SKKN: Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng

Chia sẻ: Lê Thị Diễm Hương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

263
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Góp phần tìm tòi lời giải gọn gàng, hiệu quả cho một lớp các bài toán về tích phân và ứng dụng, giúp học sinh tư duy hiệu quả và tự tin hơn khi gặp các bài tập dạng này. Nắm vững nội dung đề tài, lời giải của học sinh củng tự nhiên và trong sáng hơn. Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, cũng như việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng”.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Phần tích phân chiếm một thời lượng tương đối lớn trong chương trình trung học phổ thông và là một vấn đề không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng. Đây là một vấn đề khó đối với học sinh cũng như giáo viên. Đặc biệt nhiều bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân trong các kì thi Đại học, Cao đẳng dạng bình thường ít được ra, mà ta thường gặp các bài toán ở mức độ khó và biến đổi phức tạp hơn. Đứng trước các bài toán này thí sinh thường lúng túng trong việc nhận dạng, biến đổi, phân tích và chọn lời giải. Để phần nào khắc phục được hạn chế đó chúng tôi nêu lên đề tài: “ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ” mà trong quá trình giảng dạy đã đúc kết được. Đề tài thể hiện được hướng tiếp cận và khai thác hiệu quả đối với các dạng toán tích phân trong chương trình lớp 12 THPT góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và ôn thi Đại học, Cao đẳng. Rất mong sự đồng cảm và chia sẽ của các thầy cô và các bạn quan tâm đến vấn đề này. 2. Mục đích nghiên cứu Góp phần tìm tòi lời giải gọn gàng, hiệu quả cho một lớp các bài toán về tích phân và ứng dụng, giúp học sinh tư duy hiệu quả và tự tin hơn khi gặp các bài tập dạng này. Nắm vững nội dung đề tài, lời giải của học sinh củng tự nhiên và trong sáng hơn. Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, cũng như việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. 3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài Đối tượng nghiên cứu là phương pháp tiếp cận để giải quyết lớp các bài toán về tích phân thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng cũng như tốt nghiệp THPT. 4. Phạm vi nghiên cứu của đề tài Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp, luyện thi Đại học và Cao đẳng. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng. Kỹ năng phân tích, nhận dạng và tính tích phân. 6. Phương pháp nghiên cứu a) Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 . - Tài liệu tham khảo. b) Điều tra: - Thực dạy và kết quả kiểm tra: Trong quá trình nghiên cứu đề tài năm học 2012-2013 đã tiến hành đối chứng 12B và thực nghiệm các lớp 12G, 12I thực nghiệm. - Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình. - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với phân môn. + Trao đổi với các em học sinh về các bài toán tích phân mới để biết được cách tìm ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn. c) Giả thuyết khoa học: Nếu học sinh nắm vững các bước giải và dạng toán thì các em cảm thấy hăng say, tích cực, tự tin và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn. 7. Bố cục đề tài Bố cục đề tài gồm: Đặt vấn đề, Giải quyết vấn đề gồm 2 chương: Chương 1 và chương 2, Kết luận, kiến nghị và tài liệu tham khảo. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG TÍCH PHÂN TẠI TRƯỜNG THPT 1.1. Cơ sở lí luận: Một số bài tập tính tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tuy nhiên đứng trước các bài tập đó học sinh thường lúng túng khi chọn cách giải và chọn lời giải. Một số bài tập tích phân các em hay thiếu kinh nghiệm về việc chọn phương pháp giải hay và hiệu quả, học sinh cứ mặc nhiên vận dụng mà không phát hiện và so sánh để chọn lời giải hợp lí. Nhiều giáo viên đã đưa ra được nhiều phương pháp giải quyết vấn đề đó có hiệu quả như: Phân dạng bài tập theo phương pháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ. Tuy nhiên đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng đôi khi học sinh cảm thấy sợ khó, giáo viên ít quan tâm.
1.2. Cơ sở thực tiễn: 1.2.1. Thực trạng việc dạy của giáo viên: Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ đơn lẻ, chưa đưa ra được các cách giải và cách phân tích cho một bài toán để chọn được lời giải hay. Đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng giáo viên ít quan tâm hơn. 1.2.2. Thực trạng việc học của học sinh: Đa số học sinh biết giải các bài tập tích phân cơ bản, biến đổi đơn giản và bế tắc khi gặp dạng biến đổi phức tạp. Nhiều học sinh còn lúng túng khi chọn phương pháp giải và lời giải chưa thật sự rõ ràng. Đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng học sinh còn sợ khó. Chất lượng thực tế qua khảo sát năm 2012-2013: Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Lớp Số lượng Số lượng % Số lượng % 12B 44 14 31,8 30 68,2 12G 42 32 76,2 10 23,8 12I 39 31 79,5 8 20,5 1.2.3. Sự cần thiết của đề tài: Qua phân tích thực trạng việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 12. Đề tài giới thiệu những kinh nghiệm, phương pháp phù hợp nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy tích phân cho học sinh khối 12 và giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi tốt nghiệp, Đai học và cao đẳng.
Chương 2: ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Vấn đề được đặt ra: Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện. Để phát huy điều đó, chúng ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn và hiệu quả giảng dạy cao hơn . Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch; Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài. Nội dung của chương 2: 2.1. Dạng bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 2.1.1. Phương pháp b Dạng 1: I = ò f [u ( x)]u '( x)dx a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt u ( x) = t Þ dt = d (u ( x)) = u '( x)dx Bước 2: Đổi cận: x =b x =a Þ t =u ( b ) t =u ( a ) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được: b u (b ) I= ò f [u( x)]u' ( x)dx = ò f (t )dt a u(a) (tiếp tục tính tích phân mới) 2.1.2. Bài tập ứng dụng Tính các tích phân sau: 1 Bài 1: I = ò x3 (1 + x 4 )3 dx 0 Phân tích - Đứng trước bài toán này ta có các hướng giải: 1. Khai triển hằng đẳng thức (1 + x 4 )3 và đưa tích phân về dạng cơ bản. 2. Sử dụng định nghĩa tích phân. 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1… - Trình bày lời giải theo phương pháp đổi biến số như sau:
Giải 1 Đặt t = 1 + x 4 Þ dt = d (1 + x 4 ) = (1 + x 4 )dx = 4 x 3dx Þ x3dx = dt 4 Đổi cận: x = 0 Þ t = 1; x = 1 Þ t = 2 1 2 1 3 1 2 15 Từ đó: I = ò x (1 + x ) dx = ò t dt = t 4 = . 3 4 3 0 41 16 1 16 Nhận xét: Đối với dạng toán tương tự như bài 1 sử dụng phương pháp đổi biến số cho ta một lời giải rõ ràng và hiệu quả. Với hướng 1 nếu số mũ lớn thì việc khai triển khó khăn hơn và đó đương nhiên không thực tế. 1 Bài 2: I = ò x 3 + 1 x 2 dx 0 Phân tích - Bài toán này có thể nêu các hướng giải: 1. Sử dụng định nghĩa tích phân. 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1: Để khử căn thức đặt: t = x3 + 1 hoặc đặt t = x3 + 1 để khử x 2 . - Lời giải trình bày theo phương pháp đổi biến số: Giải Cách 1: dt Đặt: t = x3 + 1 Þ dt = d ( x3 + 1) = ( x3 + 1) ' dx = 3x 2 dx Þ x 2 dx = 3 Đổi cận: x = 0 Þ t = 1; x = 1 Þ t = 2 1 2 +1 1 1 1 (t ) 2 2 2 2 4 2 2 Khi đó: I = ò ( t ) 2 dt = = t t = 2 - = (2 2 - 1) . 31 3 1 +1 1 9 1 9 9 9 2 Cách 2: 2tdt Đặt: t = x3 + 1 Þ t 2 = x3 + 1 Þ dt 2 = d ( x3 + 1) Û 2tdt = 3x 2 dx Þ x 2 dx = 3 Đổi cận: x = 0 Þ t = 1; x = 1 Þ t = 2 2 2 2 2 2 Khi đó: I = ò t dt = 9 .t = (2 2 - 1) . 2 3 3 1 1 9 1 + ln 2 x e Bài 3: I = ò dx 1 x Phân tích
- Với bài toán này ta có thể nghỉ đến hướng giải: 1. Sử dụng phương pháp đổi biến số, thực hiện theo hai cách: + Tách thành 1 tích phân cơ bản và một tích phân đổi biến số. + Sử dụng ngay phép đổi biến số. 2. Sử dụng định nghĩa tích phân. - Sau đây lời giải được trình bày theo phương pháp đổi biến số: Giải 1 1 Đặt: t = ln x Þ dt = d ln x = (ln x) ' dx = dx Þ dx = dt x x Đổi cận: x = 1 Þ t = 0; x = e Þ t = 1 1 1 1 4 Khi đó: I = ò (t 2 + 1)dt = ( t 3 + t ) = . 0 3 0 3 Nhận xét: Như vậy đối với một bài toán ta có nhiều cách giải khác nhau do đó ta cần linh động lựa chọn cách giải hợp lí, hiệu quả và phù hợp. Trên đây là những bài toán cơ bản của phép đổi biến số ta cảm thấy việc giải nó có phần nhẹ nhàng. Đối với các đề thi cao đẳng đại học các bài toán khó hơn không cho dạng tường minh mà ta phải biến đổi về dạng cơ bản và tìm lời giải hợp lí, hiệu quả. Ví dụ: e ln x Bài 4: (ĐH Khối B - 2010). I = ò dx 1 x(2 + ln x) 2 Phân tích - Bài toán này có hướng giải: 1. Sử dụng phương pháp đổi biến số có thể đặt t = 2 + ln x hoặc t = ln x . 2. Sử dụng định nghĩa tích phân. - Lời giải được trình bày theo phương pháp đổi biến số: Giải 1 1 Đặt: t = 2 + ln x Þ dt = d (2 + ln x) = (2 + ln x) ' dx = dx Þ dx = dt x x Đổi cận: x = 1 Þ t = 2; x = e Þ t = 3 t-2 2 3 -1 3 3 1 2 3 Khi đó: I = ò 2 dt = ò ( - 2 )dt = (ln t + ) = + ln . 2 t 2 t t t 2 3 2 x2 + e x + 2 x2e x 1 Bài 5: (ĐH Khối A- 2010). I = ò dx 0 1 + 2e x Phân tích - Đây là bài toán phức tạp hơn các bài toán vừa nêu, đứng trước bài toán này ta: + Nhận thấy tử có thể phân tích nhân tử chung từ đó biến đổi hàm số lấy tích về dạng quen thuộc.
+ Nhận dạng để tìm cách giải. - Lời giải trình bày như sau: Giải x 2 + e x + 2 x 2e x e x + x 2 (1 + 2e x ) 1 1 1 1 ex Biến đổi: I = ò dx = ò dx = ò x 2 dx + ò dx 0 1 + 2e x 0 1 + 2e x 0 0 1 + 2e x 1 x3 1 1 Ta có: I1 = ò x dx = 2 = 0 3 0 3 1 ex I2 = ò dx 0 1 + 2e x 1 Đặt: t = 1 + 2e x Þ dt = d (1 + 2e x ) = 2e x dx Þ e x dx = dt 2 Đổi cận: x = 0 Þ t = 3; x = 1 Þ t = 1 + 2e 1+ 2 e 1 1 1 + 2e 1 1 + 2e Khi đó: I 2 = ò 3 2t dt = ln t 2 3 = ln 2 3 1 1 1 + 2e Vậy: I = I1 + I 2 = + ln 3 2 3 p /2 Bài 6: (ĐH Khối A- 2009). I = ò (cos x - 1)cos xdx 3 2 0 Phân tích - Đứng trước bài toán này ta có các hướng giải: 1. Dùng công thức hạ bậc để biến đổi tích phân về dạng đơn giản nhất. 2. Biến đổi tích phân thành tổng tích phân quen thuộc và tích phân đổi biến số. - Lời giải theo phương pháp đổi biến số: Giải p /2 p /2 Ta có: I = ò cos5 xdx - ò cos xdx 2 0 0 p /2 p /2 1 Tính: I1 = ò0 cos5 xdx = ò cos 4 x.cos xdx = ò (1 - sin 2 x) 2 cos xdx 0 0 Đặt t = s inx, dt = d (s inx) = (s inx) ' dx = cos xdx p Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = Þ t =1 2 1 1 2 1 1 8 Khi đó: I1 = ò (1 - t ) dt = ò (1 - 2t 2 + t 4 )dt =(t - t 3 + t 5 ) = 2 2 0 0 3 5 0 15 p /2 1 p /2 1 1 p /2 Tính: I 2 = ò cos xdx = 2 ò (1 + cos 2 x)dx = 2 ( x + 2 sin 2 x) =p /4 2 0 0 0 8 p Vậy: I = I1 - I 2 = - . 15 4
Nhận xét: Trên đây là các dạng toán rất hay và quen thuộc đối với chúng ta. Đứng trước các bài toán này ta có nhiều cách giải, tuy nhiên việc chọn lời giải đẹp, gọn gàng và hiệu quả là rất quan trọng. Để làm được điều đó chúng ta phải thường xuyên tiếp cận, thực hành giải các bài toán về tích phân từ đó hình thành được kỉ năng nhận dạng và chọn lời giải. Dưới đây là các bài tập dùng để rèn luyện phần này: 2.1.3. Bài tập rèn luyện Tính các tích phân sau: 1 8 7 1 x3 ò x 1- x dx òx ò 3 2 dx 0 3 x2 + 1 0 3 1 + x2 7 p 3 x +1 2 2 sin 2 x + sin x ò òx x3 + 1dx ò 2 dx 0 3 3x + 1 0 0 1 + 3 cos x p p p 2 2 2 sin x - cos x ò cos x dx ò cos ò 3 5 x dx dx 0 0 p 1 + sin 2 x 4 p p p 2 2 4 sin 2 x ò sin x dx ò sin x dx ò 1 + cos 5 3 2 dx 0 0 0 x p p p 2 4 4 1 1 ò sin 2 x(1 + sin ò cos ò cos x dx 2 x) 3 dx 4 dx 0 0 x 0 p p cos x + sin x 3 4 4 2 tan xdx sin 2 x ò 0 cos 2 x ò 0 3 + sin 2 x dx ò 0 cos 2 x + 4 sin 2 x dx p p p 6 2 3 cos x sin 2 x ln(tgx) ò 6 - 5 sin x + sin 0 2 x dx ò (2 + sin x) 0 2 dx ò p sin x dx 4 p 2 (ĐHQG TPHCM Khối A: 1998) I = ò cos3 x sin 2 xdx 0 3 (ĐH GTHN: 1996) I= òx 1 + x 2 dx 5 0 1 (ĐH KTHN: 1997) I = ò x5 (1 - x3 )6 dx 0 p /6 cosx (CĐSP TPHCM 1997) I = ò 0 6 - 5sin x + sin 2 x dx
p /2 s inx.cos 3 x (HV BCVT HN: 1998) I = ò 0 1 + cos 2 x dx 2 3 dx (ĐH Khối A- 2003) I= ò x x2 + 4 dx 5 2 x (ĐH Khối A- 2004) I =ò dx 1 1 + x -1 1 + 3ln x ln x e (ĐH Khối B-2004) I =ò dx 1 x p /2 sin 2 x + sin x ĐH Khối A-2005) I= ò 0 1 + 3cos x dx p /2 sin 2 x cos x (ĐH Khối B-2005) I= ò 0 1 + cos x dx p /2 sin 2 x (ĐH Khối A-2006) I= ò 0 cos x + 4 sin 2 x 2 dx . 2.2. Dạng bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 2.2.1. Phương pháp b Dạng 2: Tính I = ò f ( x)dx a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt x = f (t ) Þ dx = d (f (t )) = f '(t )dt t =b Bước 2: Đổi cận: x =b x =a Þ t =a Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được: b b I= ò f ( x)dx = a f [j (t )]j ' (t )dt a ò (tiếp tục tính tích phân mới). 2.2.2. Bài tập ứng dụng Tính các tích phân sau: 1 2 2 1 Bài 1: a) I = ò dx b) I = ò 4 - x 2 dx 0 1 - x2 0 Phân tích - Hai bài toán này để tính được ta nghỉ đến việc đặt hàm số sin hoặc cos tức là sử dụng phép đổi biến số. - Áp dụng phương pháp đổi biến số trên ta có lời giải: Giải p p a) Đặt x = sin t , với t Î (- ; ) , ta có: dx = cos tdt 2 2
1 p Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0 , với x = thì t = . 2 6 Khi đó: p p p 6 1 6 1 6 p p I=ò .cos tdt = ò .cos tdt ò dt = t 06 = . 0 1 - sin 2 t 0 cos t 0 6 p p b) §Æt: x = 2 sin t Þ dx = d(2 sin t) = (2 sin t)' dt = 2 cos tdt , t Î é - , ù . ê 2 2ú ë û p Đổi cận: x = 0Þ t = 0; x=2 Þ t = 2 Khi đó: p p p 2 2 2 I = ò 4 - 4sin 2 t 2 cos tdt = ò 2 cos t 2 cos tdt = ò 4 cos 2 tdt 0 0 0 p 2 p = 2 ò (1 + cos 2t )dt = (2t + sin 2t ) 02 = p . 0 Nhận xét: Ta thấy 2 ví dụ trên là trường hợp riêng của bài toán sau: b 1. I = ò a 2 - x 2 dx . Thực hiện cac bước giải sau: a -p p ù Bước 1: Đặt: x = a sin t , t Î é ; hoặc x = acost , t Î [ 0; p ] ê ë 2 2úû Bước 2: Đổi cận Bước 3: Tính I b 1 2. J = ò dx .Thực hiện cac bước giải sau: a a2 - x2 p p Bước 1: Đặt: x = a sin t , t Î (- ; ) hoặc x = acost , t Î (0; p ) 2 2 Bước 2: Đổi cận Bước 3: Tính J. Đối với các bài toán dạng này trong các đề thi Đại học và Cao đẳng ra có phần lắt léo hơn, khó hơn tuy nhiên ta có thể dễ dàng nhận dạng và tìm tòi lời giải hợp lí. Ví dụ: 2 /2 x2 Bài 2: (ĐH TCKT - 1997) I = ò 0 1 - x2 dx Phân tích - Đây là bài toán dạng đổi biến số loại hai, để khử căn thức ta thường đặt x = sin t . - Áp dụng phương pháp đổi biến số trên ta có lời giải:
Giải p p Đặt x = sin t , với t Î (- ; ) , ta có: dx = cos tdt 2 2 2 p Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0 , với x = thì t = . Khi đó: 2 4 p p p 4 2 4 2 4 sin t sin t I=ò .cos tdt = ò .cos tdt = ò sin 2 tdt 0 1 - sin t 2 0 cos t 0 p . p 4 1 1 1 p 1 4 = ò (1 - cos2t )dt = ( t - sin 2t ) = - 0 2 2 2 0 8 4 3 9 + 3x 2 dx Bài 3: I = ò 1 x2 Phân tích p p - Để khử căn thức ta thường đặt x = tan t , t Î (- ; 0) È (0; ) , tức là thực 2 2 hiện phép đổi biến số dạng 2. - Biến đổi tích phân về dạng quen thuộc. - Áp dụng phương pháp đổi biến số ta có lời giải: Giải p p Đặt x = 3 tan t. t Î (- ; 0) È (0; ) 2 2 dt Ta có: x = 3 t ant Þ dx = d ( 3 t ant)=( 3 t anx)'dx= 3 cos 2t p p Đổi cận: x = 1 Þ t = ; x = 3 Þ t = 6 4 p /4 p /4 p /4 9 + 9 tan 2 t 3 d t ò ò ò (1 - sin 3d t 3 co s td t I = = = p /6 tan 2 t .c o s 2 t p /6 c o s t sin 2 t p /6 2 t ) sin 2 t Đặt: v=sint, khi đó: dv= costdt p 1 p 2 Đổi cận: Với t = Þ v = ;t = Þ v = 6 2 4 2 Vậy: 2 /2 2 /2 ò ò (v 1 1 1 I = 3 dv = 3 - )dv 1/ 2 v (1 - v 2 ) 2 1/ 2 2 v -1 2 1 1 v -1 2 /2 1 2+2 = 3 (- - ln ) = 3[ 2 - 2+ ln ]. v 2 v +1 1/ 2 2 3( 2 - 2 ) Nhận xét: Trên đây là bài toán không quá khó, tuy nhiên để giải một lớp các bài toán tương tự, ta phải nhận được dạng và nắm được các bước giải bài toán tổng quát:
b b 1 1. I = ò a 2 + x 2 dx , I = ò dx . Thực hiện các bước giải sau: a a a2 + x2 p p Bước 1: Đặt: x = atanx, t Î (- ; ) hoặc x = acott , t Î [ 0; p ] 2 2 Bước 2: Đổi cận Bước 3: Tính tích phân I. b 1 2. I = ò dx . Thực hiện các bước giải sau: a a + x2 2 p p Bước 1: Đặt: x = a sin t , t Î (- ; ) hoặc x = acost , t Î (0; p ) 2 2 Bước 2: Đổi cận Bước 3: Tính tích phân I. Đặt vấn đề: Để làm rõ hơn về việc vận dụng dạng toán tổng quát: b 1 I =ò dx vào giải bài toán cụ thể, ta làm bài toán tính tích phân sau: a a + x2 2 0 dx Bài 4: I = ò -1 x + 2x + 2 2 Phân tích - Đây là bài toán có: + Mẫu thức là tam thức bậc 2 có D < 0 . d ( x + 1) 0 0 dx + Biến đổi tích phân về dạng quen thuộc: I = ò 2 =ò . -1 x + 2 x + 2 -1 ( x + 1) 2 + 1 - Áp dụng phương pháp đổi biến số ta có lời giải: Giải Đặt: x + 1 = tan t Þ d ( x + 1) = d (tan t ) Û ( x + 1) ' dx = (t ant) ' dt ` 1 Þ dx = dt = (1 + tan 2 t )dt cos 2t Đổi cận: x = 0 Þ t = p / 4; x = -1 Þ t = 0 p /4 p /4 p /4 d ( x + 1) (1 + tan 2 t )dt 0 d tan t Khi đó: I=ò = ò = ò = ò dt = p / 4 . -1 ( x + 1)2 + 1 0 tan 2 t + 1 0 1 + tan 2 t 0 Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản của đổi biến số dạng 2, việc tìm tòi lời giải dựa trên phương pháp đổi biến số. 2.2.3. Bài tập rèn luyện Tính các tích phân sau: 1 1 1 1 1 ò 0 1 - x 2 dx ò 1 + x 2 dx 0 ò 0 4 - x2 dx
2 1 1 1 xdx 2 x2 ò x 2 - x + 1 dx 0 ò x4 + x2 +1 0 ò 0 1- x2 2 9 + 3x 2 2 3 3 1 ò x 4 - x dx ò ò 2 2 dx dx 1 2 x x2 -1 1 x2 1- x 1 1 1 1 1 ò 0 (1 + x) 5 dx ò 1+ 0 1 - x2 dx ò 1- 0 4 - x2 dx 1 1 a 1 1 1 ò x+ 0 1 - x2 dx ò x- 0 4 - x2 dx ò x+ 0 a 2 - x2 dx ( a >0) a 2 1 1 1 2x x ò x- 0 a -x 2 2 dx ( a > 0 ) ò x+ 0 1- x 2 dx ; ò x- 0 4 - x2 dx ; a 1 2 x x4 ò x+ 0 a 2 - x2 dx ( a >0) ò 0 4 - x2 dx ; ( ) 2011 1 1 - x2 ò dx ( ) 2012 0 x 2012 + 1- x 2 1 `(ĐH Y HN - 2000) ò -1/2 1 - x 2 dx (ĐH TCKT HN - 2000) 1 1 ò 1+ x 0 2 + x4 dx . 2.3. Dạng bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 2.3.1. Phương pháp tích phân từng phần b Bài toán: Tính tích phân I = ò f ( x)dx a Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước sau Bước 1: Biến đổi tích phân về dạng: b b I = ò f ( x)dx = ò f1 ( x). f 2 ( x)dx a a Bước 2: Đặt: ìu = f1 ( x) ìdu í Þí îdv = f 2 ( x)dx î v Bước 3: Khi đó:
b b a ò I = uv - vdu . a Đặt vấn đề: Để giải một lớp các dạng toán tích phân từng phần, ta phải phân được dạng từ đó có cách đặt u, dv thích hợp. Ví dụ: b b Dạng 1: I = ò P( x) sin a xdx; I = ò P( x)cosa xdx đặt u = P( x) a a b b Dạng 2: I = ò ea x sin b xdx; I = ò ea x cosb xdx(a , b ¹ 0) đặt u = sin b x ( a a u = cosb x ) b Dạng 3: I = ò P( x)ea x dx(a ¹ 0), đặt u = P( x) a b Dạng 4: I = ò xa ln xdx, (a ¹ -1) đặt u = ln x a (Với P(x) là một thức) 2.3.2. Bài tập ứng dụng Tính các tích phân sau: ln(1 + x) 2 Bài 1: (ĐHHH TPHCM -2000) I = ò dx 1 x2 Phân tích - Đây là bài toán thuộc dạng 4 của tích phần: + Đặt u= ln(x+1). dx + dv= . x2 - Áp dụng phương pháp tích phân từng phần ta có lời giải: Giải Đặt: ì 1 ì u = ln( x + 1) ïdu = x + 1 dx ï ï í dx Þí ïdv = x 2 î ï v = -1 ï î x Khi đó: ln(1 + x) -1 2 2 2 1 I =ò dx = ln( x + 1) + ò dx 1 x 2 x 1 1 x( x + 1) -1 -1 2 1 1 2 = ln 3 + ln 2 + ò ( - )dx = ln 3 + ln 2 + (ln x - ln x + 1) 2 1 x x +1 2 1 -3 = ln 3 + 3ln 2. 2 Nhận xét: Trên đây là một trong những bài toán khó của dạng tích phân từng phần, thoạt đầu nhìn cảm thấy khó chịu và có liên tưởng đến
phương pháp đổi biến số, tuy nhiên đây chính là dạng 4 của tích phân từng phần. p /4 Bài 2: (ĐH TC HN -1998) I = ò x(2 cos x - 1)dx 2 0 Phân tích - Bài toán này ta dễ dàng nhận biết được dạng 1 của tích phân từng phần: p /4 p /4 + I= ò 0 x(2 cos 2 x - 1)dx = ò xcos2 xdx 0 + Đặt u = x + dv = cos2xdx. - Áp dụng phương pháp tích phân từng phần ta có lời giải: Giải Đặt: ì du = dx ì u=x ï í Þí sin 2 x î dv = cos2 xdx ïv = 2 î `Khi đó: sin 2 x p / 4 p /4 p /4 p /4 sin 2 x I= ò 0 x(2 cos 2 x - 1)dx = ò 0 xcos2 xdx = ( x. 2 ) 0 - ò 0 2 dx p cos2 x p / 4 p 1 p - 2 = + = - = . 8 4 0 8 4 8 1 Bài 3: (ĐHQG TPHCM Khối A 2000) I = ò e x sin 2 p xdx -1 Phân tích - Đây là bài toán dạng 2 của tích phân từng phần: + Biến đổi: 1 - cos2p x 1 1 1 1 1 1 I = ò e x sin 2 p xdx = ò e x dx = ò e x dx - ò e x cos2p xdx -1 -1 2 2 -1 2 -1 1 = ( I1 - I 2 ) 2 + Tính tích phân dạng cơ bản I1 và dạng tích phân từng phần I2 . - Ta có lời giải: Giải 1 1 e2 - 1 - Tính: I1 = ò e x dx = e x = -1 -1 e
1 - Tính: I 2 = ò e x cos2p xdx -1 ìu = cos2p x ìdu = -2p sin 2p xdx Đặt: í Þí î dv = e dx îv = e x x Khi đó: e2 - 1 1 1 I 2 = e x cos2p x + 2p ò e x sin 2p xdx = + 2p I 3 -1 -1 e 1 - Tính I 3 = ò e x sin 2p xdx -1 ìu = sin 2p x ì du = 2p cos2p xdx Đặt: í Þí îdv = e dx îv = e x x 1 1 I 3 = e x sin 2p x - 2p ò e x cos2p xdx = -2p I 2 -1 -1 Khi đó: e2 - 1 e2 - 1 1 e2 - 1 2(e2 - 1)p 2 I2 = - 4p 2 I 2 Þ I 2 = ÞI= ( - I2 ) = e e(1 + 4p 2 ) 2 e e(1 + 4p 2 ) 2.3.3. Bài tập rèn luyện Tính các tích phân sau: p /2 (ĐHNN HN - 1998) I = òe 2x sin 3 xdx 0 1 (ĐHNH CHPĐ - 1998) I = ò ( x + 1)2 e 2 xdx 0 e (PVBCTT - 1998) I = ò ( x ln x) 2 dx 1 1 (HVNH TPHCM Khối D - 2000) I = ò x ln( x 2 + 1)dx 0 p /2 (HV KTQS -1999) I = ò cosx ln(cosx + 1)dx 0 e ln x (ĐHNN HN - 1997) I = 1/ e ò (1 + x ) 2 2 dx 1/9 x 1 (ĐH GT HN - 1997) I = ò (5x + +5 )dx 0 sin (2 x + 1) 2 4x -1 p /2 (ĐHBK TPHCM -1995) I = ò x cosxdx 2 0 p /4 (ĐHSP 2 HN - 1997) I = ò 5e x sin 2 xdx 0
p /2 (ĐHTL 2 HN - 1996) I = òe x cos 2 xdx 0 p (ĐHAN- 1999) I = ò x 2 sin xdx 0 3 (ĐH Khối D- 2004) I = ò ln( x 2 - x)dx 2 1 (ĐH Khối D- 2006) I = ò ( x - 2)e2 x dx 0 e (ĐH Khối D- 2007) I = ò x3 ln 2 xdx 1 2 ln x (ĐH Khối D- 2008) I = ò dx 1 x3 3 + ln x 3 (ĐH Khối B- 2009) I = ò dx 1 ( x + 1) 2 e 3 (ĐH Khối D- 2010) I = ò (2 x - ) ln xdx 1 x 2.4. Dạng bài toán tích phân đặc biệt 2.4.1. Bài toán dựa vào tính liên tục và tính lẻ của hàm số lấy tích phân Bài 1: Cho f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ -a; a ] (a > 0) tính: a I= -a ò f ( x)dx Giải Tách tích phân thành tổng như sau: a 0 a ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx -a -a 0 0 Tính: ò -a f ( x )dx : Đặt t =-x suy ra dt = - dx ì x = -a Þ t = a Đổi cận: í îx = 0 Þ t = 0 0 0 a a a ò -a f ( x)dx = - ò f (-t )dt = ò f (-t )dt = - ò f (t )dt = - ò f ( x)dx a 0 0 0 a a a Vậy: I = ò -a f ( x)dx = - ò f ( x)dx + ò f ( x)dx = 0 0 0
Đặt vấn đề: Đây là bài toán đại diện cho một lớp rất nhiều các bài toán, cụ thể là trường hợp riêng của bài toán này. Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1 sin x Bài 2: òx -1 2 +1 dx Phân tích sin x - Ta thấy f ( x) = là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ -1;1] x2 + 1 1 sin x - Do đó ta có kết quả òx -1 2 +1 dx = 0 - Lời giải được trình bày như sau: Giải 1 0 1 sin x s inx s inx Tách tích phân như sau: ò1 x2 + 1dx = -ò1 x2 + 1dx + ò x 2 + 1dx - 0 ì x = -1 Þ t = 1 0 s inx Tính: òx -1 2 +1 dx : Đặt x=-t suy ra dx=-dt và í îx = 0 Þ t = 0 0 0 1 1 s inx s in(-t) s int s inx ò1 x2 + 1 dx = -ò (-t )2 + 1 dt = - ò t 2 + 1 dt = - ò x2 + 1 dx - 1 0 0 1 0 1 sin x s inx s inx Suy ra: ò 2 dx = ò 2 dx + ò 2 dx = 0 -1 x +1 -1 x +1 0 x +1 1 Bài 3: I = ò x 2014 s inxdx -1 Phân tích - Với bài toán trên chúng ta thường suy nghỉ đến ba hướng: 1. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần và thực hiện 2014 lần tích phân từng phần điều đó không thự tế. 2. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho công thức tổng quát: 1 òx s inxdx , từ đó bằng phương pháp truy hồi nhận được kết quả I, tuy nhiên n -1 đây là cách giải chưa hẳn hiệu quả 3. Áp dụng bài1: + Ta thấy f ( x) = x 2014 s inx là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ -1;1] 1 + Do đó ta có kết quả I = ò x 2014 s inxdx = 0 -1 + Lời giải được trình bày như sau: Giải 1 0 1 Tách tích phân như sau: òx s inxdx = ò x s inxdx + ò x 2014 s inxdx 2014 2014 -1 -1 0
ì x = -1 Þ t = 1 0 òx s inxdx : Đặt x=-t suy ra dx=-dt và í 2014 Tính: -1 îx = 0 Þ t = 0 0 0 1 1 òx s inxdx = - ò (-t ) s in(-t)dt = - ò t s intdt = - ò x 2014 s inxdx 2014 2014 2014 -1 1 0 0 1 0 1 Suy ra: ò x 2014 s inxdx = ò x 2014 s inxdx + ò x 2014 s inxdx = 0 -1 -1 0 Bài tập rèn luyện Tính các tích phân sau: p p 2 1 3 2 sin x x òp sin òx òp 4 - sin 5 xdx dx dx -1 2 +1 2 x - - 2 2 2.4.2. Bài toán dựa vào tính liên tục của hàm số trên đoạn [0;1] Bài 1: Cho f(t) là một hàm số liên tục trên đoạn [0;1] . Chứng minh: p p 2 2 ò f (sin x)dx = ò f (cos x)dx 0 0 Giải p 2 Xét ò f (sin x)dx 0 é p p êx = 0 Þ t = 2 Đặt x = - t Þ dx = -dt và ê p khi đó: 2 êx = Þ t = 0 ë 2 p p p p 2 0 2 2 ò 0 f (sin x)dx = - ò f (sin( - t )dt = ò f (cos t )dt = ò f (cos x)dx (Đpcm) p 2 0 0 2 Đặt vấn đề: Trên đây là bài toán hay và có vai trò quan trọng trong việc đi tìm lời giải của 1 lớp các bài toán tích phân có chứa hàm số lượng giác. Cụ thể: p 2 sin 6 x Bài 2: I = ò dx 0 cos x + sin x 6 6 Phân tích Đứng trước bài toán này ta thường nghỉ đến hai hướng: 1. Biến đổi lượng giác đưa tích phân về dạng quen thuộc, tuy nhiên do bậc của hàm số lượng giác khá cao nên chưa chắc đã là hiệu quả 2. Áp dụng bài toán đại diện: