ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_01

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Huỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

148
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_01', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_01

Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For EvaluationKHOA Only. PH N I. TÓM T T GIÁO A. ð I S I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình b c hai Cho phương trình b c hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) có ∆ = b2 − 4ac . b 2) ∆ = 0 : (3) có nghi m kép x = − 1) ∆ < 0 : (3) vô nghi m. . 2a −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac 3) ∆ > 0 : (3) có hai nghi m phân bi t x1,2 = = . 2a 2a ð nh lý Vi–et (thu n và ñ o)   S = x + x = − b  1) Cho phương trình ax + bx + c = 0 có hai nghi m x1, x2 thì  1 2 a. 2   c  P = x .x =   12  a  S = x + y 2) N u bi t  thì x, y là nghi m c a phương trình X2 − SX + P = 0 .   P = x.y   2. B ng xét d u c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0, ∆ > 0 : 2) a < 0, ∆ > 0 : +∞ x −∞ +∞ x −∞ x1 x2 x1 x2 f(x) +0 – 0 + f(x) – 0 + 0 – 3) a > 0, ∆ = 0 : 4) a < 0, ∆ = 0 : x −∞ +∞ x −∞ +∞ xkép xkép f(x) + 0 + f(x) – 0 – 5) a > 0, ∆ < 0 : 6) a < 0, ∆ < 0 : x −∞ +∞ x −∞ +∞ f(x) + f(x) – 3. B ng bi n thiên c a hàm s b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0: 2) a < 0: b b x −∞ − +∞ x −∞ − +∞ 2a 2a f(x) +∞ +∞ f(x) Cð −∞ −∞ CT 4. So sánh nghi m c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i m t s  x < α < x2 < β 2) f(α ).f(β) < 0 ⇔  1 1) af(α) < 0 ⇔ x1 < α < x 2  α < x1 < β < x2      ∆ > 0   ∆ > 0   3)  af(α) > 0 ⇔ α < x1 < x2   4)  af(α) > 0 ⇔ x1 < x2 < α   S   S  >α   
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. 7.2. Phương trình b c b n ñ c bi t a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) (5) Phương pháp gi i: ð t t = x2, t ≥ 0 . (5) ⇔ at2 + bt + c = 0. b) Phương trình có d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e v i a + c = b + d (6) Phương pháp gi i: ð t t = (x + a)(x + c), ñưa (6) v phương trình b c 2 theo t. c) Phương trình có d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) a+b Phương pháp gi i: ð t t = x + , ñưa (7) v phương trình trùng phương theo t. 2 d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) (8) Phương pháp gi i  1 + bx ± 1  + c = 0 .  Bư c 1. Chia 2 v cho x2, (8) ⇔ a  x2 +          x   2  x 1 Bư c 2. ð t t = x ± , ñưa (8) v phương trình b c hai theo t. x P(x) >0 8. B t phương trình h u t Q(x) Bư c 1. L p tr c xét d u chung cho P(x) và Q(x). Bư c 2. D a vào tr c xét d u ñ k t lu n nghi m. 9. ði u ki n ñ phương trình có nghi m trong kho ng (a; b) a) ð nh lý 1 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] th a f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghi m trong (a; b) (ngư c l i không ñúng). b) ð nh lý 2 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] và có f / (x) > 0 (ho c f / (x) < 0 ) trong kho ng (a, b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghi m trong (a, b) . II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T . 1. Các h ng ñ ng th c c n nh  2  A, A ≥ 0  B 3B2 1) A2 = A =  2) A2 ± AB + B2 =  A ±  +    ; ;   2  −A, A < 0   4   2  x + b  − ∆ . 3) (A ± B) = A ± B ± 3AB ( A ± B ) ; 4) ax + bx + c = a   3 3 3 2     2a  4a 2. Phương trình và b t phương trình ch a giá tr tuy t ñ i B ≥ 0  1) A = B ⇔ A2 = B2 ⇔ A = ±B ; 2) A = B ⇔  3) A < B ⇔ − B < A < B ;  ;  A = ±B   B > 0 B ≥ 0   4) A < B ⇔  5) A > B ⇔ B < 0 ∨    ; . −B < A < B  A < −B ∨ A > B     3. Phương trình và b t phương trình vô t A ≥ 0 ∨ B ≥ 0  1) A = B ⇔  2) A = B ⇔ B ≥ 0 ∧ A = B2 ; 3) A + B = 0 ⇔ A = B = 0 ;  ; A = B   A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ C ≥ 0  B ≥ 0   4) A + B = C ⇔  ñưa v d ng A = B ; 5) A > B ⇔    ; ( ) 2  A+ B =C A > B      A ≥ 0 ∧ B > 0  B < 0 B ≥ 0   AB⇔ 3 3 A< B ⇔ A < B;    6) ; 7) ; 8)  A < B2  A ≥ 0  A > B2       B ≥ 0 A ≥ 0 ∨ B ≥ 0   A=B⇔ 10) 2n A = 2n B ⇔  2n +1 A = B ⇔ A = B2n +1 ; 2n   9) ; 11) . A = B  A = B2n     III. PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. Hàm s mũ y = ax (a > 0) 1) Mi n xác ñ nh D = ℝ 2) Mi n giá tr G = (0; +∞) 3) 0< a< 1: Hàm ngh ch bi n trên ℝ 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên ℝ lim a x = +∞, lim a x = 0 lim a x = 0, lim a x = +∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ x →+∞ Trang 2
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1 2) a−n = 3) a m .a n = a m + n ; 4) a m : a n = a m−n ; 1) a 0 = 1 (a ≠ 0) ; ; an  a m m am 5) ( a ) = a ; 7)   = n n  8) a n = a m . 6) (ab) = a .b ; m m.n m m m ;  b   m b 2. Hàm s logarit y = logax (0 < a ≠ 1) : y = logax ⇔ x = ay 2) Mi n giá tr G = ℝ 1) Mi n xác ñ nh D = (0; +∞) 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên D 3) 0 < a < 1: Hàm ngh ch bi n trên D lim y = +∞, lim y = −∞ lim y = −∞, lim y = +∞ x →+∞ x →+∞ x → 0+ x → 0+ M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1) a loga x = x ; 3) a logb c = c logb a ; 4) log a x2n = 2n log a x ; 2) eln x = x ; β log c b 1 5) log aα b β = 7) log a b = 8) log a b.log b c = log a c ; log a b ; 6) log a b = ; ; α log b a log c a  b 10) log a   = log a b − log a c . 9) log a (bc) = log a b + log a c ;  c  3. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n a = 1     ∀x ∈ ℝ : f(x), g(x) ∈ ℝ  a f (x) = b b > 0    1)  2) a f (x) = a g(x) ⇔     ⇔  ; ; 0 < a ≠ 1 0 < a ≠ 1  f(x) = log a b         f(x) = g(x)  b > 0 b > 0       f(x) < log b   f(x) > log b  a f (x) > b  a f (x) > b     3)  4)  ⇔   ⇔     a a   ; ; b ≤ 0 b ≤ 0 0 < a < 1 a > 1            ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ    ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ      a f (x) > a g(x)  a f (x) > a g(x)  5)  6)  ⇔ f(x) < g(x) ; ⇔ f(x) > g(x) .   0 < a < 1 a > 1     4. Phương trình và b t phương trình logarit cơ b n  log f(x) = b  log f(x) = log a g(x)  f(x) > 0    1)  a 2)  a ⇔ ⇔ f(x) = a b ;    ; 0 < a ≠ 1 0 < a ≠ 1  f(x) = g(x)        log f(x) > b  log f(x) > b   3)  a 4)  a ⇔ 0 < f(x) < a b ; ⇔ f(x) > a b ;   0 < a < 1 a > 1      log f(x) > log a g(x)  log f(x) > log a g(x)   5)  a 6)  a ⇔ 0 < f(x) < g(x); ⇔ f(x) > g(x) > 0.   0 < a < 1 a > 1     IV. H PHƯƠNG TRÌNH  a x + b1y = c1  Nh c l i: H phương trình b c nh t hai n  1  .  a 2 x + b2 y = c 2   Trang 3
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. a1 b1 c b1 a c1 , Dx = 1 , Dy = 1 ð t D= . a2 b2 c2 b2 a2 c2  x = Dx / D  1) D ≠ 0 : H phương trình có nghi m duy nh t   .  y = Dy / D   2) D = 0, Dx ≠ 0 ho c Dy ≠ 0 : H phương trình vô nghi m. 3) D = Dx = Dy = 0: H có vô s nghi m th a a1x + b1y = c1 ho c a2x + b2y = c2. 1. H phương trình ñ ng c p Phương pháp chung 1) Nh n xét y = 0 có th a h phương trình không, n u có tìm x và thu ñư c nghi m. 2) V i y ≠ 0 , ñ t x = ty thay vào h phương trình gi i tìm t, y và x. 3) Th l i nghi m.  x 2 + xy + y 2 = 1  y 3 − x 3 = 7   Ví d :  2 , 2   .  2x − xy + y = 2  2x y + 3xy = 16  2 2      2. H phương trình ñ i x ng lo i I (c 2 phương trình ñ u ñ i x ng) Phương pháp chung 1) Xét ñi u ki n, ñ t S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P) . 2) Gi i h tìm S, P r i dùng Vi–et ñ o tìm x, y.  x 2 y + xy2 = 30  Ví d :  3  .  x + y 3 = 35    3. H phương trình ñ i x ng lo i II a. D ng 1 (ñ i v trí x và y thì phương trình này tr thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách 1. Tr hai phương trình cho nhau, ñưa v phương trình tích, gi i x theo y (hay ngư c l i) r i th vào m t trong hai phương trình c a h .  x 3 + 2x = y  2x + 3 + 4 − y = 4   Ví d :  3 ,   .  y + 2y = x  2y + 3 + 4 − x = 4       Cách 2 (n u cách 1 không th c hi n ñư c) C ng và tr l n lư t hai phương trình ñưa v h m i tương ñương g m hai phương trình tích (thông thư ng tương ñương v i 4 h m i).  x 3 − 2x = y  Ví d :  3  .  y − 2y = x    Cách 3. S d ng hàm s ñơn ñi u ñ suy ra x = y.  2x + 3 + 4 − y = 4  x = sin y   Ví d :  ,   .  2y + 3 + 4 − x = 4  y = sin x      b. D ng 2 (ch có 1 phương trình ñ i x ng) Cách 1 ðưa phương trình ñ i x ng v d ng tích, gi i y theo x th vào phương trình còn l i.   x − 1 = y − 1  Ví d :  x y. 2  2x − xy − 1 = 0    Cách 2 Thư ng ñưa v d ng f(x) = f(y) ⇔ x = y v i hàm f(x) ñơn ñi u.  ex − ey = y − x  Ví d :  2  .  x y − 3y − 18 = 0    4. H phương trình ch a mũ – logarit và d ng khác Tùy t ng trư ng h p c th ch n phương pháp thích h p (thư ng dùng phương pháp th ). V. B T ð NG TH C CAUCHY 1. B t ñ ng th c Cauchy hai s a+b ≥ ab. ð ng th c x y ra khi a = b. Cho hai s không âm a và b, ta có: 2 Trang 4
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. 2. B t ñ ng th c Cauchy n s a1 + a 2 + ... + a n ≥ n a1.a 2 ...a n . ð ng th c khi a1 = a2 = … = an. Cho n s không âm a1, a2,…, an ta có: n Chú ý:  a + a2 + ... + a n n .   B t ñ ng th c Cauchy ngư c a1 .a2 ...a n ≤  1      n VI. S PH C 1. S ph c và các phép tính cơ b n a) ð nh nghĩa s ph c M i bi u th c d ng a + bi , trong ñó a, b ∈ ℝ , i2 = −1 ñư c g i là m t s ph c. ð i v i s ph c z = a + bi , ta nói a là ph n th c, b là ph n o c a z. T p h p các s ph c ký hi u là ℂ = { a + bi a, b ∈ ℝ, i2 = −1 } . b) S ph c b ng nhau a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d . c) Bi u di n hình h c s ph c M i s ph c z = a + bi hoàn toàn ñư c xác b i m t c p s th c (a; b) . ði m M(a; b) trong h t a ñ vuông góc Oxy ñư c g i là ñi m bi u di n s ph c z = a + bi . d) Môñun c a s ph c Gi s s ph c z = a + bi ñư c bi u di n b i ñi m M(a; b) trên m t ph ng t a ñ Oxy. ð dài c a OM ñư c g i là môñun c a s ph c z và ký hi u là z . V y a + bi = a 2 + b2 . e) S ph c liên h p Cho s ph c z = a + bi . Ta g i a − bi là s ph c liên h p c a z và ký hi u là z = a − bi . NH N XÉT 1) Trên m t ph ng t a ñ ñi m bi u di n hai s ph c liên h p ñ i x ng v i nhau qua tr c Ox. 2) z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = a + bi hay z = z . 3) z = a2 + (−b)2 = a 2 + b2 = z . f) Các phép tính cơ b n 1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. 4) z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ; 3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; z1 z .z z .z 2 = 1 2 = 1 2 , z2 ≠ 0 . 5) z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = z ; 6) 2 z2 z2 .z2 z2 Chú ý i) Phép nhân hai s ph c ñư c th c hi n theo quy t c nhân ña th c r i thay i2 = −1 trong k t qu nh n ñư c. ii) Phép c ng và phép nhân các s ph c có t t c các tính ch t c a phép c ng và phép nhân các s th c. c + di , ta nhân c t và m u v i s ph c liên h p c a a + bi . iii) Trong th c hành, ñ tính thương a + bi 4i) S th c a âm có hai căn b c hai là ±i a. g) Phương trình b c hai v i h s th c Cho phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0 v i a, b, c ∈ ℝ , a ≠ 0 . Bi t s c a phương trình là ∆ = b2 − 4ac . b a) Khi ∆ = 0 , phương trình có m t nghi m th c x = − . 2a Trang 5
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. −b ± ∆ b) Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghi m th c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a −b ± i ∆ c) Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghi m ph c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a 2. D ng lư ng giác c a s ph c và ng d ng a) D ng lư ng giác c a s ph c i) Cho s ph c z khác 0 có ñi m bi u di n trên m t ph ng t a ñ là M. S ño (radian) c a góc lư ng giác tia ñ u Ox, tia cu i OM ñư c g i là m t acgumen c a z. ii) Cho s ph c z có moñun r và acgumen là φ thì z = r(cosφ + isinφ) ñư c g i là d ng lư ng giác c a z. b) Nhân và chia hai s ph c Cho hai s ph c z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta có: z' r' = [cos(ϕ '− ϕ) + i sin(ϕ '− ϕ)] (r > 0). zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] và z r c) Công th c Moivre: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) . d) Căn b c hai c a s ph c  ϕ  ϕ  ϕ  ϕ r  cos + i sin  và r  cos  + π  + i sin  + π   .       S ph c z dư i d ng lư ng giác (r > 0) có hai căn b c hai là:     2 2        2    2 ………………………………………………………. B. LƯ NG GIÁC I. CUNG VÀ GÓC – CÔNG TH C LƯ NG GIÁC 1. Quan h gi a ñ và radial (rad)  180 0 π  rad, 1 rad =  1=    π   180 2. B ng chuy n ñ i thư ng dùng 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 ð π π π π 2π 3π 5π π Radial 6 4 3 2 3 4 6 3. Bi u di n cung – góc lư ng giác k2π k.360 ) v i k ∈ ℤ , n ∈ ℕ+ thì có n ñi m M trên N u cung (ho c góc) lư ng giác AM có s ño là α + (ho c a 0 + n n ñư ng tròn lư ng giác cách ñ u nhau. 4. B ng giá tr lư ng giác c a cung (góc) ñ c bi t π π π π Cung (góc) α 0 6 4 3 2 1 2 3 sin α 0 1 2 2 2 1 3 2 cos α 1 0 2 2 2 3 tan α 0 1 3 3 3 cot α 1 0 3 3 5. Cung (góc) liên k t 5.1. Cung (góc) ñ i nhau 1) cos(−x) = cos x ; 2) sin(−x) = − sin x ; 3) tan(−x) = − tan x ; 4) cot(−x) = − cot x . 5.2. Cung (góc) bù nhau 1) cos(π − x) = − cos x ; 2) sin(π − x) = sin x ; 3) tan(π − x) = − tan x ; 4) cot(π − x) = − cot x . 5.3. Cung (góc) ph nhau π  π  π  π  1) cos  − x  = sin x ; 2) sin  − x  = cos x ; 3) tan  − x  = cot x ; 4) cot  − x  = tan x .             2 2 2 2             5.4. Cung (góc) hơn kém nhau π 1) cos(x + π) = − cos x ; 2) sin(x + π) = − sin x ; 3) tan(x + π) = tan x ; 4) cot(x + π) = cot x . Trang 6
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. π 5.5. Cung (góc) hơn kém nhau 2  π  π  π  π 1) cos  x +  = − sin x ; 2) sin  x +  = cos x ; 3) tan  x +  = − cot x ; 4) cot  x +  = − tan x .         2         2        2  2 6. Công th c cơ b n 1 1 3) 1 + tan 2 x = 4) 1 + cot2 x = 1) sin2x + cos2x = 1; 2) tgx.cotgx = 1; ; . 2 sin 2 x cos x 7. Công th c c ng tan x ± tan y 1) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; 2) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ; 3) tan(x ± y) = . 1 ∓ tan x.tan y 8. Công th c nhân ñôi 2 tan x 3) tan 2x = 1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; . 1 − tan 2 x 9. Công th c nhân ba 3 tan x − tan 3 x 3) tan 3x = 1) cos3x = 4cos3x – 3cosx; 2) sin3x = 3sinx – 4sin3x; . 1 − 3 tan 2 x 10. Công th c h b c 1 + cos 2x 1 − cos 2x 3 cos x + cos 3x 3 sin x − sin 3x 1) cos2 x = ; 2) sin2 x = ; 3) cos3 x = 4) sin 3 x = ; . 2 2 4 4 x 11. Công th c bi u di n sinx, cosx, tgx theo t = tg 2 1 − t2 2t 2t 1) sin x = 2) cos x = 3) tan x = ; ; . 1+ t 1+ t 1 − t2 2 2 12. Công th c bi n ñ i tích thành t ng 1 1 1) cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] ; 2) sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; 2 2 1 3) sin x cos y = [sin(x − y) + sin(x + y)] . 2 13. Công th c bi n ñ i t ng thành tích x+y x−y x+y x−y 1) cos x + cos y = 2 cos 2) cos x − cos y = −2 sin cos sin ; ; 2 2 2 2 x+y x−y x+y x−y 3) sin x + sin y = 2 sin 4) sin x − sin y = 2 cos cos sin ; ; 2 2 2 2 sin(x ± y) sin(y ± x) 5) tan x ± tan y = 6) cot x ± cot y = ; . cos x cos y sin x sin y 14. Công th c ñ c bi t c n nh 1 3 1) 1 + sin2x = (sinx + cosx)2; 2) 1 – sin2x = (sinx – cosx)2; 3) sin4x + cos4x = 1 – sin22x; 4) sin6x + cos6x = 1 – sin22x. 2 4 2 sin ( x + π / 4 ) = 2 cos ( x − π / 4 ) ; 5) sin x + cos x = 2 sin ( x − π / 4 ) = − 2 cos ( x + π / 4 ) . 6) sin x − cos x = II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n  x = α + k2π  x = α + k2π 2) sin x = sin α ⇔  1) cos x = cos α ⇔  ,k ∈ Z ,k ∈ Z  x = π − α+k2π  x = −α + k2π 4) cot x = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z 3) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z Phương trình cơ b n ñ c bi t c n nh 4) sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z π 1) cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z π 2 5) sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 2) cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z 2 π 6) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z 3) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z 2 Trang 7
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. 2. Các d ng phương trình lư ng giác 2.1. D ng b c hai theo m t hàm s lư ng giác 1) acos2x + bcosx + c = 0 3) a.tan2x + b.tanx + c = 0 2 4) a.cot2x + b.cotx + c = 0 2) asin x + bsinx + c = 0 Phương pháp gi i toán Bư c 1. ð t n ph t = cosx (ho c t = sinx, t = tanx, t = cotx) và ñi u ki n c a t (n u có). Bư c 2. ðưa phương trình v d ng at2 + bt + c = 0. Chú ý N u 1 phương trình lư ng giác ñư c bi n ñ i thành 2 phương trình cơ b n tr lên thì sau khi gi i xong, ta ph i d a vào ñư ng tròn lư ng giác ñ t ng h p nghi m (n u có). 2.2. D ng b c nh t theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp gi i toán b Cách 1. Chia hai v (*) cho a và ñ t = tan α . a c c (*) ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin(x + α) = cos α . a a a b Cách 2. Chia hai v (*) cho a2 + b2 và ñ t = cos α, = sin α . a +b a + b2 2 2 2 c c (*) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin(x + α ) = . a +b a + b2 2 2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a2 + b 2 ≥ c2 2.3. D ng ñ ng c p (thu n nh t) theo sinx và cosx a) ð ng c p b c hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp gi i toán π Cách 1. Ki m tra x = + kπ có là nghi m c a (*) không (n u có ta thu ñư c nghi m). 2 π V i x ≠ + kπ , chia hai v c a (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = 0. 2 Cách 2. Dùng công th c h b c và nhân ñôi, ta ñưa (*) v b c nh t theo sin2x và cos2x. b) ð ng c p b c cao (gi i tương t ) 2.4. D ng ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp gi i toán  π t2 − 1 Bư c 1. ð t t = sinx + cosx = 2 sin  x +  ⇒ − 2 ≤ t ≤ 2 và sin x cos x =   .   4   2 Bư c 2. Thay vào (*) r i ta gi i phương trình b c hai theo t. Chú ý Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách gi i tương t v i t = sinx – cosx. 2.5. D ng phương trình khác Không có cách gi i t ng quát, tùy t ng bài toán c th ta dùng công th c bi n ñ i ñ ñưa v các d ng ñã bi t cách gi i. III. GI I TOÁN TRONG TAM GIÁC 1. Liên h các góc trong tam giác ABC A π B+C =−  A = π − (B + C) 2 2 2  B A+B+C π  = π−C+A 1) A + B + C = π ⇒  B = π − (C + A) = ⇒ 2)  C = π − (A + B) 2 2 2 2 2  C π A+B =−  2 2 2 2. Các ñ nh lý trong tam giác ABC. Trong ∆ABC , ta ký hi u: 1) a, b, c l n lư t là các c nh ñ i di n các góc A, B, C. 4) ma, mb, mc l n lư t là ñ dài các trung tuy n xu t phát t các ñ nh A, B, C. 2) R, r l n lư t là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p và n i ti p. 5) ha, hb, hc l n lư t là ñ dài các ñư ng cao xu t phát t các ñ nh A, B, C. a+b+c 3) p = là n a chu vi ∆ABC . 6) S là di n tích c a ∆ABC . 2 Trang 8
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. 2.1. ð nh lý Phythagore (Pitago) Cho ∆ABC vuông t i A và ñư ng cao AH, ta có: a2 = b 2 + c2 H qu 1 1 1 = + 3) 1) BA2 = BH.BC, CA2 = CH.CB 2) AH.BC = AB.AC 2 2 AC2 AH AB 2.2. ð nh lý hàm s cosin 1) a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2) b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB 3) c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 2.3. ð nh lý hàm s sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3. Công th c tính ñ dài ñư ng trung tuy n 2b2 + 2c2 − a2 2a2 + 2c2 − b2 1) m a = 2) m b = ; ; 4 4 2a2 + 2b2 − c2 32 3) m c = 4) m2 + m2 + m 2 = (a + b2 + c2 ) . ; a b c 4 4 4. Công th c tính di n tích 1 1 1 1 1 1 1) S = ah a = bh b = ch c ; 2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B ; 2 2 2 2 2 2 abc 4) S = 5) S = p(p − a)(p − b)(p − c) . 3) S = p.r; ; 4R …………………………………………….. C. GI I TÍCH I. TÍNH CH N – L C A HÀM S ð nh nghĩa 1) T p h p D ⊂ ℝ ñư c g i là ñ i x ng ⇔ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D . 2) Cho hàm s y = f(x) có MXð D ⊂ ℝ ñ i x ng a) f(x) ñư c g i là hàm s ch n ⇔ f (−x) = f(x), ∀x ∈ D . b) f(x) ñư c g i là hàm s l ⇔ f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D . Chú ý ð th c a hàm s l ñ i x ng qua g c t a ñ . ð th c a hàm s ch n ñ i x ng qua tr c tung. II. ð O HÀM – VI PHÂN C A HÀM S 1. Quy t c tính ñ o hàm Cho u(x), v(x), w(x) là các hàm s theo bi n s x và có ñ o hàm. Ta có: 1) (a.u)/ = a.u/ (a ∈ ℝ) 2) (u ± v)/ = u/ ± v/ 3) (u.v)/ = u/ .v + u.v/ , (u.v.w)/ = u/ .v.w + u.v/ .w + u.v.w/  u /  a / u/ .v − u.v/ v/ 4)   = (v ≠ 0) ,   = −a.   (v ≠ 0, a ∈ ℝ) .  v v    v2 v2 2. B ng ñ o hàm c a các hàm s sơ c p (hàm s ñư c cho b i 1 công th c) ð o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n ð o hàm c a hàm s h p u = u(x) 1) ( xα ) = α.xα−1 1) ( uα ) = α.u/ .u α−1 / /  1 /  1 / u/ 1 2)   = − 2)   = −    u x     x2 u2 u/ ( x) 1 / ( u) / = = 3) 3) 2x 2u 4) ( sin x ) = cos x 4) ( sin u ) = u/ .cos u / / 5) ( cos x ) = − sin x 5) ( cos u ) = −u/ .sin u / / u/ 1 6) ( tan x ) = / 6) ( tan u ) = / = 1 + tan2 x = u/ (1 + tan 2 u) cos2 x cos2 u Trang 9
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. −1 −u / 7) ( cot x ) = / 7) ( cot u ) = / = −(1 + cot2 x) = −u/ (1 + cot2u) sin2 x sin2 u 8) ( e x ) = e x 8) ( eu ) = u/ .eu / / 9) ( a x ) = a x .ln a 9) ( a u ) = u/ .a u .ln a / / u/ 1 10) ( ln x ) / 10) ( ln u ) / = = x u 1 u/ 11) ( log a x ) / 11) ( log a u ) / = = x.ln a u.ln a 3. Vi phân df(x) = f / (x)dx hay dy = y/dx . III. HÀM S ðƠN ðI U – C C TR C A HÀM S 1. Hàm s ñơn ñi u ax + b Tr y = , các hàm s còn l i (b c 3, b c 4, b c 2/1) ta dùng k t qu sau: cx + d f(x) ñ ng bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) . f(x) ngh ch bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) . 2. C c tr c a hàm s ð nh lý 1. Cho y = f(x) xác ñ nh trên kho ng (a; b) ch a x0. N u f(x) ñ t c c tr t i x0 và có ñ o hàm t i x0 thì f / (x 0 ) = 0 . Chú ý a) Hàm s có th ñ t c c tr t i x0 nhưng không có ñ o hàm t i x0. b) Hàm s có f / (x 0 ) = 0 nhưng có th không ñ t c c tr t i x0. ð nh lý 2. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm trong kho ng ch a x0 a) N u f / (x) ñ i d u t + sang – t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ñ i t i x0 b) N u f / (x) ñ i d u t – sang + t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0 ð nh lý 3. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm ñ n c p hai liên t c trong kho ng ch a x0  f / (x ) = 0  f / (x ) = 0   a) N u  // 0 b) N u  // 0   thì f(x) ñ t c c ti u t i x0; thì f(x) ñ t c c ti u t i x0.    f (x 0 ) > 0  f (x 0 ) > 0     3. ðư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ñ th hàm s (tham kh o) a) Hàm s b c ba Cho hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Chia y cho y/ ta ñư c y = (px + q)y/ + αx + β (*).  y = (px + q).y/ ( x ) + αx + β  y = αx1 + β     Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có:  1 1 1 1 ⇔ 1 .  y2 = (px2 + q).y ( x 2 ) + αx2 + β  y 2 = αx 2 + β /      Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = αx + β . Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = αxCT + β . ax 2 + bx + c b) Hàm s h u t y = (tham kh o) dx + e ax 2 + bx + c Cho hàm s y = có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m dx + e c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: U/ V − UV/ Bư c 1. ð t U = ax2 + bx + c, V = dx + e ta có y/ = (*). V2 Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có: U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/(x1,2 ) ⇒ U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/ (x1,2 ) = 0 y/ (x1,2 ) = 2 V (x1,2 ) Trang 10