Phương pháp toán tử Fourier tính quá trình quá độ

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

221
lượt xem 84
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phép biến đổi fourier là trường hợp đặc biệt củ phép biến đổi Laplace ( ta đã nói đến cách phân tích hàm chu kỳ ra chuỗi Fourier, tức là xác định các thành phần phổ của hàm gốc các biên độ, các pha các thành phần điều hòa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toán tử Fourier tính quá trình quá độ

Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 99 CHÆÅNG 17 PHÆÅNG PHAÏP TOAÏN TÆÍ FOURIER TÊNH QUAÏ TRÇNH QUAÏ ÂÄÜ §1. Pheïp biãún âäøi Fourier vaì caïc âàûc tênh phäø I. Pheïp biãún âäøi Fourier Våïi haìm f(t) tuyãût âäúi khaí têch, âàûc biãût laì haìm giaíi têch cuía biãún p trãn truûc aío. Luïc âoï coï thãø thay p = jω ta coï : ∞ ∫ f ( t )e dt = F( jω) laì pheïp biãún âäøi Fourier thuáûn − j ωt (17-1) 0 1 ∞ ∫∞F( jω)e dω = f ( t ) laì pheïp biãún âäøi Fourier ngæåüc − jωt vaì (17-2) 2π − Pheïp biãún âäøi Fourier laì træåìng håüp âàûc biãût cuía pheïp biãún âäøi Laplace (ta âaî noïi âãún caïch phán têch haìm chu kyì ra chuäùi Fourier, tæïc laì xaïc âënh caïc thaình pháön phäø cuía haìm gäúc caïc biãn âäü, caïc pha caïc thaình pháön âiãöu hoìa. Têch phán Fourier chênh laì træåìng håüp giåïi haûn cuía chuäùi Fourier âäúi våïi caïc haìm khäng chu kyì). II. Phäø táön - máût âäü phäø cuía haìm f(t) 1 ∞ ∫∞F( jω)e dω = f ( t ) ta tháúy f(t) laì täøng vä haûn nhæîng haìm âiãöu hoìa coï − jωt Tæì 2π − táön säú liãûn tuûc - ∞ ≤ ω ≤ ∞ (táön säú phuí kên caí daíi táön säú trãn) 1 F( jω)dω = dF( jω) laì biãn âäü (17-3) 2π dF(jω) laì phäø cuía haìm f(t) noï laì phäø liãn tuûc, phán bäú daìy âàûc trãn truûc ω, goüi laì phäø âàûc nãúu f(t) khäng chu kyì, khaïc våïi phäø cuía haìm chu kyì laì phäø vaûch, råìi raûc. Âãø tiãûn tênh toaïn, biãøu diãùn ta âàûc træng phäø âoï bàòng haìm aính Fourier F(jω) cuía gäúc f(t). d F( jω) = 2π F( jω) goüi laì máût âäü phäø cuía gäúc f(t) (17-4) dω Haìm F(jω) laì haìm phæïc, biãún thæûc ω, thæåìng hæîu haûn vaì phán bäú liãn tuûc daìy âàûc trãn truûc säú -∞ ≤ ω ≤ ∞ . Váûy aính Fourier cuía mäüt haìm f(t) - laì máût âäü phäø cuía haìm gäúc âoï. Máût âäü phäø F(jω) coï thãø biãøu diãùn dæåïi caïc daûng sau âáy : 1. Phäø táön biãn pha : âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng F( jω) = F(ω)e jψ ( ω ) = F(ω)〈ψ(ω) (17-5) Trong âoï : F(ω) laì phäø biãn âäü, våïi f(t) laì haìm thæûc thç F(ω) laì haìm chàôn : F(-ω) = F(ω). ψ(ω) = argF(jω) laì phäø pha, noï laì haìm leí : ψ(-ω) = -ψ(ω). 2. Phäø táön thæûc - aío : âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng F(jω) = F1(ω) + j F2(ω) (17-6) F1(ω) phäø thæûc, haìm chàôn. Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 100 F2(ω) phäø aío, haìm leí. Vê duû : Cho haìm f ( t ) = e − at , haîy tçm aính Fourier vaì biãøu diãùn dæåïi daûng thæûc, aío, biãn, pha. 1 a ω 1 −ω f ( t ) = e −at ↔ = 2 −j 2 = 〈 arctg biãøu diãùn aính jω + a ω + a 2 ω + a2 ω +a 2 2 a Fourier dæåïi daûng thæûc, aío nhæ hçnh (h.17-1a,b), dæåïi daûng biãn, pha nhæ hçnh (h.17- 1c, d). F1 F2 F ψ 0 ω 0 ω 0 ω 0 ω h.(17-1a) h.(17-1b) h.(17-1c) h.(17-1d) 3. Biãøu thæïc quan hãû giæîa gäúc thåìi gian vaì phäø táön. Tæì F(jω) = F1(jω) + j F2(jω) 1 ∞ ∞ 2π −∫ theo (17-2) coï : f ( t ) = F( jω)e − jωt dω , theo (17-1) coï : F( jω) = ∫ f ( t )e − jωt dt ∞ 0 ∞ ∞ ruït ra : F1 (ω) = ∫ f ( t ) cos ωtdt , F2 (ω) = − ∫ f ( t ) sin ωtdt 0 0 ∞ 1 [F1 (ω) + jF2 (ω)](cos ωt + j sin ωt )dω 2π −∫ f (t ) = ∞ 1 ∞ 1 ∞ 2π −∫ 2π −∫ f (t ) = (F1 (ω) cos ωt − F2 (ω) sin ωt )dω + (F1 (ω) sin ωt + F2 (ω) cos ωt )dω ∞ ∞ 1 ∞ 2π −∫ maì ( F1 (ω) sin ωt + F2 (ω) cos ωt )dω = 0 (vç haìm leí) nãn coìn : ∞ 1 ∞ 2π −∫ f (t ) = (F1 (ω) cos ωt − F2 (ω) sin ωt )dω do laì haìm chàôn nãn coï : ∞ 1∞ f ( t ) = ∫ (F1 (ω) cos ωt − F2 (ω) sin ωt )dω π0 1 ∞ 2π ∫ vç f ( − t ) = (F1 (ω) cos ωt − F2 (ω) sin ωt )dω = 0 0 ∞ ∞ suy ra : ∫ F1 (ω) cos ωtdω = − ∫ F2 (ω) sin ωtdω 0 0 Nhæ váûy haìm f(t) coï thãø xaïc âënh qua pháön thæûc : 2∞ f ( t ) = ∫ F1 (ω) cos ωtdω (17-7) π0 f(t) cuîng coï thãø xaïc âënh qua pháön aío cuía máût âäü phäø : Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 101 2∞ π∫ f (t ) = − F2 (ω) sin ωtdω (17-8) 0 Âáy laì hai cäng thæïc cå såí cho ta phæång phaïp xaïc âënh gäúc thåìi gian f(t) khi biãút phäø táön thæûc hay aío cuía aính. Biãút F1(ω), F2(ω) räöi tênh caïc têch phán bàòng phæång phaïp gáön âuïng seî cho ra f(t). III. Âàûc tênh táön truyãön âaût : 1. Âàûc tênh táön truyãön âaût : Khi så kiãûn cuî triãût tiãu, våïi kêch thêch aính F(jω) seî coï âaïp æïng aính X(jω). Chuïng quan hãû tuyãún tênh våïi nhau qua haìm truyãön âaût : X ( jω ) K ( j ω) = (17-9) F ( j ω) K(jω) ↔ K(t) : Âàûc træng cho sæû truyãön âaût tæì f(t) âãún x(t). Noï chênh laì âàûc tênh táön truyãön âaût âaî quen åí quaï trçnh chu kyì. K(jω) chè phán bäú trãn truûc aío, noï chè tênh cháút læûa choün táön säú cuía maûch. Coï thãø bäú trê thê nghiãûm âãø veî âàûc tênh táön cuía mäüt maûch cáön xeït bàòng caïch cho taïc âäüng vaìo hãû xeït kêch thêch âiãöu hoìa coï táön säú f khaïc nhau räöi âo láúy âaïp æïng seî coï âàûc tênh táön åí caïc f khaïc nhau nhæ mä hçnh åí h.(17-2). Trong âoï hãû xeït coï thãø laì nhæîng häüp âen. MF ám táön Hãû xeït Âo F, ϕ h.(17-2) K ( jω) = K (ω)e jψ ( ω ) = K 1 (ω) + jK 2 (ω) Âàûc tênh táön K(jω) chæïa tin tæïc vãö tênh cháút, daïng âiãûu cuía quaï trçnh trong hãû nãn coï thãø tæì sæû phán bäú cuía K(jω) khaío saït quaï trçnh quaï âäü. 2. Quan hãû giæîa âàûc tênh táön truyãön âaût våïi âàûc tênh thåìi gian cuía maûch. Coï thãø tæì quan hãû thåìi gian våïi âàûc tênh táön âaî biãút xaïc âënh âæåüc haìm thåìi gian tæång æïng : 2∞ 2∞ K ( t ) = ∫ K 1 (ω) cos ωtdω = − ∫ K 2 (ω) sin ωtdω π0 π0 Biãút K1(ω) hoàûc K2(ω) coï thãø thæûc hiãûn caïc pheïp têch phán gáön âuïng cho ra K(t). §2. Vãö phæång phaïp toaïn tæí Fourier giaíi quaï trçnh quaï âäü. Toaïn tæí Fourier laì træåìng håüp riãng cuía toaïn tæí Laplace khi thay p = jω. Nãn coï thãø laìm hoaìn toaìn tæång tæû nhæ phæång phaïp Laplace âãø cho ra nghiãûm aính Fourier. Song nãúu chè coï váûy thç phæång phaïp Fourier khäng coï gç khaïc phæång phaïp Laplace. Coï khi coìn khoï khàn hån vç baíng aính gäúc Fourier ráút hiãúm nãn viãûc xaïc âënh gäúc khoï khàn. Nhæ váûy caïi khoï khàn cuía phæång phaïp Laplace laì giaíi Fn(p) = 0 (træåìng håüp Fn(p) báûc cao) cuîng seî khäng khàõc phuûc âæåüc båíi phæång phaïp Fourier. (Luän cáön phaíi giaíi p vç nãúu khäng cáön tçm gäúc thç cuîng phaíi xeït tênh cháút nghiãûm qua p). Vç váûy phæång phaïp Fourier khäng theo nghéa laì træåìng håüp riãng cuía phæång phaïp Laplace. Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 102 Caïi hay cuía aính Fourier laì qua aính Fourier F(jω) cuía gäúc f(t) ta tháúy aính Fourier laì phán bäú theo táön säú cuía gäúc. Âáy chênh laì cå såí âãø ta âæa ra phæång phaïp veî quaï trçnh quaï âäü theo caïc phäø táön. 2∞ 2∞ f ( t ) = ∫ F1 (ω) cos ωtdω = − ∫ F2 (ω) sin ωtdω π0 π0 Tæì âoï ta coï näüi dung tinh tháön phæång phaïp Fourier nhæ sau : Bàòng caïch naìo âoï (thæåìng bàòng thæûc nghiãûm) âo veî âæåüc âæåìng cong phäø táön thæûc F1(ω) hoàûc aío F2(ω) cuía quaï trçnh. Nãúu âãø nguyãn âæåìng cong F1(ω) hoàûc F2(ω) thç thæûc hiãûn pheïp têch phán chè ra gäúc f(t) khoï, nãn ngæåìi ta chia F1(ω) hoàûc F2(ω) thaình täøng nhæîng âæåìng cong daûng hçnh thang vuäng, maì mäùi hçnh âoï dãù daìng æïng våïi mäüt thaình pháön nghiãûm xi(t) coï thãø tra baíng (ngæåìi ta láûp træåïc baíng tra). Täøng caïc xi(t) seî laì nghiãûm x(t) cáön tçm. Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn