Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT<br /> ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP<br /> <br /> Hồ Phi Tứ<br /> Khoa Toán<br /> Email: tuhp@dhhp.edu.vn<br /> <br /> Ngày nhận bài: 12/6/2019<br /> Ngày PB đánh giá: 08/8/2019<br /> Ngày duyệt đăng: 16/8/2019<br /> TÓM TẮT<br /> Trong bài báo này chúng tôi áp dụng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường để giải bài toán bất đẳng<br /> thức biến phân hai cấp BVI ( C , F , G ) . Đây là một phương pháp mới để giải bài toán này. So với các<br /> phương khác thì phương pháp dưới đạo hàm tăng cường có ưu việt là trong thuật toán chỉ cần một phép<br /> chiếu trên C, phép chiếu thứ hai được chiếu lên một nửa không gian. Do đó phương pháp này cho kết<br /> quả tính toán nhanh hơn. Chúng tôi chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới nghiệm của bài<br /> toán trên không gian Hilbert thực.<br /> Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân hai cấp, đơn điệu mạnh , dưới đạo hàm<br /> tăng cường, liên tục Lipschitz.<br /> A SUB-EXTRAGRADIENT METHOD FOR BILEVEL VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEMS<br /> ABSTRACT<br /> In this paper, we introduce a method for solving bilevel variational inequality problems. With this method,<br /> we need only one projection on C. Therefore, it gives faster calculation results. This is a new iteration<br /> algorithm and we show that these problems can be solved by subgradient extragradient iteration method. We<br /> obtain a strong convergence of iteration sequences generated by this method in a real Hilbert space.<br /> Key words. Variational inequality problem, bilevel variational inequalities problem, strongly monotone,<br /> sub- extragradient, Lipschitz continuous.<br /> <br /> 1. GIỚI THIỆU<br /> Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực  . Bài toán<br /> bất đẳng thức biến phân VI ( C , F ) có dạng<br /> Tìm x* ∈ C sao cho F ( x *) , x − x * ≥ 0 ∀x ∈ C ,<br /> Trong đó F : Ω →  là ánh xạ đi từ Ω vào  gọi là ánh xạ giá, Ω là C hoặc  .<br /> Trong bài báo này chúng tôi quan tâm tới bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, là<br /> bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán biến phân khác ([1], [5]).<br /> Được tóm tắt như sau: Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert<br /> thực <br /> Tìm x* ∈ Sol (C, G) sao cho F (x * ), y − x * ≥ 0 ∀y ∈ Sol ( C , G ) , (1.1)<br /> trong đó F : → và Sol ( C , G ) là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân<br /> VI ( C , G ) với G cũng là ánh xạ từ  vào  và bài toán này được ký hiệu vắn tắt là<br /> <br /> <br /> 86 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG<br />  BVI ( C , F , G ) . Bài toán này cũng nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong<br /> nước cũng như trên thế giới và có nhiều thật toán được đưa ra. Những ban đầu chỉ là các<br /> thuật giải trong các trường hợp riêng của bài toán như trương hợp F = ∇f ; G = ∇g với f,<br /> g là các các hàm lồi khả vi và khí đó bài toán BVI ( C , F , G ) chính là bài toán cực tiểu hai<br /> cấp. Một trường hợp khác là F (x) = x khi đó BVI ( C , F , G ) trở thành bài toán tìm chuẩn<br /> nhỏ nhất trên tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán này được Yao, Y. sử<br /> dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải. Thuật toán được tóm tắt như sau:<br />  x0 ∈ C,<br /> <br />  k<br />  y =PC ( x − λG (x ) − α k x ) ,<br /> k k k<br /> <br />  k +1<br />  x = PC ( x − λG (x ) + µ (y − x ) ) .<br /> k k k k<br /> <br /> <br /> <br /> Với điều kiện hàm G đơn điệu mạnh ngược, khi đó dãy {x k } hội tụ mạnh về nghiệm<br /> x* = PSol (C,G) ( 0 ) . Gần đây tác giả Anh P.N. và các cộng sự ([2]) đề xuất một thuật toán<br /> giải bài toán BVI ( C , F , G ) bằng sự kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường và lý<br /> thuyết điềm bất động của ánh xạ không giãn. Thuật toán bao gồm các bước sau:<br /> Bước 1.Tính = y k PC ( x k − α k G (x k ) ) và<br /> = z k PC ( x k − α k G (y k ) )<br /> Bước 2. Vòng lặp trong: xác định h k<br />  x k ,0= z k − λ F (z k ),<br /> <br />  k, j<br /> y<br /> = PC ( x k , j − δ j G (x k , j ) ) ,<br />  k , j +1<br />  x = α j x k ,0 + β j x k , j + γ j PC ( x k , j − δ j G (y k , j ) ) .<br /> <br /> Nếu x k , j +1 − PSol (C, G ) ( x k ,0 ) ≤ ε k thì đặt h k = x k , j +1 và đi đến bước 3. Ngược lại tăng<br /> j: = j+1<br /> Bước 3. Đặt x k +1 =α k u + β k x k + γ k h k . Tăng k lên 1 và quay lại bước 1.<br /> Trong đó F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz; G giả đơn điệu và liên tục Lipschitz<br /> trên C cùng với các tham số được chọn thích hợp. Khi đó các dãy {x k } và {z k } cùng<br /> hội tụ về nghiệm của bài toán BVI ( C , F , G ) . Tuy nhiên tại mỗi bước lặp ta chỉ tìm được<br /> nghiệm xấp xỉ của bài toán.<br /> Ta có các định nghĩa ([3], [4])<br /> Ÿ Ánh xạ F : → được gọi là β - đơn điệu mạnh trên , nếu tồn tại β > 0 sao cho<br /> F ( x) − F ( y), x − y ≥ β x − y<br /> 2<br /> ∀x, y ∈ .<br /> Ÿ Ánh xạ F : → được gọi là L - liên tục Lipschitz trên , nếu tồn tại L > 0<br /> sao cho<br /> F ( x ) − F ( y ) ≤ L x − y ∀x, y ∈ �<br /> .<br /> Ÿ Ánh xạ G : → được gọi là η - đơn điệu mạnh ngược trên , nếu tồn tại<br /> η > 0 sao cho<br /> <br /> Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 87<br />  2<br /> G ( x) − G ( y), x − y ≥ η G ( x) − G ( y) ∀x, y ∈ .<br /> Ta giả thiết các ánh xạ F , G : → của bài toán bất đẳng thức biến phân hai<br /> cấp (1.1) thỏa mãn các điều kiện:<br /> ( A1 ) : F là β - đơn điệu mạnh và L - liên tục Lipschitz trên .<br /> ( A2 ) : G là η - đơn điệu mạnh ngược trên .<br /> II. THUẬT TOÁN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ<br /> Thuật toán 2.1.<br /> 2β<br /> Bước 0. Chọn x 0 ∈ , 0 < µ < 2 , các dãy {α k } ⊂ ( 0,1) và {λk } sao cho<br /> L<br />  ∞<br /> lim α k =∑0, α k = ∞,<br />  k →∞ n =0<br /> <br /> {λk } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0;η ) .<br /> <br /> (<br /> PC x k λk G ( x k ) , z k =<br /> Bước 1. Tính y k =− ) (<br /> PTk x k − λG ( y k ) , )<br /> (k = 0, 1, 2,…)<br /> {<br /> trong đó Tk = ω ∈  : x k − λG ( x k ) − y k , ω − y k ≤ 0 . }<br /> ( )<br /> Bước 2. Tính x = z − α k µ F z ,<br /> k +1 k k<br /> <br /> <br /> Nếu x k +1 = x k thì dừng thuật toán và khi đó x k là nghiệm của bài toán BVI ( C , F , G ) .<br /> Ngược lại, k := k + 1 và quay lại Bước1.<br /> 1<br /> Nhận xét 2.1. Ở thuật toán 2.1, ta có thể chọn, ∞ chẳng hạn, α k = . Khi đó dễ<br /> dàng thấy rằng {α k } ⊂ ( 0,1) , lim α k = 0 và ∑ α k = ∞. k + 3<br /> k →∞ k =0<br /> Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 2.1, ta cần sử dụng một số bổ đề sau:<br /> Bổ đề 2.1. ([7]) Giả sử G : → là η - đơn điệu mạnh ngược trên . Khi đó G<br /> 1<br /> là - liên tục Lipschitz và tập nghiệm Sol ( C , G ) của bài toán bất đẳng thức biến phân<br /> VI η( C , G ) là lồi và đóng.<br /> Bổ đề 2.2 ([9]) Giả sử F : → là β - đơn điệu mạnh, L - liên tục Lipschitz trên<br /> 2β<br /> , 0 < α < 1, 0 < µ < .<br /> L2<br /> Khi đó<br /> x − αµ F ( x ) −  y − αµ F ( y )  ≤ (1 − ατ ) x − y ∀x, y ∈ ,<br /> trong đó<br /> 1 1 − µ ( 2 β − µ L2 ) ∈ ( 0,1].<br /> τ =−<br /> Bổ đề 2.3 ([6]) Cho {an } là dãy số thực không âm. Giả sử rằng với mọi số tự nhiên<br /> m, tồn tại số tự nhiên p ≥ m sao cho ap ≤ ap+1. Gọi n0 là số tự nhiên sao cho an0 ≤ an0 +1<br /> và xác định τ ( n ) với mọi n ≥ n0 bởi<br /> ( n ) max {k ∈  : n0 ≤ k ≤ n, ak ≤ ak +1}.<br /> τ=<br /> Khi đó {τ ( n )}n ≥ n là dãy không giảm thỏa mãn điều kiện lim τ ( n ) = ∞ và các bất<br /> 0 n →∞<br /> đẳng thức sau thỏa mãn<br /> <br /> 88 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG<br />  aτ ( n ) ≤ aτ ( n )+1 , an ≤ aτ ( n )+1 ∀n ≥ n0 .<br /> Bổ đề 2.4 ([8]) Giả sử {an } là dãy các số thực không âm thỏa mãn điều kiện<br /> an +1 ≤ (1 − α n ) an + α nξ n , ∀n ≥ 0,<br /> trong đó {an } là dãy trong ( 0,1) và {ξ n } là dãy số thực sao cho<br /> ∞<br /> (i ) ∑ αn =<br /> ∞;<br /> n =0<br /> <br /> ( ii ) lim sup ξ n ≤ 0.<br /> n →∞<br /> <br /> <br /> Khi đó lim an = 0.<br /> n →∞<br /> Kết quả hội tụ<br /> Định lý 2.1. Giả sử các điều kiện ( A1 ) , ( A2 ) được thỏa mãn và Sol ( C , G ) ≠ ∅. Khi<br /> đó dãy { xk } trong thuật toán 2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng<br /> thức biến phân hai cấp (1.1) .<br /> Ta chứng minh định lý trên theo các bước sau:<br /> Bước 1. Chứng minh: Với mọi x∗ ∈ Sol ( C , G ) , ta có<br /> <br /> z k − z ∗ ≤ x k − x∗ −<br /> (η − λk ) x k − y k − (η − λk ) y k − z k . ( 2.5 )<br /> η η<br /> Thật vậy. Từ định nghĩa y k và tính chất của phép chiếu<br /> x k − λk G ( x k ) − y k , z − y k ≤ 0. ∀z ∈ C. ( 2.6 )<br /> Sử dụng ( 2.6 ) và cách xác định Tk , ta thu được C ⊂ Tk .<br /> Vì G là η - đơn điệu mạnh ngược trên  và x∗ ∈ Sol ( C , G2) nên<br /> G ( y k ) , y k − x∗ ≥ G ( x∗ ) , y k − x∗ + η G ( y k ) − G ( x∗ )<br /> ( 2.7 )<br /> ≥ G ( x∗ ) , y k − x∗<br /> ≥ 0.<br /> <br /> Theo tính chất của phép chiếu và ( 2.7 )2, ta được<br /> 2<br /> z k − x∗ = PTk ( x k − λk G ( y k )) − x∗<br /> 2 2<br /> ≤ x k − λk G ( y k ) − x∗ − x k − λk G ( y k ) − z k<br /> 1<br /> Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và chú ý rằng G là - liên tục Lipschitz trên<br /> , ta có η<br /> 2 G ( x k ) − G ( y k ), z k − y k ≤ 2 G ( x k ) − G ( y k ) z k − y k<br /> 2<br /> ≤ xk − y k zk − yk<br /> η<br /> <br /> ≤<br /> 1<br /> η ( xk − y k<br /> 2<br /> + yk − zk<br /> 2<br /> ) .<br /> ( 2.9 )<br /> <br /> Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 89<br />  Từ định nghĩa của Tk và z k ∈ Tk , ta có<br /> x k − λk G ( x k ) − y k , z k − y k ≤ 0.<br /> Kết hợp bất đẳng thức trên với ( 2.8 ) và ( 2.9 ) , ta được<br /> <br /> + 2λk y k − z k , G ( y k )<br /> 2 2 2<br /> z k − x∗ ≤ x k − x∗ − xk − z k<br /> <br /> <br /> <br /> Bước 2. Chứng minh: Các dãy { x k } , {F ( x k )} , và {z k } là bị chặn. Vì<br /> + 2λk y − z , G ( y ) − (x − y )+(y )<br /> 2<br /> k ∗ 2 k k k k k k k<br /> = x −x −z<br /> ∗ 2<br /> + 2λk y k − z k , G ( y k ) − x k − y k<br /> 2 2<br /> = xk − x − yk − zk<br /> <br /> − 2 y k − z k , xk − y k<br /> 2 2 2<br /> = x k − x∗ − xk − y k − yk − zk<br /> <br /> + 2 y k − z k , λk G ( y k ) − x k + y k<br /> 2 2 2<br /> = x k − x∗ − xk − y k − yk − zk<br /> <br /> + 2 x k − λk G ( y k ) − y k , z k − y k + 2λk G ( x k ) − G ( y k ) , x k − y k<br /> 2 2 2<br /> ≤ x k − x∗ − xk − y k − yk − zk<br /> <br /> +<br /> λk<br /> η ( x −y<br /> k k 2<br /> + yk − zk<br /> 2<br /> )<br /> 2 2<br /> k ∗ 2<br /> (η − λk ) xk − y k (η − λk ) yk − zk<br /> =x − x − − .<br /> η η<br /> <br /> {λ k } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0; η ) nên từ ( 2.5 ) , ta có<br /> z − x ≤ x k − x∗ k ∗<br /> ∀k ∈ � (2.10)<br /> Thật vậy. Từ ( 2.10 ) và Bổ đề 2.2<br /> <br /> x k +1 − x∗ = z k − α k µ F ( z k ) − x∗<br /> = z k − α k µ F ( z k ) −  x∗ − α k µ F ( z k )  − α k µ F ( x∗ )<br /> <br /> ≤ z k − α k µ F ( z k ) −  x∗ − α k µ F ( z k )  + α k µ F ( x∗ )<br /> <br /> ≤ (1 − α kτ ) z k − x∗ + α k µ F ( x∗ )<br /> <br /> ≤ (1 − α kτ ) x k − x∗ + α k µ F ( x∗ )<br /> <br /> µ F ( x∗ )<br /> =(1 − α kτ ) x − x + α kτ k ∗ ( 2.11)<br /> τ<br /> trong đó<br /> 1 1 − µ ( 2 β − µ L2 ) ∈ ( 0,1]. .<br /> τ =−<br /> <br /> 90 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG<br />  Từ ( 2.11) , ta nhận được<br /> .<br /> k +1 ∗<br /> <br />  k ∗<br /> µ F ( x∗ ) <br /> <br /> x − x ≤ max  x − x , <br />  τ <br /> <br /> Bằng quy nạp, ta chứng minh được<br /> <br />  µ F ( x∗ ) <br /> <br /> .<br /> x k − x∗ ≤ max  x 0 − x∗ ,  ∀k ≥ 0<br />  τ <br /> <br /> Do đó dãy { x k } là bị chặn và do đó các dãy { F ( x k )} , { y k } và { z k } cũng bị chặn.<br /> Bước 3. Ta chứng minh dãy x k hội tụ mạnh đến x∗ , trong đó x∗ là nghiệm duy nhất<br /> của ( 2.1) .<br /> Thật vậy. Sử dụng Bổ đề 2.2, ( 2.10 ) và bất đẳng thức<br /> 2<br /> x− y ≤ x − 2 y, x − y ∀x, y ∈  �<br /> Ta được<br /> 2<br /> = z k − α k µ F ( z k ) − x∗<br /> 2<br /> x k +1 − x∗<br /> ( 2.12 )<br /> 2<br /> = z k − α k µ F ( z k ) −  x∗ − α k µ F ( x∗ )  − α k µ F ( x∗ )<br /> <br /> Ta xét hai trường hợp.<br /> Trường hợp 1: Tổng tại k0 sao cho dãy x − x<br /> k ∗<br /> {<br /> là giảm với k ≥ k0 . Khi đó dãy }<br /> { k<br /> số x − x<br /> ∗<br /> }<br /> hội tụ. Do đó từ ( 2.10 ) và ( 2.12 ) , ta được<br /> 2 2 ( 2.13)<br /> 0 ≤ x k − x∗ − z k − x∗<br /> <br /> − 2α k µ F ( x∗ ) , x k +1 − x∗<br /> 2<br /> ≤ −α kτ z k − x∗<br /> <br /> (<br /> + x k − x∗<br /> 2<br /> − x k +1 − x∗<br /> 2<br /> ).<br /> Vì dãy {x k<br /> − x∗ } hội tụ, lim α = 0, {x } và {z } là bị chặn, từ ( 2.12) ta có<br /> k →∞<br /> k<br /> k k<br /> <br /> ( 2.14 )<br /> lim(η<br /> k →∞<br /> x − x k<br /> − z − xk<br /> )<br /> ( − b ) x − y ≤ (η − λ ) x − y<br /> ∗ 2<br /> = 0. k<br /> k 2<br /> ∗ 2<br /> k<br /> k k 2<br /> <br /> <br /> η η<br /> Từ ( 2.5 ) và {λk } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0,η ) , ta có 2 2<br /> ≤ x k − x* − z k − x*<br /> ( 2.15 )<br /> Do đó từ ( 2.14 ) và ( 2.15 ) , ta thu được<br /> lim x k − y k =<br /> 0.<br /> k →∞<br /> Ta chứng minh<br /> <br /> <br /> Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 91<br />  ( 2.16 )<br /> lim sup F ( x ) , x − x<br /> ∗ ∗ k +1<br /> ≤ 0.<br /> k →∞<br /> <br /> <br /> { }<br /> Chọn dãy con x ki của dãy x k sao cho { }<br /> lim sup F ( x ), x − x<br /> ∗ ∗ k +1<br /> ≤ lim F ( x∗ ) , x∗ − x ki .<br /> k →∞ i →∞<br /> <br /> <br /> { } là bị chặn nên ta có thể giả thiết rằng x<br /> Vì dãy x ki ki<br /> hội tụ yếu đến x ∈ .<br /> Do đó<br /> limsup F ( x∗ ) , x∗=<br /> − x k +1 lim F ( x∗ ) , x∗ − x ki<br /> k →∞ i →∞ ( 2.17 )<br /> = F ( x* ) , x* − x .<br /> k k ki<br /> Vì lim x − y = 0 và x ki  x nên ta suy ra dãy y hội tụ yếu đến x . Vì tập C là<br /> k →∞<br /> lồi đóng nên nó đóng yếu, và do đó x ∈ C .<br /> Tiếp theo ta chứng minh x ∈ Sol (C , G ).<br /> Thật vậy, lấy x ∈ C Từ ( 2.6 ) ta có<br /> <br /> ( )<br /> x ki − λki G x ki − y ki , x − y ki ≤ 0 ∀i ∈ .<br /> <br /> Vì G là η - đơn điệu mạnh ngược trên  và bất đẳng thức Cauchy-Shwarz, ta đư<br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> G ( x ) , x ki − x ≤ G ( x ) , x ki − x + η G x ki − G ( x )<br /> <br /> ( )<br /> ≤ G x ki , x ki − x<br /> 1<br /> = ( )<br /> G x ki , x ki − y ki +<br /> λk<br /> λk G ( x k ) , y k − x<br /> i<br /> i i<br /> <br /> <br /> i<br /> <br /> <br /> 1<br /> = ( )<br /> G x ki , x ki − y ki +<br /> λk<br /> x ki − y ki , y ki − x<br /> i<br /> <br /> <br /> 1<br /> +<br /> λk<br /> ( )<br /> x ki − λki G x ki − y ki , x − y ki ( 2.18 )<br /> i<br /> <br /> <br /> 1<br /> ( )<br /> ≤ G x ki , x ki − y ki +<br /> λk<br /> λk G ( x k ) , y k − x<br /> i<br /> i i<br /> <br /> <br /> i<br /> <br /> <br /> 1<br /> ≤ G x ki ( ) x ki − y ki +<br /> λk<br /> x ki − y ki y ki − x<br /> i<br /> <br /> <br /> 1<br /> ≤ G x ki ( ) x ki − y ki +<br /> α<br /> x ki − y ki y ki − x .<br /> <br /> Lấy giới hạn ở ( 2.18 ) khi i → ∞, sử dụng tính bị chặn ở các dãy G x ki { ( )} , { y } ki<br /> <br /> <br /> <br /> và chú ý rằng lim x i − y<br /> k ki<br /> → 0, x ki  x , ta được G ( x ) , x − x ≤ 0 và do đó<br /> i →∞<br /> <br /> 92 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG<br />  G ( x ) , x − x ≥ 0 ∀x ∈ C. ( 2.19 )<br /> <br /> Đặt xt := (1 − t ) x + tx ∈ C , t ∈ [ 0,1]. Từ ( 2.19 ) , ta có<br /> 0 ≤ G ( xt ) , x − x<br /> Do đó với mọi 0 < t ≤ 1<br /> = G ( xt ) − G ( x ) , xt − x + G ( x ) , x − x<br /> 0 ≤ G ( xt ) , xt − x<br /> 1<br /> =≤ ηG x( tx− x x − x + G ( x ), x − x<br /> t ) , (1 − t ) x + tx − x<br /> <br /> = t1 G ( xt ) , x − x .<br /> = (1 − t ) x + tx − x x − x + G ( x ) , x − x<br /> η<br /> t<br /> + G ( x ), x − x .<br /> 2<br /> = x−x<br /> η<br /> Cho t → 0+ , ta được G ( x ) , x − x ≥ 0 hay x ∈ Sol (C , G ).<br /> Vì x∗ là nghiệm của bài toán ( 2.1) và x ∈ Sol (C , G ), ta có<br /> <br /> F ( x× ) , x − x∗ ≥ 0.<br /> <br /> Kết hợp với ( 2.17 ) , ta thu được lim sup F x∗ , x∗ − x k +1 ≤ 0.<br /> k →∞<br /> ( )<br /> Bất đẳng thức ( 2.12 ) có thể được viết lại như sau<br /> <br /> 2 2<br /> x k +1 − x∗ ≤ (1 − α kτ ) x k − x* + α kτξ k ,<br /> <br /> trong đó<br /> 2 µ F ( x∗ ) , x∗ − x k +1<br /> ξk = .<br /> τ<br /> 2<br /> Từ ( 2.16 ) , ta có lim sup ξ k ≤ 0. Theo bổ đề 2.4, ta được lim x k − x∗ 0, hay<br /> =<br /> k →∞<br /> x k → x∗ khi k → ∞. k →∞<br /> k<br /> Trường hợp 2: Tồn tại dãy con x j của dãy x k sao cho<br /> kj k j +1<br /> { } { }<br /> x − x∗ ≤ x − x∗ ∀j ∈ .<br /> <br /> Theo Bổ đề 2.3, tồn tại dãy không giảm {τ ( k )} ⊂  sao cho lim τ ( k ) = ∞ và các<br /> k →∞<br /> bất đẳng thức sau đúng với mọi k ∈  (đủ lớn).<br /> τ (k ) τ ( k ) +1 τ ( k ) +1<br /> x − x∗ ≤ x − x∗ , x k − x∗ ≤ x − x∗ . ( 2.20 )<br /> <br /> Do đó từ ( 2.11) và ( 2.20 ) ta được<br /> <br /> Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 93<br />  x<br /> τ (k )<br /> − x∗ ≤ x<br /> τ ( k ) +1<br /> − x∗ ( 2.21)<br /> <br /> (<br /> ≤ 1 − ατ ( k )τ z ) τ (k )<br /> − x ∗ + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) .<br /> <br /> Từ ( 2.10 ) và ( 2.21) , ta có<br /> 0≤ x<br /> τ (k )<br /> − x∗ − z<br /> τ (k )<br /> − x∗ ≤ −ατ ( k )τ z<br /> τ (k )<br /> − x ∗ + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) . ( 2.22 )<br /> <br /> Từ lim α k = 0 , tính bị chặn của z k và ( 2.22 ) , ta thu được<br /> k →∞<br /> { }<br /> ( 2.23)<br /> lim x<br /> k →∞<br /> ( τ (k )<br /> − x* − z<br /> τ (k )<br /> − x* =<br /> 0. )<br /> { } { } bị chặn và ( 2.23) , ta có<br /> Vì x k , z k<br /> ( 2.24 )<br /> lim  x =<br /> 2 2<br /> τ (k ) τ (k )<br /> − x∗ − z − x∗  0<br /> k →∞  <br /> <br /> Từ<br /> (η − λk ) ≥ (η − b ) > 0, ( 2.5 ) và ( 2.24 ) , ta suy ra<br /> η η ( 2.25 )<br /> τ (k )<br /> y ( ) 0, lim y<br /> τ (k )<br /> z ( ) 0.<br /> τ k τ k<br /> lim x −= −=<br /> k →∞ k →∞<br /> <br /> <br /> <br /> Theo bất đẳng thức tam giác<br /> τ (k ) τ (k ) τ (k ) τ (k ) τ (k ) τ (k )<br /> x −z ≤ x −y + y −z .<br /> <br /> Kết hợp với ( 2.25 ) , ta được<br /> τ (k ) τ (k )<br /> lim x −z 0.<br /> =<br /> k →∞<br /> Theo Bổ đề 2.2<br /> x<br /> τ ( k ) +1<br /> −x<br /> τ (k )<br /> = z<br /> τ (k )<br /> − ατ ( k ) µ F z ( ( ))− x ( ) .<br /> τ k τ k<br /> <br /> <br /> <br /> + α ( )µ F ( x ( ) ) .<br /> τ (k ) τ (k ) τ k<br /> ≤ z −x τ k<br /> <br /> <br /> Kết hợp với ( 2.26 ) , lim α k = 0 và tính chặn của dãy F x<br /> k →∞<br /> τ (k )<br /> { ( )}, ta được<br /> τ ( k ) +1 τ (k )<br /> lim x −x 0.<br /> =<br /> k →∞<br /> <br /> <br /> <br /> Bằng chứng mình tương tự như Trường hợp 1, ta thu được<br /> limsup F ( x∗ ) , x=<br /> ∗<br /> −x ( ) limsup F ( x* ) , x* − x<br /> τ k +1 τ (k )<br /> ≤ 0.<br /> ( 2.27 )<br /> x →∞ x →∞<br /> <br /> <br /> <br /> 94 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG<br />  Từ ( 2.12 ) và ( 2.20 ) , ta được<br /> <br /> ( ) ( )−x + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) , x ∗ − x<br /> ( 2.28 )<br /> 2 2<br /> τ ( k ) +1 τ (k ) τ k τ ( k ) +1<br /> x −x ≤ 1 − ατ ( k )τ x ∗<br /> <br /> <br /> <br /> ≤ (1 − α ( )τ ) x ( ) − x + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) , x ∗ − x<br /> 2<br /> τ k +1 ∗ τ ( k ) +1<br /> τ k<br /> .<br /> <br /> Do đó, từ ( 2.20 ) , ta được<br /> 2µ<br /> F ( x∗ ) , x∗ − x<br /> 2 2<br /> τ ( k ) +1 τ ( k ) +1<br /> x k − x∗ ≤ x − x∗ ≤ . ( 2.28 )<br /> τ<br /> Lấy giới hạn khi k → ∞ ở ( 2.28 ) và sử dụng ( 2.27 ) , ta được<br /> 2<br /> lim sup x k − x∗ ≤ 0.<br /> k →∞<br /> <br /> <br /> Do đó x k → x* khi k → ∞. Định lý hoàn toàn được chứng minh. <br /> III. KẾT LUẬN<br /> Bài báo đã đưa ra được một thuật giải mới cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai<br /> cấp và chứng minh được sự hội tụ mạnh của thuật toán về nghiệm của bài toán trên một<br /> không gian Hilbert thực. Với phương pháp dưới đạo hàm tăng cường, trong thuật toán chỉ<br /> cần một phép chiếu trên tập ràng buộc C , do đó việc tính toán được giảm nhẹ đi rất nhiều.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. Anh, P.N., Kim, J. K., Muu, L. D.(2012): An extragradient algorithm for solving bilevel variational<br /> inequalities. J. Glob. Optim. 52, 527 – 539 .<br /> 2. Anh, P.N., Kim, J. K., Muu, L. D.(2012): An extragradient algorithm for solving bilevel<br /> pseudomonotone variational inequalities. J. Glob. Optim. 52, 627 – 639.<br /> 3. Combettes, P.L., Hirstoaga, S.A.(2005): Equilibrium Programing in Hilbert Space. J. Nonlinear<br /> Convex Anal. 5, 117 – 136.<br /> 4. Konnov, I.V.(2000): Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities. Springer, Berlin.<br /> 5. Kalashnikov, V.V., Klashnikova, N.I.(1996): Solving two-level vatiational inequality. J. Glob .<br /> Optim. 8, 289 – 294.<br /> 6. Maingé, P.E.(2008): A hybird extragradient-viscosity mwthod for monotone operators and fixed<br /> point problem. SIAM J. Control Optim. 47 1499 – 1515.<br /> 7. Muu, L. D.(1998): Nhập môn các phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ Thuật, Hà Nội.<br /> 8. Xu, H. K.(2002): Iterative algotithms for nonlinear operators. J. London Math. Soc. 66, 240 – 256.<br /> 9. Yamada, I.(2011): The hybird steepest method for the variational inequality problem over th intersection<br /> of fixed point sets on nonexpansive mappings, in Inherently Parallel Algorithms for Feasibility anh Optimization<br /> anh Their Applications, Butnariu. D, Censo. Y, Reich. S (Eds.), Elsevier, New York, pp. 472 – 504.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 95<br />