Nhìn về một đẳng thức tích phân

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phạm Quốc Phong<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> NHÌN VỀ MỘT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN<br /> PHẠM QUỐC PHONG*<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Bài viết này, trình bày sự xâu chuỗi các hệ quả của một đẳng thức tích phân liên hệ<br /> giữa hai hàm số có đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng cùng phương với trục tung.<br /> Từ khóa: tích phân, tích phân đặc biệt, xâu chuỗi, đồ thị đối xứng.<br /> ABSTRACT<br /> A glance at an integration equality<br /> This paper presents the series of corollaries of an integration equality which relates<br /> to two functions with the symmetrical graphs to each other across a straight line parallel<br /> to the vertical axis.<br /> Keywords: integration, specific integration, series of, symmetrical graphs.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Xâu chuỗi các bài toán là một yêu cầu vô cùng cần thiết trong dạy và học toán.<br /> Chỉ khi nào xâu chuỗi được các bài toán, tìm ra bài toán gốc, ta mới thấy được đường<br /> lối chung và bản chất của phương pháp giải. Bài viết này đề cập đến xâu chuỗi các hệ<br /> quả của một đẳng thức tích phân liên hệ giữa hai hàm số có đồ thị đối xứng với nhau<br /> qua đường thẳng song song với trục tung.<br /> 2. Tính chất & hệ quả<br /> Tính chất. Với mọi hàm số f(x) liên tục trên [a; b] ta luôn có<br /> b b<br /> <br /> ∫ f ( x)dx = ∫ f (a + b − x)dx<br /> a a<br /> <br /> (Dễ dàng chứng minh định lí bằng cách đổi biến x = a + b − t.)<br /> Chú ý.<br /> Trên đoạn [a; b], đồ thì hai hàm số y = f(x) và y = f(a + b − x) đối xứng với nhau<br /> a+b<br /> qua đường thẳng x = (xem hình vẽ)<br /> 2<br /> b<br /> Lời bình 1. Tính chất trên cho ta cách nghĩ thay vì tính tích phân ∫ f ( x)dx , ta có thể tính<br /> a<br /> b<br /> <br /> tích phân ∫ f (a + b − x)dx , bằng cách đổi biến x = a + b − t.<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> *<br /> Nhà giáo Ưu tú, nguyên GV Trường THPT Hồng Lĩnh tỉnh Hà Tĩnh<br /> <br /> 141<br /> Ý kiến trao đổi Số 36 năm 2012<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> y<br /> y = f(a + b− x) y = f(x)<br /> <br /> A' B<br /> <br /> <br /> <br /> A B'<br /> <br /> <br /> O a a+b b x<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Từ chính chất trên ta thu được các hệ quả sau :<br /> Hệ quả 1. Cho a, b ∈ , a ≠ 0. Với mọi hàm số f liên tục trên [−1; 1] ta đều có<br /> π π<br /> +b +b<br /> 4a 4a<br /> <br /> <br /> π<br /> ∫ f (sin ax )d x =<br /> π<br /> ∫ f (cos ax )d x .<br /> −b −b<br /> 4a 4a<br /> <br /> Hệ quả 2. Với mọi hàm số f liên tục trên [a; b], với mọi p, q∈ ,k∈ ta đều có<br /> b b<br /> pf ( x) + qf (a + b − x) pf (a + b − x) + qf ( x)<br /> ∫a [f ( x) + f (a + b − x)]k dx = ∫a [f ( x) + f (a + b − x)]k dx<br /> Đặc biệt khi k = 1 ta có :<br /> b b<br /> pf ( x) + qf (a + b − x) pf (a + b − x) + qf ( x) ( p + q)(b − a)<br /> ∫<br /> a<br /> f ( x) + f (a + b − x)<br /> dx = ∫<br /> a<br /> f ( x) + f (a + b − x)<br /> dx =<br /> 2<br /> b<br /> pf ( x) + qf (a + b − x)<br /> • Khai thác hệ quả 2, ta có thể tính được tích phân kiểu ∫ dx<br /> a<br /> [f ( x) + f (a + b − x)]k<br /> b b k<br /> f ( x) f ( x)<br /> hoặc ∫ [f ( x) + f (a + b − x)] dx<br /> a<br /> k<br /> hoặc ∫ f ( x) + f (a + b − x)dx bằng thuật đổi biến x = a +<br /> a<br /> <br /> b − t mà không cần một chút thông minh nào.<br /> Hệ quả 3. Với mọi hàm liên tục trên [a; b], với mọi p, q ∈ , p ≠ −q ta luôn có :<br /> b b<br /> 1<br /> ∫a f ( x)dx = p + q ∫a [p.f ( x) + q.f (a + b − x)]dx<br /> a +b<br /> 2 b<br /> = ∫<br /> a<br /> [f ( x) + f (a + b − x)]dx = ∫ [f ( x) + f (a + b − x)]dx<br /> a +b<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 142<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phạm Quốc Phong<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> Lời bình 2. Nếu biết tổng p.f(x) + q.f(a + b − x) là tính được tích phân ∫ f ( x)dx , mà<br /> a<br /> <br /> không cần biết hàm số y = f(x).<br /> Hệ quả 4. Nếu f(x) là hàm liên tục và thoả mãn f(x) = f(α + β − x) với mọi x ∈ [α; β]<br /> thì<br /> α +β<br /> β 2 β<br /> i) ∫ f ( x)dx = 2<br /> α<br /> ∫<br /> α<br /> f ( x)dx = 2 ∫<br /> α +β<br /> f ( x)dx<br /> 2<br /> <br /> β β<br /> α +β<br /> ii) ∫ x.f ( x)dx =<br /> α 2 α<br /> ∫ f ( x)dx<br /> α +β<br /> β β x− β β<br /> f ( x) a 2<br /> f ( x) 1<br /> iii) ∫ x−<br /> α +β<br /> dx = ∫<br /> x−<br /> α +β<br /> dx = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx<br /> 2α α +β<br /> α<br /> 1+ a 2 α<br /> 1+ a 2<br /> 2<br /> <br /> • Đặc biệt khi α + β = 0 từ i) ta có:<br /> Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên đoạn [−a; a] thì<br /> a a a<br /> <br /> ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx;<br /> −a 0<br /> ∫ x.f ( x)dx = 0<br /> −a<br /> <br /> • Trong ii): Với f(x) = sinax, a ≠ 0 ta có<br /> π π<br /> +b +b<br /> 2a<br /> π 2a<br /> <br /> <br /> π<br /> ∫ x.f (sin ax)dx =<br /> 2a π<br /> ∫ f (sin ax)dx<br /> −b −b<br /> 2a 2a<br /> β<br /> dx<br /> Thí dụ 1. Cho a > 0. a ≠ 1. Tính theo α, β tích phân ∫ x−<br /> α +β<br /> α<br /> 1+ a 2<br /> <br /> β β<br /> dx 1 β −α<br /> Lời giải. Đặt x = α + β − t suy ra ∫ x−<br /> α +β<br /> =<br /> 2α∫ dx =<br /> 2<br /> .…<br /> α<br /> 1+ a 2<br /> <br /> 6<br /> 2 + xdx<br /> n<br /> Thí dụ 2. Tính tích phân I = ∫<br /> −2<br /> n<br /> 2+ x + n 6− x<br /> , với n ∈<br /> <br /> 6<br /> 1<br /> Lời giải. Đặt x = −2 + 6 − t = 4 − t suy ra I = ∫ dx = 4 .†<br /> 2 −2<br /> π<br /> 4a<br /> Thí dụ 3. Cho a > 0. Tính theo a tích phân I = ∫ ln(1 + tan ax)dx<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 143<br /> Ý kiến trao đổi Số 36 năm 2012<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> π<br /> <br /> π 4a<br /> π ln 2<br /> Lời giải. Đặt x =<br /> 4a<br /> − t suy ra I = ∫ ln 2dt − I<br /> 0<br /> ⇔ I=<br /> 8a<br /> 2<br /> dx<br /> Thí dụ 4. Tính tích phân I = ∫<br /> 1<br /> 1 + log (1+ x2 ) ( x 2 − 6 x + 10)<br /> <br /> ln(1 + x 2 ) + ln( x 2 − 6 x + 10)<br /> Lời giải. Ta có 1 + log (1+ x2 ) ( x − 6 x + 10) =<br /> 2<br /> <br /> ln(1 + x 2 )<br /> 2<br /> ln(1 + x 2 )dx<br /> Vậy nên I =∫ . Đặt x = 3 − t suy ra<br /> 1<br /> ln( x 2<br /> + 1) + ln[(3 − x ) 2<br /> + 1]<br /> 2<br /> 1 1<br /> I=<br /> 21∫ dx = . †<br /> 2<br /> π<br /> <br /> (1 + sin x)1+ cos x<br /> 2<br /> Thí dụ 5. Tính tích phân I = ∫ ln dx .<br /> 0<br /> 1 + cos x<br /> π π π<br /> 1+ cos x<br /> 2<br /> (1 + sin x) 2 2<br /> Lời giải. Ta có I = ∫ ln dx = ∫ ln(1 + sin x)1+ cos x dx − ∫ ln(1 + cos x)dx<br /> 0<br /> 1 + cos x 0 0<br /> <br /> π π<br /> 2 2<br /> = ∫ [(1 + cos x) ln(1 + sin x)]dx − ∫ ln(1 + cos x)dx<br /> 0 0<br /> <br /> π π<br /> 2 2<br /> = ∫ [ ln(1 + sin x)] − ln(1 + cos x)]dx + ∫ [ cos x.ln(1 + sin x)]dx<br /> 0 0<br /> 1444442444443<br /> A<br /> π<br /> 2 2<br /> Theo hệ quả 1 ta có A = 0 nên I = ∫ ln(1 + sin x)dx(1 + sin x) = ∫ ln xdx = 2 ln 2 − 1 . …<br /> 0 1<br /> <br /> 1<br /> Thí dụ 6. Tính<br /> −3<br /> ∫ f ( x)dx , biết rằng f(x) là hàm số liên tục trên thoả mãn :<br /> <br /> x2 −1<br /> 2.f ( x) + 3.f (−2 − x) =<br /> x4 + x2 + 1<br /> 1 1 1 1<br /> Lời giải. Thay ∫ f (−2 − x)dx = ∫ f ( x)dx ta có ∫ [2f ( x) + 3f (−2 − x)]dx = 5 ∫ f ( x)dx<br /> −3 −3 −3 −3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 144<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phạm Quốc Phong<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1 ⎛ x2 − x + 1 ⎞<br /> 1 1<br /> 1 x2 −1 1 7<br /> ⇒ ∫ f ( x)dx = 5 −∫3 x 4 + x 2 + 1 dx = 10 ⎜⎜ ln x 2 + x + 1 ⎟⎟ = ln .…<br /> 10 39<br /> −3 ⎝ ⎠ −3<br /> 3<br /> Thí dụ 7(P). Cho a ∈ . Tính theo S tích phân A = ∫ [x3 − 2 x 2 + (1 + a 2 ) x]dx , biết rằng<br /> −1<br /> <br /> hình phẳng (H) giới hạn bởi parabol f(x) = x2 − 2x + 4 + a2, trục Ox, x = 1, x = 3 có<br /> diện tích bằng S.<br /> Lời giải. Để ý f(x) = x2 − 2x + 1 + a2 = (x − 1)2 + a 2 ≥ 0 suy ra ∀x ∈ có f(x) ≥ 0<br /> 3 3<br /> và f(x) = f(2 − x) . Vậy nên theo giả thiết có : S = ∫ | f ( x) |dx = ∫ f ( x)dx .<br /> 1 1<br /> 3 3 3<br /> Ta có A = ∫ [x − 2 x + (1 + a ) x]dx = ∫ x[x − 2 x + (1 + a )]dx = ∫ x. f (x)dx .<br /> 3 2 2 2 2<br /> <br /> −1 −1 −1<br /> 3 1 3<br /> Đặt x = 2 − t với chú ý f(x) = f(2 − x) suy ra A = ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx ( 1)<br /> −1 −1<br /> 1424 3 1<br /> B<br /> <br /> 1 3<br /> Đặt x = 2 − t với chú ý f(x) = f(2 − x) suy ra B = ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx = S .<br /> −1 1<br /> <br /> Thay vào (1) có A = 2S . …<br /> 3. Tích phân no và tích phân không no<br /> Trở lại Hệ quả 2, xét tích phân dạng<br /> b<br /> f k ( x) ⎛ a, b, θ ∈ ⎞<br /> I =∫ dx ⎜ ⎟<br /> a<br /> [f ( x) + p.f (θ − x)]l ⎝ p, k , l ∈ ⎠<br /> (vừa chứa cả f(x) và f(θ − x))<br /> • Nếu a + b = 2θ , việc tính I thường được thực hiện bằng cách đổi biến x = a +<br /> b − t.<br /> b<br /> f k ( x)<br /> Ta nói I = ∫ dx là tích phân no. (Các Thí dụ đã trình bày là<br /> a<br /> [f ( x ) + pf ( a + b − x )]l<br /> <br /> <br /> tích phân no).<br /> b<br /> f k ( x)<br /> • Nếu a + b ≠ 2θ , ta nói I = ∫ dx là tích phân không no.<br /> a<br /> [f ( x) + pf (a + b − x)]l<br /> Việc tính tích phân không no I thường được thực hiện bằng cách thêm bớt vào I<br /> tích phân<br /> f k (θ − x)<br /> b<br /> J =∫ dx để đưa về tính những tích phân đơn giản hơn.<br /> a<br /> [f ( x) + p.f (θ − x)]l<br /> <br /> <br /> 145<br /> Ý kiến trao đổi Số 36 năm 2012<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (Chú ý: Với tích phân không no, phép đổi biến x = a + b − t không trả lại cận ban<br /> đầu, việc tính tích phân chưa thể gọn gàng ngay.)<br /> Sau đây là các Thí dụ về tích phân không no.<br /> π<br /> 3<br /> 8cos xdx<br /> Thí dụ 8. Tính tích phân I = ∫<br /> 0 3 + tan x<br /> π π π<br /> 3<br /> 8cos xdx 3<br /> 4 cos x 23<br /> (3cos 2 x − sin 2 x) + 1<br /> Lời giải. Ta có I = ∫ = 2∫ dx = 2 ∫ dx<br /> 0 3 + tan x 0 3 cos x + sin x 0 3 cos x + sin x<br /> π π<br /> 3 3<br /> dx<br /> = 2 ∫ ( 3 cos x − sin x)dx + 6 ∫ (1)<br /> 0 0 3 cos x + sin x<br /> 1444 24443 1442443<br /> A B<br /> <br /> 3 −1 ln 3<br /> Dễ dàng có A = , B= . Thay vào (1) có I = 3 − 1 + ln 3 . …<br /> 2 2<br /> f k (θ − x)<br /> b b<br /> f k ( x)<br /> Lời nhắn. Người ta nói : I = ∫ dx và J = ∫ dx<br /> a<br /> [f ( x ) + p .f (θ − x )]l<br /> a<br /> [f ( x ) + p.f (θ − x )]l<br /> <br /> <br /> là hai tích phân liên kết với nhau.<br /> π<br /> 6<br /> 96sin xdx<br /> Thí dụ 9. Tính tích phân I = ∫ .<br /> 0 (sin x + 3 cos x)3<br /> π π<br /> 6<br /> 96sin xdx 6<br /> (sin x + 3 cos x) − 3(cos x − 3 sin x)<br /> Lời giải. Ta có I = ∫ = 24 ∫ dx<br /> 0 (sin x + 3 cos x) 3<br /> 0 (sin x + 3 cos x)3<br /> π π<br /> 6<br /> dx 6<br /> d(sin x + 3 cos x)<br /> = 24 ∫ − 24 3 ∫ (1)<br /> 0 (sin x + 3 cos x ) 0 (sin x + 3 cos x )<br /> 2 3<br /> 144 424443 144 424443<br /> A B<br /> <br /> 3 1<br /> Dễ dàng có A = , B= . Thay vào (1) có I = 3 . …<br /> 12 24<br /> Lời bình 3. Với mọi a, p, q ∈ , a ≠ 0, với mọi k ∈ ta luôn có<br /> π π<br /> +b +b<br /> 4a<br /> p sin ax + q cos ax 4a<br /> p cos ax + q sin ax<br /> π<br /> ∫ (sin ax + cos ax) k<br /> dx =<br /> π<br /> ∫ (sin ax + cos ax) k<br /> dx<br /> −b −b<br /> 4a 4a<br /> <br /> (Nhưng chỉ thuận lợi tính được với k = 0, 1, 2, 3).<br /> <br /> <br /> <br /> 146<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phạm Quốc Phong<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4. Bài tập<br /> (P)<br /> Bài 1 . Tính mỗi tích phân sau<br /> π 2π<br /> 4<br /> 9sin 2 x − cos 2 x 3<br /> 12 cos 2 x − 1<br /> 11 ) ∫<br /> P<br /> dx P<br /> 2) ∫ dx<br /> 0<br /> (sin 2 x + cos 2 x)3 0 sin x − 3 cos x<br /> 3π π<br /> 2 sin( + x)<br /> x sin π xdx<br /> 16 1<br /> 4<br /> 44P) ∫<br /> π<br /> ln<br /> cos x<br /> dx 5P) ∫ 1 + cos<br /> 0<br /> 2<br /> πx<br /> 16<br /> <br /> Bài 2. Tính mỗi tích phân sau<br /> x −1 πx<br /> 3 2 cos 2 6<br /> 3 dx x( 2 + x + 6 − x )<br /> 1P) ∫ P<br /> 2) ∫ dx<br /> −3<br /> 1 + 2 x<br /> −2<br /> 1 + 5x−2<br /> π<br /> 3<br /> Bài 3. 1) Tính tích phân ∫π f ( x)dx , nếu f(x) là hàm số liên tục trên thoả mãn:<br /> −<br /> 3<br /> <br /> f(x) + 3f(−x) = 2x + tanx.<br /> 3e<br /> 2)Tính ∫ f ( x)dx , biết rằng f(x) là hàm số liên tục trên<br /> e<br /> thoả mãn :<br /> <br /> 1<br /> f(x) + f(4e − x) = .<br /> x ln x<br /> 3<br /> Bài 4. Cho a ∈ . Tính A = ∫ [x3 − ax 2 + (a − 1) x]dx , biết rằng hình phẳng (H) giới hạn<br /> −1<br /> 2<br /> bởi parabol f(x) = x − ax + a − 1 , trục Ox, x = −1, x = 3 có diện tích bằng S.<br /> 7<br /> Bài 5. Cho a ∈ . Tính A = ∫ x lg( x 2 − 6 x + 10 + a 2 )dx , biết rằng hình phẳng (H) giới<br /> −1<br /> <br /> hạn bởi đồ thị f(x) = ln(x − 6x + 10 + a2), trục Ox, x = 3, x = 7 có diện tích bằng S.<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. Bộ Giáo dục & Đào tạo (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục<br /> 2. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1995), Bài<br /> giảng luyện thi môn Toán, Nxb Giáo dục.<br /> 3. Phan Huy Khải (1995), Giải tích−Toán nâng cao cho lớp 12, Nxb Khoa học và Kĩ<br /> thuật.<br /> 4. Phạm Quốc Phong (2008), Bồi dưỡng giải tích 12, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.<br /> (Ngày Tòa soạn nhận được bài: 04-10-2011; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012)<br /> <br /> 147<br />