Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 7 - Dương Minh Đức

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 7: Hàm số vi phân" cung cấp cho người học định nghĩa về hàm số vi phân và các bài toán chứng minh cho hàm số vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 7 - Dương Minh Đức

CHÖÔNG BAÛY P H EÙ P T Í N H V I P H AÂ N Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñöôøng thaúng, chuùng ta muoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa noù taïi moät thôøi ñieåm t . Ta moâ hình toaùn hoïc vieäc naøy nhö sau: ghi vò trí chieác xe taïi thôøi ñieåm s laø x(s). Với một thời điểm s khaù gaàn nhö khaùc t, ta tính ñöôïc vaän toác trung bình cuûa chieác xe trong khoaûng thôøi gian töø t ñeán s nhö sau x(s) − x(t ) x(t) x(r) vt ,s = s−t x(s) 324
x(s) − x(t ) x(t) x(r) vt ,s = s−t x(s) Vaän toác trung bình vt,s cho chuùng ta caùc thoâng tin veà vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. Neáu s caøng gaàn t hôn, thì vt,s caøng cho chuùng ta caùc thoâng tin chính xaùc hôn veà vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. Vaäy ñeå bieát vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t, ta phaûi xeùt vò trí x(r) cuûa chieác xe taïi caùc thôøi ñieåm r trong moät taäp hôïp A. Taäp hôïp A naøy phaûi coù tính chaát : luoân luoân coù caùc phaàn töû khaùc t nhöng raát gaàn325t.
Ta moâ hình toaùn hoïc yù töôûng beân treân nhö sau Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø x ∈ —. Ta noùi x laø moät ñieåm tuï cuûa A neáu vôùi moïi soá thöïc döông δ ta tìm ñöôïc y ∈ A sao cho 0 < |x - y | < δ. Taäp hôïp taát caû caùc ñieåm tuï cuûa A ñöôïc kyù hieäu laø A* . y A x-δ x x+δ $ y ∈ A … {( x - δ , x + δ ) \ {x}} x ∈ A* $ y ∈ {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ñ x ∈ (A \ x}) * {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ∫ « 326
Baøi toaùn 73. Cho A = (0,1) vaø x = 0 . Chöùng minh x laø moät ñieåm tuï cuûa A Cho δ > 0, tìm y ∈ A sao cho 0 < |x - y | < δ Cho δ > 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< |0-y| 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< y
Baøi toaùn 74. Cho A = [0,1] vaø x = 0 . Chöùng minh x laø moät ñieåm tuï cuûa A Cho δ > 0, tìm y ∈ A sao cho 0 < |x - y | < δ Cho δ > 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< |0-y| 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< y
Baøi toaùn 75. Cho A = { 0 } » [ 2-1, 1] vaø x = 0 . Chöùng minh x khoâng laø moät ñieåm tuï cuûa A ∀ δ > 0, {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ∫ « ∃ δ > 0, {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) = « ∃ δ > 0, [2-1,1]… (- δ , δ ) = « 1 0 2 A 1 Choïn δ = 1 > 0 4 x- 1 x x+ = 1 1 4 4 4 1 1 1 {A \ {x}} ∩ ( x − δ , x + δ ) = [ , 1] ∩ (− , ) = φ 2 4 4 329
Baøi toaùn 76. Cho B laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, a ∈ B* . Ñaët A = B »{a}. Chöùng minh a ∈ A* . ∀ δ > 0, ta coù {B \ {a}}… ( a - δ , a + δ ) ∫ « ∀ δ > 0, chöùng minh {A \ {a}}… ( a - δ , a + δ ) ∫ « A \ {a} = B \ {a} ? A \ {a} = A ∩(— \ {a}) = (B »{a}) ∩(— \ {a}) = (B ∩(— \ {a}) )»({a}∩(— \ {a}) = B ∩(— \ {a}) = B \ {a} 330
Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñöôøng thaúng, chuùng ta muoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa noù taïi moät thôøi ñieåm t . Ta moâ hình toaùn hoïc vieäc naøy nhö sau • choïn moät taäp hôïp caùc thôøi ñieåm A sao cho t laø moät ñieåm tuï cuûa A, • với một thời điểm s ∈ A \ {t}, ta tính vaän toác trung bình vt,s cuûa chieác xe trong khoaûng thôøi gian töø t ñeán s. • neáu s caøng gaàn t thì vt,s caøng gaàn moät soá thöïc v . Ta noùi v laø vaän toác töùc thôøi cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. x(s) − x(t ) x(t) x(r) vt ,s = s−t x(s) 331
Ta thöû xem moâ hình toaùn hoïc yù töôûng beân treân nhö sau. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —, c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaø a ∈ A* . Ta noùi • f coù giôùi haïn laø c taïi a neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) sao cho | f(x) - c | < ε ∀ x ∈ A vôùi 0 < |x - a| < δ(ε) , vaøø kyù hieäu lim f ( x ) = c . x →a 332
Baøi toaùn 77. Cho A = [0,1] , a = 0 vaø ⎧ x −1 ⎪ ∀ x ∈ [0,1), f (x) = ⎨ x − 1 ⎪ 1 neáu x = 1. ⎩ Chöùng minh lim f ( x ) = 1 x →0 " ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x) - 1| < ε ∀ x∈A vôùi 0 < |x - 0| < δ(ε) " ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) x − 1 ( x − 1)( x + 1) 1 f ( x) = = = ∀x ∈ (3330,1) x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1
"ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) x − 1 ( x − 1)( x + 1) 1 f ( x) = = = ∀x ∈ (0,1) x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1 1 x | f ( x ) − 1| =| − 1| =| |< x ∀x ∈ ( 0,1) x +1 x +1 "ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho x < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) x ≤ε x≤ε 2 δ (ε ) = ε 2 " ε > 0 , ñaët δ(ε) = ε2 ta coù | f(x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) 334
Baøi toaùn 78. Cho A = [0,1] , a = 1 vaø ⎧ x −1 ⎪ ∀ x ∈ [0,1), f (x) = ⎨ x − 1 1 ⎪ 1 neáu x = 1. ⎩ Chöùng minh lim f ( x ) = x →1 2 Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 | f (x) − | < ε ∀ x∈A vôùi 0 < |x - 1| < δ(ε) 2 x 0 1- δ(ε) 1 1+δ (ε ) Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 | f ( x ) − | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε) < x < 1 335 2
Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 | f ( x ) − | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε) < x < 1 2 x −1 ( x − 1)( x + 1) 1 f ( x) = = = ∀x ∈[0,1) x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1 1 1 1 1− x 1− x | f (x) − | = | − |= = < 1 − x 2 x +1 2 2( x + 1) 2( x + 1)2 Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 | f ( x ) − | < | 1 − x | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε) < x < 1 2 Cho ε > 0 , ñaët δ(ε) = ε ta coù 1 | f (x) − | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε) < x336 < 1 2
Duøng leänh Limit[ f ( x ), x → a] ñeå tính lim f ( x ) x →a x −1 In[1] := Limit [ , x → 0] x −1 x −1 lim x → 0 =1 Out[1] := 1 x −1 x −1 In[1] := Limit [ , x → 1] x −1 x −1 1 lim x →1 = 1 2 Out[1] := x −1 2 337
x x − 1 x In[3] := Limit [ x , x → 0] lim x x − 1 =1 x →0 Out[3] := 1 x 1 In[4] := Limit [ − x , x → 1] x − 1 ln 1 Out[4] := 2 x 1 1 lim( − x) = x →1 x − 1 ln 2 338
Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —, c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaø a ∈ A* . Ta noùi f coù giôùi haïn beân phaûi laø c taïi a neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) sao cho | f(x) - c | < ε ∀ x ∈ A vôùi 0 < x - a < δ(ε), vaø kyù hieäu lim+ f ( x ) = c x →a a x 339
Duøng leänh Limit[ f ( x ), x → a, Direction → −1] ñeå tính lim+ f ( x ) x →a a x -1 0 1 x −1 In[1] := Limit [(1 + x ) , x → 0,Direction → −1] Out[1] := e lim+ (1 + x ) 1/ x =e x →0 340
Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —, c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaø a ∈ A* . Ta noùi f coù giôùi haïn beân traùi laø c taïi a neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) sao cho | f(x) - c | < ε ∀x∈A vôùi 0 < a - x < δ (ε) , vaø kyù hieäu lim− f ( x ) = c x →a x a 341
Duøng leänh Limit[ f ( x ), x → a, Direction → 1] ñeå tính lim f ( x ) x →a − x a -1 0 1 Log(cos x ) In[1] := Limit [ , x → 0,Direction → 1] x|x| 1 Out[1] := 2 Log(cos x ) 1 lim = x → 0− x|x| 2 342
Baøi toaùn 79. Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, a ∈ A*… A vaø moät haøm soá thöïc f treân A. Giaû söû f lieân tuïc taïi a. Luùc ñoù lim f ( x ) = f (a) x →a Cho moät ε > 0 , coù moät soá thöïc döông δ(a, ε) sao cho |f(x) - f(a) | < ε ∀ x ∈ A vôùi |x - a | < δ (a,ε ) Cho moät ε’ > 0 , tìm moät soá thöïc döông h(a, ε’) sao cho |f(x) - f(a) | < ε’ ∀ x ∈ A vôùi 0 < |x - a | < h(a, ε’) Cho ε’ > 0 Ñaët ε =ε’, coù δ (a,ε ) Ñaët h(a, ε’) = δ (a,ε ) |f(x) - f(a) | < ε = ε’ ∀x∈ A, 0 < |x - a| < δ (a,ε ) = h(a,ε’) 343