SGK - Đại số tuyến tính: Phần 1

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:127

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 Tài liệu Đại số tuyến tính gồm nội dung 5 chương đầu Tài liệu, trình bày các nội dung: Các khái niệm cơ bản, không gian tuyến tính, hệ phương trình tuyến tính, đại số ma trận, ánh xạ tuyến tính, dạng chuẩn tắc của ma trận của một phép biến đổi tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SGK - Đại số tuyến tính: Phần 1

NGÔ THỨC LANH ĐẠI S Ố TUYẾN TÍNH IN LẦN THỦ HAI có SỦA CHỮA KHẢ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP HÀ-NỘI - 1970
LỜI TỰA Đề đáp ứng kịp thời yêu cầu đòi hỏi của học sình khoa toán, lý các trường đại học Sir phạm, Tòng hợp và các cán bộ kỹ thuật đang cần trang bị thêm kiến thức vê toán, trong khi chờ đợi những cuốn sách thích hợp cho {ừng đối tượng, được sự thỏa thuận của Nhà xuệt bản Khoa học, chúng tôi cho tái bản có sửa ihữa cuốn « Đ ạ i số t u y ế n t í n h J> của lác giả Ngô thúc Lanh xuệt bủn năm p63. Vì kinh nghiệm còn ít nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong các bạn dọc, sáu khi dùng tài liệu này, gửi ve cho Nhà xuệt bản những ý kiến nhận xét và bề sung đề chúng tôi cải nín công tác phục vụ các bạn tót hơn. NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C VÀ TRƯNG H Ọ C CHUYÊN NGHIỆP
Mở đầu CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẲN § 1 . TẬP HỌP. QUAN H Ệ TƯƠNG ĐƯƠNG TroỆg sách này ta sẽ phải dùng đ ế n một số k h á i niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp và của đại số hiện đ ạ i . Vì vậy, trong phẫn mỏr đàu này ta cần xác định trườc các khái niệm ấy. Khái niệm tập hợp. Trong toán học cũng n h ơ trong đ ờ i sống hàng ngày, ta thường phải n h ó m l ạ i những đ ố i tượng a, b, c,... cỏ một tính chẩt chung hoặc một công dụng chung ỉ lúc đỏ ta nói đ ế n tập hợp T của các đ ố i tượng ấy, và ta gọi chúng là những phần tử của tập hợp T. Ta viết : T — ịa, b, c,... Ị. Một tập hợp T được xem là đ ã cho hoặc là xác định k h i ta đã biết điêu kiện ắ t cỏ và đủ đè cho một đ ố i tượng là một phần tử của T. Nếu a là một p h ầ n tử của tập hợp T thì ta viết a ệ T (a thuộc T ) ; trài l ạ i nếu a không phải là một phần tử của T thì ta viết a hoặc a
Ta gọi giao của c h ú n g là l ậ p hợp G g ồ m n h ũ n g phần t ử thuộc cả hai t á p hợp ấ v . Ta viết G = T ft V. Thi dụ, n ế u T = Ị Ì , 2, 3, 4, 5 Ị , V = ỉ 4 . 5. 6, 7 { t h i G = Ị4, 5 | . Một cách tong q u á t , giả sử đ ã cho m ộ t tập hợp tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn) n k ữ n g tập h ọ p Tị. Ta g ọ i hợp cùa chủng là t ậ p h ọ p H , gồm những p h ầ n t ử thuộc ít nhất một trong c á c tập họ-p Tị, ta viết H = UT . t Ta gọi giao của c h ú n g là t ậ p hợp G những phan t ử thuộc tất cả cấc tập hợp Tị, ta viết " G = A Tị, í Cho hai tập h ợ p T v à V, giả sử a là m ộ t phần t ử t ệ y ỹ của t ậ p hợp T, b là .uột p h à n t ử t ù y ý của t ậ p hợp V . Ta hẩy xét tập hợp các cặp sấp thừ tự (a, b), n h ư t h ế nghĩa là ta p h â n b i ệ t các cặp (ã, b) và (b, a), ngay cả k h i T = V. T ậ p bợp tất ca ''các cặp sắp t h ứ t ự (a, b) trong đ ó a vi T, b 4~ V g ọ i Ệ tích của 2 các tập hợp T v ả V Và đ ư ợ c ký h i ệ u l à T X V . K h i T = y thì tích T x V = T , là - tập h ọ p t ấ t cả c á c cặp sắp t h ử t ự (a, a') trong đ ò a ^ T và a' £ T . Thí dụ, n ế u T = ( Ì , 2,3) thì T X T là t ậ p hợp các cặp sau: ( Ì , 1), ( Ì , 2), ( Ì , 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3. 1), (3, 2), (3, 3). Một cách t ô n g q u á t , g i ả sử đ ã cho m ộ t tập h ợ p t ù y ý ( h ữ u h ạ n hoặc vô hạn) những tập h ợ p T , c h á n b i ệ t hoặc k h ô n g , ta g ọ i tích của chủng, ký hiệu n là n T , là tập h ợ p các h ệ thống sắp t h ứ t ự ( a j , a ,..., a , . . . ) trong đ ó phììn t ử n 2 n 3 v ờ i chỉ số n , a „ , thuộc T . n Quan hệ t ư ơ n g đ ư ơ n g . Giả sử T là m ộ t t ậ p hợp đ ã cho. Ta gọi quan hệ hai ngôi t r ê n T l à m ộ t b ộ p h ậ n L của tập tích T X T . N ế u (a, b) € L thì ta n ó i r ằ n g a v à b thỏa m ã n quan h ệ L , v à ta v i ế t a L b. Thi dụ, n ế u L là b ộ p l i ậ o c ù a T X T, gồm các cặp p h ầ n t ử bẳng nhau, t h i n ó i r ằ n g a L b t ứ c l à n ó i r ằ n g a = b . Đ ỏ là quan hệ đẳng thác t r ê n T . Trong t r ư ờ n g hợp n à y L g ọ i là đường chéo của tích T X T . Quan h ệ đ ẳ n g thức chỉ là m ộ t t r ư ờ n g hợp r i ê n g của m ộ t quan hệ, quan t r ọ n g g ọ i là quan hệ tương đương. M ộ t quan h ệ hai Dgôi t r ê n T g ọ i là m ộ t quan hệ tương đương, ký h i ệ u là ~ , n ế u n ò thỏa m ã n ba đ i ề u k i ệ n sau : 1. a ~ a v ó i m ọ i a 6 T (phản xạ); 2- N ế u a ~ b thì b ~ a ( đ ố i xứng); 3. N ế u a ~ b v à b ~ c t h ì a ~ c (bắc cần). Giả sử T là một tập hợp trên đó ta đã xác đ ị n h một quan hệ tươDg đ ư ơ n g ~ . N ế u a ệ T , thì tập hợp những phần t ử của T t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i a được g ọ i là m ộ t lớp tương đương và đ ư ợ c ký h i ệ u là L ( a ) . Hai phần tử tùy ý c a cùng một lớp tương đương thì tương đương. T h ậ t vảy, nếu a j £ L (a) v à a ^ L (a) thì ta có a — »] Tà a ~ a , . T ừ ẩỏ, do đỗi xứng; a j ~ a 9 mà a ~ a 8 n ê n do bắc c ầ u : a j ~ a . 2 6
Hai lớp tuông đương có một phàn tử chung thi dì')Hy nhát. Thật vậy, theo tính chất trên, muốn xác định một lớp tương đương, ta c ó Ibê xuất phát từ một phần t ử tùy ý của nỏ. Nế u hai lửp có một p h à n tử c h u n g thi mỗi lớp đều có thế được x á c đ ị n h x u ấ t p h á t t ừ p h ầ n t ử c h u n g ấ y v à TÌ v ậ y c h ú n g phải trùng nhau. Từ hai tính chăt trên, ta suy ra n g a y r ằ n g : Mọi quan hệ tương đương trên một tập hợpT đều chia tập hợp đó thành Ìiỉiững lớp tương đương không giao nhau. Tập hợp các lớp tương đương, xác định trên một tập hợp T bời một quan hệ tương đương L, gọi là tập thương của T bởi quan hệ L, và được ký hiệu là T/L. § 2 . ẢNH Xạ Cho hai tập hợp E và F, phân biệt hoặc không. Nế u cỏ một qui luật f , sao cho ứng với mỗi phần tử X của E có một phần tử y hoàn toàn xác định của F, thì f gọi là một ánh xạ của tập hợp E vào tập hợp F. Ta viế t y = f ( x ) , y gọi là ảnh của X bói ánh xệ f. Nế u E = F thì đó là m ộ t ảnh xạ của E vào E, nỏ còn gọi là một ptíềp biến dôi của E. Hai á n h xạ f và g của một tập hợp E vào một tập hợp F g ọ i là bằng nhau, n ế u ta có f (x) = g ( x ) , với mọi p h ầ n tử X của E. Giả sử G là một bộ phận của E. Tập hợp những phần tử của F là ảnh của ít nhất một phần tử của G bói ánh xạ f, được ký hiệu là f (G), và gọi là ảnh của bộ phận G. DĨ nhiên f (G) là một bộ phạn cua F. Nói riêng, f (E) là ảnh của toàn thê "tập hợp E. Đó là tập hợp các phần tử của F là ảnh của ít nhất một phần tử của E. í' (E) dĩ nhiên cung vẫn là một bộ phận của F. Trong trường hợp f (E) = F, tức là mọi phàn tử của F đều là ảnh của ít nhất một phần tử của E, thi f gọi là m ộ t ánh xạ của tạp họp E lên tập hợp F. Giả sử f là một ánh xạ của một tạp hợp K v à o một tập hợp F ; vói m ỗ i phẫn tử X của E tường ứng một phần tử duy nhất y của K Nhưng đảo l ạ i nế u y là một phần tử của f (E) thì nó có thê là ảnh hòi ĩ của nhiều phần tử của E. Tập hợp tất cả những phần tử X của E có ảnh bởi ĩ là một phàn tử duy nhất y của 1 í' (E), gọi l à tạo ảnh cùa y và được ký hiệu l à r ( v ) . Chú ý rằng f"> nói chung không phải là một ánh xạ c ủ a f (E) vào E, vì ứ D g vời m ỗ i phàn tử y của f (E) không phải bao giờ c ũ n g chỉ c ó một phần tử X của E sao cho X = f - i ( y ) . Một cách tồng quát, nế u H là một bộ phận của í (E), thì f" (H) là ký biêu 1 của tập hợp tất cả những phần tử của E có ảnh bởi í' thuộc H. Một trường hợp ánh xạ đặc biệt quan trọng l à t r ư ớ n g hợp mà f là một ánh xạ của E lẻn F và tạo ảnh cùa mỗi phần tử y của F là một phần t ử hoàn toàn xác 1 định X của E, phần tử mà ánh x ạ bởi í l ạ i chinh là y. Trong t r ư ờ n g hợp này, ĩ" cũng là một ánh xạ ta gọi nó là ánh xạ ngược hay ánh xạ nghịch đảo của f. Níu ĩ là một ánh xạ của E lên F, rà nếu ánh xạ '" t n tại thì nó là một ánh 1 xạ của F lén E. Thật vậy, mỗi phan tử X của E đều cỏ ảnh bởi í là một p h ầ n tử y l 1 của F: y = í (x) và vi ỉ~ là một ánh xạ nên X= í'" ( y ) . Vậy mỗi phần tử X của 1 E đêu là ảnh hòi ĩ' của một phần tử y của F. Trong trường hợp này, tạ n ó i : á n h 7
xạ f là ánh xạ một — một của E l è n F , la cũng n ó i : giữa E v à F có một sự twonu ứng một — một. Tông quát h ơ n , một ánh xạ f của E v à o F được gọi là một — một nếu x x i ( I ) = í ( ĩ ) k é o theo X | = x . 2 Giả sử bây giờ í là một ánh xạ của một tập hợp E vào một tập hợp F và g là một ánh xạ của tập hợp F vào một tập hợp G. Ghì sư X thuộc E , the thì y = f (x) thuộc F và 2 = g(y) là một phần tử của G. N h ư vậy là, ứng với m ỗ i phần tử X của E ta suy r a được một phần tử r hoàn toàn xác định của G. Nói cách khác, ta đã xác định một ánh xạ của E v à o G. Ánh xạ này gọi là ánh xạ tích của f và g, và được ký hiệu là g « í . Ánh xạ tích được định nghĩa như s a u : ( g . f ) ( x ) = g[f (x)j. Giả sử f là một ánh xạ của một tập hợp E v à o một tập họ-p F , g là một ánh xạ của một tập hợp F v à o một tập hạp G, và h là một ánh xạ của tập hợp G vào một tập hợp H . T h ế thì ta c ó h*(g.f) = (h.g).L Thật vậy, với mọi X của E , ta đều có : [h * (g*f)J ( X ) = h [ ( g . f ) (x)] = h [g [í (X) Jj, và [ ( h . g ) . f j ( x ) = (h.g)f(x) = h[g[f(x)]]. Ta dẬ dàng chứng minh đ ư ọ c các mệnh đề s a u: 1 Nếu f là ánh xạ một—một của tập hợp E lên tập hợp F , thì í ' là một á n h _ 1 X'J của F l ê n E , và ( f « f ) là ánh xạ đồng nhất của E , tức là ánh xạ chuyẬn mọi l _1 phần tử X của E thành chính nỏ : (ĩ' *ĩ) (x) = X . T ư ơ n g tự như vậy (i'*f ) là ánh xạ đồng nhất của F . Nếu ĩ là một ánh xạ một—một của E l ê n F v à g là một ánh xạ mệt—một của F l ê n G, thi g*f là một ánh xạ một—một của E l è n G, và ta c ỏ : §3. LUẬT H Ợ P THÀNH. C Ấ U TRÚC ĐẠI số Giả sử T là một tập hợp cho trơởc ; n ế u vời mỗi tạp phàn tử của T , hoặc với mỗi cặp phần tử của T thuộc một bộ pầận c của T X T , ta biết cách cho tương ứng một phần tử duy nhất của T , thi ta nói rằng trên T có xác định một luặl hợp thành trong. Một cách tỏng quát, ta gọi luật hợp thành trong trên một tập hợp T là một ảnh xạ của một bộ phận c của T X T v à o T . Luật đ ó gọi là xác địnỉi khắp nơi, nếu c = T X T . V ớ i m ỗ i cặp (a,b) £ c, ta sẽ ký hiệu ảnh ĩ (a,b) của n ỏ trong ánh xạ ẩy, tùy theo trường hợp, là a + b, a — b, ab hoặc, một cách tông quát, là a T b, a Ì b. Thỉ dạ, phép cộng trong tập hợp các sổ tự nhiên là một luật họ-p thành trong, n ó cho ứng với mỗi cặp sổ tự nhiên (a, b) một số tự nhiên mời, a-Ị-b, gọi là tòn? của a và b. Phép nhân các số tự nhiên cũng là một luật hợp thành trong, nó cho ứng với m ỗ i cặp số tự nhiên (a, b) một so tự nhiên mới, đ ỏ là tích ab 8
của chúng. Phép trử cũng là một luật hợp (bành trong, nhưng nỏ không xác định khắp nơi: phần l ử a — b chỉ tồn lại khi a > b. Mặt khác, phép nàng lên lũy thừa ký hiệu là a\ cũng là một luật hợp thành trong xác định khắp nơi trong láp hợp b các sổ tớ nhiên ; chú ý rằng, nói chung, a =h b \ Cũng có khi ta xác đĩnh trên một tập hợp T một luật hợp thành ngoài; lúc đỏ ta giả thiết rằn
Thỉ dụ : phép nhân các số là phân phối hai bên đ ổ i vời phép cộng các sổ. Căn trúc đại s ố . Xác định một cấu trúc đại sỗ trên một tập hợp T là trang bị cho tập hợp đó một hay nhiều luật hợp thành trong giữa các phần tử của T, hoặc một hay nhiều luật hợp thành ngoài giữa các miền toán tử A, 13,... vói T, các luật hợp thành này phải thỏa mãn nhtórng điều kiện nào đó (chẳng họn, kết hợp, giao hoán, v.v...) và cỏ những quan hệ nào đó với nhau (phân phối, v.v...). Các điều kiện và quan hệ đó g ọ i là các tiên đê của cấu trúc đọi số đa cho. Ta sẽ lần lượt giới thiệu trong chưong này các cấu trúc đọi số cơ bản: nhóm, vành, trường, môđun và không gian tmjĩn tính. Bây giờ ta hãy định nghĩa khái niệm đẵng cấu, là một trong những khái niệm quan trọng của đọi số hiện đọi. Giả s ử T v à T ' l à hai tập hợp có những cấu trúc đọi sổ tương tự, nghĩa là có cù ng một số luật hợp thành trong hoặc ngoài với cùng các m i ề n toán tử, thỏa mãn những tiên đề tương tự. Đế cho tiện, ta sẽ đùng chung một k hiệu đe chỉ các luật hợp thành tương ứng. Một ánh xọ một — một của T lèn T gọi là một dẳng cấu của T lên T', nếu nó thỏa mãn các yêu cầu sau : 1. Vời mỗi luật hợp thành trong T, xác định trên T và T ta có f (aTb) = f (a) T f (b), trong đỏ a và b là những phần tử tùy ý của T. 2. Vời mỗi luật hợp thành ngoài Ì , xác định trên T và T' ta cỏ f (o Ì a) = « Ì f (a), trong đỏ a là một phần tử tùy ý của miền toán tử và a là phần tử tùy ý của T. Hai cấu trúc đ ọ i số gọi là đẳng cấu, nếu giữa chúng cỏ một ánh x ạ đẳng cẩu. Sau đây là một thỉ dụ về đẳng cấu : Giả sử T là. tập hợp các sổ thực đương xét vởi luật nhân, -và T' là tập hợp tẩt cả các số thực xét với luật cộng. Níu X £ T, t h ì á n h x ạ X - + l o g X l à m ộ t — m ộ t l è n v à log ( x x ' ) = log X + lo^ x'. Vậy ánh xọ log cụa T lên T là một đẳng cấu. Ta sẽ thấy các thi dụ khác về đẳng cấu trong các mục sau. § 4. CẤU TRÚC NHỎM Trên một tập hợp N, ta nói rằng một luật hợp thành trong T, xác định khắp nơi, định ra một Lầu trúc nhóm nếu : 1. Nỏ là két hợp -. ( a ĩ b ) ĩ c = a ĩ (b T c); 2. Nó cỏ phần tử trung lập e: a T e = e ĩ a = a; 3. Mọi phần l ử a của N đều cỏ phàn tử đối xứng a' đ ố i với luật đ ó : a ĩ a ' = a'Ta = e. Một tập hợp có trang bị một cẩu trúc nhỏm gọi là một nhỏm. Nếu, ngoài ra, luật T là giao hoán thi nhóm N gọi là nhóm giao /loàn hay nhóm Aben. Nhi. N gọi là h u hạn, nếu số các phàn tử của nó la hữu họn; trong trường họp trui lọi nó gọi là vô hạn. Số các phần tử của một nhóm hữu họn gọi là cấp của nó. lu
Trên đây ta đã đùng ký hiệu T đễ chỉ luàt hợp thành trong của nhóm. Thông thường ký hiệu đ ó được thay thế bởi -ị- hoặc X ; lúc đó ta n ó i rằng nhóm đã cho là nhóm cộng hoặc nhóm nhàn. Luật nhàn còn có thế ký hiệu không dấu: ab hoặc bằng một đấu chấm : a . b. Ta sẽ quy ước n h ó m cộng bao giờ cũng là nhóm giao hoán. Nhóm nhân thi có thê là giao hoán hoặc không. Trong nhỏm cộng, hợp thành a + b của hai phần tứ a và b gọi là tòng của chúng; phần tứ trung lập được ký hiệu là 0, và gọi là phần tủ không; phàn tứ đ ố i xứng của* phần tứ a gọi là phan tử đối của a và được ký hiệu lá —a. Trong nhóm nhân, hợp thành ab của hai phan tứ a -và b, gọi là tích của chúng; phần tứ trung lập được ký hiệu là e và gọi là phần tử đơn vị; 1 phần tứ đ ố i xứng của phàn tứ a gọi là nghịch đảo của a và được ký hiệu là a" . Thi dụ: — Tập họp các số nguyên lập thành một nhóm đối với phép cộng. Cũng tập hợp n à y lại không lập thành một nhòm đối với phép nhản vì không phải số nguyên n à o cũng có nghịch đảo là một số nguyên. — Tạp hợp các ánh xạ một — một của một tập hợp E lẻn chính n ỏ là một n h ó m đối với luật f*g. Sau đày ta sẽ dùng l ố i nhân đê ký hiệu luật hợp thành của nhóm. T a hãy suy ra một số tinh chất đ o n giàn của nhóm. í . Phăn tử đon vị của nhóm lù duy nhất. Ta đã chứng minh điều này trong mục tròn. 2. Mỗi phần tử a của nhóm đầu chỉ có một nghịch đảo. Thật vậy, giả sứ a c ó hai nghịch đảo là âỵ và a . T h ế thì ta có, chẳng hạn, 2 atij = e. Nhân bên phải hai vế của đẳng thức Irèn với a ta được: 2 a ( a a , j = a,ì = a , 2 2 nhưng a 2 (aaj) = ựd ũ) z a, = ea = U j , t vậy 1 Nghịch đảo duy nhất của a dưọc ký hiệu là à- ' Chú ý rằng nghịch đảo - 1 1 1 -1 1 của à lại là a : (a" )" = a, vì ( a ) a = a (a" ) 3 = e. 3. Nếu ab = ác hoặc ba = ca thì b = c. Ta hãy chứng minh, chẳng hạn, rằng nếu ab = ác thì b = c. Nhân b ê n 1 trái hai v ế của đẳng thức ab = ác với nghịch đảo a" của a, ta đ ư ợ c : 1 1 _1 a" (ab) = a" (ác), hay (a^a) b = (a a) c, tức là ì) — c. ị. Trung một nhóm, mỗi phương (rình ax = b (1) và ya = b (2) đ ề u cỏ một nghiêm duy nhất: X. = a" b1 Tà 1 y = h .' . ri
_ 1 Thật yậy, ta thử nghiệm ngay rằng X = a b là một nghiêm của (í). Nghiệm đ ỏ là duy nhất, vì nếu ax =s» ax' = b thì, theo tính chất 3, ta có X — x'. Chửng minh tương tự cho phương trình (2). 5. Tích phức hợp. Nhờ tính qhẩt kết hợp, ta c ó thê định nghĩa tích của ba phần tử SL a , a là V 2 3 «1 »a a = ( 3 &1 a ) a 2 3 = ai ( a 2 a ).3 Bây giờ ta hãy định nghĩa tích phức hợp : ri 3.| — âj &2 ••• 1-1 bằng quy nạp như sau 1 B+1 / n \ n aj = ai, n ãị = ( n Si a n t l i=l 1=1 \i=l / ChẳDg hạn n aj = aj a a 2 3 = (aj a ) a , 2 3 n ãị = a a a a x 2 3 4 = (a a a ) a . x 2 3 4 ]=:! 1=1 Dựa vào tính chất kết hợp và dùng l ọ luận quv nạp, ta sẽ chửng minh đ'jợc quy tắc sau: m n 4- n in -f- n a . ; n a m ( i — n a.. (1) i=l j=l j=l Tức là : tích của hai tích phức hợp bằng lích phúc hợp của tắt cả các nhún tử nằm trong các tích ấy, lấy theo cùng một tliứ tự. 6. Tích của n ^hân tử bằng a gọi là lũy L.ừa bậc n của a : n a = lĩ a. 1=1 Ảp dựng định nghĩa ây ta được : m n + à". a = a "; (2) ra n m (a ) = a \ (3) Chú ọ rằng các quy tắc (1) (2), (3) đã được suy ra chỉ trên co- sò tinh chít kết họ*p, vậy chúng vẫn còn giá trị ngay khi N không phải là mội nhỏm, ìriíỉn là tỉnh chắt kết hợp vẫn được thỏa mãn. Trong một nhóm, ta định nghĩa lũy thừ* kh ng và lũy thừa âm theo các còng thức sau: n l n à* = e, a" = (a ) . Ta có thè chửng minh rằng các quy tắc (2) và (3) vẫn còn giá trị cho các lũy thừa nguyên tùy ý. 7. Nếu ta kọ hiệu luật hợp thành của n h ó m tkeo lểi cộng thì ta có các quy tắc ghi trong bẵng đối chiếu sau: n aj -•- Hi a ' . . a , 2 n •2 ai^ai + a + 2 ... + a , n a n = a . a . . . a, na = a + * + ••• + a n phàm tử li phẫn tử n a . a" = a n + m , na + ma — (m + n) a, (a ) = m n a m n . n (ma) = nma. 12
Đ ố i v ớ i các n h ỏ m Aben thì ta cỏn c ò : m m m (ab) = a b , m (a - f b) = ma + mb. N h ó m con. Có t h ề x ả y ra là một bộ phận k h ô n g rỗng M của m ộ t n h ó m N cũng l ậ p t h à n h m ộ t n h ó m đ ố i v ớ i luật hợp thành xác định trong N . T r o n g t r ư ờ n g h ợ p ấ y , M g ọ i là m ộ t nhóm con của X. M ọ i n h ó m đ ề u có ít nhất hai nhóm con : Jỉftóm con đon vị chỉ g ô m cỏ phần t ử đ ơ n v i của N , và bân thân N coi n h ư một bộ phận của n ỏ . Muố i cho một bộ phận không rỗng M của ;,hóm N lì một nhóm con của né, ất có và đủ là: í . Nếu a ặ M r à b ặ M thì ab $ M, 2. Nếu a $ M thì a-1 £ M. Các điề u k i ặ n ấy là đủ đ ễ cho M cố một cấu t r ú c n h ó m . T h ậ t vậy, trong M cỏ m ộ t luật hợp t h à n h trong, kết hợp, xác định khắp n ơ i ; l u ậ t n à y có m ộ t 1 phan t ử đ ơ n vị, vì n ế u a ^ M thì a ^ M và ta cỏ aa = e ^ M, m ặ t k h á c m ỗ i _1 p h ầ n t ử đ ề u có nghich đ ả o . Đảo l ạ i , giả sử M l à một n h ó m con của nhóm N . Phần t ử đ ơ n vị e' của M thỏa m ã n c'e' = e' = e'e, vậy e' = e (tính chất 3 của n h ó m ) . Nghịch đảo của a M thỏa m ã n aa" = e' = e, vậy n ó cũng là aghịch đảo của a trong N theo 1 linh duy n h á t của n ỏ , nói cách khác nếu a ^ M thì nghịch đ ả o của n ó trong N cũng thuộc M . Mặt k h á c , v i M là m ộ t nhóm nên tất nhiên n ế u a $ M và b ặ M t h i ai) $ M.. Thi dtj: T r o n g một nhoai N , các lũy thừa của một p h ầ n t ử a tùy ý l ậ p Ihi'inh m ộ t nhỏm con của N. Nói riêng, các b ộ i số của một số n g u y ê n l ậ p t h à n h một n h ó m con của n h ỏ m cộng các số nguyên. Đ ằ n ^ cáu : Theo định nghĩa tỏng quát đã nêu trong mục t r ê n , ta nói r ằ n g hai n h ó m N và N ' là đẳnọ cấu, nếu có một ánh xạ một — m ộ t f của N lên N ' T sao cho í ( a b ) = 1(a) í(b). Dẻ thấy rang nếu hai n h ỏ m là đẳng cấu thi các p h à n t ử t r u n g l ậ p là t ư ơ n g ú ng, nghịch đảo của hai phần t ử t ư ơ n g ứng cũng là t ư ơ n g ứng, nói cách k h á c 1(C) = c\ Í(a-1) = [l'(a)Ị-
N g ư ờ i ta t h ư ờ n g ký h i ệ u luật n h ó m Aben của Tành V theo l ố i cộng, l u ậ t hợp t h à n h trong t h ứ hai của nó theo l ố i nhân. V ớ i các kỷ h i ệ u ấ } , các đ i ề u r k i ệ n về p h é p cộng t r o n g V được d i ễ n tả bói các hằng đẳng thức sau: 1. a + (b + c) = ( a + b ) + c ế(k t h ợ p ) ; 2. a + b = b + a (giao h o á n ) ; 3. Cỏ m ộ t phỊn t ử trung lập, ký hiệu là 0, sao cho a + 0= a; 4. M ỗ i phỊn t ử a đ ề u có một phỊn t ử đ ố i , kỷ h i ệ u là — a, sao cho a + ( - a ) = 0; Các đ i ề u k i ệ n v ề p h é p n h â n đ ư ợ c d i ễ n tả n h ư sau : 5. a (be) = (ab) c (k ế t hợp) ; „ ( a (b -Ị- c) = ab + ác . „. , . 6. ị (phân phoi hai bên). v I (b + c ) a = b a + ca T ấ t cả các đẳng thức trôn ăầy đ ề u đ ú n g v ớ i m ọ i a, b, c của V. Ngoài ra, n ế u p h é p n h â n là giao h o á n t h ì v à n h V g ọ i l à vành giao hoán. N ế u p h é p n h â n cỏ p h à n t ử trung l ậ p t h ì p h Ị n t ử ấ y g ọ i là p h Ị n t ử đơn vị của V, và t h ư ờ n g đưọ-c kỷ h i ệ u là 1. L ú c đ ó v à n h V g ọ i là vành có đơn vị. Thí dạ: 1. T ậ p hợp các số n g u y ê n v ớ i p h é p cộng và p h é p n h â u t h ô n g t h ư ờ n g là m ộ t v à n h giao h o á n có đ ơ n vị. Tập hợp các số chẵn cũng l ậ p t h à n h m ộ t v à n h giao h o á n , n h ư n g k h ô n g có đ ơ n vị. T r á i l ạ i tập h ợ p các số l ẻ , k h ô n g l ậ p t h à n h một vành. 2. T ậ p hợp chỉ gồm có số k h ô n g cũng l ậ p t h à n h m ộ t v à n h đ ố i v ớ i p h é p cộng v à p h é p n h â n t h ô n g t h ư ờ n g . Đỏ là v à n h sổ duy nhất chỉ gồm có m ộ t p h Ị n tử. 3. T ậ p hợp các cặp số thực v ố i các l u ậ t hợp t h à n h trong (a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d), (a,b) (c,d) = (ác, bd). l ậ p t h à n h m ộ t v à n h . Chứng m i n h đ i ề u n à y k h ô n g k h ó k h ă n g i . Sau đ â y là n h ữ n g hệ quả của định nghĩa vành, Vì các phỊn t ử của v à n h l ậ p t h à n h m ộ t n h ó m Aben đ ố i v ớ i phép cộng, n ê n ta suy ra ngay r ằ n g : 1. PhỊn t ử trung l ậ p 0 là duv nhất, n ó g ọ i là phần iử không của v à n h . Chú ý r ằ n g n ế u m ộ t v à n h chỉ cỏ m ộ t phỊn t ử , thì p h Ị n t ử ấy ắt p h ả i là p h Ị n t ử k h ô n g và rõ r à n g p h Ị n t ử k h ô n g t ự n ó lập t h à n h m ộ t v à n h . M ộ t v à n h n h ư t h ế gọi là một vành không. 2. PhỊn t ử đ ố i của m ỗ i phỊn t ử là duy nhất. 3. PhỊn t ử đ ố i của p h Ị n t ử đ ố i của m ộ t p h Ị n tử l ạ i bằng p h à n tử ấ y : - ( - a) = a. 4. N ế u a - f c = b + c thì a = b. 5. P h ư ơ n g t r ì n h x + b = a cỏ m ộ t n g h i ệ m duy nhất là x = a + ( — b ) . Ta v i ế t X = a — b và g ọ i X là hiệu giữa a v à b. 14
Mặt khác, căn cứ vào tính chất kết hợp của nhép nhản ta có thề định nghĩa tích phức hợp: ọ n diị tì J c i ^ . . . 3.0, i= l và chứng minh tính chất CO' b â n của nó : m n m+a n à,. ĩ! a m + j = r i aj. 1=1 j=i j==i Tưong t ự n h ư vậy, ta có £ a^aj-f a 2 f ... - f a , n 1=1 n n m-fn i=i j=i j=i Từ các tiên đề phân phối, bằng quy nạp, ta suy ra một cách dễ đ à n g : a(b + b + ... + ba) = ab + a b -f... + ab , a 2 l 2 n (a + a + ... + a ) b = ajb + a. b + ... -Ị- a b. x 2 n 2 n Áp dụng cả hai quy tổc ấy thi được (aj + a + ... + a ) (bị + b 2 n 2 + ... + b J = a ^ i + ữ b ì 2 + ... + &jb m +' + a b! + a b + ... + a b 2 2 2 2 m + ... + a bi + a b + ... + a b , n n 2 n m hay viết đ u ố i dạng vổn t ổ t : n ro a (,ẳ ') ( | . 1=1 j = i Chú ý rằng ta cũng có thê v i ế t : Vậy /rcm
N ế u trong m ộ t v à n h cỏ n h ữ n g p h à n t ử k h á c k h ô n g , mà tích l ọ i hằní; k h ô n g t h ì các p h à n t ử ấ v gọi là c á c ước của không. Một v à n h k h á c k h ô n g , giao h o á n và k h ô n g có ước của k h ô n g , g ọ i là m ộ t vành ngugên. Một bộ phận k h ô n g r ỗ n g của m ộ t v à n h V g ọ i là m ộ t vành con của V nếu b ả n t h â n n ó l ậ p t h à n h m ộ t v à n h đ ố i v ớ i các luật của V . Muốn cho một bộ phận V của một Lành V lập thành một vành con của V, dĩ nhiên, ái có và đủ là V là một nhóm con của nhóm cộng của V, uà nó đóng kin đối với phép nhân trong V tức là nếu a, b V thì ab ^ V . Thi dụ: T r ổ n g v à n h cảo sổ n g u y ê n , tập hợp các b ộ i số của m ộ t so co định a l ậ p t h à n h m ộ t v à n h con. Hai v à n h V v à V g ọ i là đẳng cấu n ế u có m ộ t á n h xầ m ộ t — m ộ t f của V l ê n V sao cho í'(a + b) = f (a) + í (b), f ( a b ) = f(a) í ( b ) . § 6. CẤU TRÚC TRƯỜNG Một trưởng là m ộ t v à n h giao hoán k h á c k h ô n g , trong đ ó các phần l ử khác không l ầ p t h à n h m ộ t n h ó m đ ố i v ớ i p h é p n h â n . Các l u ậ t hợp t h à n h cna m ộ t t r ư ờ n g thỏa mẩm các tiên đ ề sau: a) Luật cộng: 1. a + b = b + a (gia* hoán); 2. (a + b) + c = a + (b + c) (kết k#p) ; 3. a -ị 0 = a, (0 là phấn tử không): 4. a + ( — a) = 0 (— a là phần tử đỗi của a). b) Luật nhàn: 5. nb = ba (giao hoán); 6. (ab)c = a (be) (kết hợp) ; 7. ae = a, (e là phần tử dơn vị); 1 1 8. a" a = e, (a =ệ= 0) (a* là phàn tử nghịch đ o của a). c) Liên hệ giữa hai luật áy: 9. (a + b) c = á c + be (phân phối). V i t r ư ờ n g là m ộ t v à n h đặc biệt, n ô n n ó cỏ tất cả các t í n h chất tồng quát của v à n h . Sau đ à y là m ộ t t í n h chất đ á n g c h á ỹ của t r ư ờ n g : Trường không có ước của không. Thật vậy, nếu ab = 0 và a =f 0 t h ì , n h à n hai vế ciỉa đẳng thức ấy v ớ i à ta sẽ đ ư ợ c a" (ab) = a" 0 = 0, hav eb = b = 0. - 1 1 1 Tập hợp các số h ữ u tỉ, tập hợp các so thực, tập hợp các số phức là n h ữ n g t h í dự quan t r ọ n g v ề t r ư ờ n g . Đê n ê u l ê n m ộ t thí dự k h á c , ta h ã y xét tập hợp các số n g u y ê n N , v à giả sit- i n là m ộ t số n g u y ê n > 2. T r o n g tập bợp N ta x á c đ ị n h m ộ t quan h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g n h ư sau: aj — a n ế u và chỉ n ế u a j — a = k m . s 2 Quan hệ này thỏa m ã n t ấ t cả các y ê u cầu của định nghĩa của m ộ t quan hệ t ư ơ n g đ ư ơ n g . Thật vậy, a ~ a v ì a — a = 0.m; 16
Nếu a — b thi b ~ a vì nếu a — b = km thi b — a = (—k) m ; Nếu a ~ b và b ~ c thì a ~ c vì nếu a — b = kin và b — c = k'm thi a — c = (k -f- k')m. Mặt khác, ta hãy chửng minh rằng a ~ b khi và chỉ khi a và b cho cùng mội sỗ dư trong phép chia chò m. Thật vậy, nếu a = mq + r, b = mq' -ị-r, 0 ^ V i ~ a > + Mặt khác, a j b j — a b = a .(b —'bị) + b . ( a j — a ) = 2 2 j 1 2 2 = ãi(k'm) b (kịn) — (ajk' + b k)m, vậy a.bj ~ a bg. 2 2 2 Các'luật-hợp thành (cộng và nhân) xác định trong tập họp các lớp thỏa nân cúc tiên đề của một vành giao hoán ; điều này su y ra ngay từ chồ : các luật lọp thành ẫy được định nghĩa qua các đại diựn của các lớp là những phần tử của *ành sổ nguyên. Phân tử trung lập của phép_cộng là lốp õ = (0, m, 2m,...). Lớp đổi của lớp a là lởp — a = lớp (— ai, — a ,...)« 2 Phép nhân cỏ phần tử trung lập là 1 = lớp ( ĩ , Ì + m,...)- Nếu in không phải là một số nguyên tô, chẳng bạn m = qr thì q . r ==> — lớp (qr,...) = lớp (ni,...) = õ . Vậy trong trường hợp này, vành các lớp có i ỏ c của không. Nó không thê là một trường. Giả sử bây giờ m là một số nguyên tố. Nếu ă b = lớp (ajbi,...) = õ thi O ị ỉ ^ ĩhia hết_cho m, vậy một trong hai sổ 3 j hoặc bị phải chia hết c h ò m , do đó ì hoặc b phải bằng 0. Trong trường hợp này vành c á c j ớ p là một vành nguyên. Ta hẩy chứng minh thêm rằng nó là một trường. Giả sử a = lớp (a,..-.) với ã~¥= (ĩ, ức là a =f= 0 khống chia hết cho m, ta xét m — Ì số nguyên: a, 2a (m — l)a. l a chia mỗi số đỏ cho m và gọi Tị, ^ . . . . . l ' m - i là các số dư tìm được. Không một lố dư nào cỏ thê bằng 0, vì ni là nguyên tố với tát cả m — Ì số nguyên ấy. Vây a có Ì < l ị < m — Ì, với i = l , . . . , m — Ì, Mặt khác, nếu h =Ị= k thì ta có r h r . Thật vậy, nếu r = r và nếu k h k ỉ > k thì ta sẽ có ha — ka = (h — k)a = qxn, điều đỏ là không thi-được, YÌ ' < h — k ^ m — 2 và h — k là nguyên tổ với m. Vậy m — Ì số r khác nhau h ắ.ỵ tất cả các giá trị từ Ì tới ni — 1. Do đó ắt phải có một số b (Ì < b < Ị m — 1) ao cho r s = Ì, tức là ba = mq + 1. Nếu b là lớp (b,...) thì ta có b b r ũ 1A.., /„u \ 3S 2 17
Vậy mỗi lớp a 4* 0 đều cỏ nghịch đảo. Từ đó ta kết luận rằng, trong trường hợp này vành các lớp là một trướng. Trường này cỏ m phần t ử : 0, Ì, 2 m — 1. Nếu ta cộng m phần tử bằng ĩ l ạ i v ớ i nhau thì ta đ ư ợ c : ĩ + 1 + ^ + ĩ = lờp (! + ! _ + » . + ĩ , . . . ) mt lớp (m,...) = õ. m phẫn tử m phẫn tử Vậy : m ĩ = õ. Ta nói rằng trường các lớp theo môđun nguyên tổ m có đặc sổ bằng m. Một cách tấqg quát, nếu trong một trưởng.có những sấ ngU3 ên n sao cho r ne = 0 thì sổ nguyên đương nhỏ nhất p cỏ tính chật ấy gọi là đặc sổ của trường. 2 Đặc sấ p ắl phải là một sấ nguyên tổ, vì nếu p == rs thi pe = (rs) e = (rs) e = = (re) (se) = oi từ đỏ, hoặc re = 0, hoặc se = 0, cả hai trường hợp đều mâu thuẫn với định nghĩa của p. Nếu không cỏ một sấ p cỏ tinh chất trên thì ta nấi Tằng trưởng đã cho có đặc số bằng không. Tất cỗ các trường sổ đều cỏ đặc sấ bằng không. Một bộ phận không rỗng M của trường T gọi là một trường con của trường T nếu bản tbâỏ nó lập thành một trường đấi với các luật hợp-thành của TY Thí dạ; Tập hợp các sấ hữu tỉ là một trường con của trườág si thực, trường sổ thực l ạ i là một'trường cơn cưa trường sấ piiửc. Từ định , nghĩa trên tạ suy ra ngay rằng : ? ffMnon cho một bộ phận không rỗng M của trưởng T /à một trường con. của T, ất cỏ và-đả là, M Làr-mủL nhảm Cũn của nhóm cộng của T và M — ị O.ị là mật nhóm con của nhòm ĩỹtềài cua T. , § 7. GAU TRÚC MO BUN VA KHÔNG GIAN TUYÊN TINH Cho một vành V, ta.gọi mởđun bên trải đối với V hoặc môđun bên trái trên ty , h Ị 0 ặ c ỵ r : mqđìụij>ên trái là một tập hợp M cỏ. trang bị m ộ i cấu, trúc đ ạ i sổ : ,3|ảc địnb b ờ i : , . » , , . ạ) Một luật nhám Aben trong M Ọtỹ hiệu theo l ấ i cộng);; b) Một luật hợp thảnh ngoài, xác định khắp nơi (a, x) ị-* a i , vời miền toán tử là vành V, và thỏa mãn các tiên đề sau : 1. a(x - f y ) = ax + ày với m ọ i a ^ V, X ^ M , y ể M ; 2. (a + b)x = ax + bx với m ọ i a V, b ^ V . x ệ M ; 3. a(bx) = (ab)x với mọi a ^ V, b € V, X ^ M. Nếu trong định nghĩa trên ta thay thế luật'hợp tấành ngoài b ấ i (a, x) |->xa, 'Và các tiên đề Ì, 2, 3 b ấ i : r . (x + y)a = xa + ya với mọi X 6 M. y ệ M , a ^ V ; 2'. x(a + b) = xa + xb với mọi x ệ M, a ^ V, b ệ V ; 3'. x(ab) = (xa)b v ớ i m ọ i X
Một V — môđun M gọi là unìtan nếu vành V có phẫn tử đơn vị Ì sao cho ix = X với m ọ i x ệ Mí Trong các môđun unitr,", quan trọng nhất là những môđun mà vành toán lử là một trưởng. Lúc đỏ môđun tương ứng gọi là một không gian tuyên tính. Vậy, một không gian tuyến tính trên một trường T là một T — môdnn ủntían. Khống gian tuyến tính là một đ ố i tượng nghiên cứu chinh của đại số Luyến tính. Cá c nhà toá n học chủ ý đến khá i niệm này trước hết vì n ỏ là một phương tiện thuận l ợ i âề biếu thị cễo tính ehất của hệ phương trình tuyến tính. Nhưng sau đó n g ư ờ i la nhận thấy nỏ tham dự đười dạng tiềm tàng ngay trong những bộ môn giễi tích cô diễn Qhẫt: hệ phương trình v i phàn tuyến tính, phương trình tích phân, các phép biến đ ố i Lapơlat-Phuriê. Ngày nay, không gian tuyến tính, cỏ trang-bị tôpô hay khống, đã tĩỉf thành một công cụ rất cần thiết cho đông đễo các nhà toán học. Trong sách này, bắt đầu từ chương sau, ta sẽ chuyên nghiên'cứu về đại số tuyến tính. Trong đại sổ tuyến tính cá c đ ố i tượng chính có thê chia làm ba l o ạ i : không gian tuyến tính, ma trận và các dạng. đại số. Liên hệ giũia các ỉỷ 1 thuyết Vế cắc đ ổ i tượng ấy mật thiết đến n ỗ i đa số ván đè của đại sổ tuyến tính có thê phá t biêu được mọt cách tương đương trong cễ ha lý thuyết. Khá i niệm không gian tnyĩn tính cho phép thấy được liên hệ nội t ạ i giữa nhiều vấn đề của đ ạ i sổ tuyến tinh. Quan diêm ma trận cỏ liên quan nhiều nhất với những tính toán thực tế. Các dạng đại số là nội đung chủ yếu của nhiều vẩn ữề đối éố tuyến tính đặt ra trong hình học và co- học. Biết cá ch diễn tễ m ỗ i sự kiện của lỷ thuyết này theo ngôn ngữ của lỷ thuyết kia là một trong những yêu cầu quan trọng của việc học tập đ ạ i số tuyến tỉnh. Trường toán tử T trong định nghĩa của không gian tuyến tính-sẽ được lựa chọn "tùy theo vấn đề và bộ môn .khoa học được khễo sát. Chẳng hạn, trong đ ặ i sổ thi T thường là trưởng số phức. Trong hình học vh cơ họe thì T thường là trường sổ thực. Trong sổ luận thì T l ạ i thường là ựvcờnq sổ hữu tỉ. Vì vậy đề cho các kết quễ cỏ thê áp đụng cho một phạm vi vấn-đề rộng rãi, ta sẽ không cụ thề hóa trưởng T, và chỉ coi nó là một trường cơ sả nào độ. 19
Chương I KHỔNG GIAN TUYẾN TÍNH «1. ĐỊNH NGHĨA VÀ T HÍ DỤ Ta gọi khổng gian tuyến tỉnh t r ê n m ộ t t r ư ờ n g T là m ộ t t ậ p hợp K có trang bị m ộ t c ấ u t r ú c đ ạ i a6 x á c đ ị n h b ô i : a) Mội luật nhóm Aben trên li., kỷ hiệu theo lôi cộng, sao cho v ớ i m ọ i X