Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lí cosin cho tứ diện

HNUE JOURNAL OF SCIENCE<br /> Educational Sciences, 2018, Volume 63, Issue 5, pp. 50-58<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> DOI: 10.18173/2354-1075.2018-0061<br /> <br /> PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN<br /> THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG TÁI KHÁM PHÁ ĐỊNH LÍ COSIN CHO TỨ DIỆN<br /> Lê Văn Cường1, Trần Cường2<br /> 1<br /> Trường THCS&THPT Nguyễn Tất Thành, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội<br /> 2<br /> Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội<br /> Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi tìm hiểu về một số phiên bản khác nhau của định lí<br /> cosin trong không gian, thiết kế nội dung cho tình huống học tập tái khám phá định lí nhằm<br /> rèn luyện tư duy sáng tạo cho người học. Một hoạt động thực nghiệm được thiết kế và tổ chức<br /> cho 81 sinh viên K65 (năm thứ ba) ngành Toán ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, cho phép<br /> bước đầu đánh giá về khả năng - thói quen tiến hành hoạt động tương tự hóa ở người học, kéo<br /> theo những kết luận đầu tiên về tính khả thi, hiệu quả của tình huống.<br /> Từ khoá: Tư duy sáng tạo, sinh viên sư phạm toán, định lí cosin, tứ diện.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Tổng quan về lịch sử nghiên cứu sự sáng tạo trong khoa học giáo dục [1] cho thấy, mặc dù<br /> sáng tạo mới chỉ trở thành một khái niệm khoa học trong vòng hơn một thế kỉ, song trong nhiều<br /> cuộc thảo luận, tranh luận về triết học, tâm lí học, giáo dục học,... đã được nhen nhóm từ hàng<br /> nghìn năm trước. Freud, Piaget, Rogers và Skinner đã nghiên cứu và khám phá những quy luật<br /> khoa học đầu tiên vào đầu thế kỷ XX (Albert & Runco, 1999). Từ sau đó, rất nhiều các nghiên<br /> cứu trong lĩnh vực nghệ thuật, giáo dục học, nhận thức luận,... ngày càng làm sáng rõ bản chất của<br /> sự sáng tạo, chẳng hạn Finke và cộng sự (1996) đã chỉ ra sự liên quan mật thiết giữa sự sáng tạo<br /> và những trải nghiệm của chủ thể nhận thức.<br /> Bách khoa toàn thư về giáo dục toán học [2] cũng đề cập tới rất nhiều công trình về sáng tạo:<br /> năm 2002, Treffinger và cộng sự đã thống kê được hơn 100 quan niệm khác nhau cho sáng tạo<br /> toán học, có thể được chia thành hai xu hướng: Feldman, Csikczentmihalyi & Gardner (1994)<br /> dùng thuật ngữ sáng tạo lớn để chỉ sự tạo ra những tri thức, sản phẩm mới có tác dụng thay đổi<br /> thế giới quan của cộng đồng, nhân loại, trong khi thuật ngữ sáng tạo nhỏ gần với khung cảnh<br /> trường học được đưa ra bởi Kauffman (2009). Nhiều tác giả cũng gắn sáng tạo với lĩnh vực tri<br /> thức liên quan để nói về sáng tạo trong những lĩnh vực chuyên biệt (domain specific) và sáng tạo<br /> chung (domain general). Dù là sáng tạo lớn hay nhỏ, ở lĩnh vực chuyên biệt hay chung chung, tất<br /> cả các quan niệm đều nhấn mạnh ở sản phẩm cần có tính mới và tính có ý nghĩa (Kaufman &<br /> Sternberg, 2006). Mới và có ý nghĩa, tất nhiên cũng có mức tương đối, trong giáo dục toán học,<br /> đối với học sinh phổ thông, sáng tạo có thể xem là quá trình sản sinh ra một ý tưởng, giải pháp<br /> mới cho một vấn đề toán học hoặc sự hình thành những câu hỏi mới.<br /> <br /> Ngày nhận bài: 6/4/2018. Ngày sửa bài: 23/05/2018. Ngày nhận đăng: 30/5/2018.<br /> Tác giả liên hệ: Trần Cường, email: trancuong@hnue.edu.vn.<br /> <br /> 50<br /> <br /> Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine…<br /> <br /> Ở nước ta, sáng tạo được coi là một phẩm chất của con người mới. Nhiệm vụ và mục tiêu cơ<br /> bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích<br /> cực cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo. “Làm thế nào<br /> phát triển tư duy sáng tạo cho người học?” là câu hỏi nhận được quan tâm rộng khắp của cộng<br /> đồng nghiên cứu: tìm kiếm tiếng Việt trên Google với từ khóa tư duy sáng tạo cho gần 9 triệu kết<br /> quả, tìm kiếm từ khóa sáng tạo tại thư viện quốc gia cho gần 800 ngàn kết quả trong các tóm tắt<br /> tài liệu; trên trang web của Tạp chí giáo dục trả về 345 bài báo khoa học có liên quan. Một số tác<br /> giả đã dành mối quan tâm tới việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán. Trong [3]<br /> (2010), B. V. Nghị đã đề xuất biện pháp rèn luyện phương pháp sáng tạo bài toán cho sinh viên sư<br /> phạm toán thông qua nội dung Tọa độ trong không gian: dựa trên một số dữ kiện (tọa độ, phương<br /> trình) cho trước, thảo luận để đặt ra bài tập mới. Cách làm này khiến cho giờ Lý luận dạy học trở<br /> nên sôi nổi, hấp dẫn, sinh viên hoạt động tích cực, đề ra được nhiều bài tập thú vị. Tuy nhiên bài<br /> báo chưa quan tâm tới khía cạnh thể thức hóa, quy trình hóa để có một phương pháp chung sáng<br /> tạo bài tập mới trong những tình huống khác nhau. B. D. Hưng ([4], 2011) đã đề xuất các hướng<br /> khai thác bài tập toán THPT và cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu bài toán<br /> cho sinh viên. Một số ví dụ điển hình được đưa ra cùng những phân tích về sự biến đổi bằng suy<br /> luận có lí, cùng quy trình dạy khai thác bài toán cho sinh viên. Cách làm này tập trung vào một số<br /> bài toán giàu tiềm năng được lựa chọn kỹ càng từ trước, nhưng không đề cập đến quá trình làm<br /> việc cùng những kết quả trung gian của sinh viên.<br /> Việc triển khai dạy sáng tạo trong nhà trường sư phạm còn rất cần được tiếp tục nghiên cứu,<br /> cải thiện. Mục đích của bài báo này là thiết kế một tình huống giúp sinh viên sư phạm toán khám<br /> phá lại định lí cosin trong Hình học không gian. Xuất phát từ định lí cosin trong Hình học phẳng<br /> bằng cách sử dụng tương tự hóa và một số hoạt động trí tuệ cơ bản khác - lấy ý tưởng từ cách làm<br /> của Polya - hướng tới phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên.<br /> Bằng các phương pháp Nghiên cứu lí luận, Tổng kết kinh nghiệm và Thực nghiệm sư phạm,<br /> nghiên cứu trả lời những câu hỏi sau: (1) Tư duy sáng tạo có những đặc trưng gì? (2) G. Polya<br /> quan niệm thế nào về những suy luận có lí? (3) Định lí cosin có những phiên bản nào, quá trình<br /> hình thành phát triển ra sao? (4) Có thể hướng dẫn người học tái khám phá định lí cosin như thế<br /> nào để rèn luyện các hoạt động thuộc về tư duy sáng tạo?<br /> <br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Tư duy sáng tạo<br /> 2.1.1. Tư duy<br /> Theo [5] (1999), tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những<br /> mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách<br /> quan. Hai thuộc tính quan trọng của tư duy là: 1- tính có vấn đề, tức là tư duy chỉ nảy sinh trong<br /> hoàn cảnh chứa đựng mục đích, vấn đề, cách thức mới mà những kinh nghiệm, hiểu biết cũ không<br /> đủ để giải quyết. Vấn đề phải được nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân;<br /> 2- tính gián tiếp, ngụ ý tư duy phát hiện được bản chất nhờ các phương tiện, công cụ, kết quả của<br /> nhận thức cảm tính, dựa trên kinh nghiệm của chủ thể. Ngoài ra, tư duy còn có tính trừu tượng,<br /> khái quát, liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ,… Muốn thúc đẩy người học tư duy phải đặt họ vào tình<br /> huống có vấn đề, phát triển tư duy phải song song với trang bị tri thức, phải gắn với trau dồi ngôn<br /> ngữ và rèn luyện cảm giác, tri giác, tính nhạy cảm, năng lực quan sát và trí nhớ.<br /> Có 5 nhóm hoạt động trí tuệ gắn với nội dung môn Toán: nhận diện - thể hiện; hoạt động<br /> toán học phức hợp; hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán; hoạt động trí tuệ chung; hoạt<br /> động ngôn ngữ ([6, ch. 2], 2017).<br /> 51<br /> <br /> Lê Văn Cường, Trần Cường<br /> <br /> Trong các hoạt động trí tuệ chung, ngoài phân tích, tổng hợp, so sánh,..., G. Polya đặc biệt<br /> quan tâm tới khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự. Trong [7], (1954), tác giả coi “hai hệ là<br /> tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận<br /> tương ứng”. Tương tự hóa thường dùng trong suy luận bằng quy nạp, tìm tòi lời giải,... Khái quát<br /> hóa, đặc biệt hóa và tương tự hợp tác với nhau trong việc giải quyết các vấn đề toán học, chúng<br /> “kết hợp một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm lời giải của bài toán”, giúp hình thành khái<br /> niệm và các tri thức lí thuyết, mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu và<br /> hệ thống hóa kiến thức, về lâu dài, hình thành các phẩm chất trí tuệ cho người học, đặc biệt là tư<br /> duy sáng tạo (TDST).<br /> 2.1.2. Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy<br /> nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị [8].<br /> Những dấu hiệu quan trọng của TDST là (i) Sự tự lực chuyển các tri thức, kỹ năng sang một<br /> tình huống mới; (ii) Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết đúng quy cách; (iii)<br /> Nhìn thấy một chức năng mới của một đối tượng quen biết; (iv) Nhìn thấy cấu trúc mới của đối<br /> tượng đang nghiên cứu; (v) Có khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau; (vi)<br /> Biết kết hợp những phương thức đã biết thành một phương thức mới; (vii) Tạo ra cách làm độc<br /> đáo tuy đã biết nhiều cách khác.<br /> Trí tưởng tượng không gian là một trong những tiền đề quan trọng của TDST. Nó được thể<br /> hiện ở khả năng nhận thức cấu trúc thực tế của hình khối, nhận ra mối quan hệ giữa các đường,<br /> mặt, các hình, dễ dàng nhìn nhận chúng dưới nhiều góc độ, theo sự thay đổi hướng nhìn và hướng<br /> xoay của bản thân hình được xét cùng các bộ phận của nó. “Trí tưởng tượng còn quan trọng hơn<br /> cả kiến thức. Kiến thức thì hạn chế. Trí tưởng tượng lại bao quanh cả thế giới” (A. Einstein).<br /> Cấu trúc của TDST được phân tích kỹ bởi nhiều tác giả quốc tế, chẳng hạn Renzulli (1990)<br /> đã đưa ra 5 thuộc tính quan trọng cơ bản: (1) Tính linh hoạt (flexibility) biểu hiện bởi khả năng<br /> nhanh chóng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; (2) Tính nhuần nhuyễn<br /> (fluency) là “đạt đến thành thạo, vận dụng một cách rất tự nhiên”; (3) Tính độc đáo (orginality)<br /> "thể hiện rõ nét ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới”; (4) Tính<br /> hoàn thiện (elabolation) đặc trưng bởi khả năng lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động trong cả<br /> một quá trình để đạt hiệu quả cao nhất, nhìn các sự vật hiện tượng một cách toàn diện, khách quan<br /> và trong sự vận động, trong các mối quan hệ, “thấy được cả mâu thuẫn và thống nhất, cái chung<br /> và cái riêng, nội dung và hình thức”; (5) Tính nhạy cảm vấn đề (problem’s sensibility), tức nhanh<br /> chóng phát hiện ra vấn đề, liên tưởng tốt các mối quan hệ mà thậm chí không cần suy luận. Theo<br /> tâm lí học, nhạy cảm là đặc điểm riêng biệt, tương đối bẩm sinh, nhưng có thể được bồi đắp thông<br /> qua rèn luyện thường xuyên, khoa học. Một số thuộc tính khác của TDST cũng đáng quan tâm có<br /> thể kể tới như: tính chính xác (precise), năng lực định giá (ability to valued), phán đoán (decide),<br /> năng lực định nghĩa lại (redefinition).<br /> <br /> 2.2. Tái khám phá định lí cosin trong không gian<br /> Có một số phiên bản khác nhau của định lí cosin trong toán sơ cấp:<br /> Định lí 1. (định lí cosin cho tam giác) Trong mọi tam giác ABC<br /> a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A.<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Định lí 2. (định lí cosin cho góc tam diện) Gọi A, B, C là các góc phẳng, còn a , b ,g là các<br /> góc nhị diện tương ứng đối diện của cùng một góc tam diện thì:<br /> cos A = cos B cos C + sin B sinC cos a ; cos a = - cos b cos g + sin b sin g cos A.<br /> (2)<br /> <br /> 52<br /> <br /> Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine…<br /> <br /> Định lí 3. (định lí cosin cho lăng trụ tam giác) Trong lăng trụ tam giác ABCA'B'C' gọi Sa, Sb,<br /> Sc lần lượt là diện tích các mặt BCC'B', CAA'C', ABB'A' và g A , g B , g C lần lượt là các góc nhị diện<br /> cạnh AA', BB', CC' thì:<br /> (3)<br /> <br /> S a2 = Sb2 + Sc2 - 2Sb Sc cos g A .<br /> <br /> Trong tứ diện ABCD ký hiệu SA, SB, SC, SD lần lượt là diện tích các mặt BCD, ACD, ABD,<br /> ABC còn q AB là góc nhị diện cạnh AB và tương tự với q AC ,q AD ,q BC ,q CD ,q BD .<br /> Định lí 4. (định lí cosin I cho tứ diện)<br /> S A2 + S B2 - 2S A S B cos q CD =<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> éë AB.CD.sin( AB,CD) ùû .<br /> 4<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Định lí 5. (định lí cosin II cho tứ diện)<br /> S A2 = S B2 + SC2 + S D2 - 2S B SC cos q AD - 2SC S D cos q AB - 2S D S B cos q AC .<br /> <br /> (5)<br /> <br /> 2.2.1. Định lí cosin trong lịch sử toán<br /> Định lí 1 là một kết quả cổ điển trong hình học phẳng: một đơn vị kiến thức quan trọng trong<br /> chương trình Hình học 10: kết quả vận dụng của khái niệm tích vô hướng trong mặt phẳng, mở<br /> rộng tự nhiên của định lí Pythagoras, hệ thức lượng trong tam giác, cùng với định lí sine làm<br /> thành hai công cụ chính của phương pháp giải tam giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn.<br /> Mặc dù khái niệm cosin chưa xuất hiện ở thời đại của Euclid (khoảng thế kỷ thứ 3 trCN),<br /> nhưng kết quả tương đương đã có trong bộ Elements. Hai trường hợp tam giác nhọn và tam giác<br /> tù được trình bày riêng rẽ trong quyển 2, dưới dạng phát biểu bằng lời. Chẳng hạn:<br /> Trong tam giác tù, bình phương cạnh đối diện với góc tù lớn hơn tổng bình phương hai cạnh<br /> còn lại một lượng gấp đôi diện tích hình chữ nhật dựng bởi các kích thước: chiều dài bằng một<br /> trong hai cạnh góc tù chiều, rộng bằng hình chiếu của cạnh góc tù còn lại trên đó.<br /> Thời kì môn lượng giác, hệ quả của những nghiên cứu về thiên văn học, phát triển vượt bậc ở<br /> khu vực Tiểu Á, Al-Battani (thế kỉ X) đã khái quát kết quả của Euclid trong hình học cầu khi tính<br /> toán khoảng cách giữa các ngôi sao. Trở lại dạng phẳng với phát biểu gần giống ngày nay là công<br /> lao của Al-Kashi (sách Samarqand, thế kỷ XV – ở Pháp, định lí cosin được gọi là định lí AlKashi). Tới thế kỷ XVI, F. Viète đã học tập và truyền bá định lí về châu Âu. Tác phẩm sớm nhất ở<br /> châu Âu trình bày định lí giống hiện nay dường như là phần phụ lục về lượng giác trong sách<br /> Elements of Geometry: Containing the First Six Books of Euclid (J. Playfair, 1804).<br /> Tên gọi Định lí cosin (law of cosin), ban đầu được dùng cho một định luật trong quang học<br /> về mối liên hệ giữa cường độ ánh sáng chiếu tới một đơn vị diện tích trên hai bề mặt, được giới<br /> thiệu bởi Lambert (1870).<br /> Đến năm 1889, trong công trình [9], J. Casey mới dùng law of cosin trong hình học cho các<br /> Định lí 1, 2, 5, còn Định lí 4 chỉ là một bài tập. Là một cuốn sách thuần túy khoa học tự nhiên, [9]<br /> hoàn toàn không giải thích làm thế nào mà J. Casey (hoặc các nhà toán học trước đó) đã tới được<br /> các định lí cosin cho tứ diện. Tuy nhiên, với tiêu đề A treatise on spherical trigonometry and its<br /> applications on geodesy and astronomy, có căn cứ để tin rằng các định lí cosin trong không gian<br /> liên quan và có nguồn gốc từ các bài toán trong kỹ thuật hàng hải, trắc địa, thiên văn học; Tất<br /> nhiên, cũng không loại trừ khả năng các nhà toán học phát minh ra chúng nhờ sự mở rộng hoàn<br /> toàn lí thuyết (trong lời nói đầu, Casey gọi [9] là kế thừa tự nhiên của tác phẩm trước đó A<br /> Treatise on Plane Trigonometry, Containing an Account of Hyperbolic Functions).<br /> 53<br /> <br /> Lê Văn Cường, Trần Cường<br /> <br /> 2.2.2. Tái khám phá định lí cosin trong không gian<br /> Trong không gian có nhiều hình tương tự như tam giác trong mặt phẳng. Liệu trên những<br /> hình đó, có kết quả giống với định lí cosin trong tam giác không?<br /> * Hình không gian tương tự với tam giác<br /> - Nếu nhìn tam giác là hình phẳng gồm 3 đoạn thẳng "gắn" với nhau tại các đầu mút thì trong<br /> không gian có thể chọn: lăng trụ tam giác là hình được tạo thành nhờ "dán" 3 hình bình hành tại<br /> các "mép" là những đoạn thẳng bằng nhau; góc tam diện cũng được tạo thành khi "dán" 3 góc<br /> phẳng chung đỉnh.<br /> - Nếu nhìn tam giác như hình tạo bởi một phần của đường thẳng làm đáy với một điểm ở<br /> ngoài đường thẳng làm đỉnh thì trong không gian có thể chọn:<br /> Hình nón, thu được khi lấy một hình tròn làm đáy, một điểm nằm ngoài mặt phẳng hình tròn<br /> làm đỉnh. Đoạn thẳng trên đường thẳng hay hình tròn trên mặt phẳng đều là các hình cầu: Trên<br /> đường thẳng d cho hai điểm A, B cách nhau một khoảng 2R rồi gọi J là trung điểm của AB thì AB<br /> = {M, JM ≤ R} là hình cầu 1 chiều. Còn trên mặt phẳng cho điểm J thì hình tròn tâm J bán kính R<br /> được định nghĩa bởi tập hợp {M, JM ≤ R} là hình cầu 2 chiều;<br /> Hình chóp thu được khi lấy một đa giác phẳng làm đáy, một điểm nằm ngoài mặt phẳng đa<br /> giác làm đỉnh. Đoạn thẳng trên đường thẳng hay đa giác trên mặt phẳng đều là các đơn hình, tức<br /> giao một số hữu hạn các nửa không gian.<br /> - Nếu nhìn miền tam giác như hình phẳng giới nội tạo bởi 3 đường thẳng (không thể ít hơn 3)<br /> thì trong không gian, cần ít nhất 4 mặt phẳng mới có thể tạo được một phần không gian như vậy,<br /> đó là một miền tứ diện. Cả tam giác và tứ diện, trong không gian của mình, đều là những hình giới<br /> nội tạo bởi một số tối thiểu các siêu phẳng trong không gian tương ứng.<br /> * Quy trình phát triển các giả thuyết<br /> Trên những hình vừa chọn, với một quy trình thích hợp, có thể đưa ra một số phán đoán<br /> giống với Định lí 1.<br /> Bước 1. Phân tích và so sánh tìm sự giống nhau để tương tự hóa các từ khóa.<br /> Bảng 1. Hình tương tự với tam giác trong không gian<br /> <br /> Cấu<br /> tạo<br /> <br /> Tam giác ABC<br /> <br /> Lăng trụ<br /> ABCA'B'C'<br /> <br /> 2 cạnh bên b, c<br /> "chụm lại" ở đỉnh<br /> A tạo với nhau<br /> góc A và "căng<br /> ra" đoạn BC<br /> <br /> 2 mặt bên AA'C'C và<br /> AA'B'B "chụm lại" ở<br /> AA', tạo với nhau góc<br /> g A và "căng ra" mặt<br /> BCC'B'<br /> <br /> Tứ diện ABCD<br /> 2 mặt bên CDB,<br /> CDA "chụm lại" ở<br /> CD, tạo với nhau<br /> góc qCD và "căng<br /> ra" đoạn AB<br /> <br /> 3 mặt bên ABC, ACD,<br /> ADB "chụm lại" ở đỉnh<br /> A, đôi một tạo với nhau<br /> các góc q AB ,q AC ,q AD và<br /> "căng ra" mặt BCD<br /> <br /> Bước 2. Tổng hợp các yếu tố mới theo cấu trúc cũ từ mệnh đề gốc để phát biểu các giả thuyết.<br /> (Mệnh đề gốc, Định lí 1.) Trong tam giác, bình phương cạnh đáy bằng tổng bình phương hai cạnh bên<br /> trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc ở đỉnh.<br /> <br /> Giả thuyết 1. Trong lăng trụ tam giác bình phương diện tích mặt bên bằng tổng bình phương<br /> diện tích hai mặt bên còn lại trừ đi hai lần tích với cosin góc giữa hai mặt đó, công thức (3).<br /> Giả thuyết 2. Trong tứ diện, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương diện tích hai mặt<br /> bên trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc nhị diện giữa hai mặt đó:<br /> AB 2 = S A2 + S B2 - 2 S A S B cos q CD .<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Giả thuyết 3. Trong tứ diện, bình phương diện tích mặt đáy bằng tổng bình phương diện tích<br /> ba mặt bên trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc tam diện xác định ở đỉnh đối diện:<br /> 54<br /> <br />