Sổ tay toán cấp III

Chia sẻ: Nguyen Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122

Thêm vào BST

Báo xấu

543
lượt xem 129
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'sổ tay toán cấp iii', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sổ tay toán cấp III

Tập hợp 1. Mét sè kh¸i niÖm + TËp hîp A, chøa c¸c phÇn tö x, y, ..., A = {x, y, ...}, x  A, y  A + TËp hîp A chøa c¸c phÇn tö x tháa m·n ®iÒu kiÖn P. A = {x\ x tháa m·n ®iÒu kiÖn P} +  gäi lµ tËp rçng (tËp hîp kh«ng cã phÇn tö). + A  B th× A lµ tËp con cña tËp B. + A = B th× tËp A vµ tËp B ®Òu lµ tËp con cña nhau. 2. C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp + Hîp A  B = {x  A hoÆc x  B} + A  B = B  A ; (A  B)  C = A  (B  C) AA=A;AAB;BAB A=A + Giao A  B = {x  A vµ x  B} + AB=BA;ABB;ABA A  A = A ; (A  B)  C = (A  C)  (B  C) A   =  ; (A B)  C = (A  C)  (B  C) + (A  B)  C = A  (B  C) + HiÖu A \ B = {x | x  A vµ x  B} A\A= (A \ B)  C = (A  C) \ B = (A  C) \ (B  C) A \ B = A \ (A  B) A = (A  B)  (A \ B) + PhÇn bï CAS = A\ S (S  A) 3. TËp hîp sè + TËp hîp sè tù nhiªn N = {0, 1, 2, ...} + TËp hîp sè nguyªn Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...} + TËp hîp sè h÷u tØ + TËp hîp sè thùc R = {a0 , a1 , a2 , ...| a0  Z, ak  {0, 1, 2, ..., 9}} Nh vËy ta cã : NZQR
BiÓu thøc ®¹i sè 1. TÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n trªn sè + TÝnh chÊt giao ho¸n cña phÐp céng vµ nh©n a+b=b+a ab = ba + TÝnh chÊt kÕt hîp cña phÐp céng vµ nh©n (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) + TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng (a + b)c = ac + bc + TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp trõ (a - b)c = ac - bc 2. BiÓu thøc ph©n + TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc + C¸c phÐp to¸n cña ph©n thøc 3. TØ lÖ thøc + TØ lÖ thøc lµ mét ®¼ng thøc cña hai tØ sè a, d lµ hai ngo¹i tØ ; b, c lµ hai trung tØ. + TÝnh chÊt c¬ b¶n cña tØ lÖ thøc : ad = bc + Mét sè tÝnh chÊt kh¸c Víi a, b, c, d 0 vµ th× :
Luü thõa vµ c¨n sè Lòy thõa C¨n bËc n
Luü thõa + Mét sè ®Þnh nghÜa * Luü thõa sè mò nguyªn * Luü thõa sè mò h÷u tØ * Luü thõa sè mò v« tØ (a > 0, x lµ sè v« tØ > 0) (xn ) lµ d·y sè gÇn ®óng thiÕu cña x) + C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña luü thõa Gi¶ sö a > 0, b > 0 x, y  R ta cã : + Mét sè tÝnh chÊt kh¸c * x, y  R, x < y + Víi a > 1  ax < ay + Víi 0 < a < 1  ax > ay * (xn )  R, a > 0 mµ :
C¨n bËc n + §Þnh nghÜa : n  N* , c¨n bËc n cña sè a lµ mét sè b sao cho bn = a, kÝ hiÖu lµ * Mäi sè a chØ cã mét c¨n bËc lÎ * Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n * Sè d¬ng cã hai c¨n bËc ch½n, hai c¨n Êy cã sè trÞ ®èi nhau. Gi¸ trÞ d¬ng cña c¨n bËc ch½n n cña sè a > 0 kÝ hiÖu lµ . + víi a > 0 gäi lµ c¨n sè häc +
D·y sè - CÊp sè céng - CÊp sè nh©n D·y sè CÊp sè céng CÊp sè nh©n Mét sè c«ng thøc kh¸c
D·y sè + §Þnh nghÜa Gäi N* = {1, 2, 3, ...} Mét d·y sè lµ mét hµm sè u tõ N* tíi R u : N*  R n  U(n) KÝ hiÖu Un = U(n), viÕt d·y sè díi d¹ng U1 , U2 , U3 , ....Un + C¸ch cho d·y sè * D·y sè cho bëi c«ng thøc : Un = 2n + 1 * D·y sè cho bëi c¸ch m« t¶ c¸c sè h¹ng liªn tiÕp cña nã * D·y sè cho bëi c«ng thøc truy håi ch¼ng h¹n d·y sè Phibonasi : U1 = U2 = 1, Un = Un - 2 + Un - 1 víi n  3 DÔ dµng ta cã d¹ng khai triÓn cña d·y : 1, 1, 2, 3, 5, 8... * D·y sè b»ng quy n¹p : - Cho sè h¹ng thø nhÊt U1 - Víi n > 1 cho c«ng thøc Un khi biÕt Un - 1 + D·y sè t¨ng, gi¶m * D·y sè (Un ) gäi lµ t¨ng nÕu n  N* , Un < Un + 1 * D·y sè (Un ) gäi lµ gi¶m nÕu n  N* , Un > Un + 1 + D·y sè bÞ chÆn * D·y sè (Un ) bÞ chÆn trªn nÕu  M sao cho n  N* , Un  M * D·y sè (Un ) bÞ chÆn díi nÕu  M sao cho n  N* , Un  m * Un gäi lµ bÞ chÆn nÕu  M, m sao cho m  Un  M. + C¸c phÐp to¸n trªn d·y sè * (Un )  (Vn ) = (Un ± Vn ) * (U ) = (Un ) n * (Un ).(V n ) = (Un.Vn )
CÊp sè céng + §Þnh nghÜa CÊp sè céng lµ mét d·y sè trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai ®Òu lµ tæng cña sè h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c 0 gäi lµ c«ng sai. n  N* , Un + 1 = Un + d + TÝnh chÊt cña cÊp sè céng * Un + 1  Un = Un + 2  Un + 1 + Sè h¹ng tæng qu¸t Un = U1 + d(n  1) + Tæng n sè h¹ng ®Çu
CÊp sè nh©n + §Þnh nghÜa CÊp sè nh©n lµ mét d·y sè trong ®ã sè h¹ng ®Çu kh¸c kh«ng vµ kÓ tõ sè h¹ng thø hai ®Òu b»ng tÝch cña sè h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c 0 vµ kh¸c 1 gäi lµ c«ng béi. n  N* , Un + 1 = Un .q + TÝnh chÊt : + Sè h¹ng tæng qu¸t : Un = U1 .qn - 1 + Tæng n sè h¹ng ®Çu tiªn + Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n Víi |q| < 1
Mét sè c«ng thøc kh¸c cña d·y sè
L«garÝt 1. Kh¸i niÖm LogaN (a > 0, a 1, N > 0) lµ logarit cña N theo c¬ sè a. 2. C¸c ®¼ng thøc c¬ b¶n cña logarit * lgN lµ logarit thËp ph©n (c¬ sè 10) * LnN lµ logarit tù nhiªn (logarit c¬ sè e) 3. TÝnh chÊt cña logarit 4. §æi c¬ sè 5. Logarit thËp ph©n
Tæ hîp - C«ng thøc Newt¬n Ho¸n vÞ ChØnh hîp Tæ hîp Tam gi¸c Pascal C«ng thøc Newt¬n
Ho¸n vÞ + §Þnh nghÜa Mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ mét bé gåm n phÇn tö ®ã, ®îc s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh, mçi phÇn tö cã mÆt ®óng mét lÇn. Sè tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ kh¸c nhau cña n phÇn tö ký hiÖu lµ P n + C«ng thøc : P n =1.2.3.....n = n 
ChØnh hîp + §Þnh nghÜa Mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (0 < k  n) lµ mét bé s¾p thø tù gåm k phÇn tö lÊy ra tõ n phÇn tö ®· cho. Sè tÊt c¶ c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ . C«ng thøc : (Qui íc 0! = 1)
Tæ hîp + §Þnh nghÜa Cho mét tËp hîp A gåm n phÇn tö (n nguyªn d¬ng). Mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö (0  k  n) lµ mét tËp con cña A gåm k phÇn tö. Sè tÊt c¶ c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ + C«ng thøc + TÝnh chÊt
Tam gi¸c Pascal n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n=9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
C«ng thøc Newt¬n Tk lµ sè h¹ng thø k + 1 cña khai triÓn nhÞ thøc :
Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh
Ph¬ng tr×nh 1. Mét sè khai triÓn + §¼ng thøc f(x) = g(x) (1) trong ®ã f(x) vµ g(x) lµ nh÷ng biÓu thøc cña x, ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh mét Èn sè, x lµ Èn sè. + Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) lµ t×m gi¸ trÞ x = x0 ®Ó cã ®¼ng thøc ®óng f(x0 ) = g(x0 ). + T¬ng tù f(x1 , x2 , x3 , ...., xn ) = g(x1 , x2 , x3 , ...., xn ) ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh n Èn, (n  N* ) + TËp hîp c¸c gi¸ trÞ x0 gäi lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kÝ hiÖu lµ M, nÕu ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm th× tËp hîp c¸c nghiÖm lµ tËp . 2. Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng - phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng + Ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ M1 . Ph¬ng tr×nh g(x) = 0 (2) cã tËp hîp nghiÖm lµ M2 . * NÕu M1 = M2  (1) vµ (2) t¬ng ®¬ng + NÕu M1  M2  (2) lµ ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh (1). + Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) vµ f(x) + h(x) = h(x) (2) lµ t¬ng ®¬ng nÕu h(x) cã miÒn x¸c ®Þnh chøa tËp nghiÖm (1). + Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) vµ f(x).h(x) = 0 (2) t¬ng ®¬ng  h(x) 0 vµ miÒn x¸c ®Þnh h(x) chøa miÒm x¸c ®Þnh cña f(x). 3. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt + D¹ng ax + b = 0 (x lµ Èn a, b  R miÒn x¸c ®Þnh lµ R). NghiÖm * a 0 : cã nghiÖm duy nhÊt : * a = 0, b 0 : V« nghiÖm * a = 0, b = 0 : V« sè nghiÖm trªn R 4. Ph¬ng tr×nh bËc hai + ax2 + bx + c = 0.  = b2 - 4ac * NÕu  > 0 th× M = {x1 , x2 } khi b = 2b', '' = b'2 - ac th× : * NÕu  = 0, th× M = {x1 } * NÕu  < 0, th× M = . + Mét sè trêng hîp thêng gÆp NÕu  > 0, M = {x1 , x2 }  < 0, M = . * ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = 0
§Þnh lÝ ViÐt NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã + XÐt dÊu nghiÖm (quy íc x1 > x2 ) 5. Ph¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai * ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a 0) (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) §Æt : Ph¬ng tr×nh (1) ®a vÒ ay2 + by + c = 0 (2). Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) t×m nghiÖm y  0, sau ®ã t×m x b»ng c«ng thøc * (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 víi a + b = c + d. §Æt y = (x + a)(x + b) §Æt : Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 (v× x = 0 kh«ng ph¶i nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). 6. Ph¬ng tr×nh bËc ba + D¹ng x3 + px + q = 0 (1) C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) (c«ng thøc Cac®an«) + D¹ng y3 + ay2 + by + c = 0 §Æt ta cã ph¬ng tr×nh d¹ng x3 + px + q = 0 vµ cã c«ng thøc gi¶i nh trªn. 7. Ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai 8. Ph¬ng tr×nh tuyÖt ®èi 9. Ph¬ng tr×nh mò