÷ng hîp kh¸c nhau Lêi gi¶i. Trong 12 sè cã hai ch÷ sè cã hai sè cho M i1 ∪ M i2 ∪...∪ M i1 cña nh÷ng tËp hîp con M1 , cïng sè d− khi chia cho 11 (nguyªn lý §irichlª). M2 ,....,Mn+1 sao cho tËp hîp con { i1, i2, .... , ir } Cho nh÷ng sè ®ã lµ ai , aj (ai > aj ) . Khi ®ã ai - aj trong {1, 2, ,... n+1}, lµ 2n+1 -1. Nh− vËy sè l−îng chia hÕt cho 11. nh−ng sè ai - aj lµ hai ch÷ sè nh÷ng tËp hîp kh¸c trèng cña S lµ 2n -1 < 2n+1 -1, trïng nhau nªn chØ cã thÓ lµ 11, 22, 33, 44, 55, 66, th× trong nh÷ng tËp hîp con ë trªn cã hai tËp hîp 77 , 88.☺ con ®Òu lµ mét tËp hîp con cña tËp hîp S (nguyªn Bµi 6. Sè l−îng lín nhÊt lµ bao nhiªu sè ta cã thÓ lý §irichlª) : chän trong c¸c sè tõ 1 ®Õn 1999 sao cho tæng cña M i1 ∪ M i2 ∪...∪ M i1 = M j1 ∪ M j2 ∪...∪ M j1 ☺ mäi hai sè trong c¸c sè ®· chän kh«ng chia hÕt Bµi 8. Tõ 5 ®−êng trßn mçi cÆp 4 ®−êng trßn ®Òu cho hiÖu cña chóng. ®i qua mét ®iÓm. Chøng minh r»ng tån t¹i mét Lêi gi¶i. Ta sÏ chøng minh r»ng tõ c¸c sè ®· cho ®iÓm mµ ®i qua tÊt c¶ n¨m vßng trßn. cã thÓ chän ®−îc 666 sè tháa m·n ®iÒu kiÖn cña Lêi gi¶i. Cho nh÷ng ®−êng trßn k1, k2, k4, k5 ®i ®Ò bµi. ThËt vËy, ta lÊy tÊt c¶ c¸c sè cã d¹ng 3k + qua ®iÓm chung A; nh÷ng ®−êng trßn k1, k3, k4, k5 1, ë ®©y k = 1, 2, ..., 666. HiÖu cña hai sè bÊt kú ®i qua ®iÓm chung B; nh÷ng ®−êng trßn k2, k3, k4, ®· chän chia hÕt cho 3, cßn tæng cña chóng chia k5 ®i qua ®iÓm chung C. DÔ thÊy ba ®iÓm A, B, C cho 3 cßn d− 2. Tõ ®©y suy ra tæng cña hai sè ë kh«ng thÓ ®ång thêi kh¸c nhau v× tÊt c¶ ®Òu n»m d¹ng trªn kh«ng chia hÕt cho hiÖu cña chóng. trªn ®−êng trßn k4, c¶ trªn k5 , nh−ng ®−êng trßn Ta chøng minh r»ng chän sè l−îng lín chØ c¾t nhay hai ®iÓm. Suy ra, hai ®iÓm nµo ®ã h¬n 666 sè tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu b¶i kh«ng thÓ trong ba ®iÓm A, B, C trïng nhau (nguyªn lý ®−îc ?. ThËt vËy, NÕu chän nhiÒu h¬n 666 sè, th× 2
NguyÔn H÷u §iÓn: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyªn lÝ lång vµ thá §irichlª). Qua ®iÓm trïng nµy sÏ ®i qua tÊt c¶ 5 II. Nguyªn lý §irichlª më réng. ®−êng trßn.☺ Trong cuèn s¸ch ®· nãi ë trªn chóng t«i Bµi 9. Cho A lµ tËp hîp ®iÓm trªn ®−êng trßn sinh cã khai th¸c vµ xem xÐt mäi khÝa c¹nh cña nguyªn ra bëi mét ®iÓm chuyÓn dÞch liªn tiÕp (theo chiÒu lý §irichlª. NhÊt lµ ch−¬ng nãi vÒ nguyªn lý kim ®ång hå) trªn ®−êng trßn mét cung 1 radian. §irichlª cho diÖn tÝch, ta cã ®Ò cËp ®Õn nguyªn lý Chøng minh r»ng mét cung bÊt kú trªn ®−êng trßn §irichlª cho ®é dµi ®o¹n th¼ng, cho ®é dµi cung, ®Òu cã chøa nh÷ng ®iÓm thuéc A. cho diÖn tÝch, cho thÓ tÝch. Ta còng cã thÓ chøng Lêi gi¶i. Ta lÊy mét cung bÊt kú ký hiÖu P1P2 . Ta minh c¸c nguyªn lý nµy vÝ dô nh−: 2π 1. Cho nh÷ng do¹n th¼ng a1, a2, ..., an n»m trong cã thÓ lÊy cung nµy P1P2 = , ë ®©y m lµ sè tù m ®o¹n a vµ tæng ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng a1, a2, ..., nhiªn. Ta dùng c¸c ®iÓm P3, P4 , ..., Pm sao cho an lín h¬n ®é dµi cña a. Khi ®ã Ýt nhÊt cã hai chóng chia ®−êng trßn thµnh m cung b»ng nhau. trong sè nh÷ng ®o¹n th¼ng a1, a2, ..., an cã ®iÓm Ta lÊy ®iÓm nµo ®ã Q0 ∈ A vµ ký hiÖu Qn lµ chung. ®iÓm ¶nh cña Q0 sau khi ta chuyÓn liªn tiÕp n 2. Cho nh÷ng ®a diÖn D1, D2, ..., Dn n»m trong radian. ®a diÖn D vµ tæng thÓ tÝch cña D1, D2, ..., Dn lín Chøng minh r»ng tËp hîp nh÷ng ®iÓm A( h¬n thÓ tÝch D. Khi ®ã Ýt nhÊt cã hai trong sè D1, Q0 ) = { Q0 , Q1 , ...., Qn ,....} lµ v« h¹n. ThËt vËy, D2, ..., Dn cã ®iÓm chung. nÕu ng−îc l¹i, th× tån t¹i hai chØ sè s vµ t sao cho B©y giê ta xÐt bµi to¸n : Trªn mÆt cÇu cho Qs = Qt (Nguyªn lý §irichlª cho d·y sè). NÕu s < hai ®iÓm vµ mét tËp hîp, diÖn tÝch cña tËp hîp ®· t, th× suy ra ®iÓm Qs dÞch chuyÓn vÒ chÝnh m×nh cho lín h¬n nöa diÖn tÝch cña c¶ mÆt cÇu. Chøng sau phÐp lÆp t-s radian. Nh− vËy, mµ c¶ vßng trßn minh r»ng tån t¹i mét phÐp quay trong kh«ng gian t−s quanh mét trôc nµo ®ã cña h×nh cÇu ®−a hai ®iÓm cã 2 π radian, nghÜa lµ π = . §iÒu nµy tr¸i 2 vµo tËp hîp ®· cho. Muèn gi¶i bµi to¸n nµy ®ßi hái víi tÝnh chÊt sè π lµ mét sè v« tû. nguyªn lý §irichlª trªn nh÷ng nhãm t« p« . Ta cã Nh− vËy A( Q0 ) lµ tËp hîp v« h¹n ®iÓm. c¶m t−ëng r»ng ®iÒu nµy l¹i thªm mét nguyªn lý Nh−ng sè c¸c cung P1P2 , P2P3 , ..., PmP1 h÷u h¹n n÷a vÒ lo¹i nµy, nh−ng rÊt may lµ ta cã thÓ ph¸t vµ phñ toµn bé ®−êng trßn, th× tån t¹i mét cung biÓu Nguyªn lý §irichlª tæng qu¸t h¬n thÕ, mét nµo ®ã PkPk+1 chøa Ýt nhÊt 2 ®iÓm Qs vµ Qt thuéc nguyªn lý chung cho tÊt c¶. Ta cã thÓ x©y dùng A( Q0 ). Nh− vËy ®é dµi cña cung QsQt b»ng α < nguyªn lý nh− sau: 2π Cho X lµ mét tËp hîp bÊt kú, Σ lµ tËp hîp . Nh− lý luËn phÇn trªn, Qs ≠ Qt , nghÜa lµ m mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ c¸c tËp hîp con cña X. α ≠ 0. B©y giê ta xÐt d·y c¸c ®iÓm R0 = Qs , R1 Ngoµi ra Σ cßn chøa hîp, giao vµ hiÖu cña nh÷ng = Qt , ....., Rn = Qs+n(t-s) ,..... thuéc A(Q0 ). Víi tËp hîp trong nã. Nh÷ng kh¸i niÖm trong phÇn nµy mäi n cung RnRn+1 nhËn ®−îc tõ cung R0R1 = QsQt rÊt c¬ b¶n trong to¸n häc hiÖn ®¹i trong c¸c ngµnh lÆp l¹i chuyÓn dÞch n(t-s) radian. Suy ra cung T« p«, Gi¶i tÝch hµm, ..... V× ®iÒu kiÖn mét bµi b¸o 2π RnRn+1 = α . DÔ thÊy víi n > cung R0R1 , nªn ta chØ nh¾c l¹i mét c¸ch t−¬ng ®èi chÝnh x¸c. α §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng trong Σ x¸c ®Þnh mét ®é R1R2 , R2R3 , ..., RnRn+1 phñ kÝn ®−êng trßn. Nh− ®o σ , khi víi mçi phÇn tö A thuéc Σ cho t−¬ng vËy P1 n»m ë trong cung nµo ®ã RkRk+1 . Nh−ng v× øng víi mét sè kh«ng ©m σ (A) sao cho tháa m·n ®é dµi cung RkRk+1< P1P2 , th× hoÆc lµ Rk+1, hoÆc lµ ®¼ng thøc sau Rk-1 n»m trong P1P2 , ®iÒu cÇn chøng minh.☺ σ (A1 ∪ A2 )= σ (A1) + σ (A2) 3
NguyÔn H÷u §iÓn: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyªn lÝ lång vµ thá víi mäi hai phÇn tö A1 vµ A2 thuéc Σ , mµ A1 ....,Mk, ë ®©y k3+1 ≤ n. Chøng minh r»ng cã k +1 ∩ A2 = ∅ . sè ch½n 2j1, 2j2,..., 2jk+1 n»m trong cïng mét tËp VÝ dô : NÕu X lµ mÆt ph¼ng, Σ lµ tËp hîp gåm hîp Mi (1 ≤ i ≤ k), sao cho nh÷ng sè 2j1-1, c¸c mÆt vµ nÕu mçi mét mÆt ta cho ta cho t−¬ng 2j2-1, ..., 2jk+1-1 còng n»m trong mét tËp hîp Mr øng víi diÖn tÝch cña nã, th× dÏ kiÓm tra thÊy ®©y (1 ≤ r ≤ k). chÝnh lµ mét ®é ®o. Mét vÝ dô kh¸c, Σ ký hiÖu lµ Bµi 11. Cho mét sè h×nh trßn kh«ng giao nhau, mét tËp hîp cña nh÷ng tËp hîp con h÷u h¹n trong chiÕm trªn mÆt ph¼ng mét diÖn tÝch b»ng ®¬n vÞ. mét tËp hîp bÊt kú X vµ nÕu víi mçi tËp hîp h÷u Chøng minh r»ng trong sè ®ã cã thÓ chän ra mét h¹n ta cho øng víi sè l−îng phÇn tö cña nã. Th× h×nh trßn hoÆc mét sè c¸c h×nh trßn ®«i mét kh«ng ®©y còng lµ mét ®é ®o. T−¬ng tù nh− vËy cho giao nhau mµ diÖn tÝch tæng céng cña chóng kh«ng gian ba chiÒu víi ®é ®o diÖn tÝch. kh«ng nhá h¬n 1/9. DÔ dµng chøng minh ®−îc (tõ ®Þnh nghÜa) Bµi 12. Cã thÓ lÊy bao nhiªu sè tù nhiªn kh¸c mÖnh ®Ò sau: nhau kh«ng lín h¬n 10, ®Ó trong chóng kh«ng t×m MÖnh ®Ò. Chøng minh r»ng nÕu A, A1, A2 , ...., An ®−îc hai sè mµ mét trong hai sè ®ã gÊp hai lÇn sè lµ phÇn tö cña Σ , mµ chóng tháa m·n Ai ⊂ A (i kia. =1, 2, ....n) vµ σ (A ) < σ (A1) + σ (A2)+ ....+ Bµi 13. Chøng minh r»ng trong sè 25 sè d−¬ng σ (An ), kh¸c nhau cã thÓ chän ra hai sè sao cho kh«ng cã th× hai trong sè c¸c tËp A1, A2 , ...., An cã ®iÓm mét sè nµo trong c¸c sè cßn l¹i b»ng tæng hoÆc chung. hiÖu cña c¸c sè ®· ®−îc chän. MÖnh ®Ò nµy ta gäi lµ Nguyªn lý §irichlª Bµi 14. Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n tæng qu¸t. Tr−êng hîp Σ ë c¸c vÝ dô trªn ®−a ta tån t¹i mét sè N, mµ nã chia hÕt cho n vµ trong vÒ Nguyªn lý §irichlª cho diÖn tÝch, tr−êng hîp c¸ch viÕt thËp ph©n cã gÆp tÊt c¶ c¸c ch÷ sè 0, 1, thø hai lµ nguyªn lý §irichlª lång vµ thá. Trong 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. nh÷ng tr−êng hîp cô thÓ ta l¹i cã nguyªn lý Bµi 15. Chøng minh r»ng nÕu 6 ®−êng trßn c¾t §irichlª t−¬ng øng víi ®é ®o, nh− vËy lµ v« cïng nhau t¹i mét ®iÓm, th× Ýt nhÊt mét trong chóng nhiÒu, nh−ng kh«ng ph¶i mäi nguyªn lý víi ®é ®o chøa t©m cña mét ®−êng trßn kh¸c. kh¸c nhau ®Òu lµ hay vµ mang mét ý nghÜa lín. Nh−ng chóng t«i tin r»ng trong thùc tÕ cã nhiÒu bµi to¸n hay cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p nµy. Nh©n ®©y t«i còng c¸m ¬n vµ mong mái nhËn ®−îc c¸c ý kiÕn vÒ cuèn s¸ch theo chuyªn ®Ò nµy vµ nÕu cã c¸c bµi tËp míi ®−îc ph¸t hiÖn vµ hay, h·y göi vÒ cho chóng t«i ®Ó lÇn xuÊt sau ®−îc ®Çy ®ñ h¬n vµ nh÷ng ng−êi cã s¸ng kiÕn ®−îc mang tªn kÌm theo bµi tËp khi s¸ch ®−îc in l¹i. Mäi liªn hÖ víi t¸c gi¶ theo ®Þa chØ NguyÔn H÷u §iÓn, ViÖn to¸n häc, Phßng gi¶i tÝch sè vµ TÝnh to¸n khoa häc, P. O. Box 361, Bê Hå, Hµ néi, ViÖt nam. Email: nhdien@thevinh.ac.vn. III.Bµi tËp tù gi¶i. Bµi 10. TËp hîp M = {1, 2, ..., 2n} (n ≥ 2) ®−îc chia ra k tËp hîp con kh«ng giao nhau M1, M2, 4