So sánh và lựa chọn hàm dạng phù hợp trong nội suy trường nhiệt độ

Phạm Thành Long và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 189(13): 73 - 77<br /> <br /> SO SÁNH VÀ LỰA CHỌN HÀM DẠNG PHÙ HỢP<br /> TRONG NỘI SUY TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ<br /> Phạm Thành Long*1, Lê Thị Thu Thủy1, Nguyễn Hữu Thắng1, Lê Đức Độ2<br /> 1<br /> <br /> Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên,<br /> 2<br /> Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Các đại lượng vật lý tồn tại dưới dạng các trường liên tục như nhiệt độ, độ ẩm, âm thanh, ánh<br /> sáng… rất phổ biến trong kỹ thuật. Khi khảo sát các trường này, do tính liên tục của nó nên có thể<br /> giảm chi phí tính toán bằng cách nội suy. Ngoài các điểm chốt có dữ liệu mẫu, các điểm nội suy có<br /> độ chính xác phụ thuộc vào dạng hàm nội suy và mật độ các điểm chốt lớn hay nhỏ. Bài báo này<br /> so sánh hai kiểu hàm dạng là hàm dạng lý thuyết và hàm dạng thực nghiệm nhằm chọn kiểu phù<br /> hợp hơn khi nội suy nhiệt độ. Cách làm ở đây là so sánh các kết quả nhận được của mỗi phương<br /> pháp áp dụng trên cùng một mô hình vật lý với kết quả đo được thực tế bằng cảm biến nhiệt, ở<br /> cùng vị trí. Kết quả so sánh cho thấy hàm dạng thực nghiệm có độ chính xác cao hơn trong cùng<br /> điều kiện, đây là cơ sở để cải thiện chất lượng khi tiến hành nội suy một đại lượng mà chưa quan<br /> tâm đến dạng hàm.<br /> Từ khóa: Hàm dạng, điểm chốt, nội suy, nhiệt độ, trường liên tục.<br /> <br /> MỞ ĐẦU*<br /> Nội suy là phương pháp ước tính giá trị của<br /> các điểm dữ liệu chưa biết trong phạm vi của<br /> một tập hợp rời rạc chứa một số điểm dữ liệu<br /> đã biết với độ chính xác đánh giá được. Độ<br /> chính xác của phép nội suy phụ thuộc chặt<br /> chẽ vào tính liên tục của đại lượng được nội<br /> suy, mật độ điểm chốt và đặc biệt là dạng<br /> hàm sử dụng trong quá trình tính toán [1,2,3].<br /> Sai số do dạng hàm gây ra khi nội suy là sai<br /> số phương pháp, việc xác định đúng dạng<br /> hàm xấp xỉ có ý nghĩa quan trọng khi mật độ<br /> điểm chốt không đủ lớn, điều này đặc biệt<br /> quan trọng khi chi phí lấy mẫu cao.<br /> Theo [4], hàm dạng lý thuyết này được áp<br /> dụng hiệu quả trên mô hình nội suy sai số<br /> máy công cụ, tuy nhiên chưa có kiểm chứng<br /> nào trong lĩnh vực nội suy trường nhiệt độ.<br /> Theo [5], hàm hồi quy thực nghiệm này có<br /> quy trình khá phức tạp để nhận dạng mặc dù<br /> đáp ứng yêu cầu độ chính xác kết quả. Hàm<br /> dạng lý thuyết theo [4] không cần quá trình<br /> phức tạp này nhưng độ chính xác của nó như<br /> thế nào so với hàm dạng thực nghiệm ở [5]<br /> chính là mục tiêu của bài báo này.<br /> *<br /> <br /> Tel: 0947 169291, Email: kalongkc@gmail.com<br /> <br /> HÀM DẠNG LÝ THUYẾT VÀ HÀM<br /> DẠNG THỰC NGHIỆM<br /> * Khái niệm hàm dạng<br /> Hàm dạng được sử dụng phổ biến trong nội<br /> suy [6,7,8,9] và có nhiều dạng khác nhau, phù<br /> hợp các hoàn cảnh khác nhau.Xét một không<br /> gian nội suy như hình 1.<br /> <br /> Hình 1. Mô tả ảnh hưởng của các điểm chốt đến<br /> điểm khảo sát qua hàm dạng<br /> <br /> Theo hình 1, ảnh hưởng cường độ của các<br /> nguồn vô hướng 1  n tới điểm khảo sát pi<br /> tính toán theo (1):<br /> <br />  pi  N1( i ) .1  N 2( i ) .2  ...  N n( i ) .n<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Trong đó các hệ số N1 – Nn là các hàm dạng,<br /> mô tả ảnh hưởng của các nguồn 1  n đến<br /> điểm khảo sát theo thứ tự đó. Về cơ bản hàm<br /> dạng của một điểm chốt sẽ cho ra giá trị ảnh<br /> hưởng cực đại bằng 1 tại điểm đó và giảm dần<br /> bằng 0 tại các điểm chốt còn lại [5]. Phương<br /> trình (1) diễn tả nguyên lý chồng chất tại<br /> 73<br /> <br /> Phạm Thành Long và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> điểm khảo sát. Bản thân các hàm dạng Ni có<br /> thể xác định theo một trong hai phương pháp<br /> sau đây.<br /> * Hàm dạng lý thuyết<br /> Xét một cửa sổ có dạng hộp chữ nhật thuộc<br /> vùng khảo sát như hình 2.<br /> <br /> 189(13): 73 - 77<br /> <br /> Như vậy các giá trị (r, s, t) này biến thiên<br /> trong đoạn [-1,1], hệ quả là các giá trị Ni cũng<br /> thuộc đoạn [-1,1] sau khi đổi biến.<br /> * Hàm dạng thực nghiệm<br /> Giống với hàm dạng lý thuyết, các giá trị Ni<br /> trong phương trình (1) có thể là giá trị dừng<br /> của hàm tọa độ fi(x,y,z) là hàm khoảng cách<br /> của các tọa độ tương ứng.<br /> <br />  f1 ( x, y , z ) pi  N1<br /> <br /> với i  1  n<br /> M<br />  f ( x, y , z )  N<br /> pi<br /> n<br />  n<br /> <br /> Hình 2. Các điểm chốt và hệ quy chiếutrên vùng<br /> khảo sát<br /> <br /> Theo [5] hàm dạng lý thuyết cho 8 điểm chốt<br /> trên hình 2 xác định như sau:<br /> 1<br /> N1  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> 1<br /> N 2  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> 1<br /> N 3  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> 1<br /> N 4  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> 1<br /> N 5  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> 1<br /> N 6  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> (2)<br /> 1<br /> N 7  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> 1<br /> N 8  (1  r )(1  s )(1  t )<br /> 8<br /> Hệ quy chiếu r,s,t đặt tại trọng tâm của hộp<br /> nên có công thức chuyển trục:<br /> x  x*<br /> y  y*<br /> z  z*<br /> (3)<br /> r<br /> ;s<br /> ;t <br /> a<br /> b<br /> c<br /> Trong đó a, b, c xác định theo hình 2, tọa độ<br /> trọng tâm của phần tử đang xét:<br /> <br /> x  x4<br /> y  y2<br /> z z<br /> x*  1<br /> ; y*  1<br /> ; z*  1 3 (4)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 74<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Hàm fi(x,y,z) ở vế trái của (5) được gọi chung<br /> là hàm dạng thực nghiệm, Ni là giá trị dừng<br /> của hàm này tính cho các điểm khảo sát pi<br /> khác nhau. Theo hình 1, khảo sát một điểm pi<br /> nằm bên trong của trường n điểm cực biết<br /> trước sai số (1 ,2 ,...,n ) kể cả sai số điểm<br /> khảo sát  pi . Quan tâm đến các thành phần<br /> của dữ liệu đo tại điểm khảo sát pi<br /> (p )<br /> gồm pi  (d x , d y , d z ,  x ,  y ,  z ) i , quan hệ<br /> này có thể biểu diễn theo giá trị của các điểm<br /> cực đã biết (6):<br /> <br /> 1pi  N1.d x(1)  N 2 .d x(2)  ...  N n .d x( n )<br /> <br /> M<br />  pi  N . (1)  N . (2)  ...  N . ( n )<br /> 1 z<br /> 2 z<br /> n z<br />  n<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Từ đây xác định được giá trị dừng của hàm<br /> dạng thực nghiệm đối với điểm pi:<br /> <br />  d x(1) L<br />  N1 <br /> M    L L<br /> <br />  <br />  N n  pi  z(1) L<br /> <br /> 1<br /> <br /> d x( n )   d xpi <br />   <br /> L  . L <br />  z( n )   zpi <br /> <br /> (7)<br /> <br /> Một bộ giá trị dừng duy nhất theo (7) không<br /> đủ để xác định được hàm dạng tổng quát, cần<br /> tiếp tục khảo các điểm khác nữa, chẳng hạn<br /> khảo sát các điểm từ p1  pm để có được:<br /> <br />  N1   N1 <br />  N1 <br /> M  ; M  ;...; M <br />    <br />  <br />  N n  p1  N n  p 2<br />  N n  pm<br /> <br /> (8)<br /> <br /> Như vậy luật hồi quy cho phép xác định được<br /> hàm dạng thực nghiệm ở nguồn thứ i như sau:<br /> (i )<br /> ( N p( i1) , N p( i2) ,..., N pm<br /> )  f i ( x, y , z )<br /> <br /> (9)<br /> <br /> Phạm Thành Long và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 189(13): 73 - 77<br /> <br /> SO SÁNH VÀ LỰA CHỌN HÀM DẠNG PHÙ HỢP<br /> Dễ thấy giá trị nội suy (1) tính theo hàm dạng lý thuyết (2) và hàm dạng thực nghiệm (9) với<br /> cùng cường độ các điểm chốt sẽ khó đồng nhất ngoại trừ điểm chốt. Nếu so sánh hai cách tính<br /> này với dữ liệu đo dùng kiểm chứng độc lập hai cách nội suy sẽ biết được độ chính xác của từng<br /> phương pháp.<br /> * Mô tả thiết bị đo<br /> <br /> Hình 3. Cảm biến nhiệt độ sử dụng trong thí nghiệm<br /> <br /> giá trị hiệu điện thế nhất định tại chân Vout<br /> (chân giữa) ứng với mỗi mức nhiệt độ.<br /> * Mô tả mô hình thí nghiệm<br /> Trên hình 5 bố trí 8 cảm biến nhiệt, theo sơ<br /> đồ trên hình 2 với các kích thước:<br /> 2a = 500(mm); 2c = 380(mm); 2b = 400(mm).<br /> Hai quạt thông gió làm mát bố trí ở hai đầu<br /> của nhà kính có công suất 2.5W/chiếc;<br /> Hình 4. Mạch hiển thị thông số nhiệt độ sử dụng<br /> LM35 và Arduino UNO<br /> <br /> Cảm biến LM35 là bộ cảm biến nhiệt mạch<br /> tích hợp chính xác cao mà điện áp đầu ra của<br /> nó tỷ lệ tuyến tính với nhiệt độ theo thang độ<br /> Celsius. Chúng cũng không yêu cầu cân chỉnh<br /> ngoài vì vốn chúng đã được cân chỉnh. Cảm<br /> biến LM35 hoạt động bằng cách cho ra một<br /> <br /> 3 bóng đèn sưởi ấm bố trí rải rác trong không<br /> gian của nhà có công suất 10W/bóng;<br /> Sử dụng một cảm biến nhiệt di động phía bên<br /> trong để đo nhiệt độ tại một điểm bất kỳ nhằm<br /> đối chứng với kết quả nội suy.<br /> Kết quả nội suy theo hai phương pháp và kết<br /> quả đo được thể hiện trên hình 6.<br /> <br /> Hình 5. Mô hình nhà kính thí nghiệm và đường khảo sát nhiệt độ 9 điểm phía trong<br /> <br /> 75<br /> <br /> Phạm Thành Long và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 189(13): 73 - 77<br /> <br /> Hình 6. Kết quả nội suy theo hai phương pháp và kết quả đo đối chứng<br /> <br /> Tại các điểm nội suy trên hình 6 do không thể<br /> hiện điểm chốt nào nên có thể nhận thấy kết<br /> quả là không có điểm nào trùng nhau về giá<br /> trị giữa phương pháp hàm dạng lý thuyết và<br /> hàm dạng thực nghiệm, điều này có thể nhận<br /> thấy ngay từ mô hình toán.<br /> KẾT LUẬN<br /> Rõ ràng hàm dạng lý thuyết thể hiện sự đối<br /> xứng trong kết cấu không gian nội suy, nó rất<br /> thuận tiện khi sử dụng do tính có sẵn của nó.<br /> Tuy nhiên khi đối chứng thực nghiệm cho<br /> thấy độ chính xác của hàm dạng thực nghiệm<br /> đem lại luôn vượt trội hơn so với hàm dạng lý<br /> thuyết, kết quả sẽ luôn trùng nhau tại các<br /> điểm lấy mẫu đo, do vậy có thể thấy rằng sai<br /> số trong tình huống này chính là sai số do<br /> dạng hàm chưa hợp lý mang lại (sai số<br /> phương pháp).<br /> Với những gì cho thấy trong bài báo này hoàn<br /> toàn có cơ sở để tin tưởng rằng trong điều<br /> kiện cùng một mật độ điểm mẫu,phương pháp<br /> hàm dạng thực nghiệm luôn cho kết quả tốt<br /> hơn do trường tham số không đối xứng lý<br /> tưởng.Mặc dù hàm dạng thực nghiệm có chi<br /> phí thành lập cao hơn nhưng điều này xứng<br /> đáng với độ chính xác kết quả mà nó mang lại.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. E. Oktavia, Widyawan, and I. W.<br /> Mustika.(2016), Inverse distance weighting and<br /> kriging spatial interpolation for data center<br /> <br /> 76<br /> <br /> thermal monitoring. Proc. 1st Int. Conf. Inf.<br /> Technol. Inf. Syst. Electr. Eng. ICITISEE 2016,<br /> pp. 69–74.<br /> 2. R. L. Wang, X. Li, W. J. Liu, T. Liu, M. T.<br /> Rong, and L. Zhou.(2014), Surface spline<br /> interpolation method for thermal reconstruction<br /> with limited sensor data of non-uniform<br /> placements. J. Shanghai Jiaotong Univ. vol. 19,<br /> no. 1, pp. 65–71.<br /> 3. M. Bullo, V. D’Ambrosio, F. Dughiero, and M.<br /> Guarnieri.(2006), Coupled electrical and thermal<br /> transient conduction problems with a quadratic<br /> interpolation Cell Method approach. IEEE Trans.<br /> Magn. vol. 42, no. 4, pp. 1003–1006.<br /> 4. Long. PT, Lê T.T Thuy and Thang N.H (2018),<br /> Determining the parameter area at the request of<br /> a physical field based on shape function<br /> technique, ICERA 2018.<br /> 5. Hoe. N.D (2004), Volumtric error<br /> compensation for multi-axis machine by using<br /> shape function interpolation, tạp chí khoa học<br /> công nghệ các trường đai học kỹ thuật, số<br /> 48+49/2004.<br /> 6. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, and J. Z.<br /> Zhu.(2013), The Finite Element Method: Its Basis<br /> and Fundamentals- Chapter 6: Shape Functions,<br /> Derivatives, and Integration.<br /> 7. X. Z. Xia, Q. Jiang, and Q. Zhang.(2016),<br /> Calculation of the derivative of interpolation<br /> shape function for three-dimensional natural<br /> element method. vol. 3839, no. January.<br /> 8. J. B. Gao and T. M. Shih.(1995), Interpolation<br /> methods for the construction of the shape function<br /> space of nonconforming finite elements. Comput.<br /> Methods Appl. Mech. Eng., vol. 122, no. 1–2, pp.<br /> 93–103.<br /> <br /> Phạm Thành Long và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 189(13): 73 - 77<br /> <br /> ABSTRACT<br /> COMPARISON AND SELECTION APPROPRIATE SHAPE FUNCTION<br /> IN INTERPOLATING TEMPERATURE FIELD<br /> Pham Thanh Long1*, Le Thi Thu Thuy1, Nguyen Huu Thang1, Le Duc Do2<br /> 1<br /> University of Technology – TNU,<br /> Ha Noi University of Siences and Technology<br /> <br /> 2<br /> <br /> Physical quantities existing in the form of continuous fields such as temperature, humidity, sound,<br /> light are common in engineering. Physical quantities existing in the form of continuous fields such<br /> as temperature, humidity, sound, light are common in engineering. When examining these fields,<br /> due to its continuity, it is possible to reduce the computational cost by interpolating. Except for the<br /> key points with sample data, the interpolation points have accuracy depending on the type of<br /> interpolation function and the density of key points more or less. This paper compares two types of<br /> shape functions, the theoretical and experimental functions, to select the more appropriate type<br /> when interpolating temperature. The way to do this is to compare the results obtained by each<br /> method applied to the same physical model and the actual measured result by the thermal sensor at<br /> the same location. The results show that the experimental shape function has higher accuracy<br /> under the same conditions. This is the basis for improving quality when interpolating a quantity<br /> without considering the type of function.<br /> Keywords: Shape function, key point, interpolation, temperature, continuous field.<br /> <br /> Ngày nhận bài: 26/9/2018; Ngày hoàn thiện: 06/11/2018; Ngày duyệt đăng: 30/11/2018<br /> *<br /> <br /> Tel: 0947 169291, Email: kalongkc@gmail.com<br /> <br /> 77<br /> <br />