Bài giảng Toán giải tích: Phần 1 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán giải tích cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán giải tích: Phần 1 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOAÙN GIẢI TÍCH (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ KINH DOANH) ThS. Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2017 (Lƣu hành nội bộ)
UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOAÙN GIẢI TÍCH (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ KINH DOANH) (SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) ThS. Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2017
LỜI NÓI ĐẦU 1. Đối tƣợng sử dụng Dùng cho sinh viên ngành Kế toán, Quản trị kinh doanh và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng nhƣ tài liệu tham khảo. 2. Cấu trúc bài giảng: Gồm 4 chƣơng Học phần Vi Tích Phân đƣợc chia làm 4 chƣơng: Chƣơng 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ. Chƣơng 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN. Chƣơng 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN. Chƣơng 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN. 3. Mục tiêu môn học Trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tƣ duy logic, phƣơng pháp định lƣợng trong kinh tế và kỹ thuật. Cụ thể  Cung cấp cho ngƣời học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục.  Trang bị các kiến thức về đạo hàm, vi phân hàm một biến. Ứng dụng đƣợc qui tắc L‟Hospital khử các dạng vô định trong tính giới hạn và khảo sát một hàm số, tìm cực trị; giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó, vận dụng để giải một số bài toán tối ƣu.  Cung cấp các kiến thức cơ bản về tích phân hàm một biến và phƣơng pháp tính các loại tích phân đó. Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích của một vật thể.  Trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm nhiều biến, làm cơ sở cho việc nghiên cứu Toán học hiện đại ở bậc Đại học và các môn học khác có liên quan. Tuy nhiên, bài giảng không khai thác sâu các vấn đề lý thuyết mà chỉ ở mức độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật. Nhiều định lý đƣợc phát biểu không chứng minh mà chỉ hƣớng dẫn sử dụng thông qua hệ thống ví dụ và bài tập. Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mô hình hóa các vấn đề thực tế thành bài toán Toán học. 4. Phƣơng pháp giảng dạy Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra.  Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết  Làm bài tập trên lớp : 7 tiết  Tự học : 60 tiết
MỤC LỤC Trang Chƣơng 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ....... 5 1.1. Hàm số .............................................................................................................. 6 1.1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số ....................................................... 6 1.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 6 1.1.1.2. Các phép toán trên hàm số ................................................................. 6 1.1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số ......................................................... 7 1.1.2.1. Hàm số đơn điệu ................................................................................. 7 1.1.2.2. Hàm số chẵn lẻ ................................................................................... 7 1.1.2.3. Hàm số tuần hoàn ............................................................................... 8 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc .................................................................... 8 1.1.3.1. Hàm số hợp ........................................................................................ 8 1.1.3.2. Hàm số ngƣợc..................................................................................... 9 1.1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản .......................................................................... 10 1.1.4.1. Hàm lũy thừa y  x  ,   ......................................................... 10 1.1.4.2. Hàm số mũ y  a x , 0  a  1 ............................................................. 11 1.1.4.3. Hàm số logarit y  loga x, 0  a  1. ................................................ 11 1.1.4.4. Các hàm số lƣợng giác ....................................................................... 12 1.1.4.5. Các hàm lƣợng giác ngƣợc ................................................................. 12 1.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số ............................................................ 13 1.2.1. Giới hạn của dãy số ................................................................................... 13 1.2.1.1. Định nghĩa dãy số ............................................................................... 13 1.2.1.2. Giới hạn dãy số ................................................................................... 14 1.2.1.3. Các phép toán ..................................................................................... 15 1.2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy ....................................................... 16 1.2.2. Giới hạn hàm số ......................................................................................... 16 1.2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ  ,  ) ................................................................ 16 1.2.2.2. Giới hạn một phía ................................................................................ 17 1.2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận ........................................................... 18 1.2.2.4. Các tính chất của giới hạn hàm số....................................................... 18 1.2.2.5. Các phép toán ...................................................................................... 19 0  1.2.2.6. Các dạng vô định  ; ; 0.;     ............................................... 19 0   1.2.2.7. Một số công thức giới hạn quan trọng ................................................ 22 1.2.2.8. Đại lƣợng vô cùng bé – đại lƣợng vô cùng lớn ................................... 23 1.2.3. Tính liên tục của hàm số ............................................................................ 25 1.2.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 25 1.2.3.2. Điểm gián đoạn .................................................................................. 25 1.2.3.3. Hàm số liên tục trên đoạn – khoảng ................................................... 26 1.2.3.4. Các phép toán trên hàm số liên tục ................................................... 27 1.2.3.5. Tính chất của hàm số liên tục ............................................................. 27 1.2.3.6. Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục ................................................ 27 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ......................................................................................... 28 1
Chƣơng 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ....................................... 30 2.1. Đạo hàm của hàm số ...................................................................................... 31 2.1.1. Đạo hàm ..................................................................................................... 31 2.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 31 2.1.1.2. Đạo hàm một phía .............................................................................. 31 2.1.1.3. Mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục ................................................ 32 2.1.1.4. Các qui tắc tính đạo hàm .................................................................... 32 2.1.1.5. Đạo hàm hàm số cho bởi phƣơng trình tham số ................................ 33 2.1.2. Đạo hàm cấp cao ........................................................................................ 33 2.1.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 33 2.1.2.2. Các phép toán ..................................................................................... 34 2.1.2.3. Một số đạo hàm cấp cao thông dụng .................................................. 34 2.1.2.4. Ý nghĩa của đạo hàm (cấp 1 và cấp 2) ............................................... 34 2.2. Vi phân của hàm số ........................................................................................ 36 2.2.1. Vi phân ....................................................................................................... 36 2.2.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 36 2.2.1.2. Các qui tắc tính vi phân ...................................................................... 36 2.2.1.3. Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) ........................... 36 2.2.2. Vi phân cấp cao ......................................................................................... 37 2.2.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 37 2.2.2.2. Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao ............................. 37 2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân..................................................... 38 2.3.1. Đinh lý Rolle .............................................................................................. 38 2.3.2. Định lý Lagrange ....................................................................................... 38 2.3.3. Định lý Cauchy .......................................................................................... 38 2.3.4. Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vô định) .............................................. 39 2.3.5. Ứng dụng của phép tính vi phân ................................................................ 41 2.3.5.1. Xác định khoảng đơn điệu .................................................................. 41 2.3.5.2. Cực trị địa phƣơng của hàm số ........................................................... 41 2.3.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ..................................................... 43 2.3.5.4. Bài toán tối ƣu trong thực tế ............................................................... 44 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ............................................................................................. 48 Chƣơng 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ....................... 50 3.1. Tích phân không xác định .............................................................................. 51 3.1.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định ................................................ 51 3.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 51 3.1.1.2. Định lý ................................................................................................ 51 3.1.1.3. Tính chất của tích phân không xác định ............................................. 51 3.1.2. Các phƣơng pháp tính ................................................................................ 53 3.1.2.1. Phƣơng pháp phân tích ....................................................................... 53 3.1.2.2. Phƣơng pháp đổi biến số .................................................................... 53 3.1.2.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần ...................................................... 54 3.1.3. Tích phân một số hàm thƣờng gặp ............................................................ 56 3.1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ ................................................................... 56 2
3.1.3.2. Tích phân các hàm vô tỉ ..................................................................... 59 3.1.3.3. Tích phân hàm số lƣợng giác ............................................................. 60 3.2. Tích phân xác định ......................................................................................... 62 3.2.1. Định nghĩa ............................................................................................. 63 3.2.2. Tính chất ................................................................................................ 63 3.2.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân .......................................... 64 3.2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định ............................................. 64 3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định .......................................................... 67 3.3. Tích phân suy rộng.......................................................................................... 72 3.3.1. Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân cận vô tận).................................. 72 3.3.2. Tích phân suy rộng loại 2 (hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn) 74 3.3.3. Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng ..... 74 BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ......................................................................................... 78 Chƣơng 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ................................... 80 4.1. Khái niệm về hàm nhiều biến ......................................................................... 81 4.1.1. Khái niệm về không gian n .................................................................... 81 4.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 81 4.1.1.2. Các phép toán ..................................................................................... 81 4.1.2. Định nghĩa hàm hai biến ............................................................................ 81 4.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến ............................................... 83 4.2.1. Định nghĩa giới hạn dãy............................................................................. 83 4.2.2. Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội)............ 83 4.2.3. Tính chất (Tương tự như hàm một biến).................................................... 84 4.2.4. Tính liên tục của hàm số ............................................................................ 85 4.2.4.1. Định nghĩa .......................................................................................... 85 4.2.4.2. Điểm gián đoạn .................................................................................. 86 4.3. Đạo hàm của hàm hai biến ............................................................................. 86 4.3.1. Đạo hàm riêng ............................................................................................ 86 4.3.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1 ........................................................................... 86 4.3.1.2. Cách tính............................................................................................. 87 4.3.2. Đạo hàm riêng cấp cao .............................................................................. 87 4.3.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 87 4.3.2.2. Định lý (SCHWARTZ) ..................................................................... 89 4.3.3. Đạo hàm của hàm hợp ............................................................................... 89 4.3.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 89 4.3.3.2. Định lý (Quy tắc xích) ........................................................................ 89 4.3.4. Đạo hàm của hàm ẩn.................................................................................. 90 4.3.4.1. Định nghĩa .......................................................................................... 90 4.3.4.2. Định lý về sự tồn tại hàm ẩn............................................................... 90 4.3.4.3. Đạo hàm của hàm ẩn .......................................................................... 91 4.4. Vi phân của hàm hai biến ............................................................................... 93 4.4.1. Sự khả vi .................................................................................................... 93 4.4.1.1.Định nghĩa ........................................................................................... 93 4.4.1.2. Mối liên hệ giữa liên tục và khả vi ..................................................... 93 4.4.2. Vi phân toàn phần ...................................................................................... 94 3
4.4.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 94 4.4.2.2. Các qui tắc tính vi phân ...................................................................... 94 4.4.2.3. Áp dụng vi phân tính gần đúng .......................................................... 94 4.4.3. Vi phân cấp cao ......................................................................................... 95 4.4.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 95 4.4.3.2. Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao ............................. 95 4.4.4. Công thức Taylor ....................................................................................... 96 4.5. Cực trị của hàm hai biến ................................................................................ 97 4.5.1. Cực trị địa phƣơng ..................................................................................... 97 4.5.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 97 4.5.1.2. Điều kiện cần của cực trị ................................................................... 98 4.5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị ..................................................................... 99 4.3.5.4. Ứng dụng vào bài toán Kinh tế 2 biến ............................................. 100 4.5.2. Cực trị có điều kiện .................................................................................... 102 4.5.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 102 4.5.2.2. Cách tìm cực trị có điều kiện.............................................................. 102 a) Phƣơng pháp thế ................................................................................... 102 b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 103 4.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ............................................................. 105 BAI TẬP CHƢƠNG 4 ............................................................................................. 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 112 4
Chƣơng 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ  Mục đích yêu cầu Chƣơng này cung cấp cho ngƣời học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Các phép toán tính giới hạn. Khái niệm về đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào tính giới hạn. Các tính chất của hàm số liên tục. Sau khi học xong chƣơng này, Sinh viên cần đạt đƣợc: - Hệ thống hóa kiến thức về giới hạn của dãy số, hàm số, các phép toán cơ bản khi việc thực hiện tính giới hạn. Hiểu và vận dụng đƣợc các phƣơng pháp giải đƣợc giới thiệu trong mỗi dạng toán, mỗi vấn đề, áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt đã đƣợc giảng dạy. - Hiểu và vận dụng đƣợc phép tính trên các đại lƣợng vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL). Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vô định khi tính giới hạn. - Hiểu đƣợc khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, các tính chất hàm số liên tục trên đoạn a, b  . - Làm đƣợc các bài tập tƣơng tự.  Kiến thức chuẩn bị Khái niệm hàm số, miền xác định, các tính chất đặc biệt của hàm số, đồ thị của các hàm số sơ cấp. Ôn lại các kiến thức về tính giới hạn, tính liên tục của hàm số (lớp 11). 5
1.1. Hàm số 1.1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số 1.1.1.1. Định nghĩa Cho X,Y  ; X,Y   , hàm số f là một qui luật sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x  X có duy nhất một giá trị thực y Y , kí hiệu y  f (x ) . * Hàm số đƣợc viết dƣới dạng sơ đồ sau: f : X Y x y  f (x ) (1.1.1)  Biến x đƣợc gọi là biến độc lập.  y  f (x ) đƣợc gọi là biến phụ thuộc.  Tập D  x  | f (x ) có nghĩa} đƣợc gọi là miền xác định của hàm số.    Tập Y  f (X )  f (x ) | x  X đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số. * Đồ thị hàm số y  f (x ) là tập hợp các điểm có tọa độ (x, f (x )) trong hệ tọa độ Descartes. Kí hiệu: G  M (x, f (x )) : x  X  . Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau a) y  2x  1 . Miền xác định: D  .  2x b) y  2 . Miền xác định: D  \ 1;1 .  x 1  x  3  0 x  3 x 3  c) y  . Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi: 2x  1  0   1. 2x  1  x   2 Vậy miền xác định D   3;   \ 21.   Chú ý: Hàm số y  f (x ) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y . Ví dụ 2 : * Xét một chuyển động đều có vận tốc 60 km/h. Mối liên hệ giữa thời gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động là hàm số s  s(t )  60t . * Khi nuôi 1 con bò, quan sát quá trình tăng trọng của con bò ta có mối liên hệ giữa thời gian nuôi t(tuần) và trọng lượng m(kg) của con bò là hàm số m  m(t ). 1.1.1.2. Các phép toán trên hàm số Cho hàm số f (x ), g(x ) có cùng miền xác định D . Khi đó, ta xác định các hàm số sau : i) (f  g )(x )  f (x )  g(x ) , (x  D) . (1.1.2) ii) (f .g )(x )  f (x ).g(x ) , (x  D) . (1.1.3) 6
f  f (x ) iii)  g  (x )  g(x ) (g(x )  0, x  D) . (1.1.4)   lần lƣợt gọi là tổng, hiệu, tích, thƣơng của f và g . 1.1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số 1.1.2.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f (x ) đƣợc gọi là đơn điệu tăng (hay giảm) trên miền D nào đó nếu với cặp số x1, x 2 bất kỳ thuộc miền D và từ x1  x2 suy ra f (x1)  f (x 2 ) (hay f (x1)  f (x 2 ) ). Nếu từ x1  x2 suy ra f (x1)  f (x 2 ) (hay f (x1)  f (x 2 ) ) thì ta nói hàm số f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên miền đó. Ví dụ 3: Hàm y  f (x )  x 2 tăng nghiêm ngặt trong khoảng  0;   . Thật vậy, giả sử x1, x 2   0;   và x1  x2 . Xét f (x1)  f (x 2 )  x12  x 22  (x1  x 2 )(x1  x 2 )  0 vì x1  x2 . Suy ra f (x1)  f (x 2 ) . Vậy hàm số đã cho tăng nghiêm ngặt trên  0;   . Q   Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hƣớng từ trái qua phải. y y O a b x O a b x Đồ thị hàm số tăng Đồ thị hàm số giảm 1.1.2.2. Hàm số chẵn lẻ Cho hàm số f (x ) xác định trên tập đối xứng D (x  D thì x  D ). Khi đó:  f đƣợc gọi là chẵn nếu với mọi x  D , ta có: f (x )  f (x ) .  f đƣợc gọi là lẻ nếu với mọi x  D , ta có: f (x )   f (x ) . Ví dụ 4: * Hàm số y  f (x )  cos x  x 2  x là hàm số chẵn. * Hàm số y  g(x )  x 3  x là hàm số lẻ. 7
 Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy . - Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O . y y y  f (x ) O x O x Dạng đồ thị của hàm số chẵn Dạng đồ thị hàm số lẻ 1.1.2.3. Hàm số tuần hoàn Hàm số f (x ) đƣợc gọi là tuần hoàn trên miền D nếu tồn tại hằng số T  0 sao cho với mọi x  D , ta có: f (x  T )  f (x ) . Số T0  0 nhỏ nhất trong định nghĩa (nếu có) đƣợc gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f . Ví dụ 5 * Hàm số y  f (x )  sin x ; y  f (x )  cos x tuần hoàn với chu kì T0  2 . * Hàm số y  f (x )  tan x ; y  f (x )  cot x tuần hoàn với chu kì T0   . 2 * Hàm số y  sin(ax  b) ; y  cos(ax  b) tuần hoàn với chu kỳ T0  . a 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc 1.1.3.1. Hàm số hợp Cho hàm số f : X  Y , g : Y  Z , với f (X )  Y . Khi đó, hàm số đn h : X  Z với h(x )  g  f (x ) đƣợc gọi là hàm số hợp của f và g . Kí hiệu là: h  g f . y  f (x ) f g x đn g f h(x )  g  f (x )  Miền xác định của hàm hợp g f là tập các số thực x thuộc miền xác định của hàm f sao cho f (x ) thuộc miền xác định của hàm g .  Chú ý: g f  (x )   f g  (x ) 8
Ví dụ 6: Cho hàm số f (x )  x , g(x )  x  5 . Hãy xác định các hàm hợp g f , f g , g g , f f và miền xác định của chúng. Giải Ta có: f (x )  x Miền xác định Df  0;   . g(x )  x  5 Miền xác định Dg  . Suy ra : g f  (x )  g  f (x )  g( x )  x  5. Miền xác định D  0;   .  f g  (x )  f g(x )  x  5 Miền xác định D  5;   .  f f  (x )  f  f (x )  x  4x . Miền xác định D  0;   . g g  (x )  g g(x )  x  10 . Miền xác định D  .  ? Cho hàm số f (x )  2x  1 , g(x )  x 2  4 . Hãy xác định các hàm hợp g f , f g , g g , f f và miền xác định của chúng. 1.1.3.2. Hàm số ngƣợc Cho hàm số f : X  Y x y  f (x ) có miền xác định X và miền giá trị Y thỏa với x1  x2 thì f (x1)  f (x 2 ) . Khi đó, hàm số ngƣợc của f , kí hiệu f 1 đƣợc xác định: f 1 : Y  X y x  f 1(y ) (thỏa điều kiện y  f (x ) ) có miền xác định Y và miền giá trị là tập X . Ví dụ 7 y x * Hàm số y  x 3 có hàm số ngược là x  3 y . y y  ex * Hàm số y  e x có miền xác định D  và y  ln x có miền giá trị là T   0;   . Hàm này có hàm ngược là x  ln y xác định trên D   0;   và có miền giá trị là T  . O x  Chú ý + Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng với nhau qua đƣờng thẳng y  x . + Có một số hàm nếu xét chung trên miền xác định của nó thì không tồn tại hàm ngƣợc nhƣng khi giới hạn lại miền xác định thì sẽ tồn tại hàm ngƣợc, cụ thể : 9
Hàm số y  x 2 , D  không có hàm số ngược trên toàn trục số vì nó không phải là một song ánh. Nhưng hàm y  x 2 có D  [0;+) sẽ có hàm ngược y  x. + Nếu hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a, b) thì sẽ có hàm ngƣợc trên (a, b) . 1.1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản  y y  x2 1.1.4.1. Hàm lũy thừa y  x ,   y x  Miền xác định: D  trừ các trƣờng hợp y  x 1/ 2 * Nếu  nguyên dƣơng thì hàm số có miền xác định là . y  x 1 * Nếu  nguyên âm hoặc   0 thì hàm số có O x miền xác định là * .  Đồ thị * Luôn đi qua điểm (1;1) . *   0 hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) . *   0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) .  Một số tính chất của lũy thừa  a  a n  a.a......a ( n thừa số a )  a0  1 1  a  1  1,   a n  an     a  a .a  a    a   a  (a  )  a  .  (ab)  a .b m  a  a       an  n am b  b  na  b  bn  a  n ab  n a .n b a na p  n  n (b  0)  n a p   n a  (a  0) b b  mna  mn a  Với a  1 , a  a       Với 0  a  1 , a  a      10
1.1.4.2. Hàm số mũ y  a x , 0  a  1 Hàm số mũ là hàm có dạng y  a x , trong y  ax y  ax y đó a đƣợc gọi là cơ số và 0  a  1 và x là biến. (a  1) (a  1)  Miền xác định: D   Miền giá trị là: T = (0; ) . 1  Đồ thị * a  1 : hàm tăng x O * 0  a  1 : hàm giảm. * Luôn đi qua điểm (0,1) , nằm phía trên trục Ox và tiệm cận với Ox . 1.1.4.3. Hàm số logarit y  loga x, 0  a  1 Hàm số ngƣợc của hàm số mũ y  a x đƣợc gọi là hàm logarit, kí hiệu y  loga x, 0  a  1 . Miền xác định của hàm logarit là D  (0, ) và miền giá trị là T  .  Logarit thập phân : lg b  log b  log10 b  1 n  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b  loge b (với e  lim  1    2, 718281 ) n   n  Theo công thức biến đổi cơ số, ta có: lg x ln x . lg e y y  loga x  Đồ thị: * a  1 : hàm tăng. (a  1) * 0  a  1 : hàm giảm. * Luôn đi qua điểm (1, 0) , nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy . O 1 x  Một số tính chất của logarit: 0  a, b, c  1 y  loga x  loga 1  0  loga a  1 (a  1)  a loga b  b  loga ab  b b  loga (bc)  loga b  loga c  loga    loga b  loga c c  1  loga b   loga b  loga c  loga c (  0)  loga b  logb c  .  loga b.logb c  loga c loga c 1  loga b   a logb c  c logb a logb a 11
1.1.4.4. Các hàm số lƣợng giác cos x và sin x đƣợc xem là tọa độ của điểm Px trên đƣờng tròn đơn vị (C), ở vị trí cách điểm A(1,0) một độ dài x , đƣợc đo dọc theo đƣờng tròn (C) theo ngƣợc chiều kim đồng hồ nếu x  0 và cùng chiều nếu x  0 . Khi đó, số đo của góc sin x cos x AOP  x (radians). Ta cũng định nghĩa tan x  ; cot x  cos x sin x Trên hình ta có y B C OP  cos x . D Q Px OQ  sin x . BD  cot x x x AC  tan x A(1,0) O P * Hàm y  sin x có miền xác định là D  và miền giá trị là T   1;1 , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0  2 . * Hàm y  cos x có miền xác định là D  và miền giá trị là T   1;1 , hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T0  2 . * Hàm số y  tan x có miền xác định là D  \ 2  k  (k  ) và miền giá trị là T  , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0   . * Hàm số y  cot x có miền xác định là D  \ k  (k  ) và miền giá trị là T  và tuần hoàn với chu kỳ T0   . 1.1.4.5. Các hàm lƣợng giác ngƣợc a. Hàm số y  arcsin x   Do y  sin x là hàm tăng nghiêm ngặt trên   ;  nên có hàm ngƣợc là  2 2    f 1 :  1;1    ;   2 2  (1.1.5) x y  arcsin x  3  Ví dụ 8: arcsin 0  0; arcsin(1)   ; arcsin  . 2 2 3 12
b. Hàm số y  arccos x Do y  cos x là hàm giảm nghiêm ngặt trên  0;   nên có hàm ngƣợc là f 1 :  1;1  0;   (1.1.6) x y  arccos x  3  1 2 Ví dụ 9: arccos 0  ; arccos(1)   ; arccos  ; arccos  . 2 2 6 2 3 c. Hàm số y  arctan x   Do y  tan x là hàm tăng nghiêm ngặt trên   ;  nên có hàm ngƣợc là  2 2   f 1 :    ;  (1.1.7)  2 2 x y  arctan x   Ví dụ 10: arctan 0  0;arctan(1)  ;arctan 3  . 4 3   * Qui ƣớc : arctan     ; arctan      2 2 d. Hàm số y  arc cot x Do y  cot x là hàm giảm nghiêm ngặt trên  0;   nên có hàm ngƣợc là f 1 :   0;   (1.1.8) x y  arc cot x p 3p p Ví dụ 11: arc cot 0  ; arc cot(-1)  ; arc cot 3  . 2 4 6 * Qui ƣớc : arc cot     0; arc cot      . 1.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.2.1. Giới hạn của dãy số 1.2.1.1. Định nghĩa dãy số Cho hàm số f (n ) xác định trên tập số tự nhiên . Ứng với các giá trị n  1, 2,3,... ta có tập giá trị x1  f (1), x2  f (2),... lập thành một dãy số. Kí hiệu: x n  . (1.2.1)  x n : số hạng tổng quát của x n  .  n : chỉ số của số hạng x n . 13
n 1 2 Ví dụ 12: xn   xn  : ; ;... n 1 2 3 xn  (1)n  xn  : -1; 1; -1;...  Nhắc lại + Cấp số cộng x n  với công sai d : xn  xn 1  d  x1  (n  1)d và tổng n n Sn   xn  2 2x1  (n  1)d  . (1.2.2) i 1 + Cấp số nhân x n  với công bội q : xn  xn 1.q  x1.q n 1 và tổng n 1  qn Sn   x n  x1 1q , q  1 . (1.2.3) i 1 1.2.1.2. Giới hạn dãy số Dãy số x n  đƣợc gọi là hội tụ về L (hữu hạn) khi n   nếu (  0) (N 0  ) (n  N 0 thì xn  L   ) . (1.2.4) n  Kí hiệu: lim xn  L hay xn  L . n   Chú ý: Nếu dãy x n  có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngƣợc lại nếu x n  không có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ. Ví dụ 13: Chứng minh 1 1 a) lim  0 . Tổng quát : lim k  0 n  n n  n 1 1 1 Thật vậy,   0, xét xn  L   0     n  . n n  1 Ta chọn N 0    .    1 1 Khi đó:   0, N 0     : n  N0 thì 0  .    n 1 Vậy lim  0 .  n  n b) lim q n  0 , với q  1 . n  Thật vậy ,   0, xét xn  L  q n  0  q n    n  log q  . Ta chọn N 0  log q   . Khi đó:   0, N 0  log q   : n  N0 thì q n  0   . Vậy lim q n  0 .  n  14
 Các dãy dần đến vô cực * lim xn     M  0, N0 : n  N 0  xn  M  . n  * lim xn     M  0, N0 : n  N 0  xn  M  . n  * lim xn     M  0, N0 : n  N 0  xn  M  . n  Ví dụ 14: Chứng minh lim n   . n  Thật vậy: M  0, xét xn  M  n  M  n  M  n  M2 Ta chọn số tự nhiên N 0 sao cho N 0  M 2 . Khi đó: M  0, N 0 : n  N0  n M. Vậy lim n   .  n  1.2.1.3. Các phép toán Định lý: Nếu lim xn  L và lim yn  M thì n  n  i) lim(xn  yn )  L  M . ii) lim(xn .yn )  L.M . n  n  x  L iii) lim  n   (yn  0, n, M  0) . iv) lim kxn  k.L n   yn  M n  ( k là một hằng số) 2n 3  4n 2  3n  3 n2  n  3 Ví dụ 15: Tính: a) lim . b) lim n  n 3  5n  7 3 n  n  2n 5n 2  n  2 2n  4n c) lim d) lim n n n  n 1 n  2.3  4 e) lim 4n 2  1  n n  2 n  3n  1  f) lim 2n  4n 2  6n  1 . n   Định nghĩa i) Dãy x n  đƣợc gọi là dãy tăng (hay tăng nghiêm ngặt) nếu xn  xn 1, n (hay xn  xn 1, n ). Dãy x n  đƣợc gọi là dãy giảm (hay giảm nghiêm ngặt) nếu xn  xn 1, n (hay xn  xn 1, n ). Dãy tăng hoặc giảm đƣợc gọi là dãy đơn điệu. ii) Dãy x n  đƣợc gọi là bị chặn dƣới (trên) nếu tồn tại A sao cho A  xn , n ( xn  A, n ). Dãy x n  đƣợc gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và chặn dƣới. 15
1.2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy i) Giới hạn của một dãy x n  (nếu có) là duy nhất. ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn. Ngoài ra ta còn chứng minh đƣợc các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy nhƣ sau Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa) Cho x n  , yn  và zn  . Nếu: lim xn  lim yn  L và xn  zn  yn , n n  n  thì lim zn  L . n  sin n Ví dụ 16: Tìm giới hạn lim n  n 1 sin n 1 Giải: Ta có: n  N * , ta có    . n n n 1 1 sin n Vì lim    lim     0 nên lim  0.  n   n  n   n  n  n Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn) Nếu x n  tăng (giảm) và bị chặn trên (dƣới) thì nó là dãy hội tụ (có giới hạn hữu hạn). Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy x n  hội tụ là   0) (N 0  ) (n, m  N 0  xn  x m   .  1.2.2. Giới hạn hàm số 1.2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ  ,  ) Số L (hữu hạn) đƣợc gọi là giới hạn của f (x ) khi x  x 0 , x  x 0 nếu (  0)(  ( )  0)  x : 0  x  x 0    f (x )  L    (1.2.5) Ki hiệu: lim f (x )  L hay f (x )  L khi x  x 0 . x x 0 x2  4 Ví dụ 17: Dùng định nghĩa chứng minh lim  4. x 2 x  2 x2  4 Thật vậy,   0 , xét: f (x )  L    4    x 2   . x 2 Ta chọn    . Khi đó: x2  4   0,     0 : x thỏa 0  x  2   , ta có: 4  . x 2 x2  4 Vậy lim  4.  x 2 x  2 16
* Định nghĩa tƣơng đƣơng (ngôn ngữ dãy số) Hàm số f (x ) có giới hạn là L khi x  x 0 nếu  xn  , xn  x 0, n và lim xn  x 0 thì lim f (xn )  L . (1.2.6) n  n   Nhận xét: Để chứng minh lim f (x ) không tồn tại. Ta chọn 2 dãy: {xn },{xn } x x 0 sao cho lim xn  x 0, lim xn  x 0 nhƣng lim f (xn )  lim f (x n ) n  n  n  n  1 Ví dụ 18: Chứng minh lim cos không tồn tại x 0 x Thật vậy: Chọn x n  và x 'n  cùng dần về 0. 1 n   xn   0 thì lim f (xn )  lim cos(2n )  1 . 2n n  n  1 n    x 'n    0 thì nlim f (x 'n )  lim cos(2n  )  0 . 2n   n  2 2 Suy ra lim f (xn )  lim f (x 'n ) . n  n  1 Vậy  lim cos không tồn tại  x 0 x 1.2.2.2. Giới hạn một phía Định nghĩa * Số L đƣợc gọi là giới hạn trái của f (x ) khi x  x 0 nếu (  0)(  ( )  0)  x : 0  x 0  x    f (x )  L    (1.2.7) Kí hiệu: lim f (x )  L hay f (x 0 ) . x x 0 * Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của f (x ) khi x  x 0 nếu (  0)(  ( )  0)  x : 0  x  x 0    f (x )  L    (1.2.8) Kí hiệu: lim f (x )  L hay f (x 0 ) . x x 0 Ví dụ 19: Xét hàm số: f (x )  x tại x 0  1 , ta có f (1 )  lim f (x )  lim x  1 . x 1 x 1  f (1 )  lim f (x )  lim(x )  1 . x 1 x 1 Định lý: Hàm số f (x ) có giới hạn là L khi x  x 0 khi và chỉ khi giới hạn trái và phải của f (x ) tại x 0 cũng tồn tại và bằng L . lim f (x )  L   lim f (x ),  lim f (x ) và lim f (x )  lim f (x )  L (1.2.9) x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 17