Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu "Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3" trình bày một phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi. Các phương trình cơ bản được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 của Reddy. Vật liệu FGM khảo sát được cấu tạo từ hai thành phần là gốm và kim loại, trong đó tỷ phần thể tích của mỗi thành phần vật liệu biến đổi theo quy luật lũy thừa của biến chiều dày. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3

493 599 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 Phạm Minh Vương1,*, Nguyễn Đình Đức2 1 Trường Đại Học Xây Dựng Hà Nội 2 Trường Đại Học Công Nghệ, Đại Học Quốc Gia Hà Nội *Email: vuongpm@huce.edu.vn Tóm tắt. Nghiên cứu này trình bày một phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi. Các phương trình cơ bản được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 của Reddy. Vật liệu FGM khảo sát được cấu tạo từ hai thành phần là gốm và kim loại, trong đó tỷ phần thể tích của mỗi thành phần vật liệu biến đổi theo quy luật lũy thừa của biến chiều dày. Phương pháp Galerkin được sử dụng để biến đổi hệ phương trình đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường. Sau đó phương pháp Runge-Kutta được sử dụng để giải số hệ phương trình vi phân thường để thu được đáp ứng động lực của vỏ. Từ đó, các khảo sát số nhằm tìm ra các đặc trưng dao động của vỏ sẽ được thực hiện. Từ khóa: Dao động, vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi, lý thuyết biến dạng cắt bậc ba, phương pháp Galerkin. 1. Mở đầu Những năm gần đây, những vấn đề về phân tích tĩnh và động của kết cấu tấm vỏ có độ dày thay đổi đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học. Efraim và Eisenberger [1] đã nghiên cứu dao động của tấm có độ dày thay đổi. Dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển, Koiter và các cộng sự [2] đã nghiên cứu ổn định của vỏ trụ có độ dày thay đổi theo quy luật tuần hoàn chịu tác dụng của lực nén dọc trục. Trong nghiên cứu [2] các tác giả sử dụng tiêu chuẩn năng lượng và phương pháp bắn cải tiến (modified shooting method). Sử dụng phương pháp Bubnov–Galerkin và phương pháp nhiễu (perturbation method), Nguyễn và cộng sự [3] đã thực hiện một nghiên cứu về ổn định của vỏ trụ tròn có độ dày thay đổi chịu tác dụng của áp lực ngoài. Các nghiên cứu ở trên sử dụng lý thuyết tấm, vỏ cổ điển, thích hợp để phân tích các kết cấu mỏng. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cũng đã được sử dụng để nghiên cứu ổn định và dao động của tấm và vỏ có độ dày thay đổi. Özgür và Hasan [4] dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) để nghiên cứu đáp ứng tĩnh của panels composite. Cũng sử dụng FSDT, Nasrekani and Eipakchi [5] đã tính toán chuyển vị của vỏ trụ có độ dày thay đổi chịu tác dụng của áp lực ngoài và lực nén dọc trục. Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là một loại vật liệu mới được tạo ra từ hai hay nhiều vật liệu thành phần. Hiện nay loại vật liệu này đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như quốc phòng, an ninh, y học, …Các bài toán về dao động và ổn định của các kết cấu tấm vỏ FGM có độ dày thay đổi cũng đã được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Đức và Phúc [6] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba để nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến ổn định của tấm FGM sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. Phú và cộng sự [7] sử dụng lý thuyết vỏ Donell cải tiến để nghiên cứu dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thây đổi tuyến tính theo hướng đường sinh. Nghiên cứu này là sự mở rộng của nghiên cứu [7] cho vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi tuyến tính theo hướng đường sinh sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Reddy (TSDT) [8] để tính toán các đặc trưng dao động của vỏ như tần số dao động tự do tuyến tính, đáp ứng động lực.
494 600 Phạm Minh Vương, Nguyễn Đình Đức 2. Các phương trình cơ bản Khảo sát vỏ trụ có độ dài L , bán kính R , độ dài thay đổi theo hướng đường sinh h = h ( x ) như mô tả ở hình 1. Vỏ được làm từ vật liệu FGM phía trong là gốm, phía ngoài là kim loại. R z hmin z y x x L q hmax Hình 1. Mô hình vỏ trụ có độ dày thay đổi Quy luật vật liệu: modul đàn hồi Young và khối lượng riêng của hiệu dụng được xác định theo quy luật [7]:  2z + h ( x)  h( x) h( x) k E ( x,z ) = Em + ( Ec − Em )   2h ( x )  ,k ≥ 0 , − 2 ≤ z ≤ 2  (1)    2z + h ( x)  h( x) h( x) k ρ ( x,z ) = ρ m + ( ρc − ρ m )   2h ( x )  ,k ≥ 0 , − 2 ≤ z ≤ 2  (2)   Hệ số Poisson ν được giả thiết là hằng số. m và c ký hiệu cho thành phần kim loại và gốm. Số mũ k được gọi là chỉ số thể phần thể tích. Các thành phần biến dạng tại một điểm trong vỏ được xác định theo TSDT như sau [8]:  ∂w0   ε x   ε x   kx  0 (1)  k x3)  (  φx +     0   (1)  3  ( 3)  8 z 3 h,x  ∂x   ε y  =ε y  + z  k y  + z  k y  +  0 ,    0      3h3    γ xy   γ   (1)   k xy )  (3  φ + ∂w0     xy   k xy     y ∂y  (3)   ( 2)  γ xz   γ xz  2  k xz  0 =  0 + z  2       γ yz  γ    yz   k yz )  (   Trong đó
495 Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 601   (  ε x   u,x + w,x / 2   k x1)   φ 2 ( 3) 0   kx   φx ,x + w,xx       x ,x  ( 3)   4    v − w + w2 / 2  , k (1)  = φ  ε y  = ,y  , k y  = 2  φ y ,y + w,yy − 0  0    y   ,   ( 3)  ,y y ,y R  3h    γ xy   u + v + w w   k (1)   φx ,y + φ y ,x   k   ,y   xy     xy   φx ,y + φ y ,x + 2 w,xy       ,x ,x ,y  (4)  k xz )  (2 4  φx + w,x   γ xz   φx + w,x  0  = = − 2 ,  0  .  k yz )  (2 h  φ y + w,y   γ yz   φ y + w,y          Với u,v,w,ε x ,ε y ,γ xy là các thành phần chuyển vị và biến dạng tại mặt giữa, φx ,φ y là là các góc quay 0 0 0 của pháp tuyến mặt giữa đối với trục y và x tương ứng. Trường ứng suất và các thành phần nội lực của vỏ được xác định như sau:  σ xy   γ xy   σ x  E ( x,z )  ε x + νε y    E ( x,z )    σ y  1 − ν 2  ε + νε  ,  σ xz  2 (1 + ν )  γ xz  = =    y  (5)    x   γ   σ yz   yz  h( x ) / 2 h( x ) / 2 ( Ni ,M i ,Pi ) = ∫ (1,z,z ) dz, ( Qi ,Ri ) σi = 3 ( ∫ σ iz 1,z dz, i = x, y, 2 ) − h( x ) / 2 − h( x ) / 2 (6) h( x ) / 2 (N xy ,M xy ,Pxy )= ∫ σ xy (1,z,z ) dz, 3 − h( x ) / 2 Hệ phương trình chuyển động của vỏ trụ FGM theo TSDT có dạng [8]:   v  N x,x + N xy ,y =I1u + I 2φx − I 3 w,x ,N y ,y + N xy ,x =I1/ 0 + I 2/ φ y − I 3/ w,y   (7) ( ) ( ) Qx ,x + Qy ,y − 3λ Rx ,x + Ry ,y + λ Px ,xx + 2 Pxy ,xy + Py ,yy + N y /R + N x w,xx + 2 N xy w,xy (8)     v   ( + N y w,yy = I1w0 + 2ε I1w0 + I 3u,x + I 5φx ,x + I 3/ ,y + I 5/ φ y ,y − λ 2 I 7 w,xx + w,yy  ) ( )  M x ,x + M xy ,y − Qx + 3λ Rx − λ Px ,x + Pxy ,y = I 2u + I 4φx − I 5 w,x   (9) ( / v )/  M y ,y + M xy ,x − Qy + 3λ Ry − λ Py ,y + Pxy ,x = I 2 0 + I 4 φ y − I 5/ w,y  (10) Trong đó: 2I 2 2  4   4   4  h3 4I I1 = I1h, I1/ I1h + = h , =  I 2 − I 4  h 2 , I 2/ =  I 2 − I 4  h 2 +  I 3 − I 5  , I 3 = 4 h 2 I2 R  3   3   3 R 3 4I 4I 4 2 4I5 3  8 I 16   4 I 16  4 + 5 h3 ( x ) , I 3/ = h + h , I 4 =I 4/ = I 3 − 5 + I 7  h3 , I= I=  5 − I 7  h3 , λ = 2 ,  5 / 5 3a 3 3R  3 9   3 9  3h h/ 2 1 Ii = 1, 2 ,3, 4 ,5,7 ) , ε là hệ số cản. ∫ ρ ( x,z ) z dz,( i i −1 hi − h / 2 Thay hệ thức biến dạng ở phương trình (4) vào hệ thức ứng suất ở phương trình (5), sau đó thay kết quả vừa tìm được vào hệ thức nội lực (6) sẽ thu được hệ thức các thành phần nội lực theo các
496 602 Phạm Minh Vương, Nguyễn Đình Đức thành phần chuyển vị. Tiếp tục thay các hệ thức nội lực vừa tìm được vào hệ phương trình chuyển động (7-10) sẽ dẫn đến hệ phương trình chuyển động viết theo chuyển vị như sau:  ( )  H11 ( u ) + H12 ( v ) + H13 ( w ) + H14 (φx ) + H15 φ y =I1u + I 2φx − I 3 w,x  (11) ( ) v /  H 21 ( u ) + H 22 ( v ) + H 23 ( w ) + H 24 (φx ) + H 25 φ y = I1/ 0 + I 2 φ y − I 3/ w,y  (12) H 31 ( u ) + H 32 ( v ) + H 33 ( w ) + H 34 (φx ) + H 35 φ y ( ) + H 36 ( u,w ) + H 37 ( v,w ) + H 38 (φx ,w ) + H 39 φ y ,w ( ) (13) I     v  = 1w + 2ε I1w + I 3u,x + I 5φx ,x + I 3/ ,y + I 5/ φ y ,y − c 2 I 7 w,xx + w,yy   ( ) ( )   H 41 ( u ) + H 42 ( v ) + H 43 ( w ) + H 44 (φx ) + H 45 φ y =I 2u + I 4φx − I 5 w,x  (14) ( ) / v /  H 51 ( u ) + H 52 ( v ) + H 53 ( w ) + H 54 (φx ) + H 55 φ y = I 2 0 + I 4 φ y − I 5/ w,y  (15) Trong đó các toán tử Hij được xác định như sau: E1 E1 E1ν E1 H11 ( u ) =  hu,x  ,x + 2   hu,yy , H12 ( v ) =  hv,y  + 2   ,x 2 (1 + ν ) hv,xy , 1 −ν 2 (1 + ν ) 1 −ν − E1 ν 2cE = H13a ( w ) + H13b ( w ) , H13a ( w ) = H13 ( w ) [ hw],x + 42  hh,x w,x  ,x , 1 −ν R2 1 −ν   =H13b ( w ) ( E1 2 1 −ν 2 )  ( h w 2 +ν w  ( ,x ) ,y ( ) 2 )  + E1h w w (  ,x 2 (1 + ν ) ,x ,y ,y  ) E − cE . H14 (φx ) = 2 2 4  h 2φx ,x  , 1 −ν   ,x E2 − cE4 E − cE4 2 ( ) cE4 H15 φ y = ν  h 2φ y ,y  + 2   ,x 2 (1 + ν ) h φ y ,xy + 1 + ν hh,xφ y ,y , 1 −ν 2 E1ν E1 E1 E1 H 21 ( u ) = hu,xy +  hu,y  . H 22 ( v ) = hv,yy +  hv,x  ,x , 1 −ν 2 2 (1 + ν )   ,x 1 −ν 2 2 (1 + ν )   ( ) E1 1 cE4 2 cE = H 23a ( w ) + H 23b ( w ) , H 23a ( w ) = − H 23 ( w ) hw,y − h w,yyy + ν w,xxy − 4  h 2 w,xy  , 1 −ν R 2 1 −ν 2 1 +ν   ,x ( E − cE4 )ν h 2φ , H 23b ( w ) = E1 1 −ν 2 ( h w,y w,yy + ν w,x w,xy ) + E1 2 (1 + ν )  hw,x w,y  . H 24 (φx ) = 2   ,x 1 −ν 2 x ,xy E2 − cE4 2 Eh ν cE ν ( ) cE cE4 H 25 φ y = h φ y ,yy + 4  hh,xφ y  . H 31 ( u ) = 1 2 u,x +   ,x  h 4u,x  + 4 2 h 4u,xyy , 2   ,xx 1 − ν 1 −ν 2 1 +ν 1 −ν R 1 −ν E1h 1 cE4ν 4 cE4ν 4 H 32 ( v ) = v,y +  h v,y  +  ,xx 1 − ν 2 h v,yyy , 1 −ν 2 R 1 −ν 2  E − 3cE3  ( ,x ) ,x E 1 H 33 ( w ) = H 33a ( w ) + H 33b ( w ) + H 33c ( w ) , H 33a ( w ) = 1 hw + hw,yy  − 1 2 2 hw , 2 (1 + ν )  1 −ν R =H 33b ( w ) E1h 2 (1 − ν ) 2 ν  2 1 ( ) ( )  R ( w,x ) + R w,y (( w ) +ν ( w ) ) 2 + cE4  4  2 1 −ν 2   h ,x 2 ,y 2 ,xx + 2cE4 2 1 +ν ( h w,xy ) 2 , ( ( ) +ν ( w ) ) w + (( w ) +ν ( w ) ) w  , Eh  H 33c ( w ) 2 2 2 2 = 1 w 2 (1 − ν )    2 ,x ,y ,xx ,y ,x ,yy
497 Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 603 E2 − cE4 ν 2 c ( E5 − cE7 ) 5 cν ( E5 − cE7 ) 5 E − 3cE3 H 34 (φx ) = h φx ,x +  h φx ,x  +   ,xx h w,xyy + 1 [ hφx ],x , 1 −ν 2 R 1 −ν 2 1 −ν 2 2 (1 + ν ) E2 − cE4 1 2 cν ( E5 − cE7 ) 5 c ( E5 − cE7 ) 5 ( ) H 35 φ y = 1 −ν 2 R h φ y ,y + 1 −ν 2  h φ y ,y  +   ,xx 1 +ν  h φ y ,xy  ,   ,x ( ) ( ) Eh 2cE7 Eh H 36 ( u,w ) = 1 2 u,x w,xx + ν w,yy − hu,y w,xy . H 37 ( v,w ) = 1 2 v,y w,yy + ν w,xx , 1 −ν 1 +ν 1 −ν E − cE E − cE4 2 H 38 (φx ,w ) = 2 2 4 h 2φx ,x w,xx + ν w,yy + 2 1 −ν ( 1 +ν h φx,y w,xy + ) 2cE4 1 −ν 2 hh,xφx w,xx + ν w,yy , ( ) E − cE E − cE4 2 ( ) ( ) 2cE4 H 39 φ y ,w = 2 2 4 h 2φ y ,y w,yy + ν w,xx + 2 h φ y ,y w,xy + hh,x w,xyφ y , 1 −ν 1 +ν 1 +ν E2 E2 cE4 cE4 H 41 ( u ) =  h 2u,x  + 2   4   ,x 2 (1 + ν ) h u,yy − 1 − ν 2  h u,x  ,x − 2 (1 + ν ) h u,yy , 2 4 1 −ν ν E2 E2 cν E4 4 cE4 H 42 ( v ) =  h 2 v,y  + 2     ,x 2 (1 + ν ) h v,xy − 1 − ν 2  h v,y  ,x − 2 (1 + ν ) h v,xy , 2 4 1 −ν = H 43a ( w ) + H 43b ( w ) , H 43 ( w ) − E2 ν 2 ( ) cE5 cE5 3 H 43a ( w ) =  h w −   3   ,x 1 − ν 2  h w,xx + ν w,yy  ,x − 1 + ν h w,xyy 1 −ν R2  E1 − 3cE3 E3 − 3cE5 3  ∂w0 cE4  1 ν  ∂  h w c E7 5 4 2 + − h + 3c h  + +    + 2  h w,xyy ,  2 (1 + ν )  2 (1 + ν )  ∂x 1 − ν  a R  ∂x  1 +ν E h2 H 43b ( w ) = E2 h (  h 2 w,xx + ν w,yy  + 2 w w ) ( ) − cE4 (  h 4 w,xx + ν w,yy  , ) ( 2 1 −ν 2 )   ,x 2 (1 + ν ) ,x ,y ,y ( 2 1 −ν 2  )  ,x E3 − cE5 3 E3 − cE5 3 E − cE E5 − cE7 5 H 44 (φx ) = 1 −ν 2 h φx ,x ( ) ,x + 2 (1 + ν ) h φx ,yy −c 5 2 7 h5φx ,x 1 −ν ( ) ,x −c 2 (1 + ν ) h φx ,yy , E3 − cE5 3 E3 − cE5 3 E − cE ( ) H 45 φ y = ν 1 −ν 2 h φ y ,y ( ) ,x + 2 (1 + ν ) h φ y ,xy −cν 5 2 7 h5φ y ,y 1 −ν ( ) ,x + cE5 2 1 +ν h h,xφ y ,y , ν E2 2 H 51 ( u ) = E2 2 (1 + ν ) ( h 2u,y ) ,x + 1 −ν 2 h u,xy − cE4 2 (1 + ν ) ( h4u,y ),x − 1cν ν 42 h4u,xy , − E H 52 ( v ) = E2 2 (1 + ν ) ( h 2 v,x ) ,x + E2 2 1 −ν 2 h v,yy − cE4 2 (1 + ν ) h 4 v,x ( ) ,x − cE4 4 1 −ν 2 h v,yy , = H 53a ( w ) + H 53b ( w ) , H 53a ( w ) = − H 53 ( w ) cE5 3 1 +ν ( h w,xy ,x ) cE5 3 1 −ν 2 h w,yyy + ν w,xxy , − ( ) )( ) (( ) E2 h 2 cE4 h 4 H 53b ( w ) = E2 ( ) (w ) + ν ( w,xx ) w,yy + ν ( w,xx ) ) 2 2 2 2 h 2 w,x w,y + − , 2 (1 + ν ) ,x ( 2 1 −ν 2 ,yy ,y 2 (1 + ν ) ,y E3 − cE5 3 E3 − cE5 3 E − cE7 5 E5 − cE7 5 H 54 (φx ) = 2 (1 + ν ) h φx ,y ( ) ,x +ν 1 −ν 2 h φx ,xy −c 5 2 (1 + ν ) h φx ,y ( ) ,x −cν 1 −ν 2 h φx ,xy ,
498 604 Phạm Minh Vương, Nguyễn Đình Đức E3 − cE5 3 E3 − cE5 3 E − cE7 5 ( ) H 55 φ y = 2 (1 + ν ) (h φ y ,x ) ,x + 1 −ν 2 h φ y ,yy −c 5 2 (1 + ν ) ( h φ y ,x ) ,x + 1 +ν ( cE5 2 h h,xφ y ) ,x . c= 4 3 , h/ 2 ( E1 ,E2 ,E3 ,E4 ,E5 ,E7 ) = ∫ (1,z,z 2 ) ,z 3 ,z 4 ,z 6 E ( x,z ) dz . −h / 2 3. Phân tích dao động của vỏ trụ FGM Khảo sát vỏ trụ FGM có độ dày biến đổi tuyến tính theo hướng đường sinh, chịu liên kết tựa đơn ở hai đầu chịu tác dụng của áp lực ngoài có cường độ phân bố đều trên bề mặt với giá trị biến thiên điều hòa theo thời gian. Điều kiện biên là: w ,v φy = 0= 0 ,= 0 ,M x 0 , = 0 ,N xy 0 ,N x 0 tại x = 0 và x = L = Px = = (16) Nghiệm xấp xỉ được chọn như sau: mπ x ny u ( x, y,t ) = U ( t ) cos sin L R mπ x ny v ( x, y,t ) = V ( t ) sin cos L R mπ x ny w ( x, y,t ) = W ( t ) sin sin (17) L R mπ x ny φx ( x, y,t ) = Φ x ( t ) cos sin L R mπ x ny φ y ( x, y,t ) = Φ y ( t ) sin cos L R Trong đó U ( t ) , V ( t ) , W ( t ) , Φ x ( t ) và Φ y ( t ) là các đại lượng phụ thuộc vào thời gian. m và n là các số nửa sóng theo hướng x và hướng y . Thay phương trình (17) vào hệ phương trình chuyển động (11-15), thu được:    l11U + l12V + l13W + l14 Φ x + l15Φ y + l16W= l17U + l18Φ x + l19W 2 (18)    l21U + l22V + l23W + l24 Φ x + l25 Φ y + l26W = l27V + l28 Φ y + l29W 2 (19) l31U + l32V + l33W + l34 Φ x + l35Φ y + l36W 2 + l37UW + l38VW + l39 Φ xW + l310 Φ yW (20)       +l311W 3 + l312 q l313U + l314V + l315 Φ x + l316 Φ y + l317W + l318 w =    l41U + l42V + l43W + l44 Φ x + l45Φ y + l46W= l47U + l48Φ x + l49W 2 (21)    l51U + l52V + l53W + l54 Φ x + l55 Φ y + l56W = l57V + l58 Φ y + l59W 2 (22) Trong đó các hệ số có dạng: Với l11U H11 ( u ) ⊗ H = H12 ( v ) ⊗ H , l13W H13a ( w ) ⊗ H , = H14 (φx ) ⊗ H , = , l12V = l14 Φ x = ( ) , l16W 2  =   x  l15 Φ y H15 φ y ⊗ H = H13b ( w ) ⊗ H , l17U I1u ⊗ H , l18 Φ= I 2φx ⊗ H , l19W = ,x ⊗ H ,  − I w 3 
499 Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 605 = H 21 ( u ) ⊗ G= H 22 ( v ) ⊗ G , l23W H 23a ( w ) ⊗ G , = H 24 (φx ) ⊗ G , l21U , l22V = l24 Φ x = ( ) , l26W 2 = v  y   − I / w l25 Φ y H 25 φ y ⊗ G = H 23b ( w ) ⊗ G , l27V I1/  ⊗ G , l28 Φ= I 2/ φ y ⊗ G , l29W = ,y ⊗ G , 3  l31U = H 31 ( u )  G , l32V = H 32 ( v )  G , l33W = H 33a ( w )  G , l34 Φ x = 34 (φx )  G , H H ( ) l35 Φ y = 35 φ y  G , l36UW = H 36 ( u,w )  G , l37VW = H 37 ( v,w )  G , l38 Φ xW = (φx ,w )  G , H 38 l39 Φ W = (φ ,w )  G , l y H 39 y 310W 2 = H 33b ( w )  G , l311W 3 = H 33c ( w )  G , l312 = 1  G    I   I  l313U = I 3u,x  G , l314V = I 3/ ,y  G , l315 Φ x =5φx ,x  G , l316 Φ y =5/ φ y ,y  G ,  v  1  (   )  l317W =0 − c 2 h3 I 7 w,xx + w,yy   G , l318W = 2ε I1hw  G= H 41 ( u ) ⊗ H ,   I hw  , l41U = H 42 ( v ) ⊗ H , l43W H 43a ( w ) ⊗ H , = H 44 (φx ) ⊗ H , l45 Φ y H 45 φ y ⊗ H , l42V = l44 Φ x = ( ) l46W 2  U   = H 43b ( w ) ⊗ H , l47= I 2u ⊗ H , l48 Φ= I 4φx ⊗ H , l49W = ,x ⊗ H = H 51 ( u ) ⊗ G ,   − I w , l51U x 5 = H 52 ( v ) ⊗ G , l53W H 53a ( w ) ⊗ G , = H 54 (φx ) ⊗ G , l55 Φ y H 55 φ y ⊗ G , l52V = l54 Φ x = ( )     − I / w = H 53b ( w ) ⊗ G , l57V I 2/  ⊗ G , l58 Φ= I 4/ φ y ⊗ G , l59W = ,y ⊗ G . l56W 2 = v  y 5 L 2π R LπR mπ x ny mπ x ny Trong đó H = cos = sin L sin ,G R L =cos , A ⊗ B R ∫∫ = A.Bdxdy, A  B ∫ ∫ A.Bdxdy 0 0 0 0 Trong nghiên cứu này giả thiết dao động của vỏ theo hướng độ võng là dao động chính, vì vậy có thể cho về phải của các phương trình (18, 19, 21, 22) bằng không. Với giả thiết nêu trên, hệ phương trình (18-22) có thể được biến đổi về dạng: (1 + D1W )W + D2W + D3W 2 + D4W 3 + D5 q =  0 (23) Trong đó các hệ số D 1 -D 5 được xác định như sau: l37 H13 + l38 H 23 + l39 H 33 + l310 H 43 l H +l H +l +l H +l H D1 = , D2 = 31 11 32 21 33 34 31 35 41 , l31 H13 + l32 H 23 + l34 H 33 + l35 H 43 − l317 l31 H13 + l32 H 23 + l34 H 33 + l35 H 43 − l317 l H +l H +l H +l H +l H +l H +l H +l H D3 = 31 12 32 22 34 32 35 42 37 11 38 21 39 31 310 41 , l31 H13 + l32 H 23 + l34 H 33 + l35 H 43 − l317 l H +l H +l H +l H +l l312 D4 = 37 12 38 22 39 32 310 42 311 , D5 = . l31 H13 + l32 H 23 + l34 H 33 + l35 H 43 − l317 l31 H13 + l32 H 23 + l34 H 33 + l35 H 43 − l317  l13 l12 l14 l15   l16 l12 l14 l15   l19 l12 l14 l15        l l22 l24 l25  l l22 l24 l25  l l22 l24 l25  − det  23 − det  26 det  29  l43 l42 l44 l45   l46 l42 l44 l45   l49 l42 l44 l45        Với H11 =  l53 l52 l54 l55  , H12 =  l56 l52 l54 l55  , H13 =  l59 l52 l54 l55  , ∆ ∆ ∆  l11 l13 l14 l15   l11 l16 l14 l15   l11 l19 l14 l15        l l l24 l25  l l l24 l25  l l l24 l25  − det  21 23 − det  21 26 det  21 29  l41 l43 l44 l45   l41 l46 l44 l45   l41 l49 l44 l45        H 21 =  l51 l53 l54 l55  , H 22 =  l51 l56 l54 l55  , H 23 =  l51 l59 l54 l55  , ∆ ∆ ∆
500 606 Phạm Minh Vương, Nguyễn Đình Đức  l11 l12 l13 l15   l11 l12 l16 l15   l11 l12 l19 l15        l l l23 l25  l l l26 l25  l l l29 l25  − det  21 22 − det  21 22 det  21 22  l41 l42 l43 l45   l41 l42 l46 l45   l41 l42 l49 l45        H 31 =  l51 l52 l53 l55  , H 32 =  l51 l52 l56 l55  , H 33 =  l51 l52 l59 l55  , ∆ ∆ ∆  l11 l12 l14 l13   l11 l12 l14 l16   l11 l12 l14 l19        l l22 l24 l23  l l l24 l26  l l l24 l29  − det  21 − det  21 22 det  21 22  l41 l42 l44 l43   l41 l42 l44 l46   l41 l42 l44 l49        H 41 =  l51 l52 l54 l53  , H 42 =  l51 l52 l54 l56  , H 43 =  l51 l52 l54 l59  ∆ ∆ ∆  l11 l12 l14 l15    l l22 l24 l25  ∆ =det  21 .  l41 l42 l44 l45     l51 l52 l54 l55  Từ phương trình (23), tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi được xác định như sau: ωmn = D2 (24) Đáp ứng dao động cưỡng bức của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi được tính toán khi giải số phương trình (23) với q Q sin Ωt , trong đó Q và Ω lần lượt là biên độ và tần số của ngoại lực. = 4. Khảo sát số 4.1. Nghiên cứu so sánh Xét vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi tuyến tính theo hướng đường sinh từ giá trị hmin đến giá trị hmax . Các tham số vật liệu được chọn như sau [7] Em = 70GPa , ρ m = 2702 kg/m3 , Ec = 380GPa , ρc = 3800 kg/m3 , ν m ν= 0,3 , k = 1 . Các tham số hình học của vỏ là hmin = 0,004 m , = c hmax = 0 ,006 m , R = 200hmin , L = 2 R . Tần số dao động tự do tuyến tính được tính toán theo công thức (24), được so sánh với kết quả tương ứng được công bố trong bài báo [7] bởi Phú và các cộng sự sử dụng lý thuyết vỏ mỏng, được trình bày trong Bảng 1. Bảng 1. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi Tần số ( rad/s ) ω (1,1) ω (1,3) ω (1,5 ) ω (1,7 ) ω (1,9 ) Phú và cộng sự [7] 4932,38 1487,72 641,99 502,50 676,96 Bài báo 4933,41 1494,45 659,59 524,81 688,78 Sai số (%) 0,021 0,45 2,74 4,40 1,75 Nhận xét: Thông tin trong Bảng 1 cho thấy, các giá trị của tần số dao động tự do tuyến tính được tính bởi công thức (23) trong nghiên cứu này phù hợp tốt với các kết quả tương ứng trong bài báo của Phú và cộng sự [7].
501 Phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 607 4.2. Khảo sát số Xét vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi với các tham số vật liệu được chọn như trong mục 4.1. Độ dày của vỏ biến đổi tuyến tính từ giá trị hmin đến giá trị hmax , khi đó độ dày tại vị trí có tọa x là 2hav  β − 1  h + hmin h = h  x + 1 , trong đó hav = max là độ dày trung bình, β = max là tỷ số giữa độ dày 1+ β  L  2 hmin cực đại và độ dày cực tiều tại hai đầu vỏ. Kích thước hình học của vỏ được chọn như sau hav = 0 ,02 m , R = 100hav , L = R . Hệ số tỷ phần thể tích là k = 1. Ảnh hưởng của hệ số β đến tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ được trình bày trong Bảng 2 Bảng 2. Ảnh hưởng của hệ số β đến tần số dao động tự do tuyến tính ω ( rad/s ) m n β =1 β =2 β =3 β =4 β =5 1 1 3778,9 3780,1 3781,2 3781,9 3782,5 2 2964,3 2965,6 2967,4 2968,9 2970,1 3 2186,5 2188,2 2191,2 2193,8 2195,7 2 1 4083,5 4089,1 4093,7 4097,0 4099,5 2 3810,1 3815,3 3820,5 3824,5 3827,4 3 3433,3 3438,7 3445,2 3450,4 3454,3 Nhận xét: Bảng 2 cho thấy giá trị tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ trụ FGM tăng khi tỷ số giữa độ dày cực đại và độ dày cực tiểu gia tăng. Như vậy với cùng giá trị độ dày trung bình thì vỏ có độ dày thay đổi càng ‘dốc’ ( β càng lớn) sẽ có giá trị tần số càng cao. Ví dụ, xét mode ( m,n ) = (1,1) , khi hệ số β tăng từ giá trị β = 1 (vỏ có độ dày không đổi hmax = hmin ) đến các giá trị β = 2; 3; 4; 5 thì giá trị tần số dao động của vỏ tăng từ giá trị ω = 3778,9 ( rad/s ) lên các giá trị tương ứng là ω = 3780 ,1( rad/s ) , 3781, 2 ( rad/s ) , 3781,9 ( rad/s ) và 3782 ,5 ( rad/s ) . Tuy nhiên sự thay đổi này là khá nhỏ. Ảnh hưởng của tỷ số L /R và R /hav đến đáp ứng dao động của vỏ được minh họa trên Hình 2 và Hình 3. Thông tin trên Hình 2 và Hình 3 cho thấy vỏ càng dày (tỷ số R /hav càng nhỏ) hoặc càng ngắn (tỷ số L /R càng nhỏ) thì có biên độ dao động càng nhỏ, tức là khả năng chịu tải động càng tốt.
502 608 Phạm Minh Vương, Nguyễn Đình Đức Hình 2. Ảnh hưởng của tỷ số R /hav đến đáp ứng Hình 3. Ảnh hưởng của tỷ số L /R đến đáp ứng dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi 5. Kết luận Bằng tiếp cận giải tích, sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc 3 của Reddy, báo cáo đã trình bày một phân tích dao động của vỏ trụ FGM có độ dày thay đổi tuyến tính theo hướng đường sinh. Kết quả số chỉ ra rằng vỏ trụ có độ dày biến thiên càng lớn thì sẽ có tần số dao động càng cao. Hơn thế nữa các tham số hình học như độ dài hay độ dày của vỏ có ảnh hưởng mạnh đến đáp ứng động lực của vỏ. 6. Lời cảm ơn Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Xây dựng Hà nội với mã số đề tài 41-2021/KHXD-TĐ. Tài liệu tham khảo [1] E. Efraim, M. Eisenberger. Exact vibration analysis of variable thickness thick annular isotropic and FGM plates. Journal of Sound and Vibration, 299 (4), (2007), pp 720-738. [2] W. T. Koiter, I. Elishakoff, Y. W. Li, J. H. Starnes. Buckling of an axially compressed cylindrical shell of variable thickness. International Journal of Solids and Structures, 31 (6), (1994), pp 797-805. [3] H. L. T. Nguyen, I. Elishakoff, V. T. Nguyen. Buckling under the external pressure of cylindrical shells with variable thickness. International Journal of Solids and Structures, 46 (24), (2009), pp 4163-4168. [4] Ö. Kalbaran, H. Kurtaran. Large Displacement Static Analysis of Composite Elliptic Panels of Revolution having Variable Thickness and Resting on Winkler-Pasternak Elastic Foundation. Latin American Journal of Solids and Structures, 16, (2019), pp. [5] M. Nasrekani Farid, H. Eipakchi. Nonlinear Analysis of Cylindrical Shells with Varying Thickness and Moderately Large Deformation under Nonuniform Compressive Pressure Using the First-Order Shear Deformation Theory. Journal of Engineering Mechanics, 141 (5), (2015), pp 04014153. [6] P. P. Minh, N. D. Duc. The effect of cracks on the stability of the functionally graded plates with variable- thickness using HSDT and phase-field theory. Composites Part B: Engineering, 175, (2019), pp 107086. [7] K. V. Phu, D. H. Bich, L. X. Doan. Nonlinear Forced Vibration and Dynamic Buckling Analysis for Functionally Graded Cylindrical Shells with Variable Thickness Subjected to Mechanical Load. Iranian Journal of Science and Technology, Transactions of Mechanical Engineering, 46 (3), (2022), pp 649-665. [8] J. N. Reddy, C. F. Liu. A higher-order shear deformation theory of laminated elastic shells. International Journal of Engineering Science, 23 (3), (1985), pp 319-330.