ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
Chöông III
CHÆNH HÔÏP
Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät khaùc nhau (1
≤
k
≤
n), saép vaøo k choã khaùc
nhau. Moãi caùch choïn roài saép nhö vaäy goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn
töû.
Choã thöù nhaát coù n caùch choïn (do coù n vaät), choã thöù 2 coù (n – 1) caùch choïn (do
coøn n – 1 vaät), choã thöù 3 coù n – 2 caùch choïn (do coøn n – 2 vaät), …, choã thöù k coù
n – (k – 1) caùch choïn (do coøn n – (k – 1) vaät). Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch
choïn laø :
n × (n – 1) × (n – 2)
×
…
×
(n – k + 1) = n!
(n k)!−
Neáu kí hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø , ta coù :
k
n
A
=
k
n
An!
(n k)!
−
Ví duï 1. Moät nhaø haøng coù 5 moùn aên chuû löïc, caàn choïn 2 moùn aên chuû löïc khaùc
nhau cho moãi ngaøy, moät moùn buoåi tröa vaø moät moùn buoåi chieàu. Hoûi coù maáy
caùch choïn ?
Giaûi
Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû, coù :
=
2
5
A5!
(5 2)!
− = 4.5 = 20 caùch choïn.
(Giaû söû 5 moùn aên ñöôïc ñaùnh soá 1, 2, 3, 4, 5; ta coù caùc caùch choïn sau ñaây :
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)).
Ví duï 2. Trong moät tröôøng ñaïi hoïc, ngoaøi caùc moân hoïc baét buoäc, coù 3 moân töï
choïn, sinh vieân phaûi choïn ra 2 moân trong 3 moân ñoù, 1 moân chính vaø 1 moân phuï.
Hoûi coù maáy caùch choïn ?
Giaûi
Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 3 phaàn töû. Vaäy coù :
=
2
3
A3!
(3 2)!
− = 6 caùch choïn.
(Giaû söû 3 moân töï choïn laø a, b, c thì 6 caùch choïn theo yeâu caàu laø (a, b), (a, c), (b,
a), (b, c), (c, a), (c, b)).
Ví duï 3. Töø 5 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå taïo ra bao nhieâu soá goàm 2 chöõ soá khaùc
nhau ?
Giaûi
Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy coù :
=
2
5
A5!
(5 2)!
− = 5!
3! = 5
×
4 = 20 soá
(Caùc soá ñoù laø : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51,
52, 53, 54) .
Baøi 35. Chöùng minh vôùi n, k ∈ vaø 2 ¥
≤
k < n
a) k
n
A
= k
n1
A
− + k k1
n1
A
−
− b) n2
nk
A
+
+
+ n1
nk
A
+
+
= k2n
nk
A
+
Giaûi
a) Ta coù :
k
n1
A
− + k k1
n1
−
− = (n 1)!
(n 1 k) !
−
−− + k. (n 1)!
(n k) !
−
−
= (n – 1)! 1k
(n k 1)! (n k)(n k 1)!
⎡
⎤
+
⎢
⎥
−− − −−
⎣
⎦
= (n 1)!
(n k 1)!
−
−−
k
1nk
⎛⎞
+
⎜⎟
−
⎝⎠
= (n 1)!
(n k 1)!
−
−− .n
nk−
= n!
(n k)!
− = k
n
A
.
b) n2
nk
A
+
+ + n1
nk
A
+
+ = (n k)!
(k 2)!
+
− + (n k)!
(k 1)!
+
− =
(n k)!
(k 2)!
+
− + (n k)!
(k 1)(k 2)!
+
−−
= (n k)!
(k 2)!
+
−
1
1k1
⎡
⎤
+
⎢
⎥
−
⎣
⎦
= (n k)!
(k 2)!
+
−.k
k1
−
=
2
(n k)!k
k!
+ = n
nk
A
+
.k2.
Baøi 36. Giaûi phöông trình Px . 2
x
A
+ 72 = 6( 2
x
A
+ 2Px).
Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái D 2001
Giaûi
Ñieàu kieän x ∈ vaø x 2.
¥≥
Ta coù : Px . 2
x
A
+ 72 = 6( 2
x
A
+ 2Px)
⇔ x! x!
(x 2)!
− + 72 = 6 x! 2x!
(x 2)!
⎡
⎤
+
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⇔ x!x(x – 1) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!]
⇔ (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12)
⇔ (x2 – x – 12)(x! – 6) = 0
⇔
2
xx12
x! 6 0
⎡−− =
⎢−=
⎣
0
3 ⇔ : loaïi
x4
x
x3
=
⎡
⎢=−
⎢
⎢=
⎣
⇔
x4
x3
=
⎡
⎢=
⎣
Baøi 37. Giaûi baát phöông trình : 3
A
x + 5 2
x
A
≤
21x.
Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái B 1998
Giaûi
Ñieàu kieän x ∈ vaø x 3. ¥≥
3
A
x + 5 2
x
A
21x ≤
⇔x!
(x 3)!− + 5 x!
(x 2)!−
≤
21x
x(x – 1)(x – 2) + 5x(x – 1) ⇔
≤
21x
(x – 1)(x – 2) + 5(x – 1) ⇔
≤
21 (do x ≥ 3)
x
2 + 2x – 24 0 ⇔≤
⇔
–6
≤
x
≤
4.
Do x ∈ ¥ vaø x 3 neân x = 3, x = 4 laø nghieäâm. ≥
Baøi 38. Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, …, xn vôùi
xn =
4
n4
n2
A
P
+
+
–
n
143
4P vôùi Pn laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû.
Ñaïi hoïc An ninh 2001
Giaûi
Ñieàu kieän n ∈ \¥
{
}
0.
Ta coù : xn =
(n 4)!
n!
(n 2)!
+
+ – 143
4n! = (n 4)(n 3)
n!
+
+ – 143
4n! .
Vaäy : xn < 0 (n + 4)(n + 3) – ⇔143
4 < 0 (do n! > 0)
⇔ 4n2 + 28n – 95 < 0
⇔
19
2
− < n < 5
2.
Do n = 1, 2, 3, … neân n = 1, n = 2.
Vaäy 2 soá caàn tìm laø x1 = 54
1
×
– 143
4 = – 63
4
vaø x2 = 65
2
×
– 143
42
×
= 15 – 143
8 = – 23
8.
Baøi 39. Chöùng minh vôùi n ∈ vaø n 2 thì ¥≥
2
2
1
A
+ 2
3
1
A
+ … + 2
n
1
A
= n1
n
−
.
Ñaïi hoïc An ninh khoái A 2001
Ta coù :
2
2
2
3
2
4
2
n
11
A2
11! 1 11
A
3! 3 2 2 3
12! 1 11
A
4! 4 3 3 4
1(n2)! 1 1
.
A
n! n 1 n
⎧=
⎪
⎪
⎪== =−
⎪×
⎪
⎪
+== =−
⎨×
⎪
⎪
⎪−
⎪==−
⎪−
⎪
⎩
MM
Coäng veá theo veá n – 1 ñaúng thöùc treân ta ñöôïc :
2
2
1
A
+ 2
3
1
A
+ 2
4
1
A
+ … + 2
n
1
A
= 1
2 + 1
2 – 1
n = 1 – 1
n = n1
n
−.
Baøi 40. Coù bao nhieâu soá ñieän thoaïi baét ñaàu baèng 2 chöõ caùi khaùc nhau laáy töø 26 chöõ
caùi A, B, C, …, Z vaø tieáp theo laø 5 chöõ soá khaùc nhau khoâng coù soá 0.
Giaûi
Choïn 2 chöõ caùi trong 26 chöõ caùi, xeáp vaøo hai vò trí ñaàu tieân, ñaây laø chænh hôïp
chaäp 2 cuûa 26 phaàn töû. Tieáp theo, choïn 5 chöõ soá trong 9 chöõ soá khaùc 0, xeáp vaøo
5 vò trí, ñaây laø chænh hôïp chaäp 5 cuûa 9 phaàn töû.
Vaäy coù : 2
26
A
. 5
9
A
= 26!
24! . 9!
4! = 9828000 soá.
Baøi 41. Moät ñoäi boùng ñaù coù 18 caàu thuû. Caàn choïn ra 11 caàu thuû phaân vaøo 11 vò trí treân
saân ñeå thi ñaáu chính thöùc. Hoûi coù maáy caùch choïn neáu :
a) Ai cuõng coù theå chôi ôû baát cöù vò trí naøo ?
b) Chæ coù caàu thuû A laøm thuû moân ñöôïc, caùc caàu thuû khaùc chôi ôû vò trí naøo cuõng
ñöôïc ?
c) Coù 3 caàu thuû chæ coù theå laøm thuû moân ñöôïc, caùc caàu thuû khaùc chôi ôû vò trí naøo
cuõng ñöôïc ?
Giaûi
a) Choïn 11 ngöôøi trong 18 ngöôøi, xeáp vaøo 11 vò trí. Ñaây laø chænh hôïp chaäp 11 cuûa
18 phaàn töû. Coù : 11
18
A
= 18!
7! = 1270312243 caùch.
b) Choïn A laøm thuû moân. Tieáp ñeán, choïn 10 ngöôøi trong 17 ngöôøi coøn laïi, xeáp vaøo
10 vò trí. Vaäy coù : 10
17
A
= 17!
7! = 705729024 caùch.
c) Choïn 1 trong 3 ngöôøi laøm thuû moân, coù 3 caùch. Tieáp ñeán, choïn 10 ngöôøi trong 15
ngöôøi kia, xeáp vaøo 10 vò trí, coù 10
15
A
= 15!
5! caùch.
Vaäy, coù : 3. 15!
5! = 326918592 caùch.
Baøi 42. Coù 10 cuoán saùch khaùc nhau vaø 7 caây buùt maùy khaùc nhau. Caàn choïn ra 3 cuoán
saùch vaø 3 caây buùt maùy ñeå taëng cho 3 hoïc sinh, moãi em moät cuoán saùch vaø moät
caây buùt maùy. Hoûi coù maáy caùch ?