SKKN: Giải toán hình học cho học sinh năng khiếu

A/ Kiến thức khái quát:<br /> Đối với tiểu học kiến thức hình học chỉ  dừng lại  ở  mức độ  kiến <br /> thức mở đầu. Bước đầu cung cấp các công thức cơ bản về các hình: Hình <br /> chữ  nhật, hình vuông, hình thang, hình tròn, hình tam giác, hình lăng trụ,  <br /> hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Chưa có và chưa sử  dụng các công  <br /> thức phát triển và các định lý, các quy tắc biểu diễn trong hình. Do vậy,  <br /> khi giải các bài toán hình ở tiểu học, đặc biệt là các bài toán hình nâng cao <br /> trong các kỳ thi học sinh năng khiếu Toán thì cẩm nang duy nhất chỉ có là <br /> các công thức cơ bản của các hình. <br /> Bên cạnh cẩm nang này để giải được các bài toán hình phức tạp rất  <br /> cần  ở  đội ngũ giáo viên cũng như   ở  học sinh một nhanh nhạy trong việc <br /> xem xét, đánh giá mối liên quan giữa các yếu tố  đã cho trong bài. Song  <br /> song với đó là yêu cầu cao  ở  người giải toán một trí thông minh, một tư <br /> duy liên tưởng sáng tạo. Điều cần có trước hết là ở  sự  say mê hứng thú <br /> giải toán hình. Sau mỗi bài giải ta nhận được ở chính nội dung bài đó một <br /> niềm vui học toán, một kết quả của tư duy liên tưởng sáng tạo. <br /> Điều quan trọng mang tính chất mở  đầu và cốt lõi là cần vẽ  đúng <br /> hình với đầy đủ các điều kiện của đề toán. Tiếp theo là suy nghĩ thiết lập  <br /> hướng giải toán có thể vận dụng 3 phương pháp thông thường trong giải <br /> toán hình ở tiểu học. Đó là: <br /> + Phương pháp lật hình<br /> + Phương pháp kẻ thêm đường thẳng<br /> + Phương pháp dịch chuyển hình<br /> (Riêng nội dung này sẽ nói kỹ hơn ở phần sau)<br /> Tóm lại: Việc giải toán hình tiểu học đòi hỏi một sự  lao động trí thức <br /> nghiêm túc và nhiệt tình cộng với hứng thú học tập.<br /> Sau đây là một số kiến thức cơ bản về một số hình thông thường bậc tiểu <br /> học.<br /> <br /> 1<br /> 1/ Hình thang:<br /> b<br /> A B<br /> <br /> <br /> h<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> D C<br /> H a<br /> <br /> <br /> <br /> Hình thang là một hình tứ  giác có 2 cạnh đáy song song với nhau. Chiều  <br /> cao là đoạn thẳng vuông góc với 2 đáy hình thang. Như vậy, hình thang có vô số <br /> đường cao.<br /> * Công thức tính:<br /> ( a b)<br /> S =   x h;                      h = (S x 2) : (a + b);             a + b = (S x 2) : h<br /> 2<br /> Trong đó: S ­ Diện tích;              h ­ Chiều cao;       a­ Đáy lớn;            b ­ Đáy nhỏ<br /> Khi giải các bài tập về  hình thang ta thường áp dụng tính chất kẻ  thêm  <br /> đường cao hoặc phát triển trên nền cơ sở là cắt ghép hình đẳng lập.<br /> * Có các loại hình thang đặc biệt:<br /> + Hình thang vuông: Là hình thang có 1 cạnh bên vuông góc với 2 đáy. Khi đó <br /> chiều cao của hình thang chính là cạnh bên vuông góc của hình thang.<br /> + Hình thang cân: Là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau.<br /> * Nâng cao:<br /> Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì có S  <br /> bằng nhau.<br /> Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau hình thang nào có chiều cao gấp 2,  <br /> 3, 4…. lần thì có S gấp 2, 3, 4…. lần và ngược lại.<br /> <br /> <br /> 2<br />  Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau hình nào có S gấp 2, 3, 4…. lần thì  <br /> có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại.<br /> <br /> <br /> <br /> 2/ Hình tam giác:<br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> h<br />        <br /> <br /> <br /> a B<br /> C H<br /> <br /> <br />         <br />        Hình tam giác có 3 đáy, 3 đỉnh, 3 cạnh, 3 đường cao. <br />        Ở bậc tiểu học các yếu tố trong tam giác chỉ sử dụng nhiều đến đường cao <br /> và đáy, còn các yếu tố  khác như: Góc, đường phân giác, đường trung tuyến,  <br /> đường trung trực thì ít dùng và không thông dụng.<br /> * Lưu ý: Tổng các góc trong của một tam giác là 1800<br />                Trong tam giác vuông thì tổng 2 góc còn lại là 900<br /> * Có các loại tam giác đặc biệt: <br /> + Tam giác cân: Tam giác có 2 cạnh bằng nhau, 2 góc cùng đáy bằng nhau.<br /> + Tam giác đều: Tam giác có 3 cạnh, 3 đáy bằng nhau.<br /> + Tam giác vuông: Tam giác có 1 góc vuông.<br /> + Tam giác vuông cân: Tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau.<br /> * Công thức tính:<br /> S = (a x h) : 2;       a = (S x 2) : h ;             h = (S x 2) : a<br /> Trong đó: S – Diện tích; h – Chiều cao;     a ­ Đáy tương ứng<br /> * Nâng cao:<br /> Trong tam giác tổng 2 cạnh bao giờ cũng lớn hơn 1 cạnh.<br /> Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và có chiều cao bằng <br /> nhau (hoặc chung chiều cao) thì S của 2 tam giác đó bằng nhau.<br /> 3<br />  Hai tam giác có 2 đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) thì tam giác nào có  <br /> chiều cao gấp 2, 3, 4…. lần thì có S cũng gấp 2, 3, 4….. lần và ngược lại.<br /> Hai tam giác có 2 đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) tam giác nào có S gấp <br /> 2, 3, 4… lần thì có chiều cao cũng gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại.<br /> Hai tam giác có diện tích bằng nhau, nếu chúng có 1 phần chung thì các <br /> phần còn lại của 2 tam giác đó bằng nhau.<br /> <br /> <br /> 3/ Hình chữ nhật:<br /> <br /> A B<br /> <br /> <br /> b<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> D C<br /> a<br /> <br /> Hình chữ  nhật là một hình thang đặc biệt có 2 cạnh bên bằng nhau và  <br /> vuông góc với 2 đáy.<br /> * Các công thức tính:<br /> + Tính chu vi:             P = (a + b) : 2<br /> + Tính diện tích:         S = a x b.<br /> a = (P : 2) – b;         b = (P : 2) – a;             a = S : b;              b = S : a.<br /> Trong đó:   S – Diện tích;         P – Chu vi;         a – chiều dài;           b – Chiều  <br /> rộng<br /> * Nâng cao:<br /> Hai HCN có diện tích bằng nhau. Nếu chiều dài của chúng bằng nhau thì <br /> có chiều rộng bằng nhau, và ngược lại.<br /> Hai HCN có chiều rộng (hoặc chiều dài) bằng nhau hình nào có diện tích <br /> gấp 2, 3, 4 … lần thì có chiều dài (hoặc chiều rộng) gấp 2, 3, 4… lần và ngược <br /> lại.<br /> <br /> <br /> 4<br />  Khi diện tích không thay đổi thì chiều dài và chiều rộng là 2 đại lượng tỷ <br /> lệ nghịch.<br /> 4/ Hình vuông:<br /> Hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt có chiều dài bằng chiều rộng.<br /> Chu vi hình vuông: P = a x 4<br /> Diện tích hình vuông: S = a x a<br /> Trong một số  trường hợp, khi biết  được diện tích ta có thể  biết ngay <br /> được cạnh của nó. Đó là các trường hợp S hìng vuông là bình phương của 1 số.<br /> Cắt đôi hình vuông từ trung điểm của 2 cạnh ta được hai hình chữ nhật có <br /> chu vi và diện tích bằng nhau.<br /> Cắt đôi hình vuông bằng đường chéo ta được 2 hình tam giác vuông cân <br /> bằng nhau.<br /> 4/ Hình tròn:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> r<br /> <br /> <br /> <br /> <br />       Các yếu tố trong hình tròn: <br />                    Đường kính: d;       Bán kính: r;       Chu vi: C;      Diện tích: S<br />                    Số = 3,14.<br />       Công thức tính: C = d x 3,14;                             S = r x r 3,14                              <br />                                    = r x 2 x 3,14;                         <br />                                 d = C : 3,14;                              r = d : 2<br />                                    = r x 2                                       = C : 2 : 3,14<br /> <br /> <br /> B/ Các phương pháp cơ bản khi giải toán hình ở tiểu học:<br /> <br /> 5<br />             Như phần trên đã trình bày việc giải toán hình ở tiểu học đòi hỏi người <br /> thầy, người trò và nói chung là những người giải toán cần có một sự tinh tế và <br /> nhạy bén với các yếu tố mà đề bài cho, làm sao đưa được các yếu tố đó về sự <br /> lôgíc trong toán học. Song đều dựa trên các nguyên tắc hay phương pháp cơ bản <br /> nhất định. Từ thực tế trực tiếng giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi toán nay <br /> là học sinh năng khiếu toán tiểu học tôi rút ra được 3 phương pháp giải toán <br /> hình thông thường ở tiểu học như sau:<br /> 1/ Phương pháp thứ nhất: Phương pháp lật hình<br />          Phương pháp này dùng để giải quyết các bài toán hình có nội dung mở <br /> rộng hình về 1 phía, 2 phía, 3 phía đối với các hình: Tam giác, hình thang, hình <br /> chữ nhật, hình vuông…<br />         Khi giải các bài toán này ta lật hình để đưa được về dạng các hình cơ bản: <br /> Hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác… đối với các phần mở thêm.<br /> <br /> <br /> * Ví dụ 1: Một thửa ruộng hình vuông nếu tăng số đo cạnh thêm 3m thì diện <br /> tích tăng thêm 99m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó?<br /> Bài giải<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br />           Ta lật hình chữ nhật (phần mở thêm chiều ngang) ghép vào phần mở thêm <br /> chiều dọc ta được hình chữ nhật có diện tích 99m2 (như hình vẽ)<br />           Thấy: Hình chữ nhật có chiều rộng là 3m. Chiều dài là 2 lần cạnh hình  <br /> vuông và 3m. <br />           Ta có: Chiều dài hình chữ nhật là: 99 : 3 = 33 (m)<br />                       Cạnh của hình vuông là: (33 – 3) : 2 = 15 (m)<br />                      Diện tích hình vuông là:  15 x 15  = 225 (m2)<br /> 6<br />  Đ/s: 225m2<br /> <br /> * Ví dụ  2: Một thửa ruộng hình thang có diện tích 460m2. Trên các cạnh AB; <br /> BC; DA; CD người ta lấy các điểm chính giữa M; N; P; Q. Nối M với N; N với  <br /> P; P với Q. Tính diện tích MNPQ?<br /> Bài giải<br /> <br /> (Hình vẽ trang bên)<br /> <br />       Kéo dài MQ cắt CD tại F (như hình vẽ)<br />       Kéo dài MN cắt DC tại E  (như hình vẽ)<br />       Lúc này SABCD  = SMEF. Nối MP ta có:<br />              SMNP = SNEP (Vì 2 tam giác này có MN = NE và chung đường cao hạ từ P)<br /> Tương tự ta có: SMPQ  = SQPF <br /> 1 1<br /> Từ đó có: SMNP = SMPQ = SNEP = SQPF  =  SMPF  =  SMPE<br /> 2 2<br /> 1 1<br /> SMPQ  + SQPF  = SMNP  + SNPE  = SMPF  = SMPE  =  SMEF  =  SABCD<br /> 2 2<br /> Mà SMNP  + SMPQ  = SMNPQ<br /> 1<br /> Vậy ta có: SMNPQ  =  SABCD<br /> 2<br />                             = 460 : 2 = 230 (m2)<br /> Đ/s: 230m2<br /> <br /> M<br /> A B<br /> <br /> <br /> <br /> Q<br /> N<br /> E<br /> F D P<br /> C<br /> <br /> 2/ Phương pháp thứ hai: Phương pháp dịch chuyển hình.<br />                Phương pháp này giải các bài toán có dạng “Hòn đảo” hoặc xuất hiện  <br /> “phần dư” trong hình. Khi giải toán ta tưởng tượng ra và dịch chuyển “hòn đảo” <br /> 7<br /> hoặc “phần dư” đó vào 1 góc hoặc 1 cạnh để  tiện ích cho việc giải toán áp  <br /> dụng công thức của các hình cơ bản.<br /> * Ví dụ 1: Người ta đào 1 cái ao hình vuông trong một khu đất cũng hình vuông. <br /> Tổng chu vi của cái ao và khu đất là 144m. Diện tích khu đất lớn hơn diện tích  <br /> cái ao là: 1008m2. Tìm cạnh của ao và khu đất?<br /> Bài giải<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br />          Ta giả  sử  cái ao hình vuông đó được đào sát vào 1 góc của khu đất. Đã  <br /> được dịch chuyển hình vuông đó vào 1 góc của khu đất (như hình vẽ).<br />         Ta thấy: Có 2 cạnh trùng với cạnh của khu đất, thì phần diện tích khu đất  <br /> lớn hơn diện tích cái ao được chia thành 2 phần bằng nhau. Đó là 2 hình thang <br /> mà mỗi hình có tổng 2 đáy chính là tổng 2 cạnh của cái ao và khu đất. Vậy có:<br />           Tổng 2 đáy của hình thang là: 144 : 4 = 36 (m)<br />            Diện tích một hình thang là: 1008 : 2 = 504 (m2)<br />            Chiều cao của mỗi hình thang là: (504 x 2) : 36 = 28 (m)<br />            28m chính là hiệu của cạnh khu đất và cạnh ao.<br />            Vậy cạnh ao là: (36 – 28) : 2 = 4 (m)<br />           Cạnh khu đất là: 28 + 4 = 32 (m)<br />   Đ/s: 32m.<br /> <br /> <br /> 3/ Phương pháp thứ 3: Phương pháp kẻ thêm đoạn thẳng.<br /> 8<br />               Do hình học ở tiểu học chưa có các định lý và các quy tắc  bổ trợ nên ta  <br /> rất cần có sự tương quan giữa các yếu tố đã cho trong đề bài. Muốn vậy ta cần  <br /> kẻ thêm một số đường thẳng ngoài các yếu tố mà đề bài đã cho. Nhưng kẻ thêm <br /> như thế nào thì ta phải xem xét và thiết lập được sự tương quan giữa các yếu tố <br /> của đề toán.<br /> 2 2<br /> * Ví dụ: Cho hình tam giác ABC. Có BE = EC; AD =  AB; AF =  AC. Hãy so <br /> 3 5<br /> sánh SADEF  với SABC.<br /> Bài giải<br /> <br /> A<br /> <br /> F<br /> <br /> D<br /> <br /> <br /> <br /> C<br /> B<br /> E<br /> E<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> Nối AE. Ta thấy: SABE  = SAEC =  SABC <br /> 2<br />  (Vì có: BE = EC và chung đường cao hạ từ A)<br /> 2<br /> SAEF  =  SAEC (Vì có: AF = 2/5 AC, có chung đường cao hạ từ E xuống)<br /> 5<br /> 1<br /> Do đó: SAEF  =  SABC<br /> 5<br /> 2<br /> Tương tự ta có: SADE  =  SABE (Vì có: AD = 2/3 AC; chung đường cao hạ từ đỉnh <br /> 3<br /> E)<br /> 1<br /> Do đó: SADE  =  SABC <br /> 3<br /> 1 1<br /> Mà SADEF  = SADE  + SAEF . Nên có: SADEF  =  SABC  +  SABC<br /> 3 5<br /> 8<br />                                                                 =  SABC <br /> 15<br /> 9<br />  8<br /> Đ/s:  SABC<br /> 15<br /> <br /> <br /> <br /> C/ Bài tập vận dụng:<br /> <br /> 1/ Bài 1: Sân trường là một HCN có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nay mở <br /> rộng sân về  3 phía, mỗi phía rộng thêm 4m. Phần mở  rộng đã lát gạch hình <br /> vuộng, cạnh 0,2m hết 4.410 viên. Diện tích trát vữa hết 3,6m2. Tính diện tích  <br /> sân trường trước khi mở rộng?<br /> (Đ/s: 164,28m2)<br /> 2/ Bài 2: Cho hình vuông ABCD có chu vi là 32 cm. M, N là trung điểm của AB, <br /> BC. Các đường thẳng AN bà BM cắt nhau tại K. Tính SAMK?<br /> 16<br /> (Đ/s:  cm2)<br /> 5<br /> 3/ Bài 3: Cho hình thang ABCD có S = 1.000cm2. Đoạn thẳng BE chia hình thang  <br /> thành 2 phần.<br /> a) Tính SABED và SBEC.. Biết: SBEC  ­ SABED  = 80cm2.<br /> b) Trên BE lấy điểm M sao cho EM = 1/3 EB. Từ M kẻ đường thẳng song song <br /> với EC cắt BC tại N. Biết Mn dài 36 cm. Tính tổng 2 đáy hình thang ABCD?<br /> (Đ/s: a) 540cm2; b) 100cm)<br /> 4/ Bài 4: người ta làm một cái vườn ha hình vuông chính giữa một cái sân cũng <br /> hình vuônca. Tổng chu vi của của cái sân và vường hoa là 128m, diện tích vườn  <br /> hoa kém diện tích sân là 512m2. Tính cạnh của vườn hoa và cạnh của sân/<br /> (Đ/s: 8m; 24m)<br /> <br /> <br /> 5/ Bài 5: Một thửa ruộng hình thang có TBC 2 đáy là 30,15m. Nếu tăng đáy lớn <br /> thêm 5,6m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 33,6m2. Hãy tính diện tích của <br /> thửa ruộng đó?<br /> (Đ/s: 361,8m2)<br /> 6/ Bài 6: Cho tam giác vuông ABC vuông  ở  A. Có cạnh AB = 28m; AC = 24m. <br /> Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm D sao cho khi nối E với D ta được hình <br /> thang vuông ABDE có chiều cao AE = 6m. Tính đoạn ED?<br /> <br /> <br /> <br /> 10<br />  (Đ/s: 21m)<br /> 7/ Bài 7: Một thửa ruộng hình thang vuông ABCD có đáy bé AB = 20m, đáy lớn <br /> CD = 40m và chiều cao AD = 32m. Nay vì mở rộng đường nên bị cắt mất 1 hình <br /> thang có đáy lớn là CD và chiều cao là 8m. Tính diện tích còn lại?<br /> (Đ/s: 660m2)<br /> 8/ Bài 8: Một khu vườn hình chữ  nhật có chiều dài 31,5m. Khu vườn đó được <br /> mở thêm theo chiều rộng làm cho chiều rộng so với trường tăng gấp 1,5 lần và <br /> do đó diện tích tăng thêm 252m2. Tính chiều rộng và diện tích khu vườn mở <br /> thêm?<br /> (Đ/s: 24m; 756m2)<br /> 9/ Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên BC sao cho BC gấp 5 lần BM.  <br /> 3<br /> Điểm N nằm trên AC sao cho AN =  AC. Điểm P nằm trên MN sao cho NP = <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> MN.<br /> 3<br /> Hãy so sánh SAMP và SABM ?<br /> (Đ/s: SAMP  = SABM)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> 11<br />