cơ học môi trường liên tục: phần 2 - dương văn thứ (chủ biên)

Chia sẻ: Thangnamvoiva25 Thangnamvoiva25 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Thêm vào BST

Báo xấu

113
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "cơ học môi trường liên tục" giới thiệu tới người đọc các kiến thức: các định luật cơ bản của cơ học môi trường liên tục và các mô hình môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi tuyến tính, bài toán đàn hồi tuyến tính phẳng trong hệ tọa độ descartes, bài toán đàn hồi tuyến tính phẳng trong hệ tọa độ cực.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: cơ học môi trường liên tục: phần 2 - dương văn thứ (chủ biên)

CHƯƠNG IV CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ CÁC MÔ HÌNH MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 4.1. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA KHỐI LƯỢNG Một thuộc tính cơ bản của môi trường vật chất là khối lượng. Xét phần MTLT chiếm thể tích V trong không gian với diện tích bao quanh S. Ở thời điểm t nào đó, tổng khối lượng vật chất chứa trong V được tính như sau: m = ∫ ρ( xi , t)dV (4-1) V Trong đó ρ( x i , t) là hàm mật độ khối lượng vật chất. Định luật bảo toàn Khối lượng khẳng định rằng: Tổng khối lượng vật chất của phần MTLT chứa trong thể tích V này không đổi theo thời gian trong suốt quá trình chuyển động. dm d (4-2) = ∫ ρ( xi , t)dV = 0 dt dt V Điều này cũng có nghĩa là, trong một đơn vị thời gian, độ biến thiên khối lượng vật chất chứa trong thể tích V ∂ρ Δm = ∫ dV (a) ∂t V bằng khối lượng vật chất chuyển từ ngoài vào miền đang xét qua bề mặt S. rr % Δm = − ρ.v.n.dS ∫ (b) S ∂ρ là độ biến thiên mật độ khối lượng vật chất theo thời gian. ∂t r v là véc tơ vận tốc chuyển động của phần tử vật chất môi trường. r n là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt ds. Dấu trừ để chỉ lượng vật chất chuyển vào môi trường qua mặt S ngược chiều với véc tơ pháp tuyến ngoài. Áp dụng định lý div (1-21) cho (b) ta có: rr r ∂ (ρvi ) ° (c) Δm = − ∫ ρ.v.n.dS = − ∫ div(ρv)dV = − ∫ dV ∂xi S V V Trong đó: Theo định luật bảo toàn Khối lượng: % % Δm = Δm hay Δm − Δm = 0 ∂ρ hay: ⎡ ∂ρ ⎤ ∂ (ρvi ) ∂ dV = ∫ ⎢ + (ρvi ) ⎥ dV = 0 ∂xi ∂t ∂xi ⎦ V V⎣ ∫ ∂t dV + ∫ V Vì thể tích V tuỳ ý, nên biểu thức dưới dấu tích phân trong (d) phải bằng không. ∂v ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ρ (ρvi ) = vi + ρ i = 0 + + ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂xi (d) (e) Theo (2-11) dρ ∂ρ ∂ρ , thay vào (e) được: vi = + dt ∂t ∂xi ∂v dρ (4-3) +ρ i = 0 dt ∂xi r dρ hay ở dạng véc tơ + ρdivv = 0 (4-3)’ dt Phương trình (4-3)’ viết ở dạng véc tơ, nên đúng cho mọi hệ toạ độ, còn (4-3) viết trong hệ toạ độ Euler, gọi là phương trình liên tục khối lượng. Phương trình (4-3) cũng có thể nhận được bằng cách biến đổi trực tiếp phương trình (4-2) Phương trình liên tục (4-3) rất quan trọng khi khảo sát môi trường chất lỏng hay chất khí. Đối với chất rắn, do khối lượng rất lớn, sự thay đổi khối lượng coi như không đáng kể, nên phương trình liên tục luôn luôn tự thoả mãn. dρ Trong môi trường không nén được, mật độ vật chất không phụ thuộc thời gian, = 0 , nên dt phương trình liên tục này đơn giản còn: r ∂vi (4-4) = 0 hay divv = 0 ∂xi Phương trình liên tục (4-3)’ viết trong toạ độ Lagrange có thể xem trong [4]. 4.2. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG r u r Khi môi trường chuyển động với trường vận tốc v dưới tác dụng của lực khối P và lực mặt uu r q n , thì định lý biến thiên động lượng nói rằng: Tại thời điểm t nào đó, tốc độ biến thiên theo thời gian của động lượng đối với phần MTLT chứa trong thể tích V, bằng tổng các lực ngoài tác dụng lên miền xét. r u r uu r d (4-5) ρvdV = ∫ PdV + ∫ q n dS ∫ dt V V S r (a) Trong đó: ∫ ρ vdV là động lượng tổng cộng của phần môi trường có thể tích V V u r PdV ∫ là tổng lực khối (lực thể tích) tác động trong môi trường. (b) uu r q n dS ∫ là tổng lực mặt tác động trên mặt bao quanh môi trường. (c) V S Từ (4-5) ta cũng có thể dẫn ra phương trình chuyển động (3-33). Muốn vậy, trước hết ta chuyển tích phân mặt (c) về tích phân thể tích nhờ định lý div (1-21), sau đó thực hiện các biến đổi toán học thông thường, kết hợp với (4-3) sẽ nhận được (3-33). 4.3. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG Cũng xét phần MTLT như trên, ta có định lý biến thiên mô men động lượng phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên theo thời gian của mômen động lượng đối với phần MTLT chứa trong thể tích V đối với điểm cố định nào đó, bằng tổng mô men, cũng lấy đối với điểm đó, của các lực ngoài tác dụng trên miền xét. r r u u r r u uu r r d u (4-6) R x ρvdV = ∫ R x PdV + ∫ R x q n dS ∫ dt V V S u r Trong đó, R là bán kính véc tơ của các điểm thuộc môi trường đối với tâm mô men. u r r R x ρ vdV là mô men động lượng tổng cộng của phần môi trường thể tích V ∫ V lấy đối với tâm mô men. u u r r u r ∫ R x PdV + ∫ R V x uu r q n dS là tổng mô men của lực thể tích và lực mặt lấy đối với S tâm mô men. Từ (4-6) ta cũng có thể dẫn ra định luật đối ứng của ứng suất tiếp (3-32). 4.4. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG - PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG Trong vật lý học, ta đã được biết một định luật tổng quát về năng lượng, đó là định luật bảo toàn năng lượng, nói rằng: Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và nội năng của hệ, bằng tổng công cơ học của lực ngoài và công của các dòng năng lượng khác trong một đơn vị thời gian (còn gọi là công suất của lực ngoài và của các dòng năng lượng khác). Các dòng năng lượng khác nói ở đây có thể là nhiệt năng, điện năng, quang năng..v..v…Trong khuôn khổ giáo trình môn CHMTLT, ở đây chúng tôi chỉ nhắc lại nội dung cơ bản của định luật này trong trường hợp liên quan tới cơ năng và nhiệt năng, nhằm phục vụ cho việc giải các bài toán của CHMTLT. Sau đây ta xét một số trường hợp. 4.4.1 Định luật bảo toàn năng lượng cơ học Khi phần MTLT có thể tích V đang khảo sát không thu nhiệt từ môi trường bao quanh, trong hệ chỉ có năng lượng cơ học (cơ năng). Nội năng là năng lượng do biến dạng gây ra, lúc này gọi là năng lượng biến dạng. Trong trường hợp này ta có định luật bảo toàn năng lượng cơ học (cơ năng) phát biểu như sau: Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và năng lượng biến dạng của môi trường, bằng tổng công cơ học của lực ngoài trong một đơn vị thời gian, (công suất của lực ngoài). dK dE δA + = (4-7) dt dt dt dK là tốc độ biến thiên động năng của môi trường. (a) Trong đó dt dE là tốc độ biến thiên năng lượng biến dạng của môi trường. (b) dt δA dt là tổng công suất của lực ngoài: lưc khối và lực mặt (công trong một đơn vị thời gian). (c) Để chứng minh (4-7), ta xuất phát từ phương trình chuyển động (3-33). Thật vậy, theo (333): ∂σij ∂x j + Pi = ρ dvi dt (d) Nhân hai vế của (d) với vi rồi tích phân trên toàn thể tích V của môi trường: ∂σij dvi ∫ ∂x j vi dV + V Pi vi dV = V ρ dt vi dV ∫ ∫ V (d)’ Biến đổi từng tích phân trong (d)’. ∫ρ V dvi d ⎛ v2 ⎞ d v2 d vi dV = ∫ ρ ⎜ ⎟ dV = ∫ ρ dV = K dt dt ⎝ 2 ⎠ dt V 2 dt V Trong đó động năng của hệ (e) v2 K = ∫ ρ dV 2 V (f) & Tiếp theo, áp dụng định lý div (1-21) và chú ý tới (2-58) và (3-34) trong đó σij ωij = 0 do & σij là ten xơ đối xứng, còn ωij là phản đối xứng, ta có ⎡ ∂ ∂v ⎤ vi dV = ∫ ⎢ ( σij .vi ) − σij ∂xi ⎥ dV j j ⎥ V⎢ ⎣ ∂x j ⎦ ⎡ ∂ ⎤ & & = ∫⎢ ( σij .vi ) − σij (εij + ωij )⎥ dV ⎥ V⎢ ⎣ ∂x j ⎦ ∂σij ∫ ∂x V & & = ∫ σij vi n j dS − ∫ σij εij dV = ∫ q ni vi dS − ∫ σij εij dV S V S (g) V Thay (e) và (g) vào (d)’ rồi chuyển vế, ta được: d v2 & ρ dV + ∫ σij εij dV = ∫ Pi vi dV + ∫ q ni vi dS ∫ dt V 2 V V S dK dE δA + = dt dt dt hay đây là điều phải chứng minh. Trong đó: dK d v2 = ∫ ρ dV dt dt V 2 (4-8) dE & = ∫ σij εij dV dt V (4-9) δA = ∫ Pi vi dV + ∫ q ni vi dS dt V S (4-10) 4.4.2 Định luật bảo toàn năng lượng cơ - nhiệt. Định luật nhiệt động lực học thứ nhất - phương trình năng lượng a) Một vài khái niệm về quá trình nhiệt động học của MTLT Khi trong môi trường, ngoài năng lượng cơ học, còn có sự trao đổi nhiệt với môi trường bao quanh, thì trạng thái của môi trường được xác định bởi ngoài một số đại lượng đặc trưng cho động lực học như ứng suất, biến dạng..v..v.., còn có một số đại lượng đặc trưng cho nhiệt động học như nhiệt độ, sự truyền nhiệt, bức xạ nhiệt..v..v… Lúc này, MTLT là một hệ nhiệt động lực. Các đại lượng đặc trưng cho môi trường gọi là các tham số trạng thái, còn các mối quan hệ giữa chúng với nhau gọi là phương trình trạng thái, các tham số được mô tả trong các phương trình này gọi là hàm trạng thái. Nếu các tham số trạng thái không phụ thuộc thời gian, hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực (cân bằng cơ học, cân bằng nhiệt…). Nhiệt độ là tham số trạng thái đặc trưng cho cân bằng nhiệt. Quá trình biến đổi trạng thái của môi trường là một quá trình nhiệt động lực tuân theo các định luật cơ bản của nhiệt động lực học. Trong quá trình này, nếu nhiệt độ không thay đổi, ta có quá trình đẳng nhiệt, nếu hệ không có trao đổi nhiệt với môi trường bao quanh, ta có quá trình đoạn nhiệt như đã đề cập trong mục 4.4.1 ở trên. Quá trình nhiệt động lực có thể thuận nghịch hoặc không thuận nghịch. Quá trình là thuận nghịch, nếu hệ có thể trở lại trạng thái ban đầu, mà trong quá trình đi ngược đó, hệ đi qua tất cả các trạng thái trung gian mà quá trình thuận đã đi qua. Nếu quá trình không thoả mãn yêu cầu trên, ta có quá trình không thuận nghịch. Đối với vật rắn, quá trình biến dạng đàn hồi là thuận nghịch, còn quá trình biến dạng dẻo là không thuận nghịch. Trong quá trình nhiệt động lực, cơ năng và nhiệt năng luôn biến đổi và chuyển hoá lẫn nhau. Định luật bảo toàn cơ - nhiệt năng, còn gọi là định luật nhiệt động lực học thứ nhất phát biểu qui luật chuyển hoá này, nhưng không nói lên được tính thuận nghịch của quá trình. Tính thuận nghịch được thể hiện ở định luật nhiệt động lực học thứ hai khi đề cập tới sự biến đổi entropi của môi trường. b) Định luật nhiệt động lực học thứ nhất – phương trình năng lượng Từ phân tích ở trên ta thấy rằng, khi ngoài cơ năng còn xét thêm nhiệt năng thì định luật bảo toàn năng lượng cơ và nhiệt hay định luật nhiệt động lực học thứ nhất hoàn toàn có được từ định luật bảo toàn cơ năng, bằng cách thêm vào (4-7) lượng nhiệt thu được từ môi trường bao quanh vào môi trường đang khảo sát trong một đơn vị thời gian (còn gọi là công suất nhiệt năng – ký δQ ⎞ hiệu là ⎟. dt ⎠ dK dE* δA δQ + = + dt dt dt dt Định luật phát biểu: (4-11)