NHị THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

Chia sẻ: Nguyen Minh Duc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

1.185
lượt xem 289
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về nhị thức Newton và ứng dụng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: NHị THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG A.LÍ THUYẾT: 1.Các hằng đẳng thức ( a + b) = 1 0 ( a + b) = a + b 1 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 3 ( a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b4 4 ... 2.Nhị thức Newton( Niu-tơn) a.Định lí: n = Cn a n + Cn a n−1b + ... + Cnn−1ab n −1 + Cnnb n = ∑ Cn a n − k b k ( a + b) n 0 1 k k =0 Kết quả: k n n * ( a − b ) =  a + ( −b )  = ∑ C a = ∑ ( −1) Cn a n − k b k ( −b ) n n k n−k k k   n k =0 k =0 n * ( 1 + x ) = ∑ Cn .x = Cn + Cn .x + ... + Cn .x n k k 0 1 nn k =0 b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn ( a + b ) : n -Số các số hạng của công thức là n+1 -Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k) +k=n k n−k k -Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk +1 = Cn a b (Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( a + b ) ) n -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. n −1 - 2 = Cn + Cn + ... + Cn n n 0 - 0 = Cn − Cn + ... + ( −1) Cn n 0 1 n -Tam giác pascal: 1 Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng n k Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 1
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 0 1 2 3 4 5 .... 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi k− Cn = Cn −11 + Cn −1 (Với 1 < k < n) k k 3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: n 2n = ( 1 + 1) = ∑ Cn =Cn + Cn −1 + ... + Cn0 n k n n • k =0 n 0 = ( 1 − 1) = ∑ ( −1) Cn =Cn − Cn + ... + ( −1) Cn n k n k 0 1 n • k =0 n = ∑ Cnk x n − k =Cn x n + Cn x n −1 + ... + Cn x 0 ( 1+ x) n 0 1 n • k =0 n = ∑ ( −1) Cnk x k =Cn x 0 − Cn x1 + ... + ( −1) Cn x n ( 1− x) n n n 0 1 n • k =0 n ( x − 1) = ∑ ( −1) Cnk x n−k =Cn0 x n − Cn x n−1 + ... + ( −1) Cnn x 0 n k n 1 • k =0 4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton. n ∑C i a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có với i là số tự nhiên n i =1 liên tiếp. n ∑ i ( i − 1) C thì ta dùng đạo hàm ( i ∈ ¥ ) i b. Trong biểu thức có n i =1 n ∑( i + k ) C i • Trong biểu thức có thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm n i =1 n ∑a C k i • Trong biểu thức có thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp. n i =1 n 1 thì ta lấy tích phân xác định trên [ a; b ] thích hợp. ∑ i −1 C i • Trong biểu thức có n i =1 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 2
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG i n n Nếu bài toán cho khai triển ( x + x ) = ∑C ( x ) (x ) a n −i = ∑ Cn x a( n −i ) +ib thì hệ bn a i b i • n i =1 i =1 số của x là C n sap cho phương trình a ( n − i ) + bi = m có nghiệm i ∈ ¥ m i n −1 n +1 n Cn đạt MAX khi i = hay i = với n lẽ, i = với n chẵn. i • 2 2 2 B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON. I.Các bài toán về hệ số nhị thức. 1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: Q ( x ) = ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x ) 9 10 14 Q ( x ) = a0 + a1 x + ... + a14 x14 Ta được đa thức: Xác định hệ số a9. Giải: Hệ số x9 trong các đa thức ( 1 + x ) , ( 1 + x ) ,..., ( 1 + x ) lần lượt là: C9 , C10 ,..., C14 9 10 14 9 5 9 Do đó: 1 1 1 1 a9 = C99 + C10 + ... + C14 = 1 + 10 + .10.11 + .10.11.12 + .10.11.12.13 + .10.11.12.13.14 5 9 2 6 24 20 =11+55+220+715+2002=3003 12 63 Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: A2 x − Ax ≤ Cx + 10 2 2 x Giải: Điều kiện: x là số nguyên dương và x ≥ 3 Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: ( 2 x − 1) 2 x − x − 1 x ≤ 6 ( x − 2 ) ( x − 1) + 10 ( ) 2 3! x ⇔ 2 x ( 2 x − 1) − x ( x − 2 ) ≤ ( x − 2 ) ( x − 1) + 10 ⇔ 3 x ≤ 12 ⇔ x ≤ 4 Vì x là nghiệm nguyên dương và x ≥ 3 nên x ∈ { 3; 4} Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 1 + x ( 1 − x )  8 2   Giải: k k k  8 8 Cách 1: Ta có: f ( x ) = ∑ C  x 2 ( 1 − x )  = ∑ C8k x 2 k  ∑ ( −1) Cki x i  . i k   8  i =0  k =0 k =0  i = 0 0 ≤ i ≤ k ≤ 8   k = 4  Vậy ta có hệ số của x8 là: ( −1) C8k Cki thoã  2k + i = 8 ⇒  i  i = 2 i, k ∈ ¥    k = 3  Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 3
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG ( −1) C84C4 + ( −1) C83C32 =238 0 2 0 Hệ số trong khai triển của x8 là: Cách 2: Ta có: f ( x ) = C80 + ... + C83  x 2 ( 1 − x )  + C84  x 2 ( 1 − x )  + ... + C88  x 2 ( 1 − x )  3 4 8       Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng: Số hạng thứ 4: C8  x ( 1 − x )  3 3 2 •   Số hạng thứ 5: C8  x ( 1 − x )  4 4 2 •   Với hệ số tương đương với: A8= C8 C3 + C8 C4 =238 32 40 Ví dụ 4:(ĐH HCQG, 2000) 12  1 a) Tìm hệ số x trong khai triển  1 + ÷ 8  x b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức ( x 2 + 1) bằng 1024. Hãy n tìm hệ số a ( a ∈ ¥ *) của số hạng ax12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000) Giải: a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: k k 12 − x  1  ak = C12 x  ÷ = C12 x12− 2 k ( 0 ≤ k ≤ 12 ) k x Ta chọn 12 − 2k = 8 ⇔ k = 2 Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: C12 = 66 2 n b) Ta có: ( 1 + x ) = ∑ Cn x = Cn + Cn x + ... + Cn x k 12 − 2 k 2 k 2n k 12 k =0 Với x=1 thì: 2 = C + Cn + ... + Cn = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10 n 0 1 n n Do đó hệ số a (của x12) là: C10 = 210 6 Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: P ( x ) = (1 + 2 x )12 = a0 + a1 x + ... + a12 x12 Tìm max ( a0 , a1 , a2 ,..., a12 ) Giải: Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ak > ak −1 Từ đây ta có hệ phương trình: 2 1  k ≥ 12 − k + 1  2 C12 ≥ 2 C12 k −1 k −1 k k   ⇔ k k k +1 k +1 1≥2  2 C12 ≥ 2 C12  12 − k k + 1  ⇒ max ( a0 , a1 , a2 ,..., a12 ) = a8 = C12 218 = 126720 8 2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton. Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 4
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ( 2 − 3 x ) 25 Giải: Số hạng thứ 21 trong khai triển là: C 2 ( −3 x ) = C25 25320 x 20 20 20 5 20 25 Ví dụ 7: a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ( x 3 + xy ) 21 20   1 b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau  x 4 x + ÷  ÷ ( xy ) 2 3   Giải: a. Khai triển ( x 3 + xy ) 20 có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12. Số hạng thứ 11 là: C21 ( x ) ( xy ) 11 10 = C21 x 43 y10 10 3 10 • Số hạng thứ 12 là: C21 ( x ) ( xy ) 10 11 = C21 x 41 y11 11 3 10 • 20   1 b. Khai triển  x 4 x + ÷ có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2  ÷ ( xy ) 2 3   10 10 10  4   65 20 7 −  21  2 − số là số hạng thứ   + 1 = 16 : C20  x ÷  ( xy ) ÷ = C20 x y 3 10 6 3 2    ( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x). Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. 7 3 1 f ( x ) =  x + 4 ÷ với x > 0  x Giải: k 77 () 7−k  1  −k ( k ∈ ¥ , k ≤ 7) Số hạng tổng quát trong khai triển: Tk +1 = C7 x = C7 x k3 k 3 12 4 ÷  x 77 Ứng với số hạng không chứa x ta có: − k = 0 ⇔ k = 4 3 12 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển f ( x ) là: C7 = 35 4 Ví dụ 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức: 10 1 2  + x ÷ = a0 + a1 x + ... + a9 x 9 + a10 x10 .  3 3  Hãy tìm số hạng ak lớn nhất. Giải: 10 1 2  1n k 1 1k Ta có:  + x ÷ = 10 ( 1 + 2 x ) = 10 ∑ C10 ( 2 x ) ⇒ ak = 10 C10 2k 10 k 3 3  3 3 k =0 3 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 5
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG Ta có ak đạt được max C10 2k ≥ C10+1 2k +1 ak ≥ ak +1 k k  ⇒ ⇔ k k ak ≥ ak −1 k −1 k −1 C10 2 ≥ C10 2   2k10! 2k10! 1 2 ≥  k ! 10 − k ! k + 1 ! 9 − k ! 10 − k ≥ k + 1 19 ( )( )( )   22 ⇔ ⇔ ⇔ ≤k≤ 2 ≥ 2 3 3 k k  2 10! ≥ 2 10!  k 11 − k  k !( 10 − k ) ! ( k − 1) !( 11 − k ) !   ⇒ k = 7 ( k ∈ ¥ , k ∈ [ 0,10] ) 27 7 Vậy max ak = a7 = C10 310 Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau: ( x + 1) ( x + 2 ) = x11 + a1 x10 + ... + a11 Hãy tìm hệ số a5 Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển x ( 1 − 2 x ) + x 2 ( 1 + 3 x ) ( Khối D-2007) 5 10 Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức ( x + y + z + t ) ( Đề 4 “TH&TT” 20 -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong khai triển đa thức: ( x 2 + 2 ) ( 3x + 1) biết: n n 3 C2 n − 3C22nn −1 + ... + ( −1) 3k C22n − k + ... + 32 n C2 n = 1024 k 2n n 0 n  1 Bài 5: (LAISAC) Khai triển P ( x ) =  x 3 + 2 ÷ ta được  2x  P ( x ) = a0 x + a1 x 3 n −5 3 n −10 + a2 x + ... Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số 3n cộng. Tính số hạng thứ x4 II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. 1. Thuần nhị thức Newton k n−k k Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng Cn a b thì ta n sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: ( a + b ) = ∑ Cn a b . Việc còn lại chỉ n k n−k k k =0 là khéo léo chọn a,b. Ví dụ 10: Tính tổng 3 C16 − 3 C16 + 3 C16 − ... + C16 16 0 15 1 14 2 16 Giải: Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16=216 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 6
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: C2 n + 32 C2 n + 34 C24n + ... + 32 n C2 n = 22 n −1 ( 22 n + 1) 0 2 2n Giải: ( 1 + x ) = C + C x + C x + ... + C + C2nn x 2 n ( 1) 2n 2 n −1 2 n −1 0 1 2 2 2 x 2n 2n 2n 2n ( 1 − x ) = C20n − C2n x + C22n x 2 + ... − C22nn−1 x 2 n−1 + C22nn x 2 n ( 2 ) 2n 1 Lấy (1) + (2) ta được: ( 1 + x ) + ( 1 − x ) = 2 C20n + C22n x 2 + ... + C22nn x 2 n  2n 2n   ( 4) + ( −2 ) 2n 2n = 2 C2 n + C2 n 32 + ... + C2 n 32 n  0 2 2n   24 n + 22 n ⇔ = C2 n + C2 n 32 + ... + C2nn 32 n 0 2 2 2 2 ( 22 n + 1) Chọn x=3 suy ra: 2n ⇔ = C2 n + C2n 32 + ... + C22n 32 n 0 2 n 2 ⇔ 22 n −1 (22 n + 1) = C2 n + C2 n 32 + ... + C2 n 32 n 0 2 2n ⇒ ĐPCM 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. a.Đạo hàm cấp 1. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n, k n − k k −1 k …,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng kCn hoặc kCn a b thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể: ( a + x ) = Cn0 a n + 2Cn a n−1 x + ... + nCnn ax n n 1 Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: n ( a + x ) = Cn a n −1 + 2Cn a n− 2 + ... + nCnn ax n−1 ( 1) n −1 1 2 Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Ví dụ 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng Cn − 2Cn + 3Cn − 4Cn + ... + ( −1) n −1 1 2 3 4 n nCn Giải: Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0. k −1 Cách khác: Sử dụng đẳng thức kCn = nCn −1 ta tính được tổng bằng: k nCn −1 − nCn −1 + nCn −1 + ... + ( −1) nCnn−1 = n ( 1 − 1) n −1 n −1 −1 =0 0 1 2 Ví dụ 13:Tính tổng: 2008C2007 + 2007C2007 + ... + C2007 0 1 2007 Giải: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: ( x + 1) = C2007 x 2007 + C2007 x 2006 + ... + C2007 2007 0 1 2007 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 7
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 0 2006 Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007C2007 x trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: x ( x + 1) 2007 = C2007 x 2008 + C2007 x 2007 + ... + C2007 x 0 1 2007 ⇔ ( x + 1) ( 2008 x + 1) = 2008C2007 x 2007 + 2007C2007 x 2006 + ... + C2007 2006 0 1 2007 Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006 b.Đạo hàm cấp 2. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n, k n−k …,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức có dạng k (k − 1)Cn a hay tổng quát hơn k ( k − 1) Cn a n − k b k thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức k ( a + bx ) n = Cn + Cn a n −1bx + ... + Cn b n x n 0 1 n Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: bn ( a + bx ) = Cn a n −1b + 2Cn a n − 2b 2 x... + nCn b n x n −1 n −1 1 2 n Đạo hàm lần nữa: b 2 n ( n − 1) ( a + bx n − 2 ) = 2.1Cn a n− 2b 2 + ... + n ( n − 1) Cn b n x n −1 ( 2 ) 2 n Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi. Ví dụ14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho f ( x ) = ( 1 + x ) , ( 2 ≤ n ≤ ¢ ) n a.Tính f ′′ ( 1) b.Chứng minh răng: 2.1Cn + 3.2Cn + ... + ( n − 1) nCn = n ( n − 1) 2n −2 2 3 n Giải: a. f ′′ ( x ) = n ( 1 + x ) ⇒ f ′′ ( x ) = n ( n − 1) ( 1 + x ) ⇒ f ′′(1) = n(1 + x) n − 2 n −1 n−2 b. Ta có n n f ( x ) = ( 1 + x ) = ∑ Cn x k = Cn + Cn x + ∑ Cnk x k n k 0 1 k =1 k =2 n f ′ ( x ) = Cn + ∑ kCnk x k −1 1 k =2 n f ′′ ( x ) = ∑ k ( k − 1) Cn x k − 2 k k =2 n ⇒ f ′′ ( 1) = ∑ k ( k − 1) Cn = 2n − 2 k k =1 ⇒ 2.1C + 3.2Cn2 + ... + ( p + 1) Cnp + ... + ( n + 1) nCn = n ( nĐ 1) 2 2 n −1 ( PCM ) + 1 n n Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 8
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG Từ câu b thay (n-1)=(n+1) thì ta có một bài toán khác: b’. Chứng minh rằng: 2.1Cn + 3.2Cn + ... + ( n + 1) pCn + ... + ( n + 1) nCn = n ( n + 1) 2 n−2 1 2 p n Với bài toán này ta giải như sau: Xét nhị thức: ( 1 + x ) = Cn + Cn x + ... + Cn x n n 0 1 n Nhân 2 vế của đẳng thức với x ≠ 0 đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được: 2n ( 1 + x ) + n ( n − 1) x ( 1 + x ) = 2Cn x + 3.2Cn x + ... + ( n + 1) nCn x n −1 n −1 n−2 1 2 n Cho x=2 ta được ĐPCM Bài tập áp dụng C20 + C20 + ... + C20 = 219 1 1 19 Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: 32004 + 1 Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : C2004 + 22 C2004 + ... + 22004 C2004 = 0 1 2004 2 Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: ( 2 + x ) = 1.2n −1.Cn + 2.2n−2.Cn2 + 3.2n−2.Cn2 + ... + nCnn = n.3n−1 ( ∀1 ≤ n ∈ ¢ ) n 1 Bài 4: Rút gọn tổng: 1 C2009 2 + 2 C2009 2 + ... + 2009 C2009 21 2008 22 2007 2 2009 III.Một số phương pháp khác: 0 ≤ m ∈ k ≤ n Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho   k , m, n ∈ Z k −1 1 k −m m Chứng minh: Cn .Cm + Cn Cm + ... + Cn Cm = Cn + m k 0 k Giải: ( 1 + x ) = Cm + Cm x + ... + Cm x m 0 1 mm   Ta có : ( 1 + x ) = Cn x n + Cn x n −1 + ... + Cn n 0 1 n  ( 1 + x ) m+ n = Cm + n + Cm + n x + ... + Cm + nn x m + n m+ 0 1  k −1 m k −m Suy ra hệ số xk trong (1+x)n .(1+x)m là CmCn + CmCn + ... + Cm Cn 0k 1 k Và hệ số xk trong khai (1+x)m+n là Cm + n Đồng nhất thức: (1+x)n .(1+x)m = (1+x)n+m k −1 1 k −m m Ta được: Cn .Cm + Cn Cm + ... + Cn Cm = Cn + m ⇒ ĐPCM k 0 k Ví dụ16: (Đề2-TH&TT-2008) S2= ( Cn ) + 2 ( Cn2 ) + ... + n ( Cnn ) với n là số tự nhiên lẽ 2 2 2 1 Giải: Ta có: 2 2 ) (   n − 1   n2 1     n + 1   n2 1   − + S = (C ) + ( n − 1) ( C ) Cn ÷÷ + n ( Cn ) 12 n −1 2 n2 + ... +   Cn ÷÷ +   ÷ ÷  2  ÷ ÷ n n   2     Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 9
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG ) +n ( n ( Cn ) + ( Cn2 ) + ... + ( Cn −1 ) 2 2 2 1 n + ... + ( C ) ) + n ( = n ( Cn +1 ) + ( Cn ) 2 2 n −1 2 n 2 n ⇒ 2S n = n ( Cn ) + ( Cn ) + ... + ( Cnn )  + n 12 22 2     Mặt khác ta có: ( 1 + x ) 2n = C2 n + C2 n x + ... + C2 nn x 2 n ⇒ hệ số của xn là: C2 n (*) n 0 1 2 Trong khi đó: ( 1 + x ) = Cn + Cn x + ... + Cn x n n 0 1 n Nên hệ số của xn là ( Cn ) + ( Cn ) + ... + ( Cn ) (**) 2 2 2 1 2 n Từ (*) và (**) ⇒ C2 n − 1 = n ( Cn ) + ( Cn ) + ... + ( Cn )  12 22 n2 n     nn ⇒ S n = CĐ ⇒ PCM 2n 2 Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng: 1 n −1 2 n −1 n −1 a) Cn 3 + 2Cn 3 + ... + nCn = n.4 (ĐH Luật-2001) n b) 1 Cn + 2 Cn + ... + n Cn = n ( n + 1) 2 ( Đề 1-TH&TT-2008) n−2 21 2 2 2n Bài 2: Tính các tổng sau: a) C30 + 3.2 C30 + 5.2 C30 + ... + 29.2 C30 1 23 45 28 29 Cn Cn2 1 n n Cn − ... + ( −1) b) Cn − + 0 n +1 2 3 3n . Chứng minh ∑ Tk = 0 Bài 3: Đặt Tk = ( −1) k +1 2 k +1 k 3C 6n k =1 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 10