Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu "Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục" trình bày phương pháp phần tử liên tục (CEM) để phân tích các tần số dao động của vỏ nón có gân gia cường bằng vật liệu FGM nằm trên nền đàn hồi. Ma trận độ cứng động của kết cấu được xây dựng bằng cách sử dụng thuật toán lắp ghép các phần tử liên tục của vỏ nón và gân gia cường tiếp xúc với nền đàn hồi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục

129 145 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục Nguyễn Tuấn Hải1,*, Nguyễn Mạnh Cường2 và Nguyễn Quốc Hùng3 1 Khoa Cơ Điện tử, Trường Cơ khí, Đại Học Bách Khoa Hà Nội 2 Khoa Cơ Điện tử, Trường Cơ khí, Đại Học Bách Khoa Hà Nội 3 Khoa Cơ Điện tử, Trường Cơ khí, Đại Học Bách Khoa Hà Nội *Email: Hai.NT212431M@sis.hust.edu.vn Tóm tắt. Nghiên cứu này trình bày phương pháp phần tử liên tục (CEM) để phân tích các tần số dao động của vỏ nón có gân gia cường bằng vật liệu FGM nằm trên nền đàn hồi. Ma trận độ cứng động của kết cấu được xây dựng bằng cách sử dụng thuật toán lắp ghép các phần tử liên tục của vỏ nón và gân gia cường tiếp xúc với nền đàn hồi. Các kết quả về tần số dao động riêng nhận được từ phương pháp của chúng tôi được so sánh với kết quả của các phương pháp tiếp cận khác (FEM,…) để chứng minh các ưu điểm của CEM: độ chính xác cao hơn, tiết kiệm thời gian và tài nguyên máy tính, kích thước mô hình giảm ngay cả trong dải tần số trung bình và cao . Ngoài ra, ảnh hưởng của các thông số vỏ và nền đàn hồi cũng đã được khảo sát. Từ khóa: CEM, vỏ nón, FGM, gân gia cường, nền đàn hồi,… 1. Mở đầu Vật liệu FGM đóng vai trò quan trọng trong nền văn minh nhân loại nói chung, và trong khoa học công nghệ nói riêng. Trong tự nhiên vật liệu FGM thực chất tồn tại rất nhiều như trong răng, da người, thân cây tre… Vật liệu FGM được giới thiệu lần đầu năm 1984 tại Nhật Bản tại một dự án tàu không gian. Ngày nay FGM được áp dụng cho rất nhiều lĩnh vực như y tế, điện hạt nhân … Do sự yêu cầu về ứng dụng của các lĩnh vực là rất đa dạng, vật thể phải chịu dưới nhiều điều kiện khắc nghiệt cùng lúc như nhiệt độ, ứng suât, dao động, mài mòn. Từ đó yêu cầu vật liệu cần phải có độ cứng, độ chịu nhiệt, độ bền hợp lý, nếu sử dụng kim loại đơn thuần là không khả thi. Do vậy bài toán khảo sát dao động của vỏ FGM là một trong những bài toán quan trọng, cần phải được nghiên cứu kỹ lưỡng để thiết kế kết cấu một cách hợp lý về giá thành mà vẫn đảm bảo độ bền. Phương pháp phổ biến được sử dụng hiện tại là sử dụng phần tử hữu hạn (FEM) (phương pháp số) để mô phỏng dao động, tuy nhiên nhược điểm của phương pháp phần tử hữu hạn là thời gian mô phỏng dài, yêu cầu nhiều tài nguyên máy tính và độ chính xác không đảm bảo khi mô phỏng ở dải tần số lớn. Phương pháp phần tử liên tục (CEM) được phát triển để khắc phục nhược điểm trên, phương pháp CEM cho ra kết quả nhanh hơn, không yêu cầu nhiều về tài nguyên máy tính, chính xác hơn do nghiệm được giải từ phương trình giải tích, yếu điểm của phương phát triển thêm. Phương pháp CEM bản chất là đi tìm ma trận độ cứng động lực học 𝑲𝑲(𝝎𝝎) 𝑚𝑚 , từ đó giải pháp CEM hiện nay là số lượng phần tử có thể áp dụng phương pháp không nhiều, cần phải nghiên cứu hệ phương trình quan hệ giữa lực và biến dạng với biến tần số là một dải cho trước. Trong bài báo này giới thiệu hai phần tử là nón và gân gia cường hợp thành cấu trúc nón có gân gia cường bên trong nằm trên nền đàn hồi. Các nghiên cứu về cấu trúc vỏ với vật liệu FGM đã được đề cập đến khá nhiều trước đây, chẳng hạn như dao động vỏ trụ có gân gia cường FGM sử dụng quy luật phân phối lũy thừa bốn tham số [1] của tác giả G.H. Rahimi et al. Một số tác giả khác đã sử dụng lý thuyết cắt bậc nhất theo [2], phương pháp Haar wavelet [3] để khảo sát dao động của vỏ nón FGM. Bên cạnh đó cũng đã xuất hiện các nghiên cứu về các loại vỏ composite, vỏ kim loại trên nền đàn hồi [5-6]. Ngày nay, các phương pháp số gần đúng như phương pháp phần tử hữu hạn cũng được sử dụngđể giải quyết những mô hình phức tạp hơn như vỏ kết hợp với gân gia cường, vỏ kết hợp giữa nón và trụ [7-8]. Ngoài ra kết cấu trúc nón, trụ composite kết hợp trên nền đàn hồi sử dụng phương pháp phần tử liên tục CEM đã được các
130 146 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục tác giả [9-11] đưa ra. Nhưng hiện nay vẫn chưa có hoặc có rất ít và khó có thể tìm thấy những nghiên cứu về vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi, đặc biệt là khi các gân được coi là kết cấu đàn hồi thực chứ không phải chỉ được quy đổi hay xấp xỉ gần đúng như nhiều phương pháp khác. Nghiên cứu này trình bày đưa ra mô hình phần tử liên tục để phân tích các tần số dao động của vỏ nón có gân gia cường bằng vật liệu FGM nằm trên nền đàn hồi. Các kết quả thu được nhấn mạnh các ưu điểm của phương pháp: thời gian tinh toán, tiết kiệm lưu trữ dữ liệu cũng như khả năng ứng dụng trong miền tần số trung bình và cao. 2. Các công thức lý thuyết 2.1. Mô hình nghiên cứu có gân được chia thành ba thành phần là hai vỏ nón có độ dài bằng nhau 𝐿𝐿1 , 𝐿𝐿2 và gân, nền đàn hồi Mô hình nghiên cứu trong bài báo này là vỏ nón làm từ vật liệu FGM có gân gia cường. Vỏ nón Winkler có độ cứng của nền là 𝑘𝑘 𝑤𝑤 hay nền Pasternak có độ cứng là 𝑘𝑘 𝑝𝑝 . Hình 1. Vỏ nón với gân gia cường trong Hệ tọa độ của vỏ nón được gán với mặt chính giữa là mặt phẳng quy chiếu. Hệ tọa độ (x,θ,z) bao gồm trục x là trục tọa độ chạy dọc theo đường sinh của vỏ nón, trục z là trục tọa độ vuông góc với bề mặt nón và θ là tọa độ góc quay. Vật liệu FGM đặc trưng được tạo ra từ pha vật liệu. Trong bài báo này vỏ nón được tạo ra từ vật vật liệu biến dạng nhỏ trong miền đàn hồi. Module Young E(z), hệ số Poisson 𝜇𝜇(z), khối lượng riêng liệu hỗn hợp ceramic và kim loại. Giả thiết vật liệu FGM là liên tục, không có lỗ trống trong vật liệu, 𝐸𝐸 ( 𝑧𝑧) = ( 𝐸𝐸𝑐𝑐 − 𝐸𝐸 𝑚𝑚 ) 𝑉𝑉𝑐𝑐 + 𝐸𝐸 𝑚𝑚 ρ(z) biến đổi tuyến tính theo độ dày của vỏ được biểu diễn như sau: 𝜇𝜇( 𝑧𝑧) = ( 𝜇𝜇 𝑐𝑐 − 𝜇𝜇 𝑚𝑚 ) 𝑉𝑉𝑐𝑐 + 𝜇𝜇 𝑚𝑚 𝜌𝜌( 𝑧𝑧) = ( 𝜌𝜌 𝑐𝑐 − 𝜌𝜌 𝑚𝑚 ) 𝑉𝑉𝑐𝑐 + 𝜌𝜌m (1) ký hiệu chỉ số dưới c và m là ký hiệu của hai thành phần vật liệu ceramic và vật liệu kim loại, 𝑉𝑉𝑐𝑐 là tỉ lệ 1 𝑧𝑧 1 𝑧𝑧 2 𝑝𝑝 phân bố thể tích [1]: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐼𝐼(𝑎𝑎/𝑏𝑏/𝑐𝑐/𝑝𝑝) : 𝑉𝑉𝑐𝑐 = �1 − 𝑎𝑎 � + � + 𝑏𝑏 � + � � 2 ℎ 2 ℎ
131 147 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục 1 𝑧𝑧 1 𝑧𝑧 2 𝑝𝑝 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐼𝐼 𝐼𝐼(𝑎𝑎/𝑏𝑏/𝑐𝑐/𝑝𝑝) : 𝑉𝑉𝑐𝑐 = �1 − 𝑎𝑎 � − � + 𝑏𝑏 � − � � (2) 2 ℎ 2 ℎ tỉ lệ phân bố thể tích của hai thành phần vật liệu 𝑉𝑉𝑐𝑐 +𝑉𝑉𝑚𝑚 = 1. Do đó từ phương trình (2) rút ra được khi trong đó số mũ p là số thực (0 ≤ p ≤ ∞), thông số a, b, c là chỉ sự thay đổi của vật liệu theo bề dày. Tổng số mũ 𝑝𝑝 = 0 hay 𝑝𝑝 = ∞ thì vật liệu FGM sẽ trở thành vật liệu đồng chất đẳng hướng thuần ceramic hoặc thuần kim loại. 2.2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Mindlin-Reissner Các thành phần chuyển vị của một điểm bất kỳ trên vỏ nón hay gân gia cường được tính toán tại 𝑢𝑢( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝑢𝑢0 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) + 𝑧𝑧𝜑𝜑 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) mặt quy chiếu theo thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) 𝑣𝑣 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝑣𝑣0 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) + 𝑧𝑧𝜑𝜑 𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) 𝑤𝑤( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤0 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) (3) trong đó 𝑢𝑢, 𝑣𝑣, w là các thành phần chuyển vị lần lượt theo các phương 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧 . Các thành phần 𝑢𝑢0 , 𝑣𝑣0 , các góc uốn của quy chiếu quanh các trục 𝜃𝜃 và trục x, t là biến thời gian. 2.3. Quan hệ lực, momen, ứng suất và biến dạng 𝜎𝜎 𝑄𝑄11 (𝑧𝑧) 𝑄𝑄12 (𝑧𝑧) 0 0 0 𝜀𝜀 Theo định luật Hook, quan hệ ứng suất biến dạng của vỏ được viết như sau ⎧ 𝑥𝑥 ⎫ ⎡ 𝑄𝑄 (𝑧𝑧) 𝑄𝑄11 (𝑧𝑧) 0 0 0 ⎤ ⎧ 𝑥𝑥 ⎫ 𝜀𝜀 𝜃𝜃 ⎪ ⎪ 𝜎𝜎 𝜃𝜃 ⎪ ⎢ 12 ⎥⎪ 𝜏𝜏 𝑥𝑥𝑥𝑥 = ⎢ 0 0 𝑄𝑄66 (𝑧𝑧) 0 0 ⎥ 𝛾𝛾 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎨ 𝜏𝜏 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎬ ⎢ 0 0 0 𝑄𝑄66 (𝑧𝑧) 0 ⎥ ⎨ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎬ ⎪ 𝜏𝜏 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎭ ⎣ 0 𝑄𝑄66 (𝑧𝑧)⎦ ⎩ 𝛾𝛾 𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎭ (4) 0 0 0 Với 𝑄𝑄 𝑖𝑖 𝑖𝑖 (𝑧𝑧) là hằng số đàn hồi là hàm của z và được định nghĩa như sau: 𝑄𝑄11 ( 𝑧𝑧) = , 𝑄𝑄12 ( 𝑧𝑧) = , 𝑄𝑄66 ( 𝑧𝑧) = 𝐸𝐸(𝑧𝑧) 𝜇𝜇(𝑧𝑧)𝐸𝐸(𝑧𝑧) 𝜇𝜇(𝑧𝑧)𝐸𝐸(𝑧𝑧) 1−𝜇𝜇 2 (𝑧𝑧) 1−𝜇𝜇 2 (𝑧𝑧) 2[1+𝜇𝜇(𝑧𝑧)] (5) Lực và momen được tính bởi công thức ( 𝑁𝑁𝑥𝑥 , 𝑁𝑁 𝜃𝜃 , 𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = ∫2ℎ( 𝜎𝜎 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝜎𝜎 𝜃𝜃𝜃𝜃 , 𝜏𝜏 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝜏𝜏 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝜏𝜏 𝜃𝜃𝜃𝜃 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ℎ − 2 (6) ( 𝑄𝑄 𝑥𝑥 , 𝑄𝑄 𝜃𝜃 ) = 𝑘𝑘 ∫2ℎ( 𝜏𝜏 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝜏𝜏 𝜃𝜃𝜃𝜃 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ℎ − 2 (7) (𝑀𝑀 𝑥𝑥 , 𝜃𝜃 , 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = ∫−ℎ/2( 𝜎𝜎 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝜎𝜎 𝜃𝜃𝜃𝜃 , 𝜏𝜏 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 ℎ/2 trong đó 𝑁𝑁𝑥𝑥 , 𝑁𝑁 𝜃𝜃 , 𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥 là các lực dọc, 𝑄𝑄 𝑥𝑥 , 𝑄𝑄 𝜃𝜃 là các lực cắt, 𝑥𝑥 , 𝜃𝜃 , 𝑥𝑥𝑥𝑥 là các momen. Hệ số k là hệ số (8) 𝑀𝑀 𝑀𝑀 bù sai, trong bài báo này hệ số bù sai được chọn bằng 5�6. Từ (5), (6), (7) và (8) có được quan hệ giữa 𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝑀𝑀 lực và biến dạng là
132 148 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục 𝑁𝑁𝑥𝑥 𝐴𝐴11 𝐴𝐴12 0 𝐵𝐵11 𝐵𝐵12 0 0 0 𝜀𝜀 𝑥𝑥 ⎧ 𝑁𝑁 ⎫ ⎡ 𝐴𝐴 𝐴𝐴11 0 𝐵𝐵12 𝐵𝐵11 0 0 0 ⎤ ⎧ 𝜀𝜀 𝜃𝜃 ⎫ ⎪ 𝑁𝑁 𝜃𝜃 ⎪ ⎢ 12 ⎥ 0 0 𝐴𝐴66 0 0 𝐵𝐵66 0 0 ⎪ 𝜀𝜀 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎪ ⎪ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝐵𝐵 𝐵𝐵12 0 𝐷𝐷11 𝐷𝐷12 0 0 0 ⎥ 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = ⎢ 11 ⎨ 𝜃𝜃 ⎬ ⎢ 𝐵𝐵12 𝐵𝐵11 0 𝐷𝐷12 𝐷𝐷11 0 0 0 ⎥ ⎨ 𝑘𝑘 𝜃𝜃 ⎬ ⎪ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎪ ⎢ 0 0 𝐵𝐵66 0 0 𝐷𝐷66 0 0 ⎥ ⎪ 𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎪ (8) ⎪ 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ⎪ ⎢ 0 0 0 0 0 0 𝑘𝑘𝑘𝑘44 0 ⎥ ⎪ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎪ 𝑀𝑀 ⎩ 𝑄𝑄 𝜃𝜃 ⎭ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 𝑘𝑘𝑘𝑘55 ⎦ ⎩ 𝛾𝛾 𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎭ 𝑀𝑀 Vật liệu FGM được giả thiết biến dạng trong miền đàn hồi. Nên độ cứng kéo 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑖𝑖 và độ cứng uốn 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝑖𝑖 và độ cứng hỗn hợp 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑖𝑖 lần lượt là ℎ ℎ 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = � 𝑄𝑄 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ( 𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1; 2; 6 , 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝑖𝑖 = � 𝑧𝑧 2 𝑄𝑄 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ( 𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1; 2; 6 2 2 ℎ ℎ − − 2 2 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑖𝑖 = ∫ 𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ( 𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1; 2; 6 , 𝐹𝐹𝑖𝑖 𝑖𝑖 = ∫ 𝑄𝑄 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ( 𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 4; 5 ℎ ℎ 2 2 ℎ ℎ − − 2 2 (9) 2.4. Phương trình chuyển động Phương trình chuyển động cho vỏ nón có gân gia cường nằm trên nền đàn hồi Winkler theo thuyết 𝜕𝜕𝑁𝑁𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 1 𝜕𝜕𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥 + ( 𝑁𝑁𝑥𝑥 − 𝑁𝑁 𝜃𝜃 ) + = 𝐼𝐼0 𝑢𝑢̈0 + 𝐼𝐼1 𝜑𝜑̈ 𝑥𝑥 biến dạng cắt bậc nhất [9] là 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 1 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥 + + 𝑄𝑄 𝜃𝜃 = 𝐼𝐼0 𝑣𝑣̈0 + 𝐼𝐼1 𝜑𝜑̈ 𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝑥𝑥 2𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 1 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑥𝑥 + ( 𝑥𝑥 − 𝜃𝜃 ) + − 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼1 𝑢𝑢̈0 + 𝐼𝐼2 𝜑𝜑̈ 𝑥𝑥 (10) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 1 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝜃𝜃 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + − 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼1 𝑣𝑣̈0 + 𝐼𝐼2 𝜑𝜑̈ 𝜃𝜃 𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑄𝑄 𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝑄𝑄 𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜕𝜕 2 𝑤𝑤 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕 2 𝑤𝑤 + + 𝑄𝑄 𝑥𝑥 − 𝑁𝑁 𝜃𝜃 − 𝑘𝑘 𝑤𝑤 𝑤𝑤 + 𝑘𝑘 𝑝𝑝 � 2 + + � = 𝐼𝐼0 𝑤𝑤0 ̈ 𝑀𝑀 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑅𝑅2 𝜕𝜕𝜃𝜃 2 với 𝐼𝐼0 , 𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 = ∫ 𝜌𝜌( 𝑧𝑧)⌈1, 𝑧𝑧, 𝑧𝑧 2 ⌉𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝜌𝜌( 𝑧𝑧) là khối lượng riêng của vỏ nón hay gân gia cường, 𝐼𝐼0 , 𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 là ℎ 2 ℎ − 2 momen quán tính khối. Vector trạng thái được chọn 𝑦𝑦 𝑇𝑇 = {𝑢𝑢0 , 𝑣𝑣0 , 𝑤𝑤0 , 𝜑𝜑 𝑥𝑥 , 𝜑𝜑 𝜃𝜃 , 𝑁𝑁 𝜃𝜃 , 𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑄𝑄 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥𝑥𝑥 } 2.5. Xây dựng ma trận độ cứng động lực 𝑇𝑇 . Các vector trạng {𝑢𝑢0 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤0 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝜑𝜑 𝜃𝜃 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝑁𝑁𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝑄𝑄 𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡)} 𝑇𝑇 𝑀𝑀 𝑀𝑀 thái được viết dưới dạng chuỗi Lévy ∞ = � { 𝑢𝑢 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 ), 𝑤𝑤 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 ), 𝜑𝜑 𝜃𝜃𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥 ), 𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ), 𝑄𝑄 𝑥𝑥𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ), 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥)} cos(𝑚𝑚𝑚𝑚)𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑀𝑀 𝑇𝑇 𝑚𝑚=1 { 𝑣𝑣0 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝜑𝜑 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝑁𝑁 𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝑄𝑄 𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡), 𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥, 𝜃𝜃, 𝑡𝑡)} 𝑇𝑇 𝑀𝑀 (11) 𝑀𝑀
133 149 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục ∞ = � { 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 ), 𝜑𝜑 𝑥𝑥𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ), 𝑁𝑁 𝜃𝜃𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥 ), 𝑄𝑄 𝜃𝜃𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥 ), 𝜃𝜃𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥 )} 𝑇𝑇 sin( 𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑚𝑚=1 𝑀𝑀 với m là số mode dao động của chu vi. Biến đối các phương trình (8), (10) ,(11) ta thu được hệ phương 𝑑𝑑𝒚𝒚 𝑚𝑚 trình vi phân thường [9], viết dưới dạng thu gọn ta được = 𝑨𝑨 𝑚𝑚 𝒚𝒚 𝑚𝑚 (12) 𝑑𝑑𝑑𝑑 với A là ma trận 10×10. Ma trận 𝑻𝑻 𝒎𝒎 được chia thành 4 block kích thước 5×5 𝑻𝑻 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝒎𝒎 =𝒆𝒆 𝑨𝑨 𝒎𝒎 𝑳𝑳 =� � (13) 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒎𝒎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑻𝑻−𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝑻𝑻−𝟏𝟏 Từ ta (14) tìm được ma trận độ cứng động lực 𝑲𝑲(𝝎𝝎) 𝑚𝑚 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 � 𝑻𝑻 − 𝑻𝑻 𝑻𝑻−𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝑻𝑻−𝟏𝟏 𝑚𝑚 𝟏𝟏𝟏𝟏 (14) 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 2.5. Ma trận độ cứng động lực học của vỏ nón có gân gia cường Xét vỏ nón FGM với một gân gia cường bên ngoài (xem Hình 2). Sử dụng mô hình CE, cấu trúc phức tạp này được chia thành ba phần tử liên tục: một phần tử vỏ nón có chiều dài L, một phần tử gân động 𝐾𝐾1𝑐𝑐 ( 𝜔𝜔), 𝐾𝐾𝑟𝑟𝑟𝑟 ( 𝜔𝜔), 𝐾𝐾2𝑐𝑐 ( 𝜔𝜔),tương ứng. Đầu tiên, cần đánh giá riêng ma trận độ cứng động và một phần tử vỏ nón khác có chiều dài L2. Các phần tử này được biểu diễn bằng ba ma trận độ cứng 𝐾𝐾1𝑐𝑐 ( 𝜔𝜔), 𝐾𝐾𝑟𝑟𝑟𝑟 ( 𝜔𝜔), 𝐾𝐾2𝑐𝑐 ( 𝜔𝜔). Sau đó, quy trình lắp ghép của ma trận độ cứng động K(𝜔𝜔) đối với vỏ nón với gân gia cường được trình bày trong Hình 3. Từ 𝐾𝐾( 𝜔𝜔) này, tần số tự nhiên của vỏ nón có gân gia cường sẽ được trích xuất ra từ đường cong đáp ứng. Hình 2. Vỏ nón FGM với gân gia cường ngoài Hình 3. Mô hình ghép nối của phần tử hình nón với gân gia cường
134 150 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục 3. Kết quả nghiên cứu Các kết quả của nghiên cứu được lập trình bằng Matlab sẽ được so sánh với các nghiên cứu có trước và với kết quả mô phỏng bằng Ansys. Trước hết, kết quả của chúng tôi sẽ được xác nhận bằng cách so sánh với các nghiệm thu được từ các nghiên cứu khác. Do thiếu các nghiên cứu về vỏ nón FGM với gân gia cường trên nền đàn hồi, các nghiệm của CEM được so sánh với nghiên cứu [2] trên hình trụ FGM với một gân gia cường và của [3, 4] trên vỏ nón FGM. Ở đây, cấu trúc vỏ và gân được làm bằng cùng một vật liệu FGM được mô tả trong Bảng 1. 3.1. So sánh kết quả của các phương pháp với các nghiên cứu khác Bảng 2 trình bày so sánh các kết quả CEM với các nghiệm [1] sử dụng phương pháp Ritz và lý thuyết vỏ mỏng Sander cho vỏ hình trụ FGM với một gân gia cường. Kích thước của vỏ và gân là: L = 51.12 cm, R = 21.62 cm, R r = h r = h = 0.15 cm, điều kiện biên một đầu ngàm một đầu tự do được sử steel với đặc tính (𝑎𝑎 = 1⁄ 𝑏𝑏 = 0.5⁄ 𝑐𝑐 = 2⁄ 𝑝𝑝 = 5) (FGM I ). L1 là khoảng cách từ đầu bên trái của vỏ dụng trong trường hợp này. Vỏ và gân được làm từ vật liệu FGM kết hợp giữa Zicronia và Stainless đến vị trí của gân gia cường. Trong trường hợp này, mô hình phần tử liên tục được của chúng tôi cho vỏ nón FGM có gân gia cường có thể được sử dụng để mô hình hóa cho vỏ hình trụ có gân gia cường bằng cách đặt một giá trị rất nhỏ của α và α = 1° được chọn trong nghiên cứu này. Sai số rất nhỏ thu được từ hai phương pháp (dưới 1%) xác nhận độ chính xác và độ tin cậy của CEM trong nghiên cứu dao động tự do của vỏ FGM hình nón có gân gia cường. Bảng 1. Thông số vật liệu được sử dụng trong nghiên cứu Material E(GPa) υ 𝜌𝜌(𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 ) Si 3 N 4 322.27 0.24 2370 Nickel 205.98 0.31 8900 Zirconia 244.27 0.28 5700 Strainless 201.04 0.3262 8166 Steel (m=1, n=1), (L = 51.12 cm, R = 21.62 cm, R r =h r =h = 0.15 cm , B. C. : F − C), Material 1 Bảng 2. So sánh tần số dao động riêng (Hz) của vỏ FGM hình trụ với một gân gia L 1 /L [1] Present Errors (%) 0 120.8574 119.7276 0.93 0.2 158.7590 158.3592 0.25 0.5 294.2014 293.8351 0.12 0.8 533.7894 533.0724 0.13 1 415.6396 414.9329 0.17 Ω = 𝜔𝜔𝑅𝑅2 �𝜌𝜌 (1 − 𝜇𝜇2 )⁄ 𝐸𝐸 của vỏ nón đẳng hướng điều kiện biên C-C không có gân gia cường so với Tiếp theo để xác nhận độ chính xác của phương pháp, chúng tôi sử dụng tần số không thứ nguyên các kết quả phân tích được công bố trước đây [2] sử dụng phương pháp cầu phương vi phân tổng quát
135 151 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục (GDQ) và [3] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và quy trình Rayleigh – Ritz. Kế quả được thể hiện ở bảng 3.Trong trường hợp này số mũ lũy thừa p được đặt thành 0 để vật liệu FGM trở thành dữ liệu đẳng hướng đồng nhất. 3.2. So sánh kết quả với kết quả phần tử hữu hạn (FEM) Trường hợp kiểm nghiệm thứ hai, chúng tôi so sánh kết quả giữa CEM và phương pháp phần = 4R với điều kiện biên ngàm 2 đầu (C-C) trên nền đàn hồi Winkler Kw = 15e4 (𝑁𝑁/𝑚𝑚3 ). Vỏ và gân tử hữu hạn (FEM). Mô hình sử dụng ở đây là vỏ hình trụ composite có h = 0,0254m, R / h = 0.1, L được làm từ cùng một vật liệu có thông số 𝐸𝐸1 = 138𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐸𝐸2 = 𝐸𝐸3 = 8.96𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 12 = 13 = 7.1𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 23 = 3.45𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝜈𝜈12 = 0.3, 𝜌𝜌 = 1645 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 . Bảng 3. So sánh tần số không thứ nguyên Ω = 𝜔𝜔𝑅𝑅2 �𝜌𝜌 (1 − 𝜇𝜇2 )⁄ 𝐸𝐸 của vỏ nón không có gân gia 𝐺𝐺 𝐺𝐺 𝐺𝐺 cường với điều kiện biên C-C (𝛼𝛼 = 45°, ℎ⁄ 𝑅𝑅2 = 0.01, 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ⁄ 𝑅𝑅2 = 0.5, 𝑚𝑚 = 1) n 0 1 2 3 4 5 6 7 [2] 0.8732 0.8120 0.6696 0.5428 0.4566 0.4089 0.3963 0.4143 [3] 0.8726 0.8117 0.6694 0.5427 0.4564 0.4086 0.3958 0.4133 Present 0.8358 0.7938 0.6834 0.5674 0.4814 0.4306 0.4151 0.4295 Bảng 5. So sánh tần số dao động riêng (Hz) của vỏ composite được ngàm 2 đầu trên nền đàn hồi Winkler giữa CEM và FEM (Ansys) (h=0.0254m, R/h=0.1, L=4R, layers [0o/90o/90o/0o]. Mode ANSYS (60x40) ANSYS (120x80) CEM Error(%) 1 530.68 530.68 530.2 0.09 2 661.08 661.07 660.4 0.10 3 735.82 735.82 734.9 0.13 4 1013.9 1013.9 1013.5 0.04 5 1045.0 1045.0 1043.8 0.11 6 1063.6 1063.6 1059.6 0.38 7 1295.7 1295.6 1292.9 0.21 8 1457.8 1457.8 1455.8 0.14 9 1527.2 1527.2 1525.0 0.14 10 1624.8 1624.5 1613.6 0.67 Từ những so sánh này, chắc chắn có thể xác định rằng các kết quả hiện tại rất phù hợp với các kết quả trong tài liệu sẵn có. 3.3. Khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số
136 152 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục Trong phần này chúng tôi sẽ sử dụng mô hình vỏ nón FGM có 2 gân gia cường trong để khảo sát FGM được tạo nên bởi Zicronia và Stainless steel (𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝐼𝐼 ) 𝐸𝐸 = 244.27𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐸𝐸 𝑠𝑠 = 201.04, 𝜈𝜈 = sự thay đổi của các thông số ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của vỏ. Vỏ nón được làm từ vật liệu 0.28, 𝜈𝜈 𝑠𝑠 = 0.3262, 𝜌𝜌 = 5700 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 , 𝜌𝜌 𝑠𝑠 = 8166 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 với thông số hình học: 𝑅𝑅1 = 1𝑚𝑚, 𝐻𝐻 = 3𝑚𝑚, 𝑅𝑅 𝑐𝑐 = ℎ = 0.1𝑚𝑚. 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 Đầu tiên ta khảo sát sự thay đổi của việc thay đổi hệ số kw của nền đàn hồi với các giá trị kw = 0 tương ứng với không có nền đàn hồi, và các giá trị kw = 1.5e8, kw = 1.5e9, kw = 1.5e10 và kw = 1.5e11. Các tần số dao động cộng hưởng tại các mode được biểu diễn tại bảng 6 và hình 4. 𝐸𝐸 = 244.27𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐸𝐸 𝑠𝑠 = 201.04, 𝜈𝜈 = 0.28, 𝜈𝜈 𝑠𝑠 = 0.3262, 𝜌𝜌 = 5700 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 , 𝜌𝜌 𝑠𝑠 = 8166 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 Bảng 6. Ảnh hưởng của nền đàn hồi đến dao động riêng của vỏ nón FGM có gân gia cường với ( 𝑎𝑎 = 1⁄ 𝑏𝑏 = 0.5⁄ 𝑐𝑐 = 2⁄ 𝑝𝑝 = 1), 𝑅𝑅1 = 1𝑚𝑚, 𝐻𝐻 = 3𝑚𝑚, 𝑅𝑅 𝑐𝑐 = ℎ = 0.1𝑚𝑚. Điều kiện biên F-C 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 Mode kw = 0 kw = 1.5e8 kw = 1.5e9 kw = 1.5e10 kw = 1.5e11 1 132.3 132.8 247.3 495.3 719.4 2 196.5 197.3 256.5 514.5 759.5 3 227.9 228.8 317.5 596.7 793.9 4 293.6 294.1 367.7 656.6 1065.2 5 303.1 303.8 368.9 695.4 1259.6 6 309.5 310.2 382.4 729.8 1325.8 7 380.4 381.0 442.1 754.0 1497.3 8 417.8 418.3 453.3 806.1 1510.0 10 462.2 462.5 483.0 843.3 1549.7 Tần số cộng hưởng tại các mode 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mode dao động kw = 0 kw = 1.5e9 kw = 1.5e10 kw = 1.5e11 Hình 4. Tần số dao động cộng hưởng tại khi thay đổi kw đến 𝑘𝑘 𝑤𝑤 = 1.5𝑒𝑒8, nhưng khi tăng tiếp từ 𝑘𝑘 𝑤𝑤 = 1.5𝑒𝑒8 tần số dao động của vỏ có sự ảnh hưởng lớn và rõ Từ kết quả thu được, ta nhận thấy tần số dao động của vỏ hầu như không thay đổi khi tăng từ 0
137 153 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục rệt. Nhưng khi tăng giá trị 𝑘𝑘 𝑤𝑤 đến một mức đủ lớn thì vỏ gần như sẽ không có dao động nữa, khi đó ảnh hưởn của nền đàn hồi giống như điều kiện biên ngàm vậy. 𝑝𝑝 = 1, 𝑝𝑝 = 5, 𝑝𝑝 = 20, 𝑝𝑝 = 100. Kết quả so sánh được biểu diễn ở bảng 7. Thứ 2 ta sẽ khảo sát sự thay đổi của tần số cộng hưởng khi thay đổi hệ số vật liệu p, tại 5 giá trị Trong Bảng 7 và Hình 5 cho thấy khi p tăng, tần số riêng giảm. Rõ ràng là khi p tăng lên, tốc độ thay đổi thành phần vật liệu thay đổi, dẫn đến sự thay đổi tỷ lệ giữa gốm và kim loại. Khi p tăng, tỷ lệ vật liệu thay đổi từ các thành phần gốm phong phú sang các thành phần giàu kim loại. Do đó, FGM gốm giàu có độ cứng cao hơn các vật liệu giàu kim loại. 𝐸𝐸 = 244.27𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐸𝐸 𝑠𝑠 = 201.04, 𝜈𝜈 = 0.28, 𝜈𝜈 𝑠𝑠 = 0.3262, 𝜌𝜌 = 5700 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 , 𝜌𝜌 𝑠𝑠 = 8166 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 Bảng 7. Ảnh hưởng của số mũ p đến dao động riêng của vỏ nón FGM có gân gia cường với ( 𝑎𝑎 = 1⁄ 𝑏𝑏 = 0.5⁄ 𝑐𝑐 = 2⁄ 𝑝𝑝 = 5), 𝑅𝑅1 = 1𝑚𝑚, 𝐻𝐻 = 3𝑚𝑚, 𝑅𝑅 𝑐𝑐 = ℎ = 0.1𝑚𝑚. Điều kiện biên F-C 𝑝𝑝 = 1 𝑝𝑝 = 2 𝑝𝑝 = 5 𝑝𝑝 = 20 𝑝𝑝 = 100 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 Mode 1 132.3 125.1 117.1 112.3 110.7 2 197.5 186.2 173.2 166.5 164.6 3 227.8 215.2 201.5 192.1 189.4 4 293.6 277.4 260.6 248.4 244.9 5 303.4 287.8 268.4 257.6 253.8 6 310.9 293.6 275.6 263.2 258.4 7 380.1 360.7 337.9 323.3 317.5 8 417.0 394.5 368.8 353.4 349.3 10 422.3 400.3 375.3 358.7 351.2 Sau khi thay đổi các hệ số vật liệu và hệ số nền đàn hồi, ta sẽ xem xét thay đổi cấu hình của vỏ bằng cách thay thế lần lượt các gân trong ngoài thành các trường hợp như sau: hai gân trong, 1 gân trong cùng 1 gần ngoài và cuối cùng là 2 gân ngoài. Kết quả so sánh được biểu diễn ở bảng 8. 𝐸𝐸 = 244.27𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐸𝐸 𝑠𝑠 = 201.04, 𝜈𝜈 = 0.28, 𝜈𝜈 𝑠𝑠 = 0.3262, 𝜌𝜌 = 5700 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 , 𝜌𝜌 𝑠𝑠 = 8166 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄ 𝑚𝑚3 Bảng 8. Ảnh hưởng của vị trí gân đến dao động riêng của vỏ nón FGM có gân gia cường với , 𝑅𝑅1 = 1𝑚𝑚, 𝐻𝐻 = 3𝑚𝑚, 𝑅𝑅 𝑐𝑐 = ℎ = 0.1𝑚𝑚. Điều kiện biên F-C 1 â𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 2 â𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 1 â𝑛𝑛 à𝑖𝑖 2 â𝑛𝑛 à𝑖𝑖 𝑔𝑔 Mode 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑔𝑔 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1 132.3 142.1 144.0 2 197.5 196.2 196.5 3 227.4 231.4 234.3 4 293.8 293.9 293.6 5 303.6 300.5 300.4 6 310.6 304.6 308.8 7 380.4 376.8 379.9 8 417.9 430.2 415.1 10 422.1 461.4 429.7
138 154 Phân tích dao động của vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử liên tục Từ kết quả của bảng 8 ta có thể thấy vị trí của gân gia cường hầu như không ảnh hưởng nhiều đến tần số dao động riêng của vỏ điều này đem lại ứng dụng rất lớn trong việc thiết kế mô hình gân trong hay gân ngoài để phù hợp với điều kiện thực tế và có thể giảm chi phí chế tạo. 4. Kết luận và hướng phát triển Trong nghiên cứu này, một ma trận độ cứng động lực học mới đã được xây dựng thành công để phân tích vỏ nón FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi. Các kết quả thu được chỉ ra rằng CEM cho phép tính toán các tần số tự nhiên của phân tích dao động vỏ FGM với độ chính xác cao cho bất kỳ dải tần số nào. Thông qua các trường hợp thử nghiệm khác nhau, có thể thấy rằng phương pháp phần tử liên tục có thể được sử dụng một cách hiệu quả để phân tích các vỏ nón FGM có gân tăng cứng trong khi hầu hết các phương pháp hiện tại khác đều gặp khó khăn lớn do số độ quan trọng và tin cậy của lượng phần tử chia lưới cũng như độ phức tạp của các cấu trúc đã nghiên cứu. Ảnh hưởng của quy luật phân bố lũy thừa và nền đàn hồi cũng đã được chỉ ra. Sự phát triển của mô hình CE có thể được phát triển để giải các bài toán kết cấu vỏ liên hợp nón trụ FGM có hoặc không có gân gia cường trên nền đàn hồi. Tài liệu tham khảo [1] G.H. Rahimi, R. Ansari and M. Hemmatnezhad. (1981). Vibration of functionally graded cylindrical shells with ring support. Scientia Iranica, 18(6), (2011), pp. 1313-132. [2] Francesco Tornabene. Free vibration analysis of functionally graded conical, cylindrical shell and annular plate structures with a four-parameter power-law distribution. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198, (2009), pp. 2911-2935. [3] Zhu Su, Guoyong Jin, Shuangxia Shi, Tiangui Ye, Xingzhao Jia. A unified solution for vibration analysis of functionally graded cylindrical, conical shells and annular plates with general boundary conditions. International Journal of Mechanical Sciences, 80, (2014), pp. 62-80. [4] Xiang Xie, Guoyong Jin, Tiangui Ye, Zhigang Liu. Free vibration analysis of functionally graded conical shells and annular plates using the Haar wavelet method. Applied Acoustics, 85, (2014), pp.130-142. [5] A. H. Sofiyev, H. Halilov, and N. Kuruoglu. Analytical solution of the dynamic behavior of non-homogenous orthotropic cylindrical shells on elastic foundations under moving loads. Journal of Engineering Mathematics, 69, (4), (2011), pp. 359–371. [6] E. Bagherizadeh, Y. Kiani, and M. R. Eslami. Mechanical buckling of functionally graded material cylindrical shells surrounded by Pasternak elastic foundation. Composite Structures, 93, (11), (2011), pp. 3063–3071. [7] A.M. Al-Najafi, G.B. Warburton, Free vibration of ring-stiffened cylindrical shells. Journal of Sound and Vibration, 13, (1970), pp. 9–25. [8] Narita Y., Ohta Y., Saito M., Finite element study for natural frequencies of cross-ply lami-nated cylindrical shells. Composite Structures, 26, (1993), 55-62. [9] N. M. Cuong, L. Q. Vinh, T. I. Thinh, and N. T. T. Hoan. Continuous element formulation for composite combined conical-cylindrical shells on elastic foundations. In Proceeding of the 12th National Conference on Mechanics, Da Nang, Vietnam, (2015), pp. 281–288. [10] Tran Ich Thinh, Manh Cuong Nguyen, Dinh Gia Ninh, Dynamic stiffness formulation for vibration analysis of thick composite plates resting on non-homogenous foundations. Composite Structures, 108 (2014), pp. 684–695. [11]. Nguyen Dong Anh, Le Quang Vinh, Nguyen Manh Cuong and Vu Quoc Hien. Dynamic analysis of FGM conical shells surrounded by pasternak elastic foundations. The 3rd Int. Conf. on Transport Infrastructure & Sustainable Development, (2019)