SKKN: Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các phương pháp khác nhau từ đó giúp cho học sinh tiếp cận hình học và giải toán hình học một cách dễ hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT

1. MỤC LỤC Đôi t ́ ượng nghiên cứu…………………..........………....………………… 1 ̣ ́ Muc đich nghiên cứu …………………………................………………… 1 ́ ượng nghiên cứu……………………………….….................……….. Đôi t 1 Phương phap nghiên c ́ ứu…………………………………..................…….. 1 2. NÔI DUNG ̣ 2 2.1. Cơ sở li luân..………………………………………...............……….. 2 ́ ̣ ̀ ́ ̀ ự hinh thanh vec t 2.1.1. Vai net vê s ̀ ̀ ơ va toa đô……................………….. 2 ̀ ̣ ̣ 2.1.2. Căn cư vao ban chât hinh hoc……………………...............……… 2 ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̣ 2.2. Thực trang vân đê tr ̣ ́ ̀ ước khi ap dung sang kiên kinh nghiêm .............. 3 ́ ̣ ́ ́ ̣ 2.3. Thực hanh giai môt sô dang bai toan hinh hoc không gian ................... 3 ̀ ̉ ̣ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ thông qua 3 phương phap giai khac nhau. ́ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ 2.3.1. Cac bai toan vê tinh thăng hang………………...............…………… 3 ̀ ̣ 2.3.2. Cac bai toan vê quan hê song song………………..............………… 6 ́ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̣ 2.3.3.Cac bai toan vê quan hê vuông goc………..............……………… 10 ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ 2.3.4. Cac bai toan vê tinh khoang cach……………….............…….....… 13 ́ 2.3.5. Cac bai toan vê tinh goc………………............……………....…… 16 ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ 2.4. Thực nghiêm s ̣ ư pham…………………………………….........…..... ̣ 18 3. KÊT LUÂN VA KIÊN NGHI ́ ̣ ̀ ́ ̣ 20 ̀ ̣ ̉ Tai liêu tham khao ̣ ̣ Phu luc 1
1. MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc tổ chức dạy học các kiến thức hình học bằng các phương pháp khác ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ nhau nhăm tao ra cho hoc sinh tinh linh hoat, đa dang khi tiêp cân môt bai ̀ toan hinh hoc. ́ ̀ ̣ Thực trạng hiện nay, tại trường THPT việc học hình học với một bộ phận học sinh là điều miễn cưỡng, môn hình chỉ đưa lại say mê với số ít học sinh khá và giỏi thì việc tạo ra cho các em hứng thú trong học hình bằng các cách tiếp cận đối với một bài toán bằng các phương pháp khác nhau là một việc nên làm. Điều đó sẽ góp phần làm cho các em nắm vững kiến thức hình học,hiểu được bản chất các đối tượng hình học trong chương trình phỏ thông. Hình học không gian chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán cấp THPT, do vậy việc tìm kiếm các con đường tổ chức dạy học cho phần hình học không gian luôn được nhiều người quan tâm. Đặc biệt, hiện nay với những tiện ích do việc sử dụng phương tiện dạy học hiện đại đưa lại, giáo viên có thể trình chiếu và nhanh chóng phân tích, so sánh những phương pháp giải khác nhau cho một bài toán cụ thể trong một đơn vị thời gian nhất định, cách làm này đã tạo được ấn tượng rất tốt và thực sự có hiệu quả đối với học sinh. ̀ ̣ ̣ Vi vây tôi chon đê tai:̀ ̀ ̣ ́ ương phap giai toán hình h ‘’ Môt sô ph ́ ̉ ọc không gian ở trường THPT’’ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các phương pháp khác nhau từ đo giup cho ́ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̀ ̉ ̣ ̣ ́ ̃ ơn. hoc sinh tiêp cân hinh hoc va giai toan hinh hoc môt cach dê h ̀ ́ ̀ ́ ƯỢNG NGHIÊN CƯU ĐÔI T ́ 2
Xây dựng cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực chuyển đổi của ba phương pháp. Xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các phương pháp khác nhau. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy toán, sách giáo khoa, sách giáo viên về chương trình hình học ở cấp THPT; Điêu tra tim hiêu, ̀ ̀ ̉ ̉ khao sat th ́ ực tê va thu thâp thông tin. ́ ̀ ̣ Tìm hiểu về việc dạy và học hình học ở trường THPT Ham Rông theo ̀ ̀ các chủ đề: hình học tổng hợp,vec tơ và toạ độ. Đôi chiêu kêt qua kiêm tra ́ ́ ́ ̉ ̉ ở 2 lơp thuôc khôi 12 tr ́ ̣ ́ ường THPT Ham Rông ̀ ̀ 2. NỘI DUNG 2.1. CƠ SỞ LI LUÂN ́ ̣ 2.1.1 Vài nét về sự hình thành kiến thức vec tơ và toạ độ. Phương pháp toạ độ đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại. Các nhà thiên văn học Hy lạp(Hippocrates thế kỷ IITCN,Ptolemaeus thế kỷ II ) đã dùng các toạ độ cầu (vĩ độ và kinh độ)để xác định các điểm khác nhau trên trái đất, tuy nhiên sự phát triển của phương pháp toán học này đã bị kìm hãm do chưa có ký hiệu bằng chữ và quan niệm tổng quát về số. Việc không có những phương pháp toán học tổng quát để giải các bài toán và chứng minh một số định lý hình học là một hạn chế rất lớn của hình học sơ cấp.Trong vật lý, cơ học, kỹ thuật ... người ta thấy hạn chế này một cách sâu sắc khi gặp những đường, những mặt phức tạp như đường Parabol, đường hypecbol, đường elip..., mặt Paraboloit, mặt Hypecboloit,....Cho đến thế kỷ XVII, nhà toán học Đêcac(R.Descartes) (15961650) đã sáng lập ra môn hình học giải tích một cách độc lập với Phecma(P.Fermat)(16011665). Hai ông đã cống hiến cho khoa học một phương pháp mới – phương pháp toạ độ làm cơ sở cho hình học giải tích, môn học đã dùng hệ toạ độ để chuyển những hình ảnh của hình học về ngôn ngữ của đại số. Có thể nói, sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết toán học và sự ứng dụng của toán học vào thực tế đời sống. 2.1.2 Căn cứ vào bản chất toán học của kiến thức hình học. 3
Một nội dung,một khái niệm toán học có thể diễn đạt theo ngôn ngữ,ký hiệu khác nhau.Chẳng hạn: + Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB” M AB (theo ngôn ngữ tổng hợp) MA = MB MA MB 0 ( theo ngôn ngữ vec tơ) x A + xB xM = 2 y +y � yM = A B (theo ngôn ngữ toạ độ) 2 z +z zM = A B 2 + Khái niệm: “đường thẳng AB” M / AM t AB, t R. ( theo ngôn ngữ vec tơ) � x − xA y − yA z − zA � � �M ( x; y; z ) / = = � (theo ngôn ngữ toạ độ) � xB − x A y B − y A z B − z A Như vậy,một khái niệm toán học có thể có những vỏ ngôn ngữ khác nhau và ta có thể dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau ấy mà định hướng để tìm ra các phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán hình học. Chẳng hạn,dựa vào cách diễn đạt khái niệm:”Hai mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian” ta sẽ định hướng cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: 1/ Theo ngôn ngữ tổng hợp: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900. 2/ Theo ngôn ngữ vec tơ: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta chứng minh tích vô hướng (qua phép biến đổi) của hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0. 3/ Theo ngôn ngữ toạ độ:Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y + C+C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh biểu thức toạ độ của tích vô hướng hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0. A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0 2.2 THỰC TRANG VÂN ĐÊ TR ̣ ́ ̀ ƯỚC KHI AP DUNG SANG KIÊN KINH NGHIÊM ́ ̣ ́ ́ ̣ 4
Trươc khi ap dung sang kiên kinh nghiêm tôi nhân thây viêc hoc sinh THPT ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ́ ơp 12) khi giai môt bai toan hinh hoc không gian ( cu thê hoc sinh cac l ́ ̉ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ thương rât lung tung, lam bai rât châm, ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ́ ̣ cac đôi t ́ ́ ượng hoc sinh trung binh tr ̣ ̀ ở xuông th ́ ường không lam đ ̀ ược cac bai hinh. ́ ̀ ̀ 2.3. THỰC HÀNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU. 2.3.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH THẲNG HÀNG Dạng toán 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng * Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta có thể sử dụng một trong các hướng sau: + Chứng minh A,B,C cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau nào đó + Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó... * Phương pháp vec tơ + Chứng minh AC t. AB (t R) + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OC t.OB (1 t ).OA (t 1) + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OC t.OB l.OA (t l 1) * Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz + Biểu thị toạ độ A,B,C theo hệ toạ độ đã chọn: A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) ,C(xC;yC;zC) + Tính toạ độ của AB( x B xA , yB yA , zB z A ) , AC ( x C x A , yC y A , zC zA) xC xA t.( x B xA + Chỉ ra sự tồn tại t R sao cho y C yA t.( y B yA ) zC zA t.( z B zA) Hoặc thay toạ độ cuả điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả mãn Ví dụ 1:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. Gọi G là trọng tâm tam giác A1BD. Chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng. Lời giải * Phương pháp tổng hợp: Chứng minh A,G,C1 cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau. 5
Ta có: G A1O ( ACC1 A1 ) nên G ( ACC1 A1 ) . A D O Vậy A, G, C1 ( ACC1 A1 ) . B Mặt khác G DI ( ADC1 B1 ) nên G C G ( ADC1 B1 ) . I Vậy A, G, C1 ( ADC1 B1 ) . A1 D1 Từ trên suy ra ba điểm A,G,C1 thẳng hang̀ B1 C1 Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc AA1 , A1 B1 , A1 D1 .Theo bài ra, G là trọng tâm tam giác 2 A1BD nên A1G . A1O . 3 Để chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng, ta chứng minh A1G t.AC1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. 2 Ta có: AC1 AA1 A1C1 A1 A A1 B1 A1 D1 , AG AA1 A1G A1 A . A1O 3 1 1 1 = AA1 .( A1 B A1 D) = .( A1 A A1 B1 A1 D1 ) . AC1 3 3 3 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp 2 Như vậy,ta có: A1G . A1O hay A,G,C1 thẳng hàng. 3 * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: z A + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ O D B kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ C G Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: O A1 , I D1 Ox , B1 Oy , A Oz .Khi đó ta có: A1 x D1 A1(0;0;0),D1(a;0;0),B1(0;b;0),A(0;0;c), B1 C1 B(0;b;c),D(a;0;c),C1(a;b;0).Vì G là trọng y a b c tâm tam giác nên: G = ; ; . 3 3 3 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. a b c 1 1 Ta có: AC1 (a; b; c) , AG ( ; ; ) (a; b; c) AC1 3 3 3 3 3 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp 6
1 AG . AC1 hay A,G,C1 thẳng hàng. 3 Dạng toán 2:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, từ đó suy ra các tính chất khác. Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. P là điểm trên đường thẳng 3 CC1 sao cho CP .CC1 , M là một điểm trên đường thẳng AD, N là điểm 2 trên MD đường thẳng BD1 sao cho M,N,P thẳng hàng.Tính . MA Lời giải: Phương pháp tổng hợp: Ta có: ADD1 A1 MP; BD1 MD1 BCC1 B1 MP; BD1 BP .Vì ADD1 A1 // BCC1 B1 nên MD1// BP, MD DD1 2 MD 2 do đó MD1D=.....suy ra MD1 D ... BPC ,vậy nên hay DC CP 3 AD 3 MD từ đó 2. MA * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: P + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec D1 C1 tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : CB a , CC1 b , A1 CD c B1 3 3 N Theo giả thiết,ta có: CP .CC1 .b .Vì 2 2 D,M,A thẳng hàng nên: DM x.DA x.a . D C Vì M,N,P thẳng hàng nên: CN .CM (1 ).CP . A B Vì B,N,D1 thẳng hàng nên: CN .CD1 (1 ).CB + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. 3 Tacó: CN .(CD DM ) (1 ).CP .(c x.a ) (1 ). .b (1) 2 3 .x.a (1 ). .b .c . 2 3 Lại có CN .(CC1 CD) (1 ).CB .(b c) (1 ). a (1 ).a .b .c 2 (2) 7
.x 1 3 3 2 Từ (1) và (2)suy ra: .(1 ) ;x .Vậy 2 5 3 2 MD DM .DA 2. 3 MA Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyên các d ̉ ữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O , B Ox , D Oy , C1 Oz . 3c Khi đó: C(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0),C1(0;0;c) ,D1(0;b;c), D 0;0; . 2 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Mặt phẳng (BD1P) (chứa N) đi qua B(a;0;0) z P có vec tơ chỉ phương là 3c BP ( a;0; ) và BD1 ( a; b; c) D1 2 C1 nên có phương trình: 3bcx+acy+2abz3abc = 0 A1 B1 (3) N x a.t y D C Đường thẳng AD có phương trình: y b (4) M C 1 z 0 A B M x do đó M có toạ độ là nghiệm của hệ (3) 2a 2a a và (4) nên M= ; b;0 ,từ đó có DM ;0;0 , MA ;0;0 DM 2 MA . 3 3 3 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp DM 2MA MD 2. MA 2.3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG. Dạng toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. Phương pháp tổng hợp: + Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau,ta chứng minh chúng đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học phẳng như: tính chất đường trung bình, định lý Talet đảo...hoặc chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba,... + Để chứng minh a//(P) ta chứng minh a//b với b (P) 8
+ Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳg cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia,... Phương pháp vec tơ, phương pháp toạ độ Khi giải bài toán dạng này, ta có thể tiến hành:Chuyển các dữ kiện của bài toán ra ngôn ngữ vec tơ hoặc toạ độ,sau đó biến đổi các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) thu được về dạng các đẳng thức vec tơ ( hoặc toạ độ) tương đương với các điều kiện song song. Ví dụ3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm chia đoạn AD 1 2 theo tỉ số , N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ số .Chứng minh: MN// 4 3 (BC1D). Lời giải * Phương pháp tổng hợp: Đặt O = AC BD , I = MC BD , D1 C1 J = A1C C1O B1 A1 JC OC 1 Ta có: JA A1C1 2 suy ra N 1 J 1 1 5 CJ 5 CJ .CA1 . .CN Vậy (1). 3 3 3 CN 9 D C IC CB AD 5 M Mặt khác I O IM MD MD 4 A B IC 5 CJ CI .Từ (1) và (2) có: hay MN//IJ ( BC1 D ), do đó MN// CM 9 CN CM (BC1D). * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : BA a , BB1 b , BC c M là điểm chia đoạn AD theo tỉ 1 1 2 số ,nên AM . AD N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ số nên 4 5 3 2 A1 N . A1C , để chứng minh: MN//(BC1D) ta sẽ chứng minh 5 MN m.BD n.BC1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Ta có: BD a c , BC1 b c , MN BN BM = BA AA1 A1 N BA AM 2 1 2 3 1 2 3 a b (c a b) a c a b c (a c) (b c) 5 5 5 5 5 5 5 2 3 BD BC1 5 5 9
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp MN 2 3 BD BC1 5 5 * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện z bài toán sang ngôn ngữ toạ độ. P Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O , B Ox , D Oy , C1 Oz . Giả sử ba kích thước D1 của hình hộp là a,b,c, khiđó: A 1 B C(0;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),C1(0;0;c), N 1 A(a;b;0),A1 a; b; c . M là điểm chia đoạn AD 1 4a 3a 3b 3c x D theo tỉ số ,nên M=( , b,0) ,N=( , , ) M C 4 5 5 5 5 A B M y + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. x y z Mặt phẳng (BC1D) có phương trình là: 1 3 bcx+acy+abz+abc = 0 a b c a 2b 3c Đường thẳng MN có vec tơ chi phương MN ( , , ). 5 5 5 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp Vì n.MN 0 nên n MN hay MN//(BC1D) Dạng toán 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học khác. Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên đường chéo AC của mặt phẳng (ABCD), N là điểm trên đường chéo thẳng C1D của MN mặt phẳng (CDD1C1) sao cho MN//BD1. Tính tỉ só BD . 1 * Phương pháp tổng hợp: Đặt I = BM D1 N , vì I BM ( ABCD) và I D1 N (CDD1C1 ) nên I CD IN DN DI Ta có: ND do CD // C1 D1 , 1 NC1 C1 D1 IM CM CI A1 D1 do AB // CD mặt MB MA AB IN IM B1 khác ND MB do MN // BD1 . nên C1 1 DI CI suy ra: C D AB do đó DI = CI hay N 1 1 A I là trung điểm của CD. D I M B C 10
IM 1 IM 1 MN Vậy hay IB 3 BD1 . MB 2 * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : BA a , BB1 b , BC c Theobài ra A, M, C thẳng hàng nên MC x. AC , C1, N, D thẳng hàng nên C1 N y.C1 D , vì MN//BD1 nên MN k .BD1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Tacó: MN k .(a b c) (1) AC c a , CC1 b , C1 D a b , MN MC CC1 C1 N 1 x y x k 3 2 (2) . Vì a , b , c đồng phẳng nên từ (1) và (2) suy ra 1 y k y 3 x k 1 k 3 1 Vậy MN .BD1 3 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp 1 MN 1 hay MN = 1 . MN .BD1 3 BD1 3 BD1 3 Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyên các d ̉ ữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O , B Ox , D Oy , A1 Oz . Giả sử ba kích thước của hình hộp là a,b,c, khiđó: A(0;0;0),B(a;0;0),D1(0;b;c),C1(0;0;c),C(a;b;0),C1 a; b; c . z Vì nên M(xM;yM;0), Vì nên N=(xN;b;zN) A1 D1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. B1 C1 ,,,,, . Từ giả thiết suy ra: MN//BD1 suy N ra A D y M B C x 11
xN xM ka a xM xa (2) , MN k .BD1 b yM kb (1),M AC MC x AC b yM xb zN kc y x k xN a ya N C1 D C1 N yC1 D (3) . Từ (1),(2),(3) suy ra 1 y k zN c yc x k 1 x 3 2 1 y như vậy MN .BD1 3 3 1 k 3 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp . 2.3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC. Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng. Phương pháp tổng hợp: * Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể chứng minh: + a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P). + a song song với dường thẳng b mà b (P) + Sử dụng định lý:” Nếu a thuộc mặt phẳng (P) mà (P) vuông góc với (Q) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a (P)” + Sử dụng định lý:” Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì a vuông góc với mặt phẳng (R)”... * Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta có thể chứng minh : + Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. + Góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900.... Phương pháp vec tơ: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta quy về chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,ta quy về chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng. Như vậy đối với phương pháp vec tơ ta chỉ cần chú ý: AB CD AB.CD 0 Phương pháp toạ độ + Để chứng minh AB CD ta chứng minh: (xBxA)(xDxC)+ (yByA)(yDyC)+ (zBzA)(zDzC)=0 + Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh vec tơ chỉ phương của đưòng thẳng cùng phương với vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng. 12
+ Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y + C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0 Ví dụ5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi P là trung điểm của AB, Q là giao điểm của BC1 và CB1. Chứng minh rằng D1Q (PB1C). Lời giải: * Phương pháp tổng hợp: B C Vì 1 1 đều và Q là trung điểm của B1C D B C P D R A nên D1Q B1C (1). Q S Gọi R và S lần lượt là trung điểm của CD và B1 CC1, khi đó: RC1//PB1, QS (CDD1C1) nên C1 QS RC1.Mặt khác D1S RC1 nên RC1 A1 D1 (QSD1). Vậy RC1 D1Q nên . D1Q PB1 (2).Từ (1) và (2) suy ra D1Q (PB1C). Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang 1 ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc D1Q ( D1 B1 D1C ) 2 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. 1 1 1 Ta có B1 P .( B1 A B1 B ) = .( B1 A1 2.B1 B ) a b , B1C B1 B B1C1 b c 2 2 2 1 1 1 1 1 1 D1Q ( D1 B1 D1C ) = ( a b c a) = a b c 2 2 2 2 2 2 1 1 1 B1 P . D1Q = ( a b) .( a b c )= 0 2 2 2 1 1 B1C . D1Q (b c) . ( a b c) = 0 2 2 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp B1 P . D1Q = 0 D1Q PB1 B1C . D1Q = 0 D1Q B1C .Vậy D1Q B1C * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các d ữ z B kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ. C Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: B1, . Giả A D sử kích thước của hình lập phương là a, Q khiđó: B1(0;0;0),C1(a;0;0), P là trung điểm của AB nên , B(0;0;a),C(a;0;a), D1(a;a;0), B1 x C1 A . A 1 D1 y 13
a a Q là trung điểm của B1C nên Q ( ;0; ) 2 2 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. a a Ta có: QD1 ( ; a; ) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng QD1.Mặt phẳng 2 2 (PB1C) qua B1 nhận hai vec tơ chỉ phương là B1 P và B1C nên có vec tơ pháp 1 1 a a tuyến là n ( ;1; ) cùng phương với QD1 ( ; a; ) nên D1Q (PB1C). 2 2 2 2 Dạng toán 2: Cho biết các đường thẳng hay mặt phẳng vuông góc rồi từ đó suy ra các tính chất hình học khác. Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đều.AB = B = CD = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 .M là điểm trên cạnh SB sao cho M khác B và AM MD. SM 1)Tính tỉ số SB 2)Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (AMD) Lời giải:* Phương pháp tổng hợp: S BD AB 1) Ta có: suy ra BD (SAB) và BD BD SA AM.Mặt khác AM MD nên AM (BMD), do đó: AM SB.khi đó: SA2SM2 = AB2 – BM2, M N hơn nữa SM + BM =SB. Suy ra: 3a A 2 2 2 SM D SM BM 2a 2 SM 3 SM BM 2a a SB 4 BM B C 2 2/ Thiết diện là hình thang AMND có diện tích S được tính theo công thức: 1 S .(MN AD).MH 2 3 3 MN là đường cao của hình thang và AD = 2a , MN .BC a 4 4 1 1 1 Tính MH: Vì AM MD nên: MH 2 AM 2 MD 2 a 3 13a 2 a 39 với AM = , MD 2 SM 2 SD 2 2.SM .SD. cos DSM MH . 2 4 8 11 39a 2 Vậy S . 64 * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : AB a , AD b , AS c ; a a , b 2a , c a 3 14
Khi đó ta có: a.b a 2 , b.c a.c 0 . AM MD MA.MD 0 (1) + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. 1 1) Ta có SM .SB ( AB SA) (a c) , D1Q ( D1 B1 D1C ) = 2 1 1 1 1 1 ( a b c a) = a b c ( Với 0 1 , do M B); MA SA SM 2 2 2 2 2 = c (a c ) MD MA AD = .a ( 1)c b . Khi đó 1 (loai ) (1) [ c (a c ) ].[ .a ( 1)c b ] =0 4 2 7 3 0 3 4 3 Vậy SM SB 4 Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ, chuyên các d ̉ ữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O , D Ox , S Oz , Oy ( ABCD) : Oy Oz . a a 3 Khi đó: A(0;0;0),D(2a;0;0), S(0;0;a 3 ), B ( ; ;0) . 2 2 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Đặt M= ( x0;y0;z0) SB . Đường thẳng SB có phương trình: x y z a 3 a a 3 a 3 . 2 2 z y0 3x0 Vì M SB nên: Mặt S z0 a 3 2 3a khác AM MD MA.MD 0 do đó 3a N x0 M 8 3a 3 ta tìm được: y 0 A x 8 D a 3 z0 B C 4 y 3a 3a 3 3a 3 a a 3 3 Vậy SM ( ; ; ) ; SB ( ; ; a 3 ) do đó SM SB 8 8 4 2 2 4 2.3.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng. 15
Phương pháp tổng hợp: + khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a: d(M;a) = MH ( MH a;H a ) + khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được xác định như sau: - Chọn trong (P) một đường thẳng a rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với a( nên chọn a để mặt phẳng (Q) dễ xác định) - Xác định b P Q - Dựng AH b tại H, khi đó d(A;( P)) = AH + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta phải dựng đoạn vuông góc chung bằng các cách sau: Cách 1: (áp dụng cho trường hợp a b) - Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. - Dựng AB b tại B, khi đó: d(a;b) = AB Cách 2: - Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a - Chọn M a , dựng MH (P ) tại H - Từ H dựng a///a; a / b B - Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A,khi đó d(a;b) = AB. Phương pháp vec tơ: đối với phươngpháp này, ta cần chú ý áp dụng tích vô hướng của hai vec tơ để tính khoảng cách 2 - Khoảng cách giữa hai điểm A và B: AB AB AB - Khoảng cách từ điểm M đến đuờng thẳng a: Giải theo trình tự sau: Chọn A a và đặt AM b .Gọi N là hình chiếu vuông góc của điểm M trên a, khi đó: MH AH AM = x a b . Tìm x nhờ điều kiện vuông góc của MH , a : 2 ( x a b ). a 0 suy ra MH x a b . - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) có cặp vec tơ chi phương là a , b : Chọn A a và đặt AM m .Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng (P),khi đó: MH AH AM = x a yb m .Ta tìm được các hệ số x,y nhờ điều kiẹn vuông góc của MH ; a ; b từ đó suy ra khoảng cách cần tìm 2 là: MH xa yb m . + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt có hai vec tơ chỉ phương a , b , Giải theo trình tự sau: - Chọn A a và B b và đặt AB m . 16
MA x a BN yb - Gọi MN là đoạn vuông góc chung của a và b, khi đó: MN .a 0 MN .b 0 - Biểu diễn MN theo các vec tơ không đồng phẳng MN MA AB + BN = x a yb m . - Ta tìm được các hệ số x,y nhờ điều kiên vuông góc c ̣ ủa AB ; a ; b từ đó 2 suy ra khoảng cách cần tìm là: MH xa yb m . * Phương pháp toạ độ: Đối với phương pháp này, ta cần chú ý một số công thức: - Khoảng cách giữa hai điểm A và B: 2 2 2 AB xB xA yB zB zA yA - Khoảng cách từ một điểm M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến đường thẳng đi qua điểm MM 1 ,u M 1 x1 ; y1 ; z1 và có vec tơ chỉ phương u (a; b; c) : d ( M ; ) u - Khoảng cách từ điểm M x1 ; y1 ; z1 đến mặt phẳng (P):Ax + By +Cz +D = 0 Ax 0 By 0 Cz 0 D d ( M ; ( P)) A2 B2 C2 - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt đi qua hai a,b MM 1 điểm M, M1 có hai vec tơ chỉ phương a , b : d (a; b) a, b Chú ý: Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể quy về tính khoảng cách giưã hai điểm hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa hai mặt phẳng song song. - Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song có thể quy về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Ví dụ 6: Cho tứ diện OABC có các góc AOB=BOC=COA = 900 và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi D là trung điểm của OC. 1) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD. 2) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC). Lời giải: * Phương pháp tổng hợp: 1) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên BD,khi đó có: OM BD Xét tam giác vuông AOM có: AM2 = AO2+OM2 = a2+OM2 17
Mặt khác,xét tam giác vuông OBD có: O 1 1 1 1 4 2 b .c 2 OM 2 OM 2 OB 2 OD 2 b2 c2 4b 2 c 2 D 2 b 2 .c 2 d ( A; BD) AM a 4b 2 c 2 M 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên C mặt phẳng (ABC) và £ AH BC .Vì OH BC và OA BC nên BC (OAH) do đó A H BC AH và BC OE E B 1 1 1 1 4 Ta có: 2 2 2 2 với, vì vậ y OH OA OE a OE 2 1 1 1 1 1 4 abc hay d (O; ( ABC ) OH OH 2 a2 b2 c 2 b 2 c2 a 2b 2 b2c 2 c2a2 * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : OA a , OB b , OC c ;khi đó a a , b b , c c và 1 1 a.b b.c a.c 0 .D là trung điểm của OC nên .OD OC c 2 2 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. x 1) Ta có AM BM BA x.BD AB a (1 x).b c .Vì 2 x 4b 2 AM BD AM .BD 0 [ a (1 x)b c) ]. .( c b) = 0 x= 2 2 4b 2 c2 b 2 .c 2 Vậy d ( A; BD) AM AM a2 4b 2 c 2 *Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyên ̉ O các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ D Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A Ox , B Oy , C Oz . M khiđó: O(0;0;0),A(a;0;0),B(0,b;0) C(0;0;c), Vì D là trung điểm của C c A OC nên D (0;0; ) . H z 2 x B 18
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. 1) Đặt M là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Ta có: c BD 0, b, ; BA a, b,0 .Vậy 2 BA, BD b 2 .c 2 d ( A; BD) AM a2 BD 4b 2 c 2 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC), mặt phẳng (ABC) có phương trình ( theo đoạn chắn) là: x y z 1 bcx acy abz abc 0 a b c abc => d (O; ( ABC )) OH a 2b 2 b 2c 2 c2a2 2.3.5 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC * Phương pháp vec tơ: + Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương a1 ..a 2 a1 , a 2 được xác định: cos(d 1 ; d 2 ) cos(a1 ;a 2 ) a1 . a 2 + Việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng quy về tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. + Việc tính góc giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó. * Phương pháp toạ độ: + Góc giữa hai vec tơ a1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , a 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) la ̀ ur ur x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 cos(α 1,α 2 ) = x + y12 + z12 . x22 + y22 + z22 1 2 + Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương a1 ..a 2 a1 , a 2 được xác định: cos(d 1 ; d 2 ) cos(a1 ;a 2 ) a1 . a 2 x x0 y y0 z z0 + Góc giữa đường thẳng d: 1 và mặt phẳng P): a b c Ax + By +Cz +D = 0 Aa Bb Cc được xác định: sin(d ; ( P)) A2 B2 C 2. a2 b2 c2 + Góc giữa hai mặt phẳng (P):A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2x + B2y + A1 A2 B1 B2 C1C 2 C2z + D2 = 0 được xác định: cos(( P); (Q)) 2 2 2 2 2 2 A1 B1 C1 . A2 B2 C2 19
Ví dụ 7: Cho hai tia Ax1 và By1 hợp với nhau một góc 600. Đường thẳng AB vuông góc với cả hai Ax1 và By1. AB = a. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai tia Ax1 và By1sao cho AM = m, BN = n. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AB theo a, m ,n Lời giải: Phương pháp tổng hợp: Dựng At//By1 và NH//AB ( H At )Ta B N có: AB AH , AB AM AB (MHA) y 1 .Mặt khác NH//AB nên NH (MHA) NH MH .Vì NH = AB = a,MH2 = AM2 + AH2 2.AM.AH.cos600 A H t M x1 2 2 2 2 2 2 2 2 = m + n –m.n suy ra MN = MH + AH = m + n + a – m.n. a Vậy cos(MN ; AB) cos MNH 2 2 m n a2 mn * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : MA a , AB b , BN c ;khi đó a m , b a , c n 1 và a.b b.c 0; a.c mn . 2 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Ta có: MN MA AB .BN a b c ; AB..MN b.(a b c) a 2 ; AB b a ; MN (a b c) 2 m2 n2 a2 m.n * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải y bài toán gồm:+ Bước 1: Chọn hệ toạ B N y1 độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: O A , Ox �Ax1 , B �Oz , Oy �(Oxz ), Oy ⊥ Oz , .khiđó: A H t A(0;0;0),M(m;0;0),B(0,0;a),. M x1 20