zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Chính - Ngân Hàng

» Kế toán - Kiểm toán

Ôn thi cao học môn toán kinh tế - Phần 3 thống kê

Chia sẻ: Bui Duc Huy Huy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Báo xấu

287
lượt xem 129
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU 1.1. Bảng số liệu Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n: (X1, X2,…, Xn) và thường lập bảng số liệu theo các dạng sau: Dạng 1: Liệt kê dưới dạng: x1, x2,…, xn trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần. Dạng 2: Lập bảng có dạng: trong đó x1

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao học môn toán kinh tế - Phần 3 thống kê

ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) PHẦN III: THỐNG KÊ
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi 1.2. Kỳ vọng mẫu 1) Định nghĩa. Kỳ vọng mẫu hay Trung bình mẫu của đám đông X ÔN THI CAO HỌC ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu X n hay X là đại lượng ngẫu nhiên định bởi: MÔN TOÁN KINH TẾ 1k ∑ X in i X= (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) n i =1 n → ∞ kỳ vọng mẫu X n hội tụ về kỳ vọng 2) Ý nghĩa. Khi PHẦN III: THỐNG KÊ đám đông μ = M(X). Do đó khi n khá lớn ta xấp xỉ: μ = M (X ) ≈ Xn §1. CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU 1.3. Phương sai mẫu và độ lệch mẫu 1.1. Bảng số liệu 1) Định nghĩa. Phương sai mẫu của đám đông X ứng với mẫu (X1, Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n: (X1, X2,…, 2 xσ2 hay σ2 ) là đại lượng ngẫu nhiên X2,…, Xn), kí hiệu S (còn kí hiệu là Xn) và thường lập bảng số liệu theo các dạng sau: n n định bởi: Dạng 1: Liệt kê dưới dạng: 1k 2 2 ∑ X i ni − (X)2 S= x1, x2,…, xn n i =1 trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần. S Căn bậc hai của phương sai mẫu của X gọi là độ lệch mẫu, kí hiệu Dạng 2: Lập bảng có dạng: xσn hay σn ): (còn kí hiệu là Xi x1 x2 ……………………….. xk ni n1 n2 …………………………. nk 1k 2 ∑ X i ni − (X)2 S= n i =1 trong đó x1 < x2
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi - Cỡ mẫu n = 100. 1.4. Tỉ lệ mẫu - Kỳ vọng mẫu của X là 1 1) Định nghĩa. Ta xét đám đông với tỉ lệ các phần tử có tính chất A ∑ X i ni = 26,36 (cm). X= là p. Dấu hiệu X mà ta quan tâm là các phần tử của đám đông có tính chất A n hay không: Nếu có, ta đặt X = 1; nếu không, ta đặt X = 0. Như vậy, đám đông - Phương sai mẫu của X là: X có phân phối Bernoulli X ∼ B(p) như sau: 1 2 S = ∑ X i2n i − X 2 =(7, 4452)2 (cm2 ). n X 0 1 Độ lệch mẫu của X là: S = 7, 4452 (cm) - P q p (q = 1-p). Khi đó một mẫu cỡ n là một bộ gồm n đại lượng ngẫu nhiên (X1, - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là: X2, …, Xn) mà mỗi Xi đều có cùng phân phối Bernoulli với X: Xi ∼ B(p), nghĩa n 2 S2 = S = (7, 4827)2 (cm 2 ). là n −1 Xi 0 1 - Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là: S = 7, 4827(cm) P q p Nói cách khác, mỗi Xi chỉ nhận hai giá trị: 0 (với xác suất q) và 1 (với xác suất - Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là: p). m 17 Tỉ lệ mẫu của đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu Fn, Fn = = = 0,17 = 17%. là đại lượng ngẫu nhiên định bởi: n 100 1k vì trong n = 100 sản phẩm có m = 8 + 9 = 17 sản phẩm có chỉ tiêu X nhỏ hơn ∑ X ini Fn = hay bằng 19 cm, nghĩa là có m = 17 sản phẩm loại B. n i =1 1.5. Hướng dẫn sử dụng phần mềm thống kê trong các máy tính bỏ 2) Ý nghĩa. Khi n → ∞ tỉ lệ mẫu Fn hội tụ về tỉ lệ đám đông p. túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES,..) tính các đặc trưng mẫu: Do đó khi n khá lớn ta xấp xỉ: Ví dụ. Xét lại ví dụ trên với bảng số liệu: p ≈ Fn 3) Chú ý. Dưới Dạng 2 của bảng, việc tính giá trị của tỉ lệ mẫu rất Xi 13 17 21 25 29 33 37 đơn giản vì ta chỉ cần xác định số phần tử m thỏa tính chất A của mẫu cỡ n. ni 8 9 20 16 16 13 18 Khi đó m a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS: Fn = . n Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần...) và bấm số ứng với SD, trên 1) màn hình sẽ hiện lên chữ SD. Ví dụ. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat một mẫu và có kết quả sau: 2) X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 clear) = AC . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc Δ thấy n = và ở Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 góc số 0 là đã xóa. Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B. Nhập số liệu: Trình tự bấm như sau: xi SHIFT , ni M+ (khi bấm Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ 3) lệnh mẫu, độ lệnh mẫu hiệu chỉnh của chỉ tiêu X và tỉ lệ mẫu các sản phẩm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;). Cụ thể, ta bấm: loại B. M+ 1 3 SHIFT , 8 Giải. Trước hết ta thay các khoảng xi - xi+1 bằng giá trị trung bình của hai đầu xi + xi +1 M+ 1 7 SHIFT , 9 x 'i = mút . 2 M+ 2 1 SHIFT , 2 0 Xi 13 17 21 25 29 33 37 ni 8 9 20 16 16 13 18 Ta có: 3 4 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES M+ 2 5 SHIFT , 1 6 1) Khai báo cột tần số: Bấm SHIFT SETUP ∇ 4 1 M+ 2 9 SHIFT , 1 6 (Bấm ∇ bằng cách bấm nút tròn xuống) 2) Vào Mode Thống kê: Bấm MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 ) M+ 3 3 SHIFT , 1 3 (Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT) M+ 3 7 SHIFT , 1 8 3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau: Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn ∇ để kiểm tra việc nhập số 4) liệu. Thấy số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ. Ví dụ. Nhập sai 1 3 SHIFT , 7 M+ . Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình hiện ra: - x1 = 13 - Freq1 = 7 (sai) Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 7, bấm 8 = thì nhận được số liệu đúng Freq1 = 8. Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn để kiểm tra việc nhập số liệu. M+ . Khi kiểm tra ta sẽ bị xóa. Chẳng hạn, nhập dư 4 7 SHIFT , 1 8 Thấy số liệu nào sai thì để con trỏ ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm thấy x8 = 47 (dư). Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ. bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 47 và tần số tương ứng 18) sẽ bị xóa. Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đó và bấm DEL thì Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và tần suất tương ứng) sẽ bị xóa. màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để 5) Đọc kết quả: xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Trong quá trình xủ lý số liệu, Đại lượng cần Thao tác Kết quả Ghi chú muốn xem lại bảng số liệu thì bấm SHIFT 1 2 tìm 5) Đọc kết quả: ∑X ∑X ∑X ni = = 75028 2 2 2 Tổng bình phương SHIFT 1 1 = i ∑ X i 2n i Đại lượng cần Thao tác Kết quả Ghi chú tìm ∑X n ∑ X = 2636 ∑X n ∑X SHIFT 1 2 = = ∑X Tổng ∑X ∑X = 75028 ni = 2 2 2 Tổng bình phương SHIFT 1 4 1 = i i i i i ∑X n 2 Cỡ mẫu n n = 100 SHIFT 1 3 = i i Tổng ∑ X n ∑ X = 2636 ∑X n ∑X X X = 26.36 SHIFT 1 4 2 = = SHIFT 2 1 = Kỳ vọng mẫu i i i i xσn = 7.4452 SHIFT 2 2 = Độ lệch mẫu S S = xσn Cỡ mẫu n n = 100 SHIFT 1 5 1 = X X = 26.36 SHIFT 1 5 2 = S = xσn −1 xσn −1 = 7.4827 Độ lệch mẫu hiệu SHIFT 2 3 = Kỳ vọng mẫu xσn = 7.4452 chỉnh S SHIFT 1 5 3 = Độ lệch mẫu S S = xσn 2 • Phương sai mẫu S = (7, 4452)2 S = xσn −1 xσn −1 = 7.4827 Độ lệch mẫu hiệu SHIFT 1 5 4 = • Phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 = (7, 4827)2 chỉnh S 2 • Phương sai mẫu S = (7, 4452)2 • Phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 = (7, 4827)2 5 6 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi §2. ƯỚC LƯỢNG BẢNG 1A 2.1. Ước lượng điểm ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG μ = M(X) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1 − α) Xét đám đông X và mẫu (X1, X2,..., Xn) ta có các ước lượng điểm không Phương sai σ2 Trường hợp Công thức chệch sau: σ σ n ≥ 30 Đã biết (X − zα ; X + zα ) 1) Kỳ vọng mẫu X là ước lượng không chệch của kỳ vọng đám n n đông: μ = M ( X ) ≈ X . S S Chưa biết (X − zα ; X + zα ) 2) Phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 là ước lượng không chệch của n n phương sai đám đông: σ2 = D(X) ≈ S2 . σ σ Đã biết n < 30 và X có phân phối (X − zα ; X + zα ) chuẩn n n 3) Tỉ lệ mẫu Fn là ước lượng không chệch của tỉ lệ đám kS S đông: p ≈ Fn . Chưa biết k (X − t α ; X + tα ) n n • zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát k t α với k = n −1 và α = 1 − γ tra từ Bảng Phân phối Student một mẫu và có kết quả sau: • 1−α γ X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 • Tra Bảng hàm Laplace để xác dịnh zα thỏa ϕ(zα ) = = ta được: Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 2 2 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại B. Hãy γ = 1− α ϕ(zα) = γ/2 zα ước lượng giá trị trung bình, phương sai của chỉ tiêu X và tỉ lệ các sản phẩm 90% 0,45 1,65 loại B. 91% 0,455 1,70 Giải. Trong Ví dụ 1 ở §1, ta đã tìm được: 92% 0,46 1,75 - Kỳ vọng mẫu của X là X = 26,36 (cm). 93% 0,465 1,81 - Phương sai đã hiệu chỉnh của X là 94% 0,47 1,88 n 2 95% 0,475 1,96 S2 = S = (7, 4827)2 = 55, 9903 (cm 2 ). n −1 96% 0,48 2,06 97% 0,485 2,17 - Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B là Fn = 17%. 98% 0,49 2,33 Ta ước lượng: 99% 0,495 2,58 - Giá trị trung bình của X là M(X) ≈ X = 26,36 (cm). • Đôi khi giá trị zα được cho dưới dạng P(|Z|≤ zα) = 1− α = γ hay P(Z ≤ 1−α γ - Phương sai của X là = 0, 5 + , trong đó Z ∼ N(0,1). zα) = 0,5 + 2 2 D(X) ≈ S2 = 55, 9903 (cm2 ). • Bảng phân phối Student ứng với k = n – 1 và α = 1 γ cho ta giá trị − - Tỉ lệ các sản phẩm loại B là k k k t α thỏa P(|T|> t α ) = α = 1 − γ, nghĩa là P(|T|≤ t α ) = 1− α = γ. Ví dụ. Khi k = p ≈ Fn = 17%. k 12, α = 0,01 ta có t α = 3,055. 2.2. Ước lượng khoảng cho kỳ vọng 1) Ước lượng hai phía: Xét đám đông X và mẫu (X1, X2,..., Xn), ta có Ví dụ. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát các công thức ước lượng khỏang (hai phía) cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin một mẫu và có kết quả sau: cậy γ = 1 − α như sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B. 7 8 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi k a) Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%. trong đó t α được xác định từ bảng phân phối Student với k = nB –1 = 16 và α b) Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại k = 1 − γ = 1 – 0,99 = 0,01. Tra bảng phân phối Student ta được t α = 2, 921 . B với độ tin cậy 99% (Giả sử X có phân phối chuẩn). Vậy ước lượng khoảng là: Giải. a) Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin 2,0580 2,0580 cậy γ = 1 − α = 95% = 0,95. (15,1176 − 2,921 ; 15,1176 + 2,921 ) = (13,66; 16,58). 17 17 Với các số liệu trên, trong §1, ta đã tìm được: - Cỡ mẫu n = 100. Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những - X = 26,36 (cm). sản phẩm loại B từ 13,66cm đến 16,58cm. - S = (7,4827) (cm ). 2 2 2 2) Ước lượng một phía: Xét đám đông X và mẫu (X1, X2,..., Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang một phía cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: cậy γ = 1− α như sau: S S (X − zα ; X + zα ) n n BẢNG 1B ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN TRÁI CHO KỲ VỌNG μ = M(X) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1 − α) trong đó ϕ(zα) = γ/2 = 0,95/2 = 0,475. Tra bảng gia trị hàm Laplace ta được zα Phương sai σ2 Trường hợp Công thức = 1,96. Vậy ước lượng khoảng là: σ n ≥ 30 Đã biết 7,4827 7,4827 (−∞; X + z2α ) (26,36 − 1,96 ; 26,36 + 1,96 ) = (24,89; 27,83). n 100 100 S Chưa biết (−∞; X + z2α ) Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, giá trị trung bình của chỉ tiêu X từ n 24,89cm đến 27,83 cm. σ Đã biết n < 30 và X có phân phối b) Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μB = M(XB) của chỉ (−∞; X + z2α ) chuẩn n γ = 1 - α = 99% = tiêu X = XB của những sản phẩm loại B với độ tin cậy S Chưa biết 0,99. k (−∞; X + t 2α ) n Ta lập bảng số liệu của XB: XBi 13 17 • z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 (α = 1 − γ) tra từ Bảng giá trị hàm Laplace k nBi 8 9 • t 2α với k = n − 1 và α = 1 − γ tra từ Bảng Phân phối Student Từ bảng trên ta tính được: ∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi nBi =3.953. 2 nB = 17; BẢNG 1C - Kỳ vọng mẫu của XB là ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN PHẢI CHO KỲ VỌNG μ = M(X) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1 − α) 1 ∑ X BinBi = 15,1176 (cm). XB = Phương sai σ2 Trường hợp Công thức nB σ n ≥ 30 Đã biết (X − z2α ; +∞) - Phương sai mẫu của XB là: n 1 2 S ∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm2 ). Chưa biết SB = (X − z2α ; +∞) nB n - Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh của XB là: σ Đã biết n < 30 và X có phân phối (X − z2α ; +∞) nB chuẩn 2 n 2 SB = (2, 0580)2 (cm2 ). SB = nB − 1 S Chưa biết k (X − t 2α ; +∞) Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B= D(XB) chưa biết, nên ta có n công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: • z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 (α = 1 − γ) tra từ Bảng giá trị hàm Laplace kS kS k t 2α với k = n − 1 và α = 1 − γ tra từ Bảng Phân phối Student (X B − t α B ; X B + t α B ) • nB nB 9 10 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi SB 2, 0580 Chú ý: k X B − t 2α = 15,1176 − 2, 583 = 13, 8283(cm) . • Khi có ước lượng khoảng bên trái cho kỳ vọng μ với độ tin cậy γ là nB 17 (−∞; X + ε) , ta nói giá trị tối đa của kỳ vọng μ độ tin cậy γ là X + ε . • Khi có ước lượng khoảng bên phải cho kỳ vọng μ với độ tin cậy γ là 2.3. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ (X − ε; +∞; ) , ta nói giá trị tối thiểu của kỳ vọng μ độ tin cậy γ là X − ε . 1) Ước lượng hai phía: Xét đám đông X và mẫu (X1, X2,..., Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang (hai phía) cho tỉ lệ p = P(A) với độ tin cậy γ = Ví dụ. Tiếp tục xét lại Ví dụ trên. 1 − α như sau: c) Ước lượng giá trị trung bình tối đa của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%. BẢNG 2A d) Ước lượng giá trị trung bình tối thiểu của chỉ tiêu X của những sản phẩm ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TỈ LỆ p = P(A) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1− α) loại B với độ tin cậy 99% (Giả sử X có phân phối chuẩn). Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) (Fn − zα ; Fn + zα n ) n n Giải. c) Ta có độ tin cậy γ = 1 − α = 95% = 0,95 (α = 0,05). zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace Ta đã tìm được: • Cỡ mẫu n = 100. (Fn là tỉ lệ mẫu, ϕ là hàm Laplace). Độ chính xác của ước lượng là • X = 26,36 (cm). F (1 − Fn ) • S = (7,4827) (cm ). ε = zα n 2 2 2 . n Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng Ví dụ. Để khảo sát trọng lượng của một loại vật nuôi, người ta quan sát bên trái cho kỳ vọng: một mẫu và có kết quả sau: S (−∞; X + z2α ) X(kg) 110-117 117-124 124-131 131-138 138-145 145-152 152-159 n Số con 28 29 35 46 36 7 8 Những con có trọng lượng từ 145kg trở lên được xếp vào loại A. Hãy ước tỉ trong đó ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta lệ con vật loại A với độ tin cậy 97%. được z2α = 1,65. Suy ra giá trị trung bình tối đa của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% là: Giải. Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các con loại A với độ tin cậy S 7, 4827 X + z2α = 26, 36 + 1, 65 = 27, 5946(cm) . γ = 1 − α = 97% = 0,97. n 100 Ta có công thức ước lượng khoảng : d) Ta có độ tin cậy γ = 1 − α = 99% = 0,99 (α = 0,01). Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n (Fn − zα ) Ta đã tìm được: n n • Cỡ mẫu nB = 17. trong đó ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ /2 = 0,97/2 = 0,485. • X B = 15,1176 (cm) . • Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,17. • S2 = (2, 0580)2 (cm2 ). • Cỡ mẫu n = 189. B Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σB2 = D(XB) chưa biết, nên ta có công • Trong n = 189 con có m = 7+ 8 = 15 con có trọng lượng từ 145kg trở thức ước lượng khoảng bên phải cho kỳ vọng với độ tin cậy γ = 1 − α là: lên nên có m = 15 con loại A. Do đó tỉ lệ mẫu các con loại A là: S Fn = m/n = 15/189 = 0,0794. k (X B − t 2α B ; +∞) Vậy ước lượng khoảng là: nB k trong đó t 2α được xác định từ bảng phân phối Student với k= nB –1 = 16 và 2α 0, 0794(1 − 0, 0794) 0, 0794(1 − 0, 0794) (0, 0794 − 2,17 ; 0, 0794 + 2,17 ) k 189 189 = 0,02. Tra bảng phân phối Student ta được t 2α = 2, 583 . = (0, 0367; 0,1221) = (3, 67%; 12, 21%) Vậy giá trị trung bình tối thiểu của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B với độ tin cậy 99% là: Nói cách khác, với độ tin cậy 97%, tỉ lệ con loại A từ 3,67% đến 12,21%. 11 12 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi trong đó ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta 3) Ước lượng một phía: Xét đám đông X và mẫu (X1, X2,..., Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang một phía cho tỉ lệ p = P(A) với độ tin cậy γ = được z2α = 2,06. Suy ra tỉ lệ tối thiểu con loại A là: 1 − α như sau: BẢNG 2B Fn (1 − Fn ) 0, 0794(1 − 0, 0794) Fn − z2α = 0, 0794 − 2, 06 = 0, 0389 = 3, 89%. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN TRÁI CHO TỈ LỆ P = P(A) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1 − α) n 189 Fn (1 − Fn ) (−∞; Fn + z2α ) 2.4. Ước lượng khoảng cho phương sai n z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 (α = 1 − γ) tra từ Bảng giá trị hàm Laplace 1) Ước lượng hai phía: Xét đám đông X có phân phối chuẩn và mẫu (X1, X2,..., Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang cho phương sai σ2 = BẢNG 2C D(X) với độ tin cậy γ = 1 − α như sau: ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN PHẢI CHO TỈ LỆ P = P(A) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1 − α) BẢNG 3A Fn (1 − Fn ) (Fn − z2α ; +∞) ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI σ2 = D(X) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1 − α) n X có phân phối chuẩn Công thức z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 (α = 1 − γ) tra từ Bảng giá trị hàm Laplace 1) μ = M(X) đã biết ⎛ ⎞ ⎜ ∑ (X i − μ)2 n i / χ2 ; ∑ (X i − μ)2 n i / χ2 α ⎟ (1) α ⎜ 1− ⎟ Chú ý: ⎝ 2⎠ 2 • Khi có ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p với độ tin cậy γ là 2) μ = M(X) chưa biết ⎛ ⎞ ⎜ (n − 1)S2 / χ2 ; (n − 1)S2 / χ2 α ⎟ (2) (−∞; Fn + ε) , ta nói giá trị tối đa của tỉ lệ p với độ tin cậy γ là Fn + ε . α ⎜ 1− ⎟ ⎝ 2⎠ 2 • Khi có ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p với độ tin cậy γ là χ2 ; χ2 (α = 1 − γ) từ Bảng P. phối Chi bình phương χ2 với n bậc tự do (1) Tra (Fn − ε; +∞) , ta nói giá trị tối thiểu của tỉ lệ p với độ tin cậy γ là Fn − ε . α α 1− 2 2 χ2 ; χ2 Ví dụ. Tiếp tục xét lại Ví dụ trên. (α = 1 − γ) từ Bảng P. phối Chi bình phương χ2 với n-1 bậc tự do (2) Tra α α c) Ước lượng tỉ lệ tối đa con loại A với độ tin cậy 96%. 1− 2 2 d) Ước lượng tỉ lệ tối thiểu con loại A với độ tin cậy 98%. Giải. Ta đã tìm được: Chú ý: ∑ (X • Cỡ mẫu n = 189. − μ)2 là tổng bình phương của mẫu (X1 − μ, X2 − μ,..., Xn − μ). 1) i • Tỉ lệ mẫu con loại A là: Fn = 0,0794. 2) Bảng phân phối Chi bình phương χ2 ∼ χ2 (k) với k bậc tự do cho ta các giá trị c) Ta có độ tin cậy γ = 1 − α = 96% = 0,96 (α = 0,04). χ2 thỏa P(χ 2 > χ 2 ) = α . Ví dụ: Với k = 20; α = 0,01 ta có χ 2 = 37, 57 α α α Công thức ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p con loại A với độ tin cậy (Trong một số tài liệu khác, kí hiệu χ2 chỉ giá trị mà P(χ 2 ≤ χ 2 ) = α . Theo γ = 1 − α = 0,96 là: α α nghĩa này thì χ2 chính là giá trị χ1− α mà ta đã xét ở trên). 2 Fn (1 − Fn ) (−∞; Fn + z2α ) α n Ví dụ. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát trong đó ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 = 0,92/2 = 0,46. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 được z2α = 1,75. Suy ra tỉ lệ tối đa con loại A là: Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Giả sử X có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng phương sai của X với độ tin cậy Fn (1 − Fn ) 0, 0794(1 − 0, 0794) Fn + z2α = 0, 0794 + 1,75 = 0,1138 = 11, 38% 90% trong mỗi trường hợp sau: n 189 a) Biết giá trị trung bình của X là 25cm. b) Chưa biết giá trị trung bình của X. d) Ta có độ tin cậy γ = 1 − α = 98% = 0,98 (α = 0,02). Công thức ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p con loại A với độ tin cậy Giải. a) Giả thiết cho ta μ = M(X) = 25. Ta có ước lượng khoảng của phương γ = 1 − α = 0,98 là: sai với độ tin cậy γ = 1 − α = 90% (α = 0,1) là: Fn (1 − Fn ) (Fn − z2α ; +∞ ) n 13 14 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi 2) Ước lượng một phía: Xét đám đông X có phân phối chuẩn và mẫu ⎛ ⎞ ⎜ ∑ (X i − μ) n i ∑ (X i − μ) n i ⎟ 2 2 (X1, X2,..., Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang một phía cho phương sai ; ⎜ ⎟ χ2 χ2 α σ2 = D(X) với độ tin cậy γ = 1 − α như sau: ⎜ ⎟ α 1− ⎝ ⎠ 2 2 BẢNG 3B Ta lập bảng: ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN TRÁI CHO PHƯƠNG SAI σ2 = D(X) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1 − α) Xi - μ −12 −8 −4 0 4 8 12 X có phân phối chuẩn Công thức ni 8 9 20 16 1613 18 ( ) 0 ; ∑ (X i − μ)2 n i / χ1−α 1) μ = M(X) đã biết 2 (1) ∑ (X i − μ)2 n i = 5728 . Từ đó ta tìm được cỡ mẫu n = 100; ( 0 ; (n − 1)S ) 2) μ = M(X) chưa biết 2 2 / χ1−α (2) Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n = 100 bậc tự do ta được: 2 χ (α = 1 − γ) từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ với n bậc tự do 2 (1) Tra 1−α χ 2 = χ 0,05 = 124, 3 vaø = χ0,95 = 77, 93 2 χ2 2 2 α α χ1−α (α = 1 − γ) từ Bảng Phân phối chi bình phương χ2 với n − 1 bậc tự do (2) Tra 1− 2 2 Vậy ước lượng khoảng của phương sai là: BẢNG 3C ⎛ 5728 5728 ⎞ ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN PHẢI CHO PHƯƠNG SAI σ2 = D(X) (ĐỘ TIN CẬY γ = 1− α) ⎜ 124, 3 ; 77, 93 ⎟ = (46, 08;73, 50) X có phân phối chuẩn Công thức ⎝ ⎠ ( ) ∑ (X i − μ)2 ni / χ2 ; + ∞ 1) μ = M(X) đã biết (1) α Nói cách khác, với độ tin cậy 90%, phương sai của chỉ tiêu X của loại sản ( (n − 1)S ) 2) μ = M(X) chưa biết 2 / χ2 ; + ∞ (2) phẩm trên từ 46,08(cm2) đến 73,50(cm2). α b) Vì μ = M(X) chưa biết, ta có ước lượng khoảng của phương sai với χ 2 (α = 1 − γ) từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ2 với n bậc tự do (1) Tra α độ tin cậy γ = 1 − α = 90% (α = 0,1) là: χ 2 (α = 1 − γ) từ Bảng Phân phối chi bình phương χ2 với n − 1 bậc tự do (2) Tra α ⎛ ⎞ Chú ý: ⎜ (n − 1)S2 (n − 1)S2 ⎟ • Khi có ước lượng khoảng bên trái cho phương sai σ2 = D(X) với độ ; ⎜ ⎟ χ2 χ2 α ⎟ tin cậy γ là (0; D) , ta nói giá trị tối đa của phương sai σ2 với độ tin cậy γ là D. ⎜ α 1− ⎝ ⎠ • Khi có ước lượng khoảng bên phải cho phương sai σ2 = D(X) với độ 2 2 tin cậy γ là (d; +∞), ta nói giá trị thiểu của phương sai σ2 với độ tin cậy γ là d. Các số liệu của bài toán đã được tính trong các ví dụ trước. Nhắc lại rằng : Ví dụ. Tiếp tục xét lại Ví dụ trên. Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng: - c) Giá trị tối đa của phương sai σ2 trong trường hợp biết giá trị trung Cỡ mẫu n = 100. X = 26,36 (cm). - bình của X là 25cm. d) Giá trị tối thiểu của phương sai σ2 trong trường hợp chưa biết giá trị - S 2 = (7,4827 ) 2 (cm 2 ). trung bình của X. Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n−1) với n 1 = 99 ≈100 bậc tự − Giải. c) Giả thiết cho ta μ = M(X) = 25. Ta có ước lượng khoảng bên trái của do ta được: phương sai với độ tin cậy γ = 1 − α = 99% (α = 0,01) là: ⎛ ∑ (X i − μ)2 n i ⎞ χ 2 = χ 0,05 = 124, 3 vaø = χ0,95 = 77, 93 2 χ2 2 ⎜0 ; α α ⎟ 1− ⎜ ⎟ 2 2 2 χ1−α ⎝ ⎠ Vậy ước lượng khoảng của phương sai là: ∑ (X − μ)2n i = 5728 . Tương tự câu a), ta tìm được cỡ mẫu n = 100; i ⎛ 99.(7, 4827)2 99.(7, 4827)2 ⎞ ; ⎟ = (44, 59;71,13) Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n = 100 bậc tự do ta được: ⎜ ⎝ 124, 3 77, 93 ⎠ χ1−α = χ 2 = 70, 065 2 0,99 Nói cách khác, với độ tin cậy 90%, phương sai của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên từ 44,59(cm2) đến 71,13(cm2). Suy ra giá trị tối đa của phương sai σ2 là: 15 16 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi ∑ (X − μ)2 n i 5728 εn i = 81,7527 . = zα = 70, 065 2 χ1−α S Tra bảng giá trị hàm Laplace ta tìm được ϕ(zα). Từ đó suy ra độ tin cậy d) Vì μ = M(X) chưa biết, ta có ước lượng khoảng bên phải của phương sai với γ = 2ϕ(zα). độ tin cậy γ = 1 − α = 99% (α = 0,01) là: - Nếu biết độ chính xác ε và độ tin cậy γ thì từ (1) ta suy ra: ⎛ (n − 1)S2 ⎞ 2 ; +∞ ⎟ ⎛z S⎞ ⎜ n=⎜ α ⎟ 2 χα ⎝ ⎠ ⎝ε⎠ Ta đã biết: 2 ⎛z S⎞ Chú ý rằng ⎜ α ⎟ có thể không là số nguyên, hơn nữa, ta đã biết trong ước - ⎝ε⎠ Cỡ mẫu n = 100. X = 26,36 (cm). - lượng, cỡ mẫu càng lớn thì ước lượng càng chính xác. Do đó trong thực tế ta có yêu cầu: - S 2 = (7,4827 ) 2 (cm 2 ). n ≥ n1 (2) Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n-1) với n 1 = 99 ≈ 100 bậc tự − trong đó n1 = ⎡(zαS / ε)2 ⎤ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng (zα S / ε)2 . do ta được: ⎢ ⎥ Gọi n0 là cỡ mẫu đang xét, ta có: χ 2 = χ 2 = 135, 8 . 0,01 α Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm vì cỡ mẫu đang có đã thỏa (2). Suy ra giá trị tối thiểu của phương sai σ2 là: (n − 1)S 99.(7, 4827) 2 2 = 40, 8180 . Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1- n0 số liệu nữa để đảm = 135, 8 2 χα bảo tổng số liệu là n1 thoả (2). Tóm lại, ta có qui tắc xác định các chỉ tiêu chính khi ước lượng khoảng 2.5. Các chỉ tiêu chính của bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng và cho kỳ vọng như sau: tỉ lệ Trong bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng và tỉ lệ có 3 chỉ tiêu chính BẢNG 4A là: XÁC ĐỊNH CÁC CHỈ TIÊU CHÍNH - Cỡ mẫu n. TRƯỜNG HỢP ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG μ = M(X) Chỉ tiêu đã biết Chỉ tiêu cần tìm Công thức - Độ chính xác ε. - Độ tin cậy γ = 1 − α. S Độ chính xác ε - Cỡ mẫu n ε = zα Nếu biết được 2 trong 3 chỉ tiêu trên thì có thể suy ra chỉ tiêu còn lại. - Độ tin cậy γ = 1− α n 1) Trương hợp ước lượng khoảng cho kỳ vọng Độ tin cậy γ = 1 − α - Cỡ mẫu n εn Ta xét trường hợp phổ biến nhất là n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết. Khi đó, γ = 2ϕ( ) - Độ chính xác ε S μ = M(X) với độ tin cậy ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng - Độ tin cậy γ = 1− α Cỡ mẫu n 2 n ≥ ⎡( zαS / ε ) ⎤ γ: ⎢ ⎥ - Độ chính xác ε S S γ • zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace ϕ(x) (X − zα ; X + zα ) ϕ(zα ) = . vôùi ( zαS / ε )2 2 2 n n • ⎡( zα S / ε ) ⎤ là số nguyên nhỏ nhất ≥ ⎢ ⎥ Do đó ta có công thức độ chính xác của ước lượng là: S ε = zα (1) Ví dụ. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát n một mẫu và có kết quả sau: - Nếu biết cỡ mẫu n và độ tin cậy γ thì ta tra bảng giá trị hàm Laplace để X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 tìm zα thoả ϕ(zα) = γ/2. Từ đó ta tìm được độ chính xác ε theo (1). a) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản - Nếu biết cỡ mẫu n và độ chính xác ε thì từ (1) ta suy ra phẩm trên với độ chính xác 1,8cm thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu? 17 18 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi b) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản Fn (1 − Fn ) ε = zα (1) phẩm trên với độ chính xác 1,5cm và độ tin cậy 97% thì phải điều tra thêm ít n nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? - Nếu biết cỡ mẫu n và độ tin cậy γ thì ta tra bảng giá trị hàm Laplace Giải. Các số liệu của bài toán đã được tính trong các ví dụ trước. Nhắc lại rằng : để tìm zα thoả ϕ(zα) = γ/2. Từ đó ta tìm được độ chính xác ε theo (1). - Cỡ mẫu n = 100. - Nếu biết cỡ mẫu n và độ chính xác ε thì từ (1) ta suy ra - X = 26,36 (cm). n zα = ε S 2 = (7,4827) 2 (cm 2 ). - Fn (1 − Fn ) Tra bảng giá trị hàm Laplace ta tìm được ϕ(zα). Từ đó suy ra độ tin cậy a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1− α khi ước lượng kỳ vọng γ = 2ϕ(zα). của chỉ tiêu X với độ chính xác ε = 1,8cm. - Nếu biết độ chính xác ε và độ tin cậy γ thì từ (1) ta suy ra: Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác z2 Fn (1 − Fn ) n= α của ước lượng: ε2 S ε = zα z2 Fn (1 − Fn ) α Chú ý rằng có thể không là số nguyên, hơn nữa, ta đã biết trong n ε2 trong đó ϕ(zα) = γ /2. Suy ra ước lượng, cỡ mẫu càng lớn thì ước lượng càng chính xác. Do đó trong thực tế ta có yêu cầu: ε n 1, 8. 100 zα = = 2, 41 = n ≥ n1 (2) S 7, 4827 trong đó n1 = ⎡z2 Fn (1 − Fn ) / ε2 ⎤ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là: ⎢α ⎥ γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 41) = 2.0, 4920 = 98, 40%. z2 Fn (1 − Fn ) / ε2 . Gọi n0 là cỡ mẫu đang xét, ta có: α Vậy độ tin cậy đạt được là 98,40%. b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm vì cỡ mẫu đang có đã thỏa (2). X với độ chính xác ε = 1,5cm và độ tin cậy γ = 1− α = 97% = 0,97. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1- n0 số liệu nữa để đảm bảo tổng số liệu là n1 thoả (2). của ước lượng: S ε = zα Tóm lại, ta có qui tắc xác định các chỉ tiêu chính khi ước lượng khoảng n cho tỉ lệ như sau: trong đó ϕ(zα) = γ /2 = 0,97/2 = 0, 485. BẢNG 4B Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,17. Suy ra XÁC ĐỊNH CÁC CHỈ TIÊU CHÍNH 2 2 ⎛z S⎞ ⎛ 2,17.7, 4827 ⎞ TRƯỜNG HỢP ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TỈ LỆ p = P(A) n=⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 117,18 Chỉ tiêu đã biết Chỉ tiêu cần tìm Công thức 1, 5 ⎝ε⎠ ⎝ ⎠ Thực tế yêu cầu: n ≥ ⎡117,18⎤ = 118. Vì n1 = 118 > 100 (100 là cỡ mẫu đang Độ chính xác ε - Cỡ mẫu n Fn (1 − Fn ) ε = zα có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là 118 – 100 = 18 sản phẩm nữa. - Độ tin cậy γ = 1− α n Độ tin cậy γ = 1− α - Cỡ mẫu n n 2) Trường hợp ước lượng khoảng cho tỉ lệ γ = 2ϕ(ε ) - Độ chính xác ε Fn (1 − Fn ) Ta xét trường hợp cỡ mẫu khá lớn. Khi đó, ta có công thức ước lượng - Độ tin cậy γ = 1− α n ≥ ⎡ z2 Fn (1 − Fn ) / ε2 ⎤ Cỡ mẫu n khoảng cho tỉ lệ p với độ tin cậy γ: ⎢α ⎥ - Độ chính xác ε Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) 1−α γ • zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace ϕ(x) ; Fn + zα n (Fn − zα ) ϕ(zα ) = =. vôùi 2 2 n n 2 2 • ⎡z2 Fn (1 − Fn ) / ε2 ⎤ là số nguyên nhỏ nhất ≥ zα Fn (1 − Fn ) / ε ⎢α ⎥ Do đó ta có công thức độ chính xác của ước lượng là: Ví dụ. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: 19 20 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi BẢNG 5A X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ KỲ VỌNG μ = M(X) Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại B. H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ ≠ μ0 (mức ý nghĩa α) a) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác 8% n ≥ 30 Trường hợp n < 30 thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu? b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác 9% Bước σ2 đã biết σ2 chưa biết σ2 đã biết σ2 chưa biết và độ tin cậy 96% thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? Giải. Các số liệu của bài toán đã được xét nhiều lần. Nhắc lại rằng: 1) Tính z (X − μ 0 ) n (X − μ 0 ) n (X − μ 0 ) n (X − μ0 ) n - Cỡ mẫu n = 100. z= z= z= z= S S σ σ - Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là Fn = 0,17. a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1 − α khi lượng tỉ lệ các sản k 2) Tra Bảng tα zα zα zα phẩm loại B với độ chính xác ε = 8% = 0,08. k |z| ≤ zα |z| ≤ zα |z| ≤ zα 3a) Chấp nhận H0 |z| ≤ t α Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: k 3b) Bác bỏ H0 |z| > t α Fn (1 − Fn ) |z| > zα |z| > zα |z| > zα ε = zα n • zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace k trong đó ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra • t α với k = n −1 tra từ Bảng Phân phối Student n 100 2) Kiểm định một phía: Xét đám đông X có kỳ vọng μ = M(X) chưa zα = ε = 0, 08. = 2,13 Fn (1 − Fn ) 0,17(1 − 0,17) biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào mẫu (X1, X2,..., Xn) ta có qui tắc kiểm định giả thiết một phía về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α như sau: Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2,13) = 2.0, 4834 = 96, 68%. Vậy độ tin cậy đạt được là 96,68%. BẢNG 5B b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ KỲ VỌNG μ = M(X) B với độ chính xác ε = 9% = 0,09 và độ tin cậy γ = 1 − α = 96% = 0,96. H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ > μ0 (mức ý nghĩa α) Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: n ≥ 30 Trường hợp n < 30 Fn (1 − Fn ) ε = zα n Bước σ2 đã biết σ2 chưa biết σ2 đã biết σ2 chưa biết trong đó ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,06. Suy ra 1) Tính z (X − μ 0 ) n (X − μ 0 ) n (X − μ 0 ) n (X − μ0 ) n z= z= z= z= z2 Fn (1 − Fn ) 2, 062.0,17(1 − 0,17) S S σ σ n= ≈ 73, 92. α = ε2 0, 092 k 2) Tra Bảng t 2α z2 α z2α z2α Thực tế yêu cầu: n ≥ ⎡73,92⎤ = 74. Vì n1 = 74 < 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều tra thêm sản phẩm nữa. k z ≤ z2α z ≤ z2 α z ≤ z2α 3a) Chấp nhận H0 z ≤ t 2α k 3b) Bác bỏ H0 z > t 2α z > z2α z > z2α z > z2α §3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT • z2α thoa ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace 3.1. Kiểm định giả thiết về kỳ vọng k t 2α với k = n −1 tra từ Bảng Phân phối Student • 1) Kiểm định hai phía: Xét đám đông X có kỳ vọng μ = M(X) chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào mẫu (X1, X2,..., Xn) ta có qui tắc kiểm định giả thiết hai phía về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α như sau: 21 22 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi BẢNG 5C 2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh của XB: S B = ( 2,0580) (cm ). 2 2 - KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ KỲ VỌNG μ = M(X) H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ < μ0 (mức ý nghĩa α) a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: n ≥ 30 Trường hợp n < 30 H0: μ = 29 với giả thiết đối H1: μ ≠ 29. Bước σ2 đã biết σ2 chưa biết σ2 đã biết σ2 chưa biết Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: 1) Tính z (X − μ 0 ) n (X − μ 0 ) n (X − μ 0 ) n (X − μ0 ) n Bước 1: Ta có z= z= z= z= S S σ σ (X − μ 0 ) n (26, 36 − 29) 100 z= = −3, 5281. = S 7, 4827 k 2) Tra Bảng t 2α z2 α z2α z2α k ≤ z2α ≤ z2α ≤ z2α 3a) Chấp nhận H0 ≤ t 2α Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả −z −z −z −z ϕ(zα) = (1 − α)/2 = 0,99/2 = 0,495 k 3b) Bác bỏ H0 t 2α −z > z2α −z > z2α −z > z2α −z > ta được zα = 2,58. • z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace Bước 3: Kiểm định. k • t 2α với k = n −1 tra từ Bảng Phân phối Student Vì |z|= 3,5281 > 2,58 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ = 29, nghĩa là chấp nhận H1: μ ≠ 29. Ví dụ. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tình hình sản xuất không bình thường vì một mẫu và có kết quả sau: giá trị trung bình của chỉ tiêu X không đúng tiêu chuẩn. X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 nghĩa α = 2% = 0,02: Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại B. H0: μ = 25 với giả thiết đối H1: μ > 25. a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn của chỉ tiêu X là 29cm. Hãy nhận định về tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 1%. Vì n ≥ 30; σ2= D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: b) Theo qui định, gía trị trung bình của chỉ tiêu X là 25cm. Các số liệu Bước 1: Ta có trên thu thập được từ các sản phẩm do một máy sản xuất. Với mức ý nghĩa 2% (X − μ 0 ) n (26, 36 − 25) 100 có thể kết luận rằng các sản phẩm do máy sản suất có chỉ tiêu X cao hơn qui z= = 1, 8175. = định hay không? S 7, 4827 c) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau một thời gian, người ta thấy giá Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1− 2α)/2 trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B là 16cm. Hãy cho kết = 0,96/2 = 0,48 ta được z2α = 2,06. luận về phuơng pháp mới với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn). Bước 3: Kiểm định. d) Theo số liệu thống kê cũ, gía trị trung bình của chỉ tiêu X của những H0: μ = 25. Vì z = 1,18175 < 2,06 = z2α nên ta chấp nhận gia thiết sản phẩm loại B là 16,5cm. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, không thể kết luận rằng các sản phẩm một phương pháp sản xuất mới. Hãy cho kết luận về nhận định cho rằng do máy trên sản suất có chỉ tiêu X cao hơn qui định. phương pháp mới có tác dụng làm giảm chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B c) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μB = M(XB) của chỉ với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn). tiêu X = XB của các sản phẩm loại B với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: Giải. Các số liệu của bài toán đã tính được: H0: μB = 16 với giả thiết đối H1: μB ≠ 16 - Cỡ mẫu n = 100. - Kỳ vọng mẫu của X: X = 26,36 (cm). Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B= D(XB) chưa biết, nên ta kiểm định S = (7,4827) (cm ). 2 2 2 - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: như sau: Bước 1: Ta có - Cỡ mẫu loại B: nB = 17. (X B − μ 0 ) n B (15,1176 − 16) 17 = 15,1176 (cm). - Kỳ vọng mẫu của XB: X B z= = −1,7678. = SB 2, 0580 23 24 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi Bước 2: Đặt k = nB − 1 = 16. Tra bảng phân phối Student ứng với k BẢNG 6B k = 16 và α = 0,02 ta được t α = 2,583. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TỈ LỆ p = P(A) Bước 3: Kiểm định. H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p > p0 (mức ý nghĩa α) k Vì |z| = 1,7678 < 2,583 = t α nên ta chấp nhận giả thiết H0: μB = 16. Bước 1: Tính z (Fn − p0 ) n Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp mới không có tác dụng z= làm thay đổi giá trị trung bình của chỉ tiêu XB của các sản phẩm loại B. p0 (1 − p0 ) d) Đây là bài toán kiểm định giả thiếtvề kỳ vọng μB = M(XB) của chỉ Bước 2: Tra Bảng z2α α = 2% = 0,02: tiêu X = XB của các sản phẩm loại B với mức ý nghĩa z ≤ z 2α Bước 3a: Chấp nhận H0 Bước 3b: Bác bỏ H0 z > z2 α H0: μB = 16,5 với giả thiết đối H1: μB < 16,5 z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace 2 Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ B = D(XB) chưa biết, nên ta kiểm định BẢNG 6C như sau: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TỈ LỆ p = P(A) Bước 1: Ta có H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p < p0 (mức ý nghĩa α) (X B − μ 0 ) n B (15,1176 − 16, 5) 17 z= = −2,7696. = Bước 1: Tính z (Fn − p0 ) n SB 2, 0580 z= p0 (1 − p0 ) Bước 2: Đặt k = nB − 1 = 16. Tra bảng phân phối Student ứng với k k = 16 và 2α = 0,04 ta được t 2α = 2,2354. Bước 2: Tra Bảng z2α ≤ z 2α Bước 3a: Chấp nhận H0 −z Bước 3: Kiểm định. k Bước 3b: Bác bỏ H0 Vì −z = 2,7696 > 2,2354 = t 2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μB = 16,5, − z > z 2α z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace nghĩa là chấp nhận H1: μB < 16,5. Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp mới có tác dụng làm giảm Ví dụ. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát giá trị trung bình của chỉ tiêu XB của các sản phẩm loại B. một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 3.2. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 1) Kiểm định hai phía: Xét đám đông X có tỉ lệ p = P(A) chưa biết. Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 27cm trở lên dược xếp vào loại A. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào mẫu (X1, X2,..., Xn) ta có qui tắc a) Một tài liệu cũ cho rằng tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Hãy nhận định kiểm định giả thiết hai phía về tỉ lệ p = P(A) với mức ý nghĩa α như sau: về tài liệu cũ với mức ý nghĩa 1%. b) Tỉ lệ sản phẩm loại A trước đây là 40%. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới. Với mức ý nghĩa 3%, có thể nói BẢNG 6A rằng kỹ thuật mới làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A hay không? KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TỈ LỆ p = P(A) H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p ≠ p0 (mức ý nghĩa α) Giải. Ta tính được: - Cỡ mẫu n = 100. Bước 1: Tính z (Fn − p0 ) n - Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại A là Fn = 47/100 = 0,47. z= p0 (1 − p0 ) a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: Bước 2: Tra Bảng zα H0: p = 60% = 0,6 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,6 |z| ≤ zα Bước 3a: Chấp nhận H0 Ta kiểm định như sau: Bước 3b: Bác bỏ H0 |z| > zα Bước 1: Ta có zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace (Fn − p 0 ) n (0, 47 − 0, 6) 100 z= = −2, 6536. = 2) Kiểm định một phía: Xét đám đông X có tỉ lệ p = P(A) chưa biết. p 0q 0 0, 6(1 − 0, 6) Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào mẫu (X1, X2,..., Xn) ta có qui tắc Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả kiểm định giả thiết một phía về tỉ lệ p = P(A) với mức ý nghĩa α như sau: 25 26 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi ϕ(zα) = (1 − α)/2 = 0,99/2 = 0,495 BẢNG 7B KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ PHƯƠNG SAI σ2 = D(X) ta được zα = 2,58. H0: σ2 = σ02 với giả thiết đối H1: σ2 > σ02 (mức ý nghĩa α) Bước 3: Kiểm định. Vì |z|= 2,6536 > 2,58 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: p = 0,6, nghĩa là chấp nhận H1: p ≠ 0,6. (n − 1)S2 Bước 1: Tính z z= Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tài liệu thống kê cũ dã lạc hậu, không σ2 còn phù hợp với thực tế. 0 χ2 Bước 2: Tra Bảng b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với α mức ý nghĩa α = 3% = 0,03: z ≤ χ2 Bước 3a: Chấp nhận H0 α H0: p = 40% = 0,4 với giả thiết đối H1: p > 0,4 z > χ2 Bước 3b: Bác bỏ H0 Ta kiểm định như sau: α χ2 Bước 1: Ta có tra từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ2 với n−1 bậc tự do α (Fn − p 0 ) n (0, 47 − 0, 4) 100 z= = 1, 4289. = BẢNG 7C p 0q 0 0, 4(1 − 0, 4) KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ PHƯƠNG SAI σ2 = D(X) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả H0: σ2 = σ02 với giả thiết đối H1: σ2 < σ02 (mức ý nghĩa α) ϕ(z2α) = (1− 2α)/2 = 0,94/2 = 0,47 (n − 1)S2 Bước 1: Tính z ta được z2α = 1,88. z= σ2 Bước 3: Kiểm định. Vì z = 1,4289 < 1,88 = z2α nên ta chấp nhận giả 0 2 Bước 2: Tra Bảng χ1− α thiết H0: p = 0,6. Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, kỹ thuật mới không làm tăng tỉ lệ sản 2 Bước 3a: Chấp nhận H0 z ≥ χ1− α phẩm loại A. 2 Bước 3b: Bác bỏ H0 z < χ1− α 3.3. Kiểm định giả thiết về phương sai 2 χ1−α tra từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ2 với n−1 bậc tự do 1) Kiểm định hai phía: Xét đám đông X có phân phối chuẩn với phương sai σ2 = D(X) chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào mẫu (X1, X2,..., Xn) ta có qui tắc kiểm định giả thiết hai phía về phương sai σ2 = Ví dụ. Đường kính của một chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên X có D(X) với mức ý nghĩa α như sau: phân phối chuẩn. Người ta đo thử 28 chi tiết máy do một máy sản xuất và tìm S2 = (2,0853)2 (cm2). được phương sai mẫu hiệu chỉnh là BẢNG 7A KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ PHƯƠNG SAI σ2 = D(X) a) Khi máy hoạt động bình thường thì độ lệch chuẩn của X của các chi H0: σ2 = σ02 với giả thiết đối H1: σ2 ≠ σ02 (mức ý nghĩa α) tiết máy do máy sản xuất là 1,8cm. Với mức ý nghĩa 1%, hãy xét xem máy có hoạt động bình thường không. (n − 1)S2 Bước 1: Tính z b) Theo qui định mới, nếu độ lệch chuẩn của X lớn hơn 1,6cm thì phải z= σ2 điều chỉnh lại máy. Với mức ý nghĩa 5%, có phải điều chỉnh lại máy không? 0 χ 2 và χ 2 Bước 2: Tra Bảng α α Giải. Ta có: 1− 2 2 - Cỡ mẫu n = 28. 2 Bước 3a: Chấp nhận H0 ≤ z ≤ χα χ2 α - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: S2 = (2,0853)2 (cm 2 ). 1− 2 2 2 Bước 3b: Bác bỏ H0 h o ặc z > χ α z < χ2 a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về phương sai σ2 = D(X) với mức α 1− ý nghĩa α = 1% = 0,01: 2 2 χ2 χ2 H0: σ2 = (1,8)2 với giả thiết đối H1: σ2 ≠ (1,8)2 tra từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ2 với n−1 bậc tự do và α α 1− 2 Bước 1: Ta có: 2 2) Kiểm định một phía: Xét đám đông X có phân phối chuẩn với (n − 1)S2 27.(2, 0853)2 z= = 36, 2373 = phương sai σ2 = D(X) chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào mẫu (1, 8)2 σ2 (X1, X2,..., Xn) ta có qui tắc kiểm định giả thiết một phía về phương sai σ2 = 0 D(X) với mức ý nghĩa α như sau: 27 28 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi các mẫu (X1 , X 2 ,..., X n ) và (Y1 , Y2 ,..., Yn ) ta có qui tắc kiểm định giả thiết Bước 2: Tra bảng Phân phối Chi bình phương χ2 với k= n − 1 = 27 bậc X Y 0,005 = 49, 65 và χ α = χ 0,995 = 11,80765. tự do, ta tìm được χ2 = χ 2 2 2 một phía về so sánh hai kỳ vọng như sau: α 1− 2 2 BẢNG 8B = 11, 80765 ≤ z = 36,2373 ≤ 49, 65 = χ α 2 2 Bước 3: Kiểm định. Vì χ KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI KỲ VỌNG α 1− H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX > μY (mức ý nghĩa α) 2 2 nên ta chấp nhận giả thiết H0: σ2 = (1,8)2 . nX ≥ 30 và nY ≥ 30 nX < 30 hoặc nY < 30 Trường hợp Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về phương sai σ2 = D(X) với mức Bước ý nghĩa α = 5% = 0,05: H0: σ2 = (1,6)2 với giả thiết đối H1: σ2 > (1,6)2 X−Y X−Y 1) Tính z z= z= Bước 1: Ta có: S2 S2 S2 S2 (n − 1)S2 27.(2, 0853)2 X Y X +Y + z= = 45, 8628 = nX nY nX nY (1, 6)2 σ20 k 2) Tra Bảng t 2α z2 α Bước 2: Tra bảng phân phối Chi bình phương χ2 với k = n – 1 = 27 bậc tự do, ta tìm được χα = χ0,05 = 40,11 . 2 2 k z ≤ z2α 3a) Chấp nhận H0 z ≤ t 2α k Bước 3: Kiểm định. Vì z = 45,8628 > 40,11 = χ nên ta bác bỏ giả thiết 2 3b) Bác bỏ H0 z > t 2α z > z2α α H0: σ = (1,6)2, nghĩa là chấp nhận H1: σ2 > (1,6)2. 2 • z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace k t 2α với k = n − 1 tra từ Bảng Phân phối Student Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, phải điều chỉnh lại máy. • 3.4. Kiểm định giả thiết về so sánh hai kỳ vọng BẢNG 8C 1) Kiểm định hai phía: Xét hai đám đông X, Y với các kỳ vọng μX = KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI KỲ VỌNG M(X) và μY = M(Y) đều chưa biết. Với mỗi số α (0< α < 1) khá bé, dựa vào H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX < μY (mức ý nghĩa α) các mẫu (X1 , X 2 ,..., X n ) và (Y1 , Y2 ,..., Yn ) ta có qui tắc kiểm định giả thiết X Y nX ≥ 30 và nY ≥ 30 nX < 30 hoặc nY < 30 Trường hợp hai phía về so sánh hai kỳ vọng như sau: BẢNG 8A Bước KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI KỲ VỌNG H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX ≠ μY (mức ý nghĩa α) X−Y X−Y 1) Tính z z= z= nX ≥ 30 và nY ≥ 30 nX < 30 hoặc nY < 30 Trường hợp S2 S2 S2 S2 X Y X +Y + Bước nX nY nX nY k 2) Tra Bảng t 2α z2 α X−Y X−Y 1) Tính z z= z= k ≤ z2α 3a) Chấp nhận H0 ≤ t 2α −z −z S2 S2 S2 S2 X +Y X +Y k 3b) Bác bỏ H0 > t 2α −z > z2α −z nX nY nX nY • z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace k 2) Tra Bảng tα zα k t 2α với k = n −1 tra từ Bảng Phân phối Student • k |z|≤ zα 3a) Chấp nhận H0 |z|≤ t α k 3b) Bác bỏ H0 |z| > t α |z| > zα Ví dụ. Theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty A và B trong một số ngày, • zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace người ta tính được các số liệu sau: k • tα với k = nX + nY − 2 tra từ Bảng Phân phối Student Kỳ vọng mẫu Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Công ty A 38,24 2,2 2) Kiểm định một phía: Xét hai đám đông X, Y với các kỳ vọng μX = Công ty B 37,10 1,5 M(X) và μY = M(Y) đều chưa biết. Với mỗi số α (0< α < 1) khá bé, dựa vào 29 30 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi a) Cho biết số liệu trên có được từ 31 ngày theo dõi giá trị cổ phiếu (mỗi ngày 3.5. Kiểm định giả thiết về so sánh hai tỉ lệ một giá trị cho mỗi công ty). Vậy với mức ý nghĩa 1%, có thể nói rằng có 1) Kiểm định hai phía: Xét hai đám đông X, Y trong đó X có tỉ lệ pX; sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B hay Y có tỉ lệ pY đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào các mẫu không? (X1 , X 2 ,..., X n ) và (Y1 , Y2 ,..., Yn ) ta có qui tắc kiểm định giả thiết hai phía b) Cho biết số liệu trên có được từ 20 ngày theo dõi giá trị cổ phiếu (mỗi ngày X Y về so sánh hai tỉ lệ như sau: một giá trị cho mỗi công ty).Với mức ý nghĩa 4%, có thể nói rằng giá cổ BẢNG 9A phiếu trung bình của công ty A thực sự cao hơn của công ty B hay không KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI TỈ LỆ (Giả sử các giá trị cổ phiếu có phân phối chuẩn)? H0: pX = pY (= p0)với giả thiết đối H1: pX ≠ pY (mức ý nghĩa α) Giải. a) Đây là bài toán kiểm định về so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: Trường hợp p0 đã biết p0 chưa biết H0: μA = μB với giả thiết đối H1: μA ≠ μB Bước Vì nA = nB = 31 > 30 nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có: Fn X − Fn Y Fn X − Fn Y 1) Tính z z= z= X A − XB 38, 24 − 37,1 ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ z= = 2, 3838. = p0 (1 − p0 ) ⎜ p′ (1 − p′ ) ⎜ + + ⎟ ⎟ S2 S2 (2, 2)2 (1, 5)2 0 0 nX nY ⎠ nX nY ⎠ ⎝ ⎝ A +B + n A nB 31 31 n X FnX + n Y FnY v ớ i p′ = 0 nX + nY Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 = 0,99/2 = 0,495 2) Tra Bảng zα zα ta được zα = 2,58. |z| ≤ zα |z| ≤ zα 3a) Chấp nhận H0 Bước 3: Kiểm định. 3b) Bác bỏ H0 |z| > zα |z| > zα H0: μA = μB. Vì |z|= 2,3838 < 2,58 = zα nên ta chấp nhận giả thiết zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, giá trị cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B có thể xem là như nhau, nghĩa là không có sự khác biệt thực sự về 2) Kiểm định một phía: Xét hai đám đông X, Y trong đó X có tỉ lệ pX; giá cổ phiếu trung bình của hai công ty này. Y có tỉ lệ pY đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào các mẫu b) Đây là bài toán kiểm định về so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa α (X1 , X 2 ,..., X n ) và (Y1 , Y2 ,..., Yn ) ta có qui tắc kiểm định giả thiết một phía = 4% = 0,04: X Y về so sánh hai tỉ lệ như sau: H0: μA = μB với giả thiết đối H1: μA > μB BẢNG 9B Vì nA = nB = 20 < 30 và các giá trị cổ phiếu XA, XB đều có phân phối KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI TỈ LỆ chuẩn nên ta kiểm định như sau: H0: pX = pY (= p0)với giả thiết đối H1: pX > pY (mức ý nghĩa α) Bước 1: Ta có: X A − XB 38, 24 − 37,1 Trường hợp p0 đã biết p0 chưa biết z= = 1, 9147. = S2 S2 2 2 (2, 2) (1, 5) Bước A B + + nA nB 20 20 Fn X − Fn Y Fn X − Fn Y 1) Tính z z= z= Bước 2: Đặt k = nA + nB – 2 = 38. Tra bảng phân phối Student ứng với ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ k k = 38 và 2α = 0,08 ta được t 2α = 1,799. p0 (1 − p0 ) ⎜ p′ (1 − p′ ) ⎜ + + ⎟ ⎟ 0 0 ⎝ nX nY ⎠ ⎝ nX nY ⎠ Bước 3: Kiểm định: n X FnX + n Y FnY k v ớ i p′ = Vì z = 1,9147 > 1,799 = t 2α nên ta bác bỏ H0: μA = μB, nghĩa là chấp 0 nX + nY nhận μA > μB. 2) Tra Bảng tìm z2 α z 2α Kết luận: Với mức ý nghĩa 4%, có thể xem giá trị cổ phiếu trung bình z ≤ z 2α z ≤ z 2α 3a) Chấp nhận H0 của công ty A thực sự cao hơn của công ty B. 3b) Bác bỏ H0 z > z2α z > z 2α z2α thoả ϕ(z2α) = (1 – 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace 31 32 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi BẢNG 9C Vì |z|= 2,2454 > 1,96 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: p1 = p2, nghĩa là chấp nhận H1: p1 ≠ p2 . KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI TỈ LỆ H0: pX = pY (= p0)với giả thiết đối H1: pX < pY (mức ý nghĩa α) Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, chất lượng hàng ở hai kho không như nhau. Trường hợp p0 đã biết p0 chưa biết b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: Bước H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 < p2 Fn X − Fn Y Fn X − Fn Y 1) Tính z z= z= Ta kiểm định như sau: ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ Bước 1: Tính z như trong Bước 1 ở câu a) ta được z= −2,2454. p0 (1 − p0 ) ⎜ p′ (1 − p′ ) ⎜ + + ⎟ ⎟ 0 0 nX nY ⎠ nX nY ⎠ ⎝ ⎝ Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả n X FnX + n Y FnY ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 v ớ i p′ = 0 nX + nY ta được z2α = 2,33. 2) Tra Bảng Bước 3: Kiểm định: z2 α z2α ≤ z2α ≤ z2α Vì −z = 2,2454 < 2,33 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2. 3a) Chấp nhận H0 −z −z Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, chưa thể nói rằng chất lượng hàng ở kho 3b) Bác bỏ H0 −z > z2α −z > z2α I tốt hơn kho II. z2α thoả ϕ(z2α) = (1 – 2α)/2 tra từ Bảng giá trị hàm Laplace 3.6. Kiểm định giả thiết về phân phối Ví dụ. Khảo sát một số sản phẩm cùng loại ở hai kho I và II, ta thu được các số liệu sau: 1) Bài toán. Xét đám đông X chưa biết luật phân phối. Vơi mỗi số α (0 Số sản phẩm Số phế phẩm < α < 1) khá bé, hãy dựa vào một mẫu thu được của X để kiểm định giả thiết: Kho I 100 4 H0: X có phân phối theo qui luật đã cho Kho II 200 24 với giả thiết đối: a) Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói rằng chất lượng hàng ở hai kho là H1: X không có phân phối theo qui luật đã cho như nhau hay không? với mức ý nghĩa α. b) Với mức ý nghĩa 1%, có thể nói rằng chất lượng hàng ở kho I tốt hơn 2) Qui tắc kiểm định: Giả sử mẫu thu được gồm k nhóm có dạng: kho II không? Xi x0-x1 x1-x2 ............ xi-1-xi ............ xk-1-xk Giải. Từ các giả thiết của bài toán ta suy ra: ni n1 n2 ............ ni ............ nk - Đối với kho I: Cỡ mẫu n1 = 100; tỉ lệ mẫu phế phẩm Fn1 = 0,04. trong đó các giá trị ni (ngoại trừ n1 và nk ứng với các khoảng đầu và cuối) - Đối với kho II: Cỡ mẫu n2 = 200; tỉ lệ mẫu phế phẩm Fn2 = 0,12. không quá bé (ni ≥ 5). n1Fn1 + n2Fn2 100.0, 4 + 200.0,12 7 x i −1 + x i - p′ = . = = Đối với trường hợp rời rạc, ta thay khoảng xi-1-xi bởi x′i = , hơn 0 n1 + n2 100 + 200 75 2 a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về so sánh hai tỉ lệ với mức ý nữa, khi X có thể lấy vô hạn giá trị, ta còn phải thay khoảng cuối xk−1-xk bằng nghĩa α = 5% = 0,05: (xk−1,+∞) (hoặc khoảng đầu x0-x1 bằng (−∞, x1), nếu cần). Dựa vào phân phối H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 ≠ p2 đã cho trong H0 để tính các xác suất pi = P(X = xi′). Ta kiểm định như sau: (− ∞ , Đối với trường hợp X liên tục, ta thay khoảng đầu x0-x1 bằng Bước 1: Ta có: x1); thay khoảng cuối xk−1-xk bằng (xk−1,+∞) và dựa vào phân phối đã cho trong Fn1 − Fn2 0, 04 − 0,12 H0 để tính các xác suất pi = P(xi −1 ≤ X ≤ xi). z= = −2, 2454. = 7⎛ 7 ⎞⎛ 1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜1 − + p′ (1 − p′ ) ⎜ + ⎟⎜ ⎟ ⎟ 0 0 75 ⎝ 75 ⎠ ⎝ 100 200 ⎠ n1 n2 ⎠ Chú ý. Khi tính các pi, nếu chưa biết tham số nào của phân phối đã cho ⎝ thì ta thay bằng ước lượng không chệch từ mẫu đang xét. Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả Ta có qui tắc kiểm định như sau: ϕ(zα) = (1 − α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta được zα = 1,96. Bước 3: Kiểm định: 33 34 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 1 (do p chưa biết). Ta có k–r– BẢNG 10 χ2 ∼ χ2(3) với 3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ PHÂN PHỐI 1 = 5 – 1 – 1 = 3. Tra bảng phân phối Chi bình phương H0: X có phân phối theo qui luật đã cho (mức ý nghĩa α) bậc tự do, ta được: χ α = χ 0,05 = 7, 815 . 2 2 χ2 Bước 3: Kiểm định: (ni − npi )2 k Bước 1: Tính ∑ χ2 = Vì χ2 = 0,9051 < 7,815 = χ 2 nên ta chấp nhận giả thiết H0. np i α i =1 Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng số con gái trong một gia χ2 Bước 2: Tra Bảng α X ∼ B(4, 0,4344). đình 4 con là X có phân phối nhị thức: χ2 ≤ χα 2 Bước 3a: Chấp nhận H0 2 χ2 > χα Bước 3b: Bác bỏ H0 Ví dụ 2. Quan sát một số người đến một trung tâm bưu điện trong 110 khoảng (mỗi khoảng 5 phút) ta thu được kết quả sau: χ2 tra từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ2 với k – r –1 bậc tự do, trong đó r là số tham số chưa Số người 0 1 2 3 4 5 α biết của phân phối. Số khoảng 19 34 19 15 12 11 Gọi X là số người đến trung tâm này trong một khoảng thời gian 5 phút. Với Ví dụ 1. Điều tra 160 gia đình 4 con ở một vùng dân cư người ta thu mức ý nghĩa 3%, có thể cho rằng X có phân phối Poisson hay không? được bảng số liệu sau: Giải. Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết sau với mức ý nghĩa α = 3% = Số con gái 0 1 2 3 4 0,03: Số gia đình 16 48 62 30 4 H0: X có phân phối Poisson X ∼ P(a) (a chưa biết) Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng số con gái trong một gia đình 4 con có với giả thiết đối: phân phối nhị thức hay không? H1 : X không có phân phối Poisson. Giải. Gọi X là số con gái trong một gia đình 4 con. Bài toán yêu cầu kiểm định Trước hết ta thay a bằng kỳ vọng mẫu giả thiết sau với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05: 1 ∑ X in i = 2 a≈X= H0: X có phân phối nhị thức X ∼ B(4,p) với p chưa biết n với giả thiết đối: Ta tính các pi = P(X = i) theo công thức: H1 : X không có phân phối nhị thức như trên. e−2 2i pi = Trước hết ta thay p bằng tỉ lệ mẫu số con gái trong một gia đình: i! 1.48 + 2.62 + 3.30 + 4.4 p ≈ Fn = = 0, 4344. và lập bảng: 160.4 (ni-npi)2/npi Xi ni pi npi Ta tính các pi = P(X = i) theo công thức Bernoulli: 0 19 0,135335 14,8869 1,136408 p i = C4 (0, 4344)i (0, 5656)4 − i i 1 34 0,270671 29,7738 0,599882 Cụ thể ta tính được: 2 19 0,270671 29,7738 3,898554 p0 = 0,1023; p1= 0,3144; p2 = 0,3622; p3=0,1855; p4=0,0356. 3 15 0,180447 19,8492 1,184669 Ta lập bảng: 4 12 0,090224 9,92464 0,434982 (ni-npi)2/npi Xi ni pi npi (5;+∞) 11 0,052652 5,79172 4,683614 0 16 0,1023 16,368 0,0083 χ2 =11,9381 Tổng n = 110 1 48 0,3144 50,304 0,1055 (ni − npi )2 k Bước 1: Ta có χ2 = ∑ = 11, 9381. 2 62 0,3622 57,952 0,2828 np i i =1 3 30 0,1855 29,68 0,0035 Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 1 (do a chưa biết). Ta có k–r– 4 4 0,0356 5,696 0,5050 χ2 ∼ χ2 (4) với 4 1 = 6 – 1 – 1 = 4. Tra bảng phân phối Chi bình phương χ2 = 0,9051 Tổng n = 160 bậc tự do, ta được: χ α = χ 0,03 = 10,7119 . 2 2 (ni − npi )2 k Bước 1: Ta có χ2 = ∑ = 0, 9051 . Bước 3: Kiểm định: np i i =1 Vì χ2 = 11,9381 > 10,7119 = χ2 nên ta bác bỏ giả thiết H0. α Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, X không có phân phối Poisson. 35 36 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Thoáng keâ Traàn Ngoïc Hoäi Ví dụ 3. Khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm ta thu được kết quả Y y1 ... yj ... yk mX sau: X Xi 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 x1 n11 ... n1j n1k m1 Số sản phẩm 7 14 33 27 19 ... ... ... ... ... ... ... Kiểm định giả thiết X có phân phối chuẩn với mức ý nghĩa 2%. xi ni1 ... nij nik mi Giải. Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: ... ... ... ... ... ... ... H0: X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ,σ2) (μ, σ2 chưa biết) xh nh1 ... nhj ... nhk mh với giả thiết đối: nY n1 ... nj ... nk n H1 : X không có phân phối chuẩn. Trước hết xấp xỉ: trong đó 1 • nij là số lần (X,Y) = (xi,yj) với 1 ≤ i ≤ h; 1 ≤ j ≤ k; μ ≈ X = ∑ X i ni = 25,74; n k ∑ nij • mi = là số lần X = xi với 1 ≤ i ≤ h; 1 σ2 ≈ S2 = ∑ X i2n i − (X)2 =(2, 3034)2 . j=1 n h • nj = ∑ n ij là số lần Y = yj với 1 ≤ j ≤ k; Ta tính các pi = P(xi−1≤ X ≤ xi) theo công thức: xi − μ x −μ x − 25,74 x − 25,74 i =1 ) − ϕ( i −1 ) = ϕ( i ) − ϕ( i −1 p i = ϕ( ) hk 2, 3034 2, 3034 σ σ • n = ∑ ∑ n ij là cỡ mẫu (X,Y). trong đó ϕ là hàm Laplace, và lập bảng: i =1 j = 1 npi (ni-npi)2/npi Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu trên để kiểm định Xi ni pi (−∞, 22) 7 0,0516 5,16 0,6561 giả thiết: H0: X và Y độc lập với giả thiết đối H1: X và Y không độc lập 22-24 14 0,1720 17,20 0,5953 với mức ý nghĩa α. 24-26 33 0,3203 32,03 0,0294 26-28 27 0,2927 29,27 0,1760 2) Qui tắc kiểm định: (28,+∞) 19 0,1634 16,34 0,4330 χ2 =1,8898 Tổng n = 100 BẢNG 11 (n i − npi )2 k Bước 1: Ta có χ2 = ∑ = 1, 8898 . KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TÍNH ĐỘC LẬP np i H0: X và Y độc lập (mức ý nghĩa α) i =1 Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 2 (do μ, σ2 chưa biết). Ta có k – r – χ2 (n ij )2 ⎛h k ⎞ 1 = 5 – 2 – 1 = 2. Tra bảng phân phối Chi bình phương χ2 ∼ χ2 (2) với 2 bậc tự Bước 1: Tính χ2 = n ⎜ ∑ ∑ α ij − 1 ⎟ với α ij = do, ta được: χα = χ 0,02 = 7, 824 . ⎜ i =1 j=1 ⎟ 2 2 m in j ⎝ ⎠ Bước 3: Kiểm định: χ2 Bước 2: Tra Bảng α Vì χ2 = 1,8898 < 7,824 = χ 2 nên ta chấp nhận giả thiết H0. χ2 ≤ χα 2 Bước 3a: Chấp nhận H0 α Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, X có phân phối chuẩn: X ∼ N(μ,σ2) với 2 χ2 > χα Bước 3b: Bác bỏ H0 μ = 25,74; σ2 = (2,3034)2. χ2 tra từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ2 với (h–1)(k–1) bậc tự do α 3.7. Kiểm định giả thiết về tính độc lập Ví dụ. Một công ty điều tra sở thích của khách hàng về 3 loại mẫu khác 1) Bài toán. Từ hai đám đông X và Y ta tiến hành quan sát và được kết nhau của cùng một mặt hàng. Kết quả thu được như sau: quả trong bảng sau: Mẫu hàng A B C Ý kiến Thích 43 30 42 Không thích 35 53 39 Không có ý kiến 22 17 19 37 38 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.