Phần 2: Cơ học môi trường liên tục

Chia sẻ: Lê Sĩ Năm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

279
lượt xem 113
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của nó là hằng số hoặc hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho với phép biến đổi hệ toạ độ các thành phần này thay đổi theo một quy luật xác định. Ví dụ: Ten xơ hạng 0 F(x1, x2, ..., xn) hàm đối với các biến trong không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần 2: Cơ học môi trường liên tục

PHÁÖN II: CÅ HOÜC MTLT CHÆÅNG I: MÄÜT SÄÚ KHAÏI NIÃÛM CÅ BAÍN. §1. TEN XÅ VAÌ CAÏC PHEÏP TÊNH XÅ. 1.Âënh nghéa: Ten xå laì træåìng håüp riãng cuía hãû thäúng pháön tæí, caïc thaình pháön cuía noï laì hàöng säú hoàûc haìm säú xaïc âënh trong hãû cå såí âaî cho våïi pheïp biãún âäøi hãû toüa âäü caïc thaình pháön naìy thay âäøi theo mäüt quy luáût xaïc âënh. Vê duû: 1 (2 n ) -Ten xå haûng 0: F x , x ,..., x haìm âäúi våïi caïc biãún trong khäng gian. F(X1 , X 2 ,..., X n ) = F(x 1 , x 2 ,..., x n ) = F (F laì âaûi læåüng vä hæåïng) -Ten xå haûng 1: r r Nãúu mäüt âäúi tæåüng A biãøu diãùn caïc veïc tå cå såíú Ei r r r A = A i E i → A laì ten xå haûng 1. r r Khi thay âäøi hãû toüa âäü: E i → E 'i ta coï: r r r' A = A j E j = A Ei , trong âoï 'j A' j & A i liãn hãû ⎛ i ∂X i ⎞ A = b A ⎜⎜ b j = j ⎟⎟ 'j i i ⎝ j ∂x ⎠ Ta goüi A i laì caïc thaình pháön phaín biãún cuía A ten xå haûng 1. -Ten xå haûng hai vaì haûng cao. r r Âäúi tæåüng T = T ij E i E j , khi thay âäøi hãû toüa âäü ta coï: T ij' = b ip .b qj T pq → T laì ten xå haûng 2. T ij : caïc thaình pháön phaín biãún. r r r r r T=T ijklm E i .E j .E k E l E m T ijklm = T sqprt b si b qj b kp b lr b mt → T laì ten xå haûng 5.
2.Pheïp biãún âäøi toüa âäü & veïctå cå såú. a)Pheïp biãún âäøi toüa âäü. x i : biãún å le X i : biãún Lagrange ( X i = xi X 1, X 2 , X 3 ) ∂x i ∂x i dx = i dX , a j = j i ∂X j ∂X j J = a ij Âënh thæïc ma tráûn pheïp biãún âäøi Jacäbien Pheïp biãún âäøi ngæåüc laûi. ∂X i ∂X i i dX = i dx j ; b i = Trong âoï b i laì nghëch âaí o cuí a a j ∂x j ∂x j j j ∂x i ∂X j i ⎧1 i=k a j .b k = i j . = δ k⎨ Kyï hiãûu Cränecke ∂X ∂x j k ⎩0 i ≠ k b) Âäúi våïi veïctå cå såú: r r r, r ∂r r r E i , E i : E i = i ; d r = E i .dx i ∂x r r ∂r r r E ,j = j ; d r = E 'j .dx j ∂x r, r i r E i = E i .a j , E i goüi veïc tå cå såú hiãûp biãún. r r g = g E i .E j → g laì ten xå mãtrêc i, j Âæa vaìo veïc tå cå såú måïi trong xi ri r E = g Ej ij Coìn trong Xi r p' r E = g Eq pq r p' r i r p' r Mäùi quan hãû E & E nhæ sau E = b i E p i r Εi caïc veïc tå cå såú phaín biãún c)Ten xå häùn håüp. r r T = T Ei E j ij T ij phaín biãn rir j T = Tij E E Tij hiãûp biãn
rir T = Ti E E j → j T laì ten xå häùn håüp Ti j 3)Caïc pheïp tênh cuía ten xå a)Pheïp cäüng: Chè thæûc hiãûn âæåüc våïi caïc ten xå cuìng haûng cuìng báûc Aij' = aiα .a βj . Aαβ (α, β, i, j = 1, n ) Bij' = aiα .a βj .Bαβ Aij' + Bij' = aiα a βj (Aαβ + Bεβ ) b)Nhán våïi mäüt vä hæåïng λA 'i j = bβj a αj (λAβα ) c)Pheïp nhán x ⎛m⎞ ⎛p⎞ ⎛m+ p⎞ A⎜ ⎟ x B⎜⎜ ⎟⎟ = C⎜⎜ ⎟⎟ Trong âoï m,p chè láön phaín biãún ⎝ ⎠ n ⎝ ⎠ q ⎝ n + q ⎠ coìn n,q hiãûp biãún Vê duû: A 'ij = a iα a βj A αβ B 'k = b'γk .B γ A ,ij x B'k = C,ijk = a ,αi a βj x b,kγ Bγ γ γ C,ijk = a ,αi .a β, j .b ,kγ .C αβ γ våïi C αβ = A αβ B C,ijk = A ,ij .B,k d) Pheïp cuäün. Nãúu trong mäüt ten xå häùn håüp khi cho mäüt chè säú trãn bàòng chè säú dæåïi thç haûng cuía tenxå giaím âi hai. ,k Cho tenxå A våïi caïc thaình pháön A ij , nãúu k=j ta coï: A ,ikk = a iα .a βk b,kγ A αβ γ = a iα .δ kγ A αβ γ = a iα A βαβ A βαβ → Ten xå haûng 1. Pheïp nhán coï sæû ruït goün (n-2) goüi pheïp cuäün.
CHÆÅNG II: CHUYÃØN VË VAÌ BIÃÚN DAÛNG. TEN XÅ BIÃÚN DAÛNG. §1. CHUYÃØN VË VAÌ BIÃÚN DAÛNG 1.Chuyãøn vë. Xeït mäitræåìng liãn tuûc taûi t=0 coï daûng S 0 vaì taûi t coï daûng S 0x 1x 2 x 3 & 0X1X 2 X 3 laì hai hãû toüa âäü Âãö caïcvuäng goïc r P0 , Q 0 ∈ S0 : dX r Sau khi chuyãøn dëch vaì biãún daûng → PQ : dx r2 r2 r r r r Tênh hiãûu: dx − dX = dx.dx − dXdX = dx k dx k − dXi dXi ∂x k Theo Lagrange: dx = dX i ∂X i k r 2 ∂x ∂x k dx = k dX i dX j ∂X i ∂X j r2 dX = dX i dX i = δ ijdX i dX j Thay vaìo ta coï: r2 r 2 ⎛ ∂x k ∂x k ⎞ dx − dX = ⎜ − δ ij ⎟dX i dX j ⎜ ∂X ∂X ⎟ ⎝ i j ⎠ = 2 E ijdX i dX j 1 ⎜⎛ ∂x k ∂x k ⎞ Våïi E ij = − δ ij ⎟ goüi laì ten xå biãún daûng hæîu haûn Grin 2 ⎜⎝ ∂X i ∂X j ⎟ ⎠ r2 Theo Å le: dx = δ ijdx i .dx j r 2 ∂X k ∂X k dX = dx i dx j ∂x i ∂x j r2 r2 ⎛ ∂X k ∂X k ⎟⎞ ⎜ dx − dX = δ ij − dx .dx = 2 L ij .dx i dx j ⎜ ∂x ∂x ⎟ i j ⎝ i j ⎠
1 ⎛⎜ ∂X k ∂X k ⎞⎟ L = δ − våïi ij 2 ⎜ ij ∂x ∂x ⎟ goüi laì ten xå biãún daûng hæîu haûn Amàngxi ⎝ i j ⎠ 2.Biãøu diãùn ten xå biãún daûng qua chuyãøn vë. Ta coï veïc tå chuyãøn vë cuía pháön tæí P0 : r r r u = x − X hay u i = x i − X i ∂u i ∂x i ∂x i ∂u i Theo biãún Lagrange: ∂X = − δ ⇒ = + δ ij ∂ ∂ ∂ ij j X j X j X j ∂u i ∂X i ∂X i ∂u i Coìn theo Å le ta coï: ∂x = δ − ⇒ = − + δ ij ∂ ∂ ∂ ij j x j x j x j 1 ⎡⎛⎜ ∂u k ⎞⎛ ∂u k ⎞ ⎟ ⎤ Thãú vaìo ten xå E ij = 2 ⎢⎜ ∂X + δ ij ⎟⎜⎜ ∂X ⎟⎟ − δ ij ⎥ ⎢⎣⎝ j ⎠⎝ i ⎠ ⎥⎦ 1 ⎜⎛ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟ = + + 2 ⎜⎝ ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j ⎟⎠ 1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟ Ten xå ij 2 ⎜ ∂X + ∂x − ∂x ∂x ⎟ L = ⎝ j i i j ⎠ §2.TEN XÅ BIÃÚN DAÛNG BEÏ VAÌ TEN XÅ QUAY. 1.Ten xå biãún daûng beï. ∂u k Boí quaï caïc säú haûng nhoí báûc cao âäúi våïi ∂x ta coìn laûi nhæ sau: i 1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j ⎞⎟ E ij → ε ij = + 2 ⎝⎜ ∂X j ∂X i ⎟⎠ 1 ⎜⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎟ L ij → l ij = + 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ Goüi laì ten xå biãún daûng beï, âáy laì ten xå âäúi xæïng haûng 2: ε ij = ε ji , l ij = l ji
2.Ten xå quay. r r r Ta coï u vaì u + du laì veïc tå chuyãøn vë cuía P0 &Q 0 chuyãøn vë tæång âäúi giæîa Q 0 & P0 laì: r r r du = u Q0 − u P0 du i = u Q0i − u P0i Khai triãøn ∂u i ⎡ 1 ⎛ ∂u ∂u j ⎞ 1 ⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎤ du i = dX j = ⎢ ⎜ i + ⎟+ ⎜ − ⎟⎥dX j = (ε ij + ωij )dX j ∂X j ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎢ 2 ⎝ ∂X j ∂X i ⎠ 2 ⎝ ∂X j ∂X i ⎠⎥⎦ 1 ⎜⎛ ∂u i ∂u j ⎞ ⎟ ωij = − 2 ⎜⎝ ∂X j ∂X i ⎟ goüi laì ten xå quay Lagrange ⎠ Coìn âäúi våïi biãún Å le: ~ = 1 ⎛⎜ ∂u i − ∂u j ⎞⎟ ω 2 ⎝⎜ ∂x j ∂x i ⎟⎠ goüi laì ten xå quay Å le ij Ten xå quay laì ten xå phaín âäúi xæïng. ~ = −ω ωij = − ω ji ; ω ~ ij ji ⎡ 0 ω12 ω13 ⎤ ωij = ⎢− ω12 0 ω23 ⎥ Nãn coï thãøï viãút dæåïi daûng ma tráûn ⎢ ⎥ ⎢⎣ − ω13 − ω23 0 ⎥⎦ Trong âoï: 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ω1 = ω23 = ⎜ 3 − 2 ⎟ 2 ⎝ ∂X 2 ∂X3 ⎠ 1 ⎛ ∂u1 ∂u 3 ⎞ ω2 = ω13 = ⎜ − ⎟ 2 ⎜⎝ ∂X 3 ∂X1 ⎟⎠ 1 ⎛ ∂u 2 ∂u1 ⎞ ω2 = ω21 = ⎜⎜ − ⎟⎟ 2 ⎝ ∂X1 ∂X 2 ⎠
r 1 r Hay: ω= rotu 2 Trong træåìng håüp chuyãøn vë beï thç toüa âäü âáöu vaì cuäúi cuía mäüt pháön tæí ráút gáön nhau nãn gradien chuyãøn vë theo Lagrange vaì Å le gáön bàòng nhau. ε ij = l ij ~ ωij = ω nãn vaì ij Ta thæåìng duìng biãún daûng beï âi nghiãn cæïu váût ràõn biãún daûng. 3.YÏ nghéa váût lyï cuía ten xå biãún daûng beï vaì ten xå quay. a)Ten xå biãún daûng nhoí. ∂u ∂u 2 ∂u 3 ε11 = 1 ; ε 22 = ; ε 33 = ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ∂u 2 ∂x 2 ∆x ∆ x − ∆X ε = Thaình pháön 22 ∂X = − 1 = − 1 = 2 ∂X 2 ∆X ∆X goüi ∆X = P0 Q 0 : phán täú thàóng truìng truûc X 2 Váûy ε 22 chênh laì biãún daûng daìi tè âäúicuía phán täú theo X2 tæång tæû ε11 , ε 22 , ε 33 : hay ε ii biãún daûng daìi tè âäúi våïi truûc Xi Caïc thaình pháön khäng nàòm trãn âæåìng cheïo 1 ⎛ ∂u 3 ∂u 2 ⎞ ε 32 = ⎜⎜ + ⎟⎟ 2 ⎝ ∂X 2 ∂X 3 ⎠ ∂u 3 ∂u 3 Q' Q = = = tgα = α ∂X 2 ∂x 2 PQ' ∂u 2 ∂u 2 M ' M = = = tgβ = β ∂X 3 ∂x 3 PM ' 1 1 Nãn ε 32 = (α + β ) = γ 32 2 2 γ ij goüi gocï træåüt trãn màût phàóng 0X i X j nãn ε ij (i ≠ j) goüi biãún daûng træåüt.
b)Ten xå quay 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 1 1 ω 32 = ⎜⎜ 3 − 2 ⎟⎟ = (α − β ) = α − β 2 ⎝ ∂X 2 ∂X 3 ⎠ 2 2 2 α : goïc quay phán täú P0 Q 0 β : goïc quay phán täú P0 M 0 1 do âoï α goïc quay âæåìng cheïo P0 B0 cuía phán täú P0 Q 0 B0 M 0 2 quanh truûc X1 khi P0 Q 0 quay goïc . 1 Coìn β goïc quay ngæåüc laûi cuía âæåìng cheïo P0 B0 ∈ P0 Q 0 B0 M 1 2 quanh truûc X1 khi P0 M 0 quay goïc β . Nhæ váûy ω32 biãøu thë sæû quay caïc âæåìng cheïo P0 B0 cuìng goïc quay cuía phán täú P0 Q 0 B0 M 0 quanh truûc X1 Ta coï u Q0i = u P0i + du i = u P i + (ε ij )P dx j + (ω ij )P dx j 0 r r r r 0 0 hay u Q0 = u P0 + u ε + u ω r r r Trong âoï uω = ω ∧ du §3TRAÛNG THAÏI BIÃÚN DAÛNG TAÛI LÁN CÁÛN TAÛI MÄÜT ÂIÃØM. Traûng thaïi biãún daûng taûi 1 âiãøm cuía MTLT âæåüc biãøu thë bàòng mäüt ten xå haûng hai âäúi xæïng ε ij 1.Quy luáût biãún âäøi khi thay âäøi hãû toüa âäü. Âäúi våïi hãû toüa âäü Âãö caïc ngæåìi ta coï cäng thæïc biãún âäøi. ε ij = a im a jn ε mn ε mn = b mi b njε ij a våúi ij = cos(x i , X j ) , coìn ' b ij = a ji
Âäúi våïi hãû toüa âäü cong: ∂θ i i ∂θ 'i a = i ,bj = ∂θ ' j ∂θj j 2.Biãún daûng chênh, phæång chênh, Báút biãún cuía traûng thaïi biãún daûng. Taûi mäüt âiãøm cuía MTLT traûng thaïi biãún daûng âæåüc âàûc træng båíi ten xå biãún daûng ε ij thç bao giåì ta cuîng coï thãø xaïc âënh âæåüc taûi âiãøm âoï coï 3 phæång vuäng goïc våïi nhau chè coï biãún daûng daìi kyï hiãûu ε I , ε II , ε III (ε I > ε II > ε III ) . Caïc giaï trë ε I , ε II , ε III laì biãún daûng daìi cæûc trë goüi laì biãún daûng chênh. Coìn phæång caïc biãún daûng chênh goüi phæång chênh trãn caïc màût phàóng vuäng goïc phæång chênh khäng coï biãún daûng træåüt. Biãún daûng chênh laì nghiãûm cuía phæång trçnh sau: ε 3(α ) − ℑ 1 ε (2α ) + ℑ2 ε 3(α ) − ℑ3 = 0 ℑ1 , ℑ 2 , ℑ3 : báút biãún cuía ten xå biãún daûng våïi. ℑ1 = ε ii = ε11 + ε 22 + ε 33 ε 22 ε 32 ε 33 ε13 ℑ2 = 1 (εijε jj − εijεij ) = εε11 ε 21 ε 22 + ε 23 ε 33 + ε 31 ε11 2 12 ε11 ε 21 ε 31 ℑ3 = ε12 ε 22 ε 32 ε13 ε 23 ε 33 dV − dV0 θ= = ε11 + ε 22 + ε 33 = ℑ, θ âäü biãún âäøi tè âäúi thãø tênh dV0 Thay ε (α ) vaìo phæång trçnh: ⎧ (ε11 − ε (α ) )n1 + ε 21n 2 + ε 31n 3 = 0 ⎪ ⎨ε12 n1 + (ε 22 − ε (α ) )n 2 + ε 32 n 3 = 0 ⎪ ε n + ε n + (ε − ε )n = 0 ⎩ 13 1 23 2 33 (α ) 3 Våïi n 1 + n 2 + n 3 = 1 ⇒ n 1 , n 2 n 3 caïc phæång chênh. 2 2 2
3.Ten xå cáöu vaì lãûch biãún daûng. ⎡ ε 0 0⎤ ε ij = ε 'ij + ε 'ij ε 'ij = ⎢0 ε 0⎥ trong âoï ⎢ ⎥ goüi laì ten xå cáöu ⎢⎣0 0 ε ⎥⎦ 1 Våïi ε = (ε11 + ε 22 + ε 33 ) . 3 ⎡ε11 − ε ε 21 ε 31 ⎤ ε"ij = ⎢ ε12 ε 22 − ε ε 32 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ε13 ε 23 ε 33 − ε⎥⎦ §4.PHÆÅNG TRÇNH TÆÅNG THÊCH BIÃÚN DAÛNG. 6 thaình pháön cuía ten xå biãún daûng beïï âæåüc xaïc âënh 3 thaình pháön ui chuïng phuû thuäüc vaìo nhau. Sæû phuû thuäüc naìy baío âaím cho caïc biãún daûng tæång thêch våïi nhau (vç MTLT sau khi biãún daûng váùn coìn LT). Âãø baío âaím tênh liãn tuûc ta phaíi loaûi boí caïc thaình pháön ui âæåüc quan hãû giæîa caïc âaûo haìm cuía caïc thaình pháön ten xå. Tæì âáy ta nháûn âæåüc 6 phæång trçnh âäüc láûp 1 1 . ω ij ,k = (u i , kj − u uû , ki ) = (u i , jk − uûj,i k) 2 2 = 1 (u i, jk − u k,ij − u k,ij − u j,ik ) = ε ik , j − ε jk ,i 2 Cho ε ij tçm ui theo trãn ta cáön tçm ωij ( ) Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø ε ik , j − ε jk ,i dx i coï vi phán toaìn pháön. Maì A i dx i coï vi phán toaìn pháön, khi A i , m = A m ,i nãn ε ik , jm + ε jm ,ik − ε jk ,im − ε im , jk = 0
∂ 2 ε ij ∂ 2 ε km ∂ 2 ε jk ∂ 2 ε im hay: ∂x ∂x + ∂x ∂x − ∂x ∂x − ∂x ∂x = 0 k m i j i m j k §5.TÄÚC ÂÄÜ BIÃÚN DAÛNG, VÁÛN TÄÚC XOAÏY. 1.Ten xå täúc âäü biãún daûng. d 1 d ⎜⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎟ ε ij = + dt 2 dt ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ d ⎛⎜ ∂u i ⎞⎟ ∂ ⎛ du i ⎞ ∂v i = ⎜ ⎟= dt ⎝⎜ ∂x j ⎠⎟ ∂x j ⎝ dt ⎠ ∂x j 1 ⎜⎛ ∂v i ∂v j ⎞⎟ dε ij Ta kyï hiãûu D ij = dt = 2 ⎜ ∂x + ∂x ⎟ Ten xå täúc âäü biãún daûng ⎝ j i ⎠ 2.Ten xå váûn täúc xoaïy. 1 ⎜⎛ ∂v i ∂v i dωij ⎞ ⎟ Coìn Vij = dt = 2 ⎜ ∂x − ∂x ⎟ Ten xå váûn täúc xoaïy. ⎝ j i ⎠ Ω1 = V32 , Ω 2 = V13 ; Ω 3 = V21 r 1 r Ω = rotV 2 3.Váûn täúc lán cáûn taûi 1 âiãøm P. ⎛ ∂v ⎞ VQi = VPi + ⎜ i ⎟ dX j = VPi + (D ij )P dx j + (Vij )dX j ⎜ ∂x ⎟ ⎝ j ⎠P r r r r Hay VQ = VP + Vbd + VΩ r r r Váûn täúc xoaïy: V Ω = Ω ∧ dx
CHÆÅNG III: TRAÛNG THAÏI ÆÏNG SUÁÚT. §1. TRAÛNG THAÏI ÆÏNG SUÁÚT TAÛI MÄÜT ÂIÃØM 1.Læûc màût, læûc thãø têch. Näüi læûc. a.Læûc màût. r r r ∆Q dQ ⎛ dQi ⎞ f (M ) = lim = ⎜ fi (M ) = ⎟ ∆S →0 ∆S dS ⎝ dS ⎠ b.Læûc thãø têch (khäúi) ⎧ dm r r ⎪ ρ (M ) = máût âäü khäúi læåüng F (M ) = K (M )ρ (M )⎨ r dV ⎪⎩ K (M ) Læûc taïc duûng lãn mäüt âån vë khäúi læåüng Fi (M ) = K i (M )ρ (M ) c.Näüi læûc. r r ∆f Tntb = laì æïng suáút trung bçnh ∆S r r r ∆f df Tn = lim = ∆S→ 0 ∆ S dS laì veïc tå æïng suáút taûi M. df i hay T = dS , Tn =- T-n ni r r r Tn = σn + τ σ : æïng suáút phaïp; τ : æïng suáút tiãúp 2.Ten xå æïng suáút. Xeït phán täú láûp phæång trong hãû toüa âäü Âãö caïc r r r e1 , e 2 , e 3 r r r T1 , T2 , T3 vaì r r r r T1 = σ11e1 + σ12 e 2 + σ13e3
r r r r r r T2 = σ 21e1 + σ 22 e 2 + σ 23e3 hay Ti = σ ij e i r r r r T3 = σ 31e1 + σ 32 e 2 + σ 33e3 σ ij ten xå haûng 2 goüi laì ten xå æïng suáút. 3.ÆÏng suáút taûi 1 âiãøm M. Xeït phán täú taûi M: MABC r n laì phaïp tuyãún, nilaì cos chè phæång våïi caïc màût phàóng toüa âäü diãûn têch ABC: dS dSi = n i dS r r Læûc màût gäöm: − Ti & Tn r r Læûc khäúi: ρK & − ρW Xeït cán bàòng caïc læûc lãn phán täú: r r r r r r r r ( Tn dS − Ti dS i + ρ K − W dV = 0 ) ( Tn dS − Ti ni dS + ρ K − W dV = 0 ) r r r r dV ⇒ Tn − Ti ni + ρ K − W ( dS =0 ) r r Khi (ABC) → M dV → 0 : Ta coï: Tn = Ti n i maì r r Ti = σ ij e j r r T Nãn n = σ ij i j ; n e hay Tn j = σ ij n i Ten xå æïng suáút taûi âiãøm xaïc âënh traûng thaïi æïng suáút taûi âiãøm áúy. §2.PHÆÅNG TRÇNH CHUYÃØN ÂÄÜNG VAÌ CÁN BÀÒNG CUÍA MTLT. 1.Phæång trçnh chuyãøn âäüng. Theo nguyãn lyï D’alambe r r r T dS + K ( ∫∫ n ∫∫∫ − W ρdV = 0 ) S V
r r r r ∫∫ n ∫∫∫ x ∧ T dS + r x ∧ K − W ρdV = 0( ) S V hay ∫∫ T nK ds + ∫∫∫ (K K − WK )ρdV = 0 (*) V ∫∫ ε ijK x j TnK dS + ∫∫∫ ε ijK x j (K K − W K )ρdV = 0 (**) S V Coï 2 chè säú bàòng nhau =0 Trong âoï ε ijK kyï hiãûu Spin =1 hoaïn vë chàôn = −1 hoaïn vë leí Theo cäng thæïc Gao xå: (TnK = σiK n i ) ∂σ iK ∫∫ σiK n i dS = ∫∫∫ S V ∂x i dV ⎡ ∂σ iK ⎤ (*) ⇒ ∫∫∫ ⎢ + (K − W )ρ ⎥ dV = 0 ∂ K K V ⎣ ⎦ x i ∂σ iK vç V báút kyì ∂x + (K K − WK )ρ = 0 → phæång trçnh chuyãøn âäüng nãúu i r W = 0 WK = 0 : ∂σ iK + K K ρ = 0 phæång trçnh cán bàòng. ∂xi 2.Âënh luáût âäúi æïng cuía æïng suáút tiãúp. Tæì (**), thay: ⎛ ∂σ iK ∂x j ⎞ ∫∫S ijK j iK i ∫∫∫ e x σ n dS = V e ⎜ x ijK ⎜ j ⎝ ∂x i + ∂x i σ iK ⎟ ⎟ ⎠ dV ⎛ ∂σ ⎞ = ∫∫∫ e ijK ⎜⎜ x j iK + σ jK ⎟⎟dV . V ⎝ ∂x i ⎠ Ta coï: ⎡ ∂σ iK ⎤ ∫∫∫ e ijK j ⎢ x + (K − W )ρ ⎥ dV + ∫∫∫ eijK σ jK dV = 0 ∂ K K V ⎣ i x ⎦ V ⇒ e ijK σ jK = 0 ⇒ σ12 = σ 21 ; σ 23 = σ 32 ; σ 31 = σ13
Hay σ ij = σ ji ten xå âäúi xæïng. 3.Quy luáût biãún âäúi æïng suáút khi thay âäøi hãû toüa âäü. Taûi M, Mx 1 , x 2 , x 3 → Mx 1' , x '2 , x '3 a ij = cos(x 'i , x j ) σ 'ij = a im a jn σ mn σ mn = b mi b nj σ ij b ij = a ji Trong hãû toüa âäü cong. ⎛ i ∂θi ⎞ ⎜a j = 'j ⎟ ⎜ ∂θ ⎟ σ 'ij = a im a nj σ mn ⎜ i ∂θ ⎟ 'i ⎜bj = j ⎟ ⎝ ∂θ ⎠ σ mn = b im b nj σ 'ij §3. ÆÏNG SUÁÚT CHÊNH VAÌ PHÆÅNG CHÊNH, CAÏC BÁÚT BIÃÚN CUÍA TEN XÅ ÆÏNH SUÁÚT. r r Tn = σn Tnj = σnj = σ ij n j σ æïng suáút chênh; n j = δ ij n i σ ij n i − σδ ij n i = 0 ⇒ (σ ij − δ ijσ )n i = 0 ⎧ (σ11 − σ )n1 + σ 21n 2 + σ 31n 3 = 0 ⎪ ⎨σ12 n1 + (σ 22 − σ )n 2 + σ 32 n 3 = 0 hay ⎪ ⎩ σ13 n1 + σ 23 n 2 + (σ 33 − σ )n 3 = 0 (*) Âãø hãû phæång trçnh coï nghiãûm.
σ11 − σ σ 21 σ 31 del σ ij − δ ijσ = σ12 σ 22 − σ σ 32 = 0 σ13 σ 23 σ 33 − σ σ 3 − I1σ 2 + I 2 σ − I 3 = 0 I1 = σ ii = σ11 + σ 22 + σ 33 σ 11 σ 21 σ 22 σ 32 σ 33 σ 13 I2 = σ σ + σ σ 33 + σ 31 σ 11 ( I1,I2 ,I3 caïc báút 12 22 23 biãún) I 3 = del σ ij σ I > σ II > σ III æïng suáút chênh. Thay σ I ... vaìo (*) ⇒ n1 , n 2 , n 3 Taûi M coï caïc phæång chênh. ⎡σ I 0 0 ⎤ Tn1 = σ I n 1 σ ij = ⎢ 0 σ II 0 ⎥ Tn 2 = σ II n 2 ⎢ ⎥; ⎢⎣ 0 0 σ III ⎥⎦ Tn 3 = σ III n 3 §4.ÆÏNG SUÁÚT TIÃÚP CÆÛC TRË. τ 2n = Tni .Tni − σ 2n σ n = Tn i .n i = Tn1 n 1 + Tn 2 n 2 + Tn 3 n 3 σ n = σ I n12 + σ II n 22 + σ III n 32 τ = σ n + σ n + σ n − (σ I n + σ II n + σ III n 2 n 2 I 2 1 2 II 2 2 2 III 2 3 2 1 2 2 2 2 3 ) = (σ 2I − σ 2III )n12 + (σ12 − σ 2III )n 22 + σ 2III
[ − (σ I − σ III )n + (σ II − σ III )n + σ III 2 1 2 2 ] 2 ∂τ n ∂τ n = 0; =0 ∂n 1 ∂n2 ⇒ {σ I [ ] − σ III − 2 (σ I − σ III )n12 + (σ III − σ III )n 22 }n1 = 0 {σ II − σ III − 2[(σ I − σ III )n12 + (σ II − σ III )n ]}n 2 2 2 =0 Xeït træåìng håüp 1: n1 ≠ 0; n 2 = 0 Xeït træåìng håüp 2: n1 = 0; n 2 ≠ 0 1 1 Træìång håüp 1û ⇒ n 1 = ± ; n 2 = 0; n 3 = ± 2 2 1 1 Træìång håüp 2 ⇒ n 1 = 0; n 2 = ± ; n3 = ± 2 2 1 1 Tæång tæû n1 = ± ; n2 = ; n3 = 0 2 2 σ II − σ III τI = ± 2 σ − σ III σ − σ III ⇒ τ II = ± I ⇒ τ max = τ II = I 2 2 σ − σ II τ III = ± I 2 §5. BIÃØU DIÃÙN TRAÛNG THAÏI ÆÏNG SUÁÚT BÀÒNG VOÌNG TROÌN M 0 Cho 1 màût våïi caïc phæång chênh taûi M: våïi caïc cos chè phæång n1 , n 2 , n 3 n1 = cos α; n 2 = cos β; n 3 = cos γ Ta coï cäng thæïc tênh æïng suáút phaïp vaì tiãúp trãn màût: ⎧ σ n = σ I n12 + σ II n22 + σ III n32 ⎨ 2 2 2 2 2 2 ( ⎩τ n = σ I n1 + σ 2 n2 + σ III n3 − σ I n1 + σ II n2 + σ III n3 2 2 2 2 ) 2 våïi n 12 + n 22 + n 32 = 1
⎧ 2 τ n2 + (σ n − σ II )(σ n − σ III ) ⎪n1 = ≥0 ⎪ (σ I − σ II )(σ I − σ III ) ⎪ τ + (σ n − σ III )(σ n − σ I ) 2 ⇒ ⎨ n22 = n ≥0 ⎪ (σ II − σ III )(σ II − σ I ) våïi ⎪ 2 τ n + (σ n − σ I )(σ n − σ II ) 2 ⎪ n3 = (σ − σ )(σ − σ ) ≥ 0 ⎩ III I III II σ I > σ II > σ III ⎧τ 2n + (σ n − σ II )(σ n − σ III ) ≥ 0 ⎪ ⇒ ⎨ τ 2n + (σ n − σ III )(σ n − σ I ) ≤ 0 hay ⎪ τ 2 + (σ − σ )(σ − σ ) ≥ 0 ⎩ n n I n II 2 2 ⎛ σ + σ III ⎞ ⎛ σ − σ III ⎞ τ 2n + ⎜ σ n − II ⎟ ≥ ⎜ II ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ σ + σ ⎞ ⎛ σ − σ ⎞ τ 2n + ⎜ σ n − I III ⎟≤⎜ I III ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 ⎛ σ I + σ II ⎞ ⎛ σ I − σ II ⎞ τn + ⎜ σn − 2 ⎟ ≥⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Choün màût phàóng toüa âäü (σ n ,τ n ) (I)(II)(III) Voìng troìn Mo nå cho ta nháûn tháúy caïc giaï trë æïng suáút phaïp σ n vaì æïng suáút tiãúp τ n trãn mäüt màût phàóng báút kyì thuäüc phaûm vi cuía tam giaïc cong ABC cuía ba voìng troìn M0 . Caïch xaïc âënh æïng suáút trãn 1 màût phàóng báút kyì khi biãút phæång cuía màût. Giaí sæí σ I , σ II , σ III ta coï 3 voìng troìn M 0 . Våïi caïc goïc α, β, β , ta seî xaïc âënh âæåüc 1 âiãøm K ∈ ∆ABC maì σ n ,τ n laì toüa âäü cuía K. Biãøu thë æïng suáút phaïp vaì tiãúp cuía màût. Âäúi våïi phæång chênh III våïi goïc γ , tæì voìng troìn III: 2γ âiãøm G tæì voìng troìn I : 2α = CD Ta coï âæåìng cong troìn våïi tám O3 , baïn kênh O 3 D : ta coï cung DE. Ta coï âæåìng cong troìn våïi tám O1 , baïn kênh O1G : ta coï âæåìng cong GH. K laì giao âiãøm cuía 2 cung DE vaì GH.
CHÆÅNG IV: QUAN HÃÛ GIÆÎA ÆÏNG SUÁÚT VAÌ BIÃÚN DAÛNG CUÍA CAÏC MÄI TRÆÅÌNG THÆÅÌNG GÀÛP. §1. CHÁÚT LOÍNG NHÅÏT. 1.Ten xå æïng suáút σ ij = − p 0δ ij + τ ij -P0 aïp suáút. - τ ij : ten xå æïng suáút nhåït. Trong cháút læu, æïng suáút nhåït liãn hãû våïi nàng læåüng hao taïn âæåüc thãø hiãûn qua ten xå täúc âäü biãún daûng D ij : τ ij = f ij (D pq ) : cháút loíng Xtäúc. Nãúu tuyãún tênh hoïa ta coï daûng: τ ij = K i jpq D pq goüi cháút loíng Niu tån ( K ijpq hãû säú nhåït) Nãúu cháút loíng âäöng cháút thç K laì hàòng säú. Nãúu cháút loíng khäng âäöng cháút thç K laì haìm caïc toüa âäü. K ijpq coï 81 thaình pháön. K ijpp = 0 (i ≠ j) Chè täön taûi K iipp ≠ 0 . 9 thaình pháön våïi hàòng säú âäüc láûp: λ1 & µ1 K1111 = K 2222 = K 3333 = 2µ1 + λ1 K1122 = K1133 = K 2233 = λ1 K iipp = K ppii Trong âoï λ1 & µ1 goüi laì hãû säú nhåït: λ1 liãn hãû våïi täúc âäü biãún daûng thãø têch. µ1 liãn hãû våïi täúc âäü biãún daûng hçnh daïng. Khi âoï ε ij = λ1θ& δ ij + 2µ1 D ij
2.Phæång trçnh xaïc âënh cuía cháút loíng Niu tån: σ ij = − pδ ij + λ1θ& δ ij + 2µ1 D ij Khai triãøn: σ11 = − p + λ 1θ& + 2µ1 D11 ; σ12 = 2µ1 D12 σ 22 = −p + λ1θ& + 2µ1D 22 ; σ 23 = 2µ1D 23 σ = − p + λ θ& + 2µ D ; σ = 2µ D 33 1 1 33 13 1 13 r & Våïi θ = D11 + D22 + D33 = divV r Âäúi våïi cháút læu khäng chëu neïn ( divV = 0 ) Phæång trçnh coï daûng: σ ij = − pδ ij + 2µ1 D ij 3.Hãû phæång trçnh cå baín cuía cháút loíng Niu tån. Theo biãún Å le: Dρ r +Phæång trçnh liãn tuûc: + ρdivV = 0 (1) Dt ∂σ ij Dv i +Phæång trçnh chuyãøn âäüng: + ρ K = ρ (3) ∂x j i Dt Du ∂C j +Phæång trçnh nàng læåüng: ρ dt = σ ij Dij − ∂x + ρb (1) j - σ ij D ij : Haìm hao taïn. u: nàng læåüng riãng trong - C j :læu læåüng nhiãût. -.b :hãû säú bæïc xaû. +Phæång trçnh xaïc âënh: σ ij = − pδ ij +λ1 δ ijθ& + 2µ1 D ij (6) +Phæång trçnh traûng thaïi: P = P (ρ , T ) (1) +Âiãöu kiãûn truyãön nhiãût cuía Furiã: ∂T C j = −K (3) ∂x j +Phæång trçnh traûng thaïi Caläri: