Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 5 - Dương Minh Đức

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

95
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 5: Dãy và chuỗi số thực" cung cấp cho người học định nghĩa về dãy và chuỗi số thực, các bài toán chứng minh cho dãy và chuỗi số thực. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 5 - Dương Minh Đức

CHÖÔNG NAÊM DAÕY VAØ CHUOÃI SOÁ THÖÏC Ñeå xaây döïng moät raøo ngaên khaùn giaû traøn vaøo saân thi ñaáu boùng ñaù, ta caàn tính chu vi p cuûa moät hình b nhö beân caïnh. Hình naøy goàm hai 60 cung troøn vaø hai ñoaïn thaúng, moãi a cung laø moät phaàn tö cuûa moät a ñöôøng troøn coù baùn kính 60 meùt. b Duøng caùc coâng thöùc ñôn giaûn ta tính ñöôïc p  (60  120 2) meùt GIAI TICH 1 - CHUONG 5 170
Neáu baïn hoïc toaùn ñeå ñaït huy chöông Field, thì coâng thöùc treân quaù toát. Nhöng khi ñöa vaøo caùc ñeà aùn thi coâng thöïc teá, chuùng ta phaûi duøng moät trong caùc giaù trò cuûa p nhö sau p= 603,14 + 120 1,41 ; p = 603,141 + 120 1,414 ; p = 603,1416 + 120 1,4142 . Nhö vaäy trong thöïc teá, moät soá soá thöïc thöôøng ñöôïc thay theá baèng caùc giaù trò xaáp xó cuûa chuùng. Thí duï , ngöôøi thöôøng ñoàng nhaát  vôùi moät trong caùc soá {3,14; 3,141; 3,1416}, vaø 2 vôùi moät trong caùc soá {1,41; 1,414; 1,4142} GIAI TICH 1 - CHUONG 5 171
Nay ta xem caùch moâ hình yù töôûng treân cuûa caùc nhaø toaùn hoïc . Ñònh nghóa . Cho f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo — , ñaët an = f(n) vôùi moïi n  Õ , ta noùi an laø moät daõy soá thöïc. Thí duï 1. {sin(n3 + 2n)} laø moät daõy soá thöïc Thí duï 2. Ñaët a1 = 3,14, a2 = 3,141, a3 = 3,1415 , a4 = 3,14159 , a5 = 3,141592 , a6 = 3,1415926 , a7 = 3,14159265 , a8 = 3,141592653 , a9 = 3,1415926535 , . . . . Ñaây laø daõy soá giuùp chuùng ta choïn caùc giaù trò gaàn ñuùng cuûa soá p theo caùc sai soá cho pheùp trong caùc tính toaùn cuï theå . GIAI TICH 1 - CHUONG 5 172
Ta xem moâ hình toaùn hoïc cuûa yù töôûng ñoàng nhaát moät soá thöïc a vôùi moät daõy caùc giaù tri xaáp xó cuûa noù nhö sau Ñònh nghóa . Cho {xn } laø moät daõy soá thöïc vaø moät soá thöïc a. Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu   > 0  N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N() x3 x 5 xN()+m x 1 xN()+1xN()+k x 37 x4 x2 a- a a+   GIAI TICH 1 - CHUONG 5 173
Baøi toaùn 18. Chöùng minh {n-1} hoäi tuï veà 0 . Chuùng ta neân moâ hình toaùn hoïc nhö sau : ñaët xn = n-1 vôùi moïi soá nguyeân döông, vaø chöùng minh {xn} hoäi tuï veà 0. >0  N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N() Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N() 1 1 1 1 1 N()+ k N( )+1 4 3 2 - 0    GIAI TICH 1 - CHUONG 5 174
Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N() Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho | n-1 - 0 | <   n > N() Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho n-1 <   n > N() Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho -1 < n  n > N() 1 1 1 1 1 N()+ k N( )+1 4 3 2 - 0    GIAI TICH 1 - CHUONG 5 175
Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho  -1 < n  n > N() (R18) (Tính chaát Archimeøde) Neáu x > 0 vaø 0 < y, luùc ñoù coù moät soá nguyeân döông N sao cho y < Nx . (hay N -1y < x ) y =  -1 vaø x =1 Coù moät soá nguyeân döông N() :  -1 < N() .1  -1 < N() .1 < n  n > N() Cho moät  > 0 coù N()  Õ sao cho  -1 < n  n > N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 176
Baøi toaùn 19. Cho {xn } laø moät daõy soá thöïc sao cho coù moät soá thöïc döông C ñeå cho | xn | § n-1C  n Õ . Chöùng minh {xn } hoäi tuï veà 0 . Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho | xn - 0 | <   n > N() Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho | xn | <   n > N() Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho n-1C <   n > N() Cho moät  > 0 tìm moät N()  Õ sao cho  C N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 177
Baøi toaùn 20. Chöùng minh {2-n} hoäi tuï veà 0 . Chuùng ta moâ hình toaùn hoïc nhö sau : ñaët xn = 2-n  n Õ . Chöùng minh {xn } hoäi tuï veà 0 . Chöùng minh coù moät soá thöïc C sao cho | xn | § n-1  n Õ . Pn : n § 2 n  n  Õ ( 2-n § n-1 ; 2-k - n § 2-k .n-1 ) P1 : 1 § 21 = 2 ñuùng Pn ñuùng : n § 2n Pn+1 : n +1 § 2 n+1 n +1 = ( n ) + 1 § 2 + 1 §n 2n + 2 § 2. 2 n n = 2 n+1 GIAI TICH 1 - CHUONG 5 178
 > 0  N()Õ sao cho ?  > 0  N()Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  | xn- a| §   n > N()  > 0  N()Õ sao cho ? ’>0, M(’)Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  |xn - a | § ’  n > M(’)  > 0  N()Õ sao cho  ’>0  M(’)Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  |xn - a | § ’  n > M(’)  > 0  N()Õ sao cho ’>0  M(’)Õ sao cho | xn - a | <    n > N()GIAI TICH 1 - CHUONG |xn - a | § ’  n > M(’) 5 179
 > 0  N()Õ sao cho ’>0  M(’)Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  |xn - a | § ’  n > M(’) Cho moät ’ > 0 ta coù moät M(’)  Õ sao cho | xn - a | § ’  n > M(’) Cho moät  > 0 tìm N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 180
Cho moät ’ > 0 ta coù moät M(’)  Õ sao cho | xn - a | § ’  n > M(’) Cho moät  > 0 tìm N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N() <    1 2  Cho moät  > 0 tìm N()  Õ sao cho | xn - a |  1 2   n > N() Cho , ñaët ’ = 1 2  , ta coù M(’) , ñaët N() =GIAIM(’) = M( TICH 1 - CHUONG 5 1  ) 181 2
 > 0  N()Õ sao cho ?  > 0  N()Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  | xn- a| <   n  N()  > 0  N()Õ sao cho ? ’>0  M(’) sao cho | xn - a | <   n > N()  |xn - a | < ’  n  M(’) n > N()  n  N() + 1 Baøi taäp töï laøm  > 0  N()Õ sao cho ?  > 0  N()Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  | xn- a| §   n  N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 182
Ñònh nghóa . Cho g laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ vaøo Õ . Ñaët nk = g(k)  k Õ. Ta duøng {nk } thay cho {xn } vì ta thöôøng kyù hieäu caùc soá nguyeân döông laø n g(k) = 12  k  Õ nk = 12  k Õ g(k) = k  k  Õ nk = k  k Õ g(k) = 3k  k  Õ nk = 3k  k  Õ g(k) = k2 - 8k+100  k  Õ nk = k2 -8k + 100  k  Õ GIAI TICH 1 - CHUONG 5 183
g   Cho g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ vaø f laø moät f aùnh xaï töø Õ vaøo fog —. Ñaët xn = f(n)  n œ Õ  bk = fog(k)  k œÕ Ta thaáy fog cuõng laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo — . Vaäy {xn} vaø {bk} GIAI laø TICH 1 -caù c daõ CHUONG 5 y soá thöïc . 184
Cho { xn } laø moät daõy soá thöïc vaø moät soá thöïc a . Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu   > 0  N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N() Cho g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ vaø f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo —. Ñaët xn = f(n)  n œÕ. bk = fog(k)  k œÕ. bk =x g ( k )  k œÕ k g(k)  k œÕ GIAI TICH 1 - CHUONG 5 185 §
Neáu g taêng g nghieâm caùch thì   k § g(k)  k œ Õ Ta noùi {bk} laø f moät daõy con cuûa fog {xn} neáu g taêng nghieâm caùch. Luùc ñoù ta kyù hieäu  bk = x nk ( bn = fog(n) = bn = f (g(n) ) = f(nk ) ) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 186
Neáu g(n) = 2n ta kyù hieäu x n laø x2n k Neáu g(n) = 2n+1 ta kyù hieäu x n laø x2n+1 k Neáu g(n) = 5n+3 ta kyù hieäu x n laø x5n+3 k GIAI TICH 1 - CHUONG 5 187
Baøi toaùn 21. Cho moät daõy soá thöïc {an}. Chöùng minh ba ñieàu sau ñaây töông ñöông (1) {an} hoäi tuï veà a trong — . (2) {an - a } hoäi tuï veà 0 trong — . (3) {|an - a |} hoäi tuï veà 0 trong — .   > 0  N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  ’ > 0  M(’)  Õ sao cho | (xm - a ) - 0 | <   m > M(’)  ” > 0  K(”)  Õ sao cho | |xk - a | - 0 | <   k > K(”) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 188
  > 0  N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  ’ > 0  M(’)  Õ sao cho | (xm - a ) - 0 | <   m > M(’)  ” > 0  K(”)  Õ sao cho | |xk - a | - 0 | <   k > K(”)   > 0  N()  Õ sao cho | xn - a | <   n > N()  ’ > 0  M(’)  Õ sao cho | (xm - a ) | = | xm - a | <   m > M(’)  ” > 0  K(”)  Õ sao cho | |xk - a | | = |xk - a | <   k > K(”) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 189