Nhập môn đại số giao hoán

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

412
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhập môn Đại số giao hoán dành cho các bạn sinh viên, học viên khoa toán. Gỉa sử S khác rỗng là một tập được sắp thứ tự sao cho mọi tập con được sắp toàn phần đều có một chặn trên trong S. Khi đó tồn tại ít nhất một phần tử cực đại. Vành đai ideal: Trong khuôn khổ của môn học này, một vành (nói riêng, một trường) luôn được giả sử là giao hoán và có đơn vị và dĩ nhiên một đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn vị...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nhập môn đại số giao hoán

Nhập môn đại số giao hoán G.-V. Nguyễn-Chu Ha Noi Inst. of Mathematics Bổ đề Zorn. Giả sử S 6= ∅ là một tập được sắp thứ tự sao cho mọi tập con được sắp toàn phần đều có một chặn trên trong S. Khi đó tồn tại ít nhất một phần tử cực đại. 1 Vành và ideal Trong khuôn khổ của môn học này, một vành (nói riêng, một trường) luôn được giả sử là giao hoán và có đơn vị và dĩ nhiên một đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn vị. Nhận xét 1.0.1. Ta không loại trừ khả năng phần tử 1 của một vành A có thể bằng 6= 0. Một vành A với 1 = 0 nhất thiết chỉ gồm một phần tử, thật vậy x ∈ A =⇒ x = x · 1 = x · 0 = 0 và được kí hiệu A = 0. Ta sẽ chủ yếu quan tâm đến các vành sau cũng như các vành được xây dựng từ chúng. Ví dụ 1.0.2. 1. k, với k là một trường; 2. Z; 3. Vành đa thức một biến A[X] với A là một vành cho trước. Tổng quát hơn, với S là một tập chỉ số, ta có vành đa thức nhiều biến A[Xi ], i ∈ S với các biến tham số hóa bởi S; 4. Vành chuỗi các lũy thừa hình thức A[[X]] với A là một vành cho trước. Tổng quát hơn, vành các chuỗi lũy thừa hình thức A[[Xi ]], i ∈ S. 1.1 Nhắc lại một số khái niệm và kết quả ban đầu Định nghĩa 1.1.1 (Phần tử khả nghịch). Một phần tử a của một vành A được gọi là khả nghịch nếu là ước của 1, nói cách khác, tồn tại b ∈ A sao cho ab = 1. Phần tử b như vậy được gọi là nghịch đảo của A và kí hiệu là a−1 . Tập các phần tử khả nghịch của A, kí hiệu là A∗ lập thành một nhóm đối với phép nhân. Định nghĩa 1.1.2 (Phần tử liên kết). Hai phần tử a, b của một vành A được gọi là liên kết với nhau nếu tồn tại u ∈ A∗ sao cho a = ub. Nhận xét 1.1.3. 1. Do A∗ là một nhóm với phép nhân, quan hệ liên kết là một quan hệ tương đương; 2. Một phần tử là khả nghịch khi và chỉ khi liên kết với 1. Định nghĩa 1.1.4 (Ước của 0). Cho A là một vành. Một phần tử a ∈ A được gọi là ước của 0 nếu tồn tại b 6= 0 sao cho ab = 0. Một cách xây dựng quan trọng các vành mới từ các vành đã cho là thông qua vành thương. Định nghĩa 1.1.5 (Ideal). Một tập con a ⊂ A được gọi là một ideal nếu là một nhóm con đối với phép cộng và ổn định đối với phép nhân với các phần tử của A. Ví dụ đơn giản nhất của ideal là các ideal chính, với mọi a ∈ A, ta định nghĩa (a) = {ba; b ∈ A}. Chú ý rằng một ideal a ⊂ A chứa phần tử 1 khi và chỉ khi a = (1) = A, hay tổng quát hơn, với mọi ideal a ⊂ A. a ∩ A∗ 6= ∅ ⇔ 1 ∈ a ⇔ a = (1) Ngoài ra, ta có Mệnh đề 1.1.6. Cho f : A → B là một đồng cấu vành. 1. ker f là một ideal của A; 2. Tổng quát hơn, với mọi ideal b ⊂ B, f −1 (b) là một ideal của A. Ta nhắc lại định nghĩa của vành thương. 1
Định nghĩa 1.1.7. Cho a ⊂ A là một ideal. Nhóm thương A/a có một cấu trúc nhân duy nhất cảm sinh từ phép nhân trên A khiến A/a trở thành một vành. Phép chiếu chính tắc π : A → A/a là một đồng cấu vành với hạch ker π = a. Kết quả đơn giản sau đây miêu tả các ideal của một vành thương. Mệnh đề 1.1.8. Có một phép tương ứng 1 − 1 và bảo toàn thứ tự giữa các ideal của A/a và các ideal của ¯ 7→ b = π −1 (b). A chứa a cho bởi b ¯ Chứng minh. Bài tập. Định lí 1.1.9 (Định lý đồng cấu). Cho f : A → B là một đồng cấu vành. Tồn tại duy nhất một đơn cấu f¯ khiến biểu đồ sau giao hoán A GG f / w;B GG f¯ ww w GGπ w GG ww G# w w A/ ker f Chứng minh. Bài tập. Chú ý rằng Định lý 1.1.9 có khá nhiều biến tấu. Một trong số đó là phát biểu mạnh hơn sau đây. Mệnh đề 1.1.10. Cho f : A → B là một đồng cấu vành và a là một ideal của A. Các khẳng định sau là tương đương 1. Tồn tại một đồng cấu vành f¯ : A/a → B sao cho biểu đồ sau giao hoán A GG f / GG ww; B GGπ f w ¯ w GG w G# ww ww A/ ker f 2. a ⊂ ker f . Hơn nữa, khi đó f¯ được xác định duy nhất. Kết quả trên áp dụng cho phép chiếu chính tắc cho ta Hệ quả 1.1.11. Cho A là một vành và a là một ideal. Với mọi ideal a ⊂ b ta có đẳng cấu A/b ' (A/a)/(b/a). 1.2 Miền nguyên Định nghĩa 1.2.1. Một vành A được gọi là một miền nguyên nếu A 6= 0 và không có ước của 0 ngoài 0. Ta nhắc lại luật giản ước trong một miền nguyên. Mệnh đề 1.2.2. Một vành A 6= 0 là một miền nguyên khi và chỉ khi luật giản ước, với mọi a 6= 0, ab = ac =⇒ b = c Chứng minh. Hiển nhiên. Ta cũng nhắc lại rằng mọi trường là một miền nguyên. Ngoài ra, ta cũng có kết quả quen thuộc sau. Mệnh đề 1.2.3. Cho A là một vành. Khi đó A là một miền nguyên khi và chỉ khi A[X] là một miền nguyên. Chứng minh. Đây là một bài tập đơn giản. 2
Trường các thương của một miền nguyên. Việc xây dựng trường các số hữu tỉ từ vành các số nguyên có thể được mở rộng cho mọi miền nguyên. Cho A là một miền nguyên. Ta đặt S = {(a, b); a ∈ A, 0 6= b ∈ A} và định nghĩa một quan hệ ∼ trên đó như sau (a, b) ∼ (a0 , b0 ) ⇔ ab0 = a0 b Ta kiểm tra dễ dàng rằng đây là một quan hệ tương đương. Gọi k là tập các lớp tương đương và kì hiệu a a a0 0 0 b ∈ k là lớp tương đương của (a, b). Như vậy b = b0 ⇔ ab = a b. Định nghĩa các phép + và × trên k như sau a a0 ab0 +a0 b • b + b0 = bb0 ; a a0 aa0 • b · b0 = bb0 . Các định nghĩa trên là tốt, nói cách khác, không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện. Ta kiểm tra dễ dàng rằng các phép toán trên khiến k trở thành một trường với 0k = 01 và 1k = 11 . Ngoài ra, ánh xạ tự nhiên A → k; a 7→ (a, 1) là một đơn cấu vành. Thông thường, ta đồng nhất A với ảnh của nó trong k thông qua ánh xạ tự nhiên này và gọi k là trường các thương của A. Nhận xét 1.2.4. Một cách nôm na, trường các thương của một miền nguyên A là một trường nhỏ nhất chứa A. Ví dụ 1.2.5. Ngoài việc trường các thương của Z là trường các số hữu tỉ, ta chú ý rằng với mọi trường k, trưòng các thương của k[X], kí hiệu là k(X) là trường các phân thức, hay các hàm hữu tỉ P (X) k(X) = { ; P (X), Q(X) ∈ k[X], Q 6= 0} Q(X) P (X1 ,...,Xn ) Xây dựng này mở rộng cho nhiều biến k(X1 , . . . , Xn ) = { Q(X 1 ,...,Xn ) ; P (X1 , . . . , Xn ), Q(X1 , . . . , Xn ) ∈ k[X1 , . . . , Xn ], Q 6= 0} 1.3 Ideal nguyên tố và ideal cực đại Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một vành và a là một ideal. 1. a được gọi là nguyên tố nếu a ( (1) và nếu với mọi a, b ∈ A, ab ∈ a =⇒ a ∈ a hoặc b ∈ a, hay một cách tương đương, nếu a ( (1) và ab ∈ / a =⇒ a ∈ / a, b ∈ / a. 2. a được gọi là cực đại nếu a ( (1) và cực đại trong quan hệ bao hàm giữa các ideal, nghĩa là với mọi ideal b, a ⊂ b =⇒ b = a hoặc b = (1). Ta kí hiệu Spec A, Specm A tương ứng là tập hợp các ideal nguyên tố của A và tập các ideal cực đại của A. Ta nhắc lại đặc trưng quen thuộc của các ideal nguyên tố và ideal cực đại thông qua vành thương. Mệnh đề 1.3.2. Cho a ⊂ A là một ideal. Ta có 1. a nguyên tố ⇔ A/a là một miền nguyên. 2. a cực đại ⇔ A/a là một trường. Chứng minh. Bài tập. Ta biết rằng mọi trường là một miền nguyên nên nói riêng, Hệ quả 1.3.3. a cực đại =⇒ a nguyên tố. Nói cách khác, Specm A ⊂ Spec A. 3
Mệnh đề 1.1.8 còn có thể dùng để miêu tả các ideal nguyên tố và ideal cực đại của một vành thương. Mệnh đề 1.3.4. Cho A là một vành và a là một ideal. Phép tương ứng giữa các ideal của A/a và các ideal ¯ 7→ b = π −1 (b) của A chứa a cho bởi b ¯ là một song ánh, bảo toàn thứ tự giữa các 1. các ideal nguyên tố chứa a của A và các ideal nguyên tố của A/a; 2. các ideal cực đại chứa a của A và các ideal cực đại của A/a. Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 1.1.11. Cho đến giờ, các phát biểu của chúng ta là khá hình thức vì chúng ta chưa chỉ ra sự tồn tại của các ideal nguyên tố và ideal cực đại. Đây là nội dung của kết quả sau đây. Định lí 1.3.5. Mọi vành A 6= 0 có ít nhất một ideal cực đại. Nói cách khác, A 6= 0 =⇒ Specm A 6= ∅. Chứng minh. Ta sử dụng Bổ đề Zorn. Gọi S là tập các ideal 6= (1) của A và trang bị quan hệ thứ tự bằng quan hệ bao hàm quen thuộc. Ta có • S 6= ∅ vì (0) ∈ S; • S được sắp thứ tự tốt. Thật vậy, gọi {ai } là một tập các phần tử của I (nghĩa là các ideal 6= (1)) sắp thứ tự toàn phần. Đặt a = ∪i∈I ai . Điều kiện I sắp thứ tự toàn phần đảm bảo a là một ideal 6= 1 của A. Mặt khác ai ⊂ a theo định nghĩa, có nghĩa là a ∈ I và là một chặn trên của I. Theo Bổ đề Zorn, S chứa một phần tử cực đại. Nhưng các phần tử cực đại của S, theo định nghĩa, chính là các ideal cực đại của A. Hệ quả 1.3.6. Mọi ideal a 6= (1) đều nằm trong một ideal cực đại nào đó. Chứng minh. Áp dụng Định lý trên cho A/a. Hệ quả 1.3.7. Mọi phần tử không khả nghịch đều nằm trong một ideal cực đại nào đó. / A∗ ⇔ (a) 6= (1). Như vậy, ta chỉ cần áp dụng Chứng minh. Giả sử A là một vành và a ∈ A. Ta biết rằng a ∈ Hệ quả trên để có kết quả mong muốn. Bài tập 1. 1. Xác định Z∗ , (Z/(5))∗ , (Z/(6))∗ , R[X]∗ , Z[X]∗ . Bài tập 2. Chứng minh rằng một miền nguyên với hữu hạn phần tử là một trường. Bài tập 3. Cho k là một trường và A là một k-đại số hữu hạn (nghĩa là dimk (A) < ∞). Chứng minh rằng A là một miền nguyên ⇔ A là một trường. Bài tập 4. Chứng minh rằng một vành giao hoán A 6= 0 là một trường khi và chỉ khi tập các ideal của A chỉ gồm (0) và (1). Bài tập 5. Định nghĩa Z(p) ⊂ Q qua công thức Z(p) = {x ∈ Q; pn x ∈ Z với n tự nhiên nào đó} Chứng minh rằng trường các thương của Z(p) ' Q. Bài tập 6. Cho U ⊂ C là một tập mở liên thông. Chứng minh rằng trường các phân thức của vành O(U ) các hàm chỉnh hình trên U có thể được đồng nhất với trường M(U ) các hàm phân hình trên U . Bài tập 7. Cho A là một vành. Chứng minh rằng A là một miền nguyên ⇔ A[[X]] là một miền nguyên. Bài tập 8. Liệt kê các ideal của 1. Z/(6); 2. Z/(2010). Các ideal nào là nguyên tố, các ideal nào là cực đại ? 4
Bài tập 9. Miêu tả các ideal nguyên tố, ideal cực đại của 1. C[X]; 2. R[X]. Bài tập 10. Chứng minh rằng trong một vành hữu hạn mọi ideal nguyên tố là cực đại. Nhận xét 1.3.8. Chú ý rằng khác với các nhóm Abel hữu hạn, vấn đề phân loại các vành hữu hạn là một bài toán khó. Bài tập 11. Cho A là một vành sao cho với mọi a ∈ A, ∃n = n(a) nguyên dương > 1 sao cho an = a. Chứng minh rằng Spec A = Specm A. Bài tập 12. Đặt A = k[X1 , . . . , Xn ] với k là một trường, n ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi bộ (a1 , . . . , an ) ∈ k n ideal ma1 ,...,an = (x1 − a1 , . . . , xn − an ) ⊂ A là một ideal cực đại. Bài tập 13. Cho A = C([0, 1], R) là vành các hàm liên tục tử [0, 1] vào R. Với x ∈ [0, 1] ta đặt mx = {f ∈ A; f ( 12 ) = 0}. 1. Chứng minh rằng mx là một ideal cực đại. 2. Chứng minh rằng mọi ideal cực đại của A đều có dạng mx với x ∈ [0, 1] nào đó. 2 Một số phép toán trên các ideal 2.1 Tổng, giao, tích, thương và linh hóa tử Định nghĩa 2.1.1. Cho A là một vành và a, b, ai , i ∈ I là các ideal. P a+b = 1. Tập P{a + b; a ∈ a, b ∈ b} là một ideal của A gọi là tổng của a và b. Tổng quát hơn, tập a i∈I i = { i∈I xi ; ∀i, xi ∈ ai với hầu hết các i, xi = 0} là một ideal của A gọi là tổng của các ai . 2. ∩i∈I ai là một ideal của A; 3. Tích của hai ideal a và b là ideal của A sinh bởi các phần tử dạng ab với a ∈ a, b ∈ b. Nói cách khác. X ab = {tồng hữu hạn ai bi ; ∀i, ai ∈ a, bi ∈ b} i Q Ta định nghĩa một cách tương tự, khi I hữu hạn, tích một số hữu hạn các ideal i∈I ai . Nói riêng ta định nghĩa các lũy thừa an bằng cách đặt a0 = (1), an = a · · · a (n phiên bản của a). Ví dụ 2.1.2. Trên vành Z, ta có 1. (a) + (b) = (d) với d = UCLN(a, b); 2. (a) ∩ (b) = (m) với m = BCNN(a, b); 3. (a)(b) = (ab). Các đẳng thức trên có thể được mở rộng một cách hoàn toàn tương tự cho một họ hữu hạn các ideal của Z. Nhận xét 2.1.3. Từ định nghĩa, ta dễ dàng kiểm tra rằng P 1. i∈I ai là ideal nhỏ nhất của A chứa đồng thời tất cả các ai ; 2. ∩i∈I ai là ideal lớn nhất nằm trong mỗi ai . Kết quả sau tóm lược một số tính chất đơn giản của các phép toán trên. Mệnh đề 2.1.4. Cho A là một vành và a, b, c là các ideal. 5
1. Các phép toán tổng, giao, tích trên các ideal là giao hoán 2. Phép lấy tích phân phối với phép lấy tổng c(a + b) = ca + cb. Chứng minh. Bài tập. Nhận xét 2.1.5. 1. Nói chung hợp của các ideal không là một ideal. 2. Trong vành Z, phép giao và lấy tổng là phân phối với nhau. Tuy nhiên, với A tổng quát, điều này nói chung không còn đúng nữa. Kết quả tốt nhất theo hướng này mà ta có thể có là (a + b) ∩ c = a ∩ c + b ∩ c nếu c ⊂ a hoặc c ⊂ b 3. Trong Z ta có đẳng thức (a + b)(a ∩ b) = ab. Điều này được suy ra từ đẳng thức quen thuộc BCNN(m, n) UCLN(m, n) = mn với mọi m, n nguyên dương. Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, đẳng thức này không đúng mà ta chỉ có bao hàm (a + b)(a ∩ b) ⊂ ab Bởi vì (a + b)(a ∩ b) = a(a ∩ b) + b(a ∩ b) ⊂ ab + ab = ab. Mệnh đề 2.1.6. Cho A là một vành, a1 , . . . , an là một tập hữu hạn các ideal của A và p là một ideal nguyên tố. 1. a1 · · · an ⊂ p ⇔ ai ⊂ p với i nào đó; 2. ∩ni=1 ai ⊂ p ⇔ ai ⊂ p với i nào đó. Chứng minh. 1. Nếu ai ⊂ p thì a1 · · · an ⊂ ai ⊂ p. Ta chứng minh bao hàm ngược lại bằng phản chứng. Giả sử ai 6=⊂ p với mọi i. Với mỗi i, gọi ai là một phần tử của ai \p. Ta có a1 · · · an ∈ a nhưng a1 · · · an ∈ / p vì p nguyên tố, vô lý. 2. Rõ ràng nếu ai ⊂ p thì ∩ni=1 ai ⊂ p. Để chỉ ra bao hàm ngược lại, ta có thể tiến hành tương tự như trên hoặc áp dụng phần trên với nhận xét rằng a1 · · · an ⊂ ∩ni=1 ai . Định nghĩa 2.1.7 (Ideal nguyên tố cùng nhau). Ta nói a, b là nguyên tố cùng P nhau nếu a + b = (1). Một cách tổng quát, ta nói một tập các ideal {ai }i∈I là nguyên tố cùng nhau nếu i∈I ai = (1). Nhận xét 2.1.8. 1. Như vậy, theo Nhận xét 2.1.3, một họ các ideal ai , i ∈ I là nguyên tố cùng nhau ⇔ các ai không đồng thời nẳm trong bất kì một ideal a 6= (1) nào của A ⇔ ai không đồng thời nẳm trong bất kì một ideal cực đại m nào của A ⇔ ai không đồng thời nẳm trong bất kì một ideal p nguyên tố nào của A. 2. Dễ thấy nếu a và b nguyên tố cùng nhau và c ⊃ b thì a và c cũng nguyên tố cùng nhau. Mệnh đề 2.1.9. Cho a, b1 , . . . , bn là các ideal của một vành A. Khi đó a nguyên tố với b1 · · · bn khi và chỉ khi a nguyên tố cùng nhau với mỗi bi . Chứng minh. Giả sử a nguyên tố cùng nhau với mỗi bi nhưng a và b1 · · · bn không nguyên tố cùng nhau. Khi đó tồn tại một ideal nguyên tố p chứa đồng thời a và b1 · · · bn . Nhưng theo Mệnh đề 2.1.6 thì p ⊃ bi với i nào đó, điều này mâu thuẫn với giả thiết a và bi nguyên tố cùng nhau. Chiều ngược lại là hiển nhiên vì b1 · · · bn nằm trong mỗi bi . 6
Nhận xét 2.1.10. Ta có thể tránh sử dụng Mệnh đề 2.1.6 bằng cách tiến hành như sau. Giả sử a nguyên tố cùng nhau với mỗi bi . Khi đó, tồn tại các phần tử x1 , . . . , xn ∈ a, y1 ∈ b1 , . . . , yn ∈ an sao cho xi + yi = 1. Đặt y = y1 · · · yn ∈ b1 · · · bn . Ta có y = (1 − x1 )(1 − x2 ) · · · (1 − xn ). Do mỗi xi ∈ a, rõ ràng y = 1 + x với x ∈ a nào đó, như vậy −x + y = 1 và do đó a nguyên tố cùng nhau với b1 · · · bn . Cũng như trong chứng minh trên, chiều ngược lại là hiển nhiên. Mệnh đề 2.1.11. Cho A là một vành và a, b, a1 , . . . , an là các ideal của A. 1. Nếu a, b là nguyên tố cùng nhau thì ab = a ∩ b 2. Tổng quát hơn, nếu a1 , a2 , . . . , an là các ideal đôi một nguyên tố cùng nhau thì n Y ai = ∩ni=1 ai i=1 Chứng minh. 1. Ta luôn có ab ⊂ a ∩ b. Bao hàm ngược lại đến từ tính toán đơn giản a ∩ b = (1)(a ∩ b) = (a + b)(a ∩ b) = a(a ∩ b) + b(a ∩ b) ⊂ ab 2. Ta tiến hành qui nạp theo n. Trường hợp n = 2 được giải quyết ở trên. Giả sử n > 2 và đẳng thức Qn−1 đúng với n − 1. Đặt b = i=1 ai = ∩n−1 i=1 ai . Do ai và an nguyên tố cùng nhau, theo Mệnh đề 2.1.9, b và an nguyên tố cùng nhau và ta áp dụng phần 1. Định lí 2.1.12 (Thặng dư Trung Hoa). Cho A là một vành và a, b, a1 , . . . , an là các ideal của A. 1. Nếu a, b là nguyên tố cùng nhau thì A/ab ' (A/a) × (A/b) 2. Nếu a1 , a2 , . . . , an là các ideal đôi một nguyên tố cùng nhau thì A/(a1 a2 · · · an ) ' (A/a1 ) × (A/a2 ) × · · · × (A/an ) Chứng minh. 1. Đồng cấu tự nhiên A → (A/a) × (A/b), a 7→ (a mod a, a mod b) có hạch a ∩ b = ab, vì thế cảm sinh một đơn cấu φ : A/ab → (A/a) × (A/b) Ta sẽ chứng minh φ là toàn cấu. Gọi x ∈ a, y ∈ b sao cho x + y = 1 (do a, b nguyên tố cùng nhau nên các phần tử như vậy tồn tại). Với mọi a, b ∈ A ta có ay + bx ≡ a mod a, ay + bx ≡ b mod b. Các đồng dư này chứng tỏ φ(ay + bx mod ab) = (a mod a, b mod b) 2. Được suy ra từ qui nạp. Ví dụ 2.1.13. Với A = Z, ta có phát biểu cụ thể hơn như sau. Cho n1 , . . . , nk là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau. Ta có đẳng cấu vành Z/(n1 · · · nk ) ' Z/(n1 ) × · · · × Z/(nk ) 7
Định nghĩa 2.1.14 (Thương và linh hóa tử). Cho a, b là các ideal của một vành A. Ta đặt (a : b) = {x ∈ A; xb ⊂ a} Ta dễ dàng kiểm chứng (a : b) là một ideal của A, gọi là ideal thương của a cho b. Khi a = 0 ta kí hiệu Ann(b), và gọi là linh hóa tử của b, thay cho (0 : b). Nhận xét 2.1.15. Với khái niệm này, tập các ước của 0 của một vành A là D = {x ∈ A; ∃0 6= y ∈ A, xy = 0} = ∪06=y∈A Ann(y) m Ví dụ 2.1.16. Giả sử A = Z, a = (m), b = (n). Thế thì (a : b) = (q) với q = UCLN(m,n) . Nói cách khác nếu viết m = p prp , n = p psp thì q = p ptp trong đó Q Q Q tp = max(rp − sp , 0) = rp − min(rp , sp ) Ta có một số tính chất của phép lấy thương các ideal Định lí 2.1.17. Cho a, b, c, {ai }i∈I là các ideal của một vành A và 0 6= x ∈ A. Khi đó 1. a ⊂ (a : b); 2. (a : b)b ⊂ a; 3. b ⊂ a =⇒ (a : b) = a; 4. (a : (1)) = a; 5. ((1) : a) = (1); 6. (a : (b + c)) = (a : b) ∩ (a : c); 7. (a : (x)) = x1 (a ∩ (x)) nếu A là một miền nguyên; 8. ((a : b) : c) = (a : bc) = ((a : c) : b); 9. (∩i∈I ai : b) = ∩i∈I (ai : b); P 10. (b : i∈I ai ) = ∩(b : ai ); Chứng minh. Bài tập. Nhận xét 2.1.18. Về mặt hình học, khái niệm ideal thương khá thuận tiện, chẳng hạn 1. Nếu X, Y là hai tập con của một đa tạp đại số thì (I(X) : I(Y )) = I(X\Y ) trong đó I(X), I(Y ), . . . là các ideal định nghĩa của X, Y, . . .; 2. Nếu a, b ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] là các ideal của một vành đa thức trên một trường thì V (a : b) = V (a)\V (b) trong đó V (a), V (b) là các tập các không điểm của a, b và X kí hiệu bao đóng Zariski của X. 2.2 Căn lũy linh và căn Jacobson Định nghĩa 2.2.1 (Phần tử lũy linh). Một phần tử a của một vành A được gọi là lũy linh nếu an = 0 với một số nguyên n > 0 nào đó. Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho an = 0 được gọi là chỉ số lũy linh của a. Nhận xét 2.2.2. 1. Chú ý rằng 0 là một phần tử lũy linh, đây cũng là phần tử lũy linh duy nhất với chỉ số lũy linh bằng 1. 2. Một phần tử lũy linh là một ước của 0. Nói riêng nếu A là một miền nguyên thì 0 là phần tử lũy linh duy nhất của A. Mệnh đề-Định nghĩa 2.2.3 (Căn lũy linh). Tập các phần tử lũy lính của một vành A tạo thành một ideal, gọi là căn lũy linh của A và kí hiệu là nilrad(A). 8
Chứng minh. Giả sử a, b ∈ nilrad(A), như vậy an = 0, bm = 0 với m, n nguyên dương nào đó, và x ∈ A. Ta có (xa)n = xn an = xn · 0 = 0, như vậy xa ∈ nilrad(A). Việc a + b ∈ nilrad(A) được suy ra từ công thức nhị thức. Thật vậy m+n−1 n+m−1 n + m − 1 n+m−2 n + m − 1 n m−1 (a + b) = a + a b + ··· + a b + 1 n n + m − 1 n−1 m n+m−1 + a b + ··· + abn+m−2 + bm n−1 1 = 0 + 0 + ··· + 0 = 0 bởi vì n hạng tử đầu tiên triệt tiêu do an = 0, m hạng tử sau do bm = 0. Ví dụ 2.2.4. 1. Nếu A là một miền nguyên thì nilrad(A) = 0; 2. Nếu A = Z/(n) với n nguyên dương nào đó thì nilrad(A) = (d)/(n) = dZ/nZ trong đó d là ước lớn Qk Qk nhất không chứa chính phương của n. Nói cách khác, nếu n = i=1 psi i thì d = i=1 pi . Định nghĩa 2.2.5 (Vành rút gọn). Một vành A được gọi là rút gọn nếu không có phần tử lũy lính 6= 0, nói cách khác, nếu nilrad(A) = 0. Ví dụ 2.2.6. 1. Mọi miền nguyên là một vành rút gọn; 2. Với A = Z/(n), n nguyên dương > 1 nào đó, thì A rút gọn khi và chỉ khi n không có ước chính phương (nghĩa là n là tích của các ước nguyên tố phân biệt của nó). Ta có một miêu tả khác của căn lũy linh. Mệnh đề 2.2.7. Ta có nilrad(A) là giao của các ideal nguyên tố của A, nghĩa là nilrad(A) = ∩p∈Spec A p Chứng minh. Thật vậy một ideal nguyên tố luôn chứa tất cả các phần tử lũy linh nên giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa nilrad(A). Ngược lại, giả sử f không lũy linh. Gọi Σ là tập các ideal a sao cho a không chứa bất kì một lũy thừa nguyên dương nào của f . Do (0) ∈ Σ nên Σ 6= ∅. Áp dụng bổ đề Zorn cho tập Σ (với thứ tự bao hàm quen thuộc) ta được một phần tử cực đại p. Khi đó p là một ideal nguyên tố: thật vậy, giả sử x, y ∈ / p. Các ideal (x) + p, (y) + p không phải là các phần tử của Σ (vì chứa p) nên ta tìm được m, n sao cho f m ∈ p + (x), f n = p + (y). Ta suy ra f m+n ∈ p + (xy). Như vậy p + (xy) ∈/ Σ, do đó xy ∈/ p. Mệnh đề 2.2.8. Cho A là một vành. Vành thương A/ nilrad(A) là một vành rút gọn. Chứng minh. Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.7 ở trên, ta có nilrad(A/ nilrad(A)) = ∩p∈Spec ¯ ¯ A/ nilrad(A) p ¯ = p mod nilrad(A) tạo thành một song ánh giữa {p ∈ Spec A; p ⊃ nilrad(A)} và Nhưng ta biết rằng p 7→ p Spec A/ nilrad(A). Nhưng cũng theo Mệnh đề 2.2.7, p ⊃ nilrad(A) với mọi p ∈ Spec A. Như vậy vế phải của đẳng thức trên chính là ảnh trong A/ nilrad(A) của ∩p∈Spec A p = nilrad(A) và như vậy bằng 0. Kết quả trên giải thích khái niệm sau. Định nghĩa 2.2.9. Vành Ared := A/ nilrad(A) được gọi là vành rút gọn của A. Nhận xét 2.2.10. Ta có thể nhìn vành rút gọn Ared như vành thương rút gọn lớn nhất của A. Trước hết ta đưa ra khái niệm sau. Định nghĩa 2.2.11. Một ideal nguyên tố được gọi là cực tiểu nếu không chứa một ideal nguyên tố nào ngoài chính nó. Nói cách khác p ∈ Spec A là cực tiểu nếu q ∈ Spec A, q ⊂ p =⇒ q = p. Dĩ nhiên, do 0 ⊂ p với mọi p ∈ Spec A nên nếu A là một miền nguyên thì 0 là ideal nguyên tố cực tiểu duy nhất. 9
Mệnh đề 2.2.12. Tồn tại ít nhất một ideal nguyên tố cực tiểu. Chứng minh. Sử dụng bổ đề Zorn. Theo Nhận xét 2.2.8, ta biết rằng căn lũy linh của một vành A luôn chứa 0 và nằm trong tập các ước của 0. Kết quả sau đây đưa ra một mối liên hệ lý thú khác giữa chúng. Mệnh đề 2.2.13. Giả sử A không là một miền nguyên. Khi đó A là một vành không rút gọn hoặc A có nhiều hơn một ideal nguyên tố cực tiểu. Chứng minh. Nhắc lại rằng A không rút gọn có nghĩa là A chứa một phần tử lũy lính 6= 0, hay nilrad(A) 6= 0. Giả sử nilrad(A) = 0, ta sẽ chứng minh A có nhiều hơn một ideal nguyên tố cực tiểu. Theo Mệnh đề 2.2.7 ta có nilrad(A) = ∩p∈Spec A p = 0 Trước hết, dễ thấy rằng mọi ideal nguyên tố luôn chứa ít nhất một ideal nguyên tố cực tiểu (nói riêng mọi vành có chứa ít nhất một ideal nguyên tố cực tiểu). Mặt khác nếu p ⊂ q với p, q là các ideal nguyên tố thì trong giao ∩p⊂A;pnguyên tố p ta có thể bỏ q đi. Nói cách khác, nilrad(A) = ∩p,pnguyên tố cực tiểu p Như vậy nếu A chỉ có một ideal nguyên tố cực tiểu, chẳng hạn p, thì ta có nilrad(A) = p. Nhưng nilrad(A) = 0 theo giả thiết nên p = 0 và do đó A là một miền nguyên, vô lý. Nhận xét 2.2.14. Kết quả trên sẽ trở nên có ý nghĩa hơn khi ta biết rằng nếu A là một vành Noether thì A chỉ chứa một số hữu hạn các ideal nguyên tố cực tiểu. Mệnh đề 2.2.7 gợi ý một khái niệm tương tự như căn lũy linh khi thay các ideal nguyên tố bằng các ideal cực đại. Định nghĩa 2.2.15 (Căn Jacobson). Căn Jacobson của A, kí hiệu là J(A) được định nghĩa như là giao của tất cả các ideal cực đại của A, nghĩa là J(A) = ∩m∈Specm A m Ví dụ 2.2.16. 1. Với A = Z/(n), n nguyên dương thì J(A) = nilrad(A). 2. Với A = Z(p) thì J(A) = Ap (và nilrad(A) = 0). Đây là một trường hợp đặc biệt của các vành địa phương mà ta sẽ đề cập tới. Nhận xét 2.2.17. 1. Định nghĩa như một giao cùa ideal, rõ ràng J(A) là một ideal của A. 2. Vì một ideal cực đại luôn là nguyên tố nên Định nghĩa trên cùng với Mệnh đề 2.2.7 chứng tỏ nilrad(A) ⊂ J(A) Mệnh đề 2.2.18. Cho A là một vành. Ta có J(A/ J A) = 0. Chứng minh. Hoàn toàn tương tự như chứng minh của Mệnh đề 2.2.8 Các phần tử của J(A) có thể được đặc trưng bởi kết quả sau. Mệnh đề 2.2.19. J(A) = {x; xy − 1 khả nghịch với mọi y ∈ A}. Chứng minh. Giả sử x ∈ J(A) và y ∈ A sao cho 1 − xy không khả nghịch. Như vậy (1 − xy) là một ideal riêng do đó nằm trong một ideal cực đại m ⊂ A. Do x ∈ m, xy ∈ m ta suy ra 1 ∈ m, vô lí. Giả sử x ∈ / J(A), nghĩa là x ∈ / m với một ideal cực đại m nào đó. (x) + m chứa m nên = A. Do vậy xy + m = 1 với y ∈ A, m ∈ m nào đó. Do đó 1 − xy ∈ m nên không phải là một phần tử khả nghịch. Nhận xét 2.2.20. Cho dù có một số điểm tương đồng, hai khái niệm căn lũy linh và căn Jacobson khác nhau rất xa về bản chất. Thật vậy, căn lũy linh đặc trưng tính rút gọn của một vành, trong khi đó cho dù ta không đề cập đến ở đây, căn Jacobson miêu tả tính nửa đơn của một vành đã cho. 10
2.3 Căn của một ideal và ideal căn Mệnh đề-Định nghĩa 2.3.1 (Căn của một ideal và ideal căn). Cho A là một vành và a ⊂ A là một ideal. Tập hợp √ a = {x ∈ A; xn ∈ a với một n≥1 nào đó} là một ideal của A, gọi là căn của a. Chứng minh. Tương tự như với Định nghĩa 2.2.3. √ Ví dụ 2.3.2. Với A = Z và a = (n), với n nguyên dương nào đó, thì a = (d), trong đó d là ước lớn nhất không chứa chính phương của n. Nhận xét 2.3.3. Các tính chất sau dễ dàng được suy ra từ định nghĩa √ 1. nilrad(A) = 0; √ 2. Với mọi ideal a ta có a ⊃ a; √ √ 3. Nếu a ⊂ b thì a ⊂ b; √ 4. a = (1) ⇔ a = (1). √ Định nghĩa 2.3.4 (Ideal căn). Ta nói a là một ideal căn nếu a = a. Ta có một miêu tả khác về căn của một ideal như sau. Mệnh đề 2.3.5. Căn của một ideal a là giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa a. Nói cách khác, √ a = ∩p∈Spec A;p⊃a p Chứng minh. Thật vậy, chỉ cần áp dụng mệnh đề 2.2.7 cho A/a. √ Mệnh đề 2.3.6. Cho A là một vành và a ⊂ A là một ideal. Ta có nilrad(A/a) = a/a. Chứng minh. Gọi π : A → A/a là phép chiếu chính tắc. Ta có √ √ ¯ = ∩p∈Spec A,p⊃a π(p) = π(∩p∈Spec A,p⊃a p) = π( a) = a/a nilrad(A/a) = ∩p¯,p∈Spec A/a p √ Nhận xét 2.3.7. 1. Nói một cách khác, vành thu gọn của A/a là A/ a. 2. Như vậy, a là một ideal căn khi và chỉ khi A/a là một vành rút gọn. Một số tính chất khác của căn ideal được tóm tắt trong kết quả sau đây. Mệnh đề 2.3.8. Cho A là một vành và a, b là các ideal của A. Ta có √ 1. Giả sử a 6= (1). Ta có a = a khi và chỉ khi a là giao của một họ các ideal nguyên tố của A. p√ √ 2. a = a; √ √ √ √ 3. ab = a ∩ b = a ∩ b; √ q √ √ 4. a + b = a + b; √ 5. Với mọi ideal nguyên tố p, với mọi số nguyên dương n, pn = p. √ √ 6. a, b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi a, b nguyên tố cùng nhau. √ Chứng minh. √1. Giả sử a = ∩i∈I pi trong đó√pi ∈ Spec A với mọi i ∈ I. Ta sẽ chứng minh a = a. Bao hàm a ⊂ a là hiển nhiên. Giả sử x ∈ a, như vậy xn ∈ a với n nguyên dương nào đó. Ta suy ra xn ∈ pi với mọi i ∈ I. Do pi nguyên tố xn ∈ pi =⇒ x ∈ pi . Như vậy x ∈ ∩i∈I pi = a. √ √ Ngược lại nếu a = a thì a = a = ∩p∈Spec A,p⊃a p. 11
√ p√ √ p√ p√ √ 2. Bao hàm a ⊂ a là hiển nhiên. Ta chứng minh a ⊃ a. Giả sử x ∈ a như vậy xn ∈ a n k √ nhưng điều này lại chứng tỏ (x ) ∈ a với k nguyên dương nào đó. Như với n nguyên dương nào đó, nk vậy x ∈ a và do đó x ∈ a. 3. Thật vậy, theo Mệnh đề 2.1.6, với mọi p ∈ Spec A ta có p ⊃ a ∩ b ⇔ p ⊃ a hoặc p ⊃ b ⇔ p ⊃ ab. √ √ √ q √ √ q √ √ √ √ 4. Ta có a ⊂ a, b ⊂ b nên a + b ⊂ a + b. Ngược lại. Nếu x ∈ a + b thì xn ∈ a + b với √ √ n nguyên dương nào đó. Ta suy ra tồn tại các phần tử α1 , α2 , . . . , αs ∈ a, β1 , . . . , βs ∈ b sao cho xn = α1 β1 + · · · αs βs . Gọi m1 , . . . , ms , k1 , . . . , ks là các số nguyên dương sao cho αimi ∈ a, βiki ∈ b với mọi i = 1, . . . , k. Đặt N = max{m1 , . . . , ms , k1 , . . . , ks } thế thì αiN ∈ a, βiN ∈ b với mọi i. Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được rằng sau khi khai triển, mỗi hạng tử của xnN s = (α1 β1 + · · · αs βs )N s √ đều một phần tử của a hoặc của b. Như vậy xnN s ∈ a + b và do đó x ∈ a + b. √ n √ √ √ T phần trên p = p. Một mặt, ta biết rằng p ⊂ p, mặt khác, p = ∩q∈Spec A,q⊃p q = 5. Theo p ∩q∈Spec A,q⊃p,q6=p q ⊂ p. √ √ √ √ 6. Giả sử a,√b nguyên √ tố cùng nhau, nghĩa là a + b = (1). Khi √ đó√ a + b = (1) bởi vì a ⊂ a, b ⊂ b, như vậy a, b nguyên tố cùng q nhau. Ngược lại, giả sử a, b nguyên tố cùng nhau. Ta có, theo một √ √ √ p đẳng thức ở trên a + b = a + b = (1) = (1), và do đó a + b = (1). 2.4 Mở rộng và thu gọn các ideal Cho φ : A → B là một đồng cấu vành, (nói cách khác B là một A-đại số) và a ⊂ A, b là các ideal, khi đó φ−1 (b) là một ideal của A nhưng φ(a) nói chung không phải là một ideal của B (trừ khi φ là toàn cấu). Ta biết rằng nếu b là nguyên tố thì φ−1 (b) cũng là nguyên tố. Tuy nhiên, ảnh ngược của một ideal cực đại nói chung không phải là một ideal cực đại. Định nghĩa 2.4.1. Cho φ : A → B là một đồng cấu vành và a ⊂ A, b ⊂ B là các ideal. 1. Ta gọi mở rộng ae của một ideal a ⊂ A ideal aB của B sinh bởi φ(a); 2. Thu gọn bc của b, theo định nghĩa, là ảnh ngược của b bởi φ, nghĩa là bc = φ−1 (b) ⊂ A. Ta có một số tính chất của mở rộng và thu gọn các ideal. Định lí 2.4.2. Cho φ : A → B là một đồng cấu vành và a, a1 , a2 ⊂ A, b, b1 , b2 ⊂ B là các ideal. 1. a ⊂ aec , b ⊃ bce ; 2. ae = aece , bc = bcec ; 3. Gọi Σ là tập các thu gọn của các ideal của B và Ω là tập các mở rộng của các ideal của A. Ta có Σ = {a ⊂ A; aec = a} Ω = {b ⊂ B; bce = b} Hơn nữa a 7→ ae là một song ánh giữa Σ và Ω với nghịch đảo b 7→ bc ; 4. (a1 + a2 )e = ae1 + ae2 , (b1 + b2 )c = bc1 + bc2 ; 5. (a1 ∩ a2 )e ⊂ ae1 ∩ ae2 , (b1 ∩ b2 )c = bc1 bc2 ; 6. (a1 a2 )e = ae1 ae2 , (b1 b2 )c ⊃ bc1 bc2 ; 7. (a1 : a2 )e ⊂ (ae1 : a2 )e , (b1 : b2 )c ⊂ (bc1 : bc2 ); √ √ e √ √ c 8. ae ⊂ a ; bc ⊂ b . 12
Chứng minh. Bài tập. Bài tập 14. Với a = (X1 , . . . , Xn ) ⊂ K[X1 , . . . , Xn ], miêu tả an . √ √ Bài tập 15. Cho A = Z[X]. Tính a + b, a ∩ b, ab, a, b với 1. a = (X − 1), b = (X); 2. a = (X 2 + 1), b = (X + 2). Bài tập 16. Cho m là một ídeal cực đại của một vành A và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng m là ideal nguyên tố duy nhất của A chứa mn . Bài tập 17. Chứng minh rằng hai ideal cực đại phân biệt của một vành luôn nguyên tố cùng nhau. Bài tập 18. Các vành Z/(4) và Z/(2) × Z(2) có đẳng cấu với nhau không? Vì sao? Bài tập 19. Chứng minh rằng A ' B và hãy xây dựng cụ thể một đẳng cấu vành f : A → B trong các truờng hợp sau 1. A = Z/(2) × Z/(3) và B = Z/(6); 2. A = R[X]/(X − 1) × R[X]/(X + 1) và B = R[X]/(X 2 − 1); 3. A = R[X]/(X 2 + X) × R[X]/(X 2 + 5X + 6) và B = R[X]/(X(X + 1)(X + 2)(X + 3)) ; Bài tập 20. Giải các hệ hệ phương trình đồng dư trong Z x ≡ 2 (mod 5) x ≡ 4 (mod 6) x ≡ 5 (mod 6) (a) , (b) , (c) x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 3 (mod 4) Bài tập 21. Tìm tất cả các đa thức f (X) ∈ R[X] sao cho X − 1 | f (X) + 1 và X 2 + 1 | f (X) + X. Bài tập 22. Có bao nhiêu số nguyên dương n, 1 ≤ n < 20102 thỏa mãn n2 = 1 mod 20102 ? Bài tập 23. Tìm căn lũy linh của A = k[x]/(x2 )? Bài tập 24. Chứng minh một vành là rút gọn khi và chỉ khi đẳng cấu với một vành con của một tích một họ các trường nào đó. Bài tập 25. Cho A là một vành và f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ A[X]. Chứng minh rằng 1. f (X) ∈ A[X]∗ ⇔ a0 ∈ A∗ và a1 , . . . , an là các phần tử lũy linh; 2. f (X) ∈ nilrad(A[X]) ⇔ ai ∈ nilrad(A) với mọi i; 3. f (X) là một ước của 0 trong A[X] khi và chỉ khi tồn tại a ∈ A sao cho af (X) = 0. Bài tập 26. Cho A là một vành. Chứng minh rằng nilrad(A[X]) = J(A[X]) P∞ Bài tập 27. Cho A là một vành và f (X) = n=0 an X n ∈ A[[X]]. Chứng minh rằng 1. f (X) ∈ A[[X]]∗ ⇔ a0 ∈ A∗ ; 2. f (X) ∈ nilrad(A[[X]]) =⇒ an ∈ nilrad(A) với mọi n; 3. f (X) ∈ J(A[[X]]) ⇔ a0 ∈ J(A); 4. Từ đó suy ra nếu A không rút gọn thì nilrad(A[[X]]) ( J(A[[X]]). Bài tập 28. Cho A là một vành và j : A → A[[X]] là phép nhúng chuẩn tắc. Cho m ∈ Specm A[[X]]. Chứng minh rằng 1. mc ∈ Specm A; 2. m = mce + (X) (nghĩa là m sinh bởi mc và X). 13