Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén được, lệch trục

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của báo cáo "Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén được, lệch trục" là đưa ra phương trình tán sắc chính xác dạng tường minh của sóng Rayleigh trong trường hợp này bằng cách sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng chính xác và phương pháp véctơ phân cực (phức). Vì phương trình tán sắc được tìm ra dưới dạng tường minh nên rất tiện dụng trong các ứng dụng thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén được, lệch trục

192 228 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén được, lệch trục Trịnh Thị Thanh Huệ1,*, Phạm Chí Vĩnh2 1 Đại học Xây dựng Hà Nội 2 Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN *Email: huettt@huce.edu.vn Tóm tắt. Trong báo cáo này, các tác giả nghiên cứu sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng. Mặc dù bán không gian và lớp mỏng đều là vật liệu không nén được nhưng trục chính vật liệu của chúng không trùng nhau (trục chính vật liệu vuông góc với lớp trùng nhau còn hai trục chính còn lại lệch nhau một góc θ). Mục tiêu chính của báo cáo là đưa ra phương trình tán sắc chính xác dạng tường minh của sóng Rayleigh trong trường hợp này bằng cách sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng chính xác và phương pháp véctơ phân cực (phức). Vì phương trình tán sắc được tìm ra dưới dạng tường minh nên rất tiện dụng trong các ứng dụng thực tế. Từ khóa: Trực hướng, monoclinic x3 = 0 , trục chính vật liệu, không nén được. 1. Mở đầu Ngày nay, cấu trúc một lớp mỏng gắn với một lớp dày được mô hình hóa như một bán không gian phủ lớp mỏng là một cấu trúc có rất nhiều ứng dụng trong thực tế như trong âm học, khoa học vật liệu, địa chấn học, địa vật lý và hệ thống cơ điện tử (MEMS). Việc đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học của chúng trước và trong quá trình sử dụng là quan trọng và cần thiết (xem [1] và các tài liệu tham khảo trong đây). Trong số các phương pháp đánh giá không phá hủy này, phương pháp sóng mặt được sử dụng vô cùng rộng rãi với công cụ linh hoạt và tiện lợi là sóng mặt Rayleigh [2]. Khi đó, phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh được sử dụng như là cơ sở lý thuyết để xác định các tính chất cơ học của các cấu trúc này từ các dữ liệu (các giá trị của vận tốc sóng) đo được từ thực nghiệm. Vì vậy, mục tiêu chính khi nghiên cứu các bài toán truyền sóng là tìm phương trình tán sắc dạng hiện của sóng. Sử dụng giả thiết lớp mỏng, phương trình tán sắc của sóng được xác định bằng cách thay thế chính xác hoặc gần đúng toàn bộ ảnh hưởng của lớp mỏng lên bán không gian bằng các điều kiện biên hiệu dụng - liên hệ giữa véctơ chuyển vị và véctơ ứng suất của bán không gian tại mặt biên giữa bán không gian và lớp mỏng. Điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ được đưa ra bằng cách coi lớp như bản mỏng ( [3], [4]) hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của lớp (được giả thiết là nhỏ) ( [5], [6], [7], [8]) còn điều kiện biên hiệu dụng chính xác được đưa ra bằng cách sử dụng các biến đổi từ biểu thức nghiệm của chuyển dịch và ứng suất ( [9], [12]). Những năm trước năm 2010 các bài toán nghiên cứu về mô hình bài toán truyền sóng Rayleigh trong bán không gian phủ lớp mỏng đã được nhiều tác giả quan tâm như [3], [4], [5], [6], [7]. Tuy nhiên, các nghiên cứu ở thời điểm này mới chỉ dứng lại ở vật liệu đẳng hướng và phương trình tán sắc xấp xỉ. Sau năm 2010, nhóm tác giả Phạm Chí Vĩnh và các cộng sự đã có nhiều nghiên cứu ở mô hình này mà vật liệu được xét ở đây là trực hướng hoặc monoclinic x3 = 0 . Ví dụ như với vật liệu trực hướng [8], [10], [11] (phương trình tán sắc xấp xỉ), [9], [12] (phương trình tán sắc chính xác) và vật liệu monoclinic x3 = 0 [13], [14] (phương trình tán sắc xấp xỉ). Từ các dẫn chứng này có thể thấy được sự quan tâm của các nhà khoa học đối với cấu trúc bán không gian phủ lớp mỏng. Tuy nhiên, đến nay các nghiên cứu chỉ tập trung ở mô hình bán không gian và lớp mỏng có trục chính vật liệu trùng nhau. Mô hình bán không gian và lớp mỏng có trục chính vật liệu không trùng nhau mới có 2 nghiên cứu của tác giả báo cáo và
193 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén 229 được, lệch trục các cộng sự là [11] (phương trình tán sắc xấp xỉ), [12] (phương trình tán sắc chính xác) vào năm 2021 cho vật liệu nén được. Do đó, mục tiêu của báo cáo là tìm ra phương trình tán sắc chính xác dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng, không nén được phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng, không nén được mà trục chính vật liệu của bán không gian và lớp mỏng không trùng nhau. Sử dụng phương pháp biến đổi trục tọa độ, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng (chính xác) và phương pháp véctơ phân cực phức [15], các tác giả báo cáo đã dẫn ra được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleigh trong trường hợp này. 2. Đặt bài toán Xét bán không gian đàn hồi trực hướng phủ một lớp mỏng trực hướng nhưng trục chính vật liệu của lớp không trùng với bán không gian. Giả sử rằng, các trục chính vật liệu của bán không gian là OX 1 , OX 2 , OX 3 còn các trục chính vật liệu của lớp là Ox1 , Ox2 , Ox3 . Tuy nhiên, các trục OX 1 , OX 2 của bán không gian và các trục Ox1 , Ox2 của lớp lệch nhau một góc θ còn trục OX 3 ≡ Ox3 . Khi đó, ta có cosθ − sin θ 0  xi = ij X j , Ωij = sin θ Ω cos θ 0   (1)   0 0  1 Hằng số vật liệu của bán không gian trong hệ trục tọa độ cũ OX 1 X 2 X 3 được kí hiệu là cij còn ∗ trong hệ tọa độ mới Ox1 x2 x3 được kí hiệu là cij . Khi đó trong hệ tọa độ mới Ox1 x2 x3 , bán không gian đàn hồi trực hướng trở thành bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = 0 . Do báo cáo chỉ xét bài toán biến dạng phẳng nên ta chỉ sử dụng các thành phần hằng số vật liệu như sau (xem [16]) c= c11 cos 4 θ + 2 ( c12 + 2c66 ) cos 2 θ sin 2 θ + c22 sin 4 θ 11 ∗ ∗ ∗ ∗ c= c22 cos 4 θ + 2 ( c12 + 2c66 ) cos 2 θ sin 2 θ + c11 sin 4 θ 22 ∗ ∗ ∗ ∗ c12 = c12 + ( c11 + c22 − 2c12 − 4c66 ) cos 2 θ sin 2 θ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (2) c16 = 11 cos 2 θ − c22 sin 2 θ − ( c12 + 2c66 )( cos 2 θ − sin 2 θ )  cos θ sin θ − c∗  ∗ ∗ ∗  c26 = c22 cos 2 θ − c11 sin 2 θ − ( c12 + 2c66 )( cos 2 θ − sin 2 θ )  cos θ sin θ  ∗ ∗ ∗ ∗  c66 = c66 + ( c11 + c22 − 2c12 − 4c66 ) cos 2 θ sin 2 θ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Vậy từ bài toán sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng được phủ một lớp mỏng đàn hồi trực hướng lệch trục (trục chính vật liệu), ta đưa về bài toán sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = 0 được phủ một lớp mỏng đàn hồi trực hướng đồng trục. Chú ý rằng, bài toán mới được xét trong hệ trục tọa độ Ox1 x2 x3 .
194 230 Trịnh Thị Thanh Huệ, Phạm Chí Vĩnh 3. Điều kiện biên hiệu dụng 3.1. Phương trình cơ bản của lớp dưới dạng ma trận Xét bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0 được phủ một lớp mỏng đàn hồi − h ≤ x2 ≤ 0 . Giả thiết rằng, lớp và bán không gian là không nén được và được gắn chặt với nhau. Chú ý, các đại lượng của lớp mỏng và bán không gian giống nhau sẽ có kí hiệu giống nhau nhưng đối với lớp mỏng có thêm phần gạch ngang. Xét bài toán biến dạng phẳng: = ui ( x= ui ( x1 , x2 , = 0 ui 1 , x2 , t ) , ui t ) , u3 ≡ u3 (3) với t là biến thời gian. Ta có mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch cho lớp mỏng đàn hồi trực hướng, không nén được (xem [17]) σ 11 + = c11u1,1 + c12u2,2 p σ 22 + = c12u1,1 + c22u2,2 p (4) = c66 ( u1,2 + u2,1 ) σ 12 trong đó σ ij và cij tương ứng là các thành phần ứng suất và hằng số vật liệu của lớp mỏng, p = p ( x1 , x2 , t ) là áp lực thủy tĩnh của lớp, dấu phẩy “,” ở đây chỉ đạo hàm theo biến không gian xk . Do hàm năng lượng biến dạng xác định dương nên c11 , c22 , c12 , c66 phải thỏa mãn hệ thức c= 1, 2,6, c11c22 − c12 > 0 ii > 0, i 2 (5) Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động của lớp có dạng σ 11,1= ρ u1 , + σ 12,2  σ 12,1 = ρ u2 + σ 22,2  (6) với ρ là mật độ khối lượng của lớp, dấu chấm “.” chỉ đạo hàm theo thời gian t . Do vật liệu được giả thiết là không nén được nên ta có u1,1 + u2,2 = 0 (7) Từ phương trình (4) 1 suy ra 1 u1,2 =2,1 + −u σ 12 (8) c66 Theo phương trình (7) ta cũng nhận được u2,2 = −u1,1 (9) Khử p từ (4) 1,2 thay vào phương trình (6) 1 và có kể đến (9) ta thu được −δ  σ 12,2 =u1,11 + ρ u1 − σ 22,1 (10) với δ = c11 + c22 − 2c12 . Từ (6) 2 suy ra 22,2  σ = ρ u2 − σ 12,1 (11) Từ (8)-(11), ta dễ dàng suy ra dạng ma trận của phương trình cơ bản của lớp như sau ζ ′ = Mζ (12)
195 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén 231 được, lệch trục với ζ = [u1 u2 σ 12 σ 22 ] , dấu ' là đạo hàm theo biến x2 và T  1   M1 M 2   0 −∂1  = 0  ρ∂ t2 − δ∂ 1 2 0  =  =  = c66 M  , M1  , M2  , M3  = M1  , M4 (13)  −∂1 0   ρ∂ t2  M 3 M 4   0 0  0   trong đó, kí hiệu chỉ việc lấy chuyển vị của một ma trận, ∂1 = T ∂ ∂x1 , ∂1 = 2 ∂x12 , ∂ t2 = 2 ∂t 2 2 ∂ ∂ 3.2. Sóng Rayleigh và phát biểu Stroh’s cho lớp Xét sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0 được phủ một lớp mỏng đàn hồi − h ≤ x2 ≤ 0 với vận tốc sóng c ( > 0 ) và số sóng k ( > 0 ) theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 . Khi đó, các thành phần chuyển dịch và ứng suất của sóng Rayleigh của lớp và bán không gian được tìm dưới dạng sau = U n ( y ) eik ( x1 − ct ) , σ n 2 iktn ( y ) eik ( x1 − ct ) un =   = 1, 2, y kx2 , n = (14) = U n ( y ) eik ( x1 − ct ) , σ n 2 iktn ( y ) eik ( x1 − ct ) un =  Thế dạng nghiệm (14) vào phương trình (12) dẫn về ξ′ = iNξ , − h ≤ x2 ≤ 0 (15) trong đó U1  u   t1   N1 N 2  ξ = =  = =  , u , t , N = N1  , N4   t  U 2   t2   N3 N 4   1  (16)  0 −1 =  X − δ 0  , X ρ c 2 0 = = N1  , N2  c66 , N3  =   −1 0      0 X  0 0 3.3. Điều kiện biên hiệu dụng chính xác Ta có nghiệm tổng quát của phương trình (15) là ( ) ( ) ( ) U1 ( y ) = A1 ch b1 y + A2 sh b1 y + A3 ch b2 y + A4 sh b2 y ( ) U ( y ) = i α A sh ( b y ) + α A ch ( b y ) + α A sh ( b y ) + α A ch ( b y )  2  1 1 1 1 2 1 2  3 2 2 4 2 (17) t ( y ) = i  β A sh ( b y ) + β A ch ( b y ) + β A sh ( b y ) + β A ch ( b y )  1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2 t ( y ) = γ A ch ( b y ) + γ A sh ( b y ) + γ A ch ( b y ) + γ A sh ( b y ) 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2 với A1 , A2 , A3 , A4 là các hằng số còn α n , β n , γ n , bn ( n = 1, 2 ) được xác định bởi các hệ thức sau −1 bn2 + 1 α n = , β n =c66 − , γ n = − δ + c66 ( bn2 + 1) X (18) bn bn S + S 2 − 4P S − S 2 − 4P 2c + X − δ c66 − X b1 = b2 = S = P = , , − 66 , (19) 2 2 c66 c66 Ở đây, để đơn giản trong kí hiệu, ta sử dụng kí hiệu sh (.) : sinh (.) , ch (.) : cosh (.) . = = Trên mặt x2 = − h thỏa mãn điều kiện tự do đối với ứng suất, ta suy ra σ 12 σ= 0 tại x2 = −h = 22 (20)
196 232 Trịnh Thị Thanh Huệ, Phạm Chí Vĩnh Thay x2 = 0 vào (17), ta thu được hệ bốn phương trình đối với bốn ẩn A1 , A2 , A3 , A4 . Giải hệ phương trình này, ta được γ2 1 iβ2 iα 2 A1 = 1 ( 0 ) − U t2 ( 0 ) , A2 = U 2 ( 0 ) − t ( 0) [γ ] [γ ] [α , β ] [α , β ] 1 γ 1 i β1 iα1 A3 =0 ) + − 1 U1 ( t2 ( 0 ) , A4 = 2 ( 0 ) + − U t ( 0) [γ ] [γ ] [α , β ] [α , β ] 1 (21) với [ f ; g ] := f1 g 2 , [ f ] := . f 2 g1 − f 2 − f1 Thay phương trình (17) 3,4 vào phương trình (20) ta thu được − β1 A1 sh ε1 + β1 A2 ch ε1 − β 2 A3 sh ε 2 + β 2 A4 ch ε 2 = 0 (22) γ 1 A1 ch ε1 − γ 1 A2 sh ε1 + γ 2 A3 ch ε 2 − γ 2 A4 sh ε 2 = 0 với ε n ε bn , n 1, 2, ε kh . = = = Thay nghiệm A1 , A2 , A3 , A4 ở (21) vào (22) ta suy ra ia11 t1 ( 0 ) + a12 t2 ( 0 ) = b11U1 ( 0 ) + ib12U 2 ( 0 ) (23) ia21 t1 ( 0 ) + a22 t2 ( 0 ) = b21U1 ( 0 ) + ib22U 2 ( 0 ) trong đó các thành phần aij , bij được xác định như sau [ β ch ε ;α ] , a11 = a12 = 21 =a22 = − [ β sh ε ] , a [α ; γ sh ε ] , [γ ch ε ] [α ; β ] [γ ] [α ; β ] [γ ] (24) =b11 [= γ ; β sh ε ] , b12 β1= β2 [ch ε ] , b γ 1γ 2 = [ch ε ] , b [ β ; γ sh ε ] [γ ] [α ; β ] 21 [γ ] 22 [α ; β ] Hệ phương trình (23) có thể được viết lại dưới dạng ma trận như sau  ia11 a12   t1 ( 0 )   b11 ib12  U1 ( 0 )  ia  =   (25)  21 a22   t2 ( 0 )  b21 ib22  U 2 ( 0 )  ⇔ t = Au tại = kx2 0 y = (26) trong đó −1  t1  U 1    ia a12    ia11 a12   b11 ib12   A11 A12  = =  = Det   11 , u , A  = a22   ia21 a22  b21 ib22   A21 A22  t (27)  t2  U 2   ia21        A11 = − a12b21 , a22b11 A12 = 12 − a12b22 ) , i ( a22b A21 =21 − a21b11 ) , i ( a11b A22 = − a11b22 (28) a21b12  Nhận thấy rằng, ma trận A có dạng A = −iZ L với Z L là ma trận Hermitan. Từ đó, ta suy ra AT = − A (kí hiệu ~ chỉ việc lấy liên hợp phức của ma trận). 4. Phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh 4.1. Phương trình cơ bản của bán không gian dưới dạng ma trận Như đã nói ở trên, trong hệ tọa độ Ox1 x2 x3 , bán không gian đàn hồi trực hướng trở thành bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = 0 (xem mục 2.). Khi đó, ta xét bài toán biến dạng phẳng. Theo Ting [17], ta có mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch cho vật liệu monoclinic x3 = 0 , không nén được như sau
197 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén 233 được, lệch trục σ 11 + = c11u1,1 + c12u2,2 + c16 ( u1,2 + u2,1 ) p σ 22 + = c12u1,1 + c22u2,2 + c26 ( u1,2 + u2,1 ) p (29) σ 12 =c16u1,1 + c26u2,2 + c66 ( u1,2 + u2,1 ) với σ ij và cij lần lượt là các thành phần ứng suất và hằng số vật liệu của bán không gian còn p là áp lực thủy tĩnh của bán không gian. Phương trình chuyển động (bỏ qua lực khối) có dạng σ 11,1 + σ 12,2 ρ u1 , σ 12,1 + σ 22,2 ρ u2 =  =  (30) trong đó, ρ là mật độ khối lượng của bán không gian. Ta có điều kiện không nén được của bán khôn gian u1,1 + u2,2 = 0 (31) Thực hiện tương tự như mục 3.1 ta dễ dàng suy ra phương trình cơ bản dạng ma trận cho bài toán biến dạng phẳng đối với vật liệu monoclinic x3 = 0 ζ ′ = Mζ (32) với ζ = [u1 u2 σ 12 σ 22 ] , dấu ' là đạo hàm theo biến x2 và T  1   M1 M 2  b1∂1 −∂1  = 0  ρ∂ t2 − a1∂ 1 2 0  =  =  = c66 M T  , M1  , M2  , M3  = M1  , M4 (33)  M 3 M1   −∂1 0   ρ∂ t2   0 0  0   trong đó, kí hiệu chỉ việc lấy chuyển vị của một ma trận, ∂1 = T ∂ ∂x1 , ∂1 = 2 ∂x12 , ∂ t2 = 2 ∂t 2 2 ∂ ∂ ( c16 − c26 ) 2 c26 − c16 a1 = c11 − 2c12 + c22 − , b1 = (34) c66 c66 4.2. Sóng Rayleigh và phát biểu Stroh’s Thế dạng nghiệm (14) vào phương trình (32) dẫn về ξ′ = iNξ , 0 ≤ y ≤ +∞ (35) với u  U1  t1   N N2  ξ = =  =  =  1  , u U  , t t  , N N N = N1  , N4 t   2  2  3 4  1  (36)  b1 −1 =  X − a1 0  , X ρ c 2 0 =  = c66  , N2  , N3  = X N1  −1 0    0    0 0  Điều kiện tắt dần ở vô cùng ξ ( +∞ ) = 0 (37) Do bán không gian và lớp mỏng gắn chặt với nhau tại mặt biên x2 = 0 nên suy ra u ( 0) = = u ( 0 ) , t ( 0 ) t ( 0 ) . Vì vậy, từ phương trình (26) ta có t = Au tại = kx2 0 y = (38)  với A xác định ở phương trình (27), (28) và ma trận A thỏa mãn tính chất AT = − A .
198 234 Trịnh Thị Thanh Huệ, Phạm Chí Vĩnh Bằng phương pháp đổi biến: σ = t − Au , phương trình (35), điều kiện tắt dần ở vô cùng (37) và điều kiện biên hiệu dụng (38) trở thành w′ = iQw , 0 ≤ y ≤ +∞ (39) = 0, σ ( 0 ) 0 w ( +∞ ) = (40) trong đó u  Q Q2  = =  1 w , Q Q Q  (41) σ   3 4 Q1 = 1 + N 2 A, Q 2 = 2 , Q3 = 3 + N1 A − AN1 − AN 2 A, Q 4 = 1 − AN 2 N N N T NT (42)   T  Từ (42) và có kể đến các hệ thức N 2 = NT , N 3 = NT , N 4 = N1 , AT = − A ta chứng minh được 2 3  = =  = QT , Q QT , Q QT Q (43) 2 2 3 3 4 1 Phương trình (35) và (39) được goi là các phát biểu Stroh. 4.3. Phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh dạng tường minh Để tìm phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong bài toán đang xét này, ta áp dụng phương pháp véctơ phân cực (phức) (xem trong tài liệu tham khảo [15]). Trong phương trình (52) của [15], ta thay P = Q và Y = w với Q, w được xác định ở phương trình (41), (42). Sử dụng điều kiện thứ hai của phương trình (40): σ ( 0 ) = 0 , phương trình (52) trong [15] được rút gọn thành dạng sau uT ( 0 ) Q(3n )u ( 0= 0, ∀n ∈ Z  ) (44) Ta kí hiệu các thành phần của ma trận Q(3 ) là Qijn ) ( i, j = 1, 2 ) . Vì Q là một ma trận vuông cấp 4 ( n nên theo Remark 1. (ii) trong [15], từ (44) ta thu được hệ ba phương trình độc lập tuyến tính với ba giá trị khác nhau của n . Dễ dàng thấy rằng việc chọn n = −1,1, 2 là lựa chọn tốt nhất. Giả sử U1 ( 0 ) ≠ 0 , suy ra u ( 0 ) = U1 ( 0 ) [1 α ] , (α = U 2 ( 0 ) U1 ( 0 ) ) là một số phức. Thay biểu thức của u ( 0 ) vào (44) và T tính đến Q3 ) là ma trận hermitian (xem (43)), ta có ( n (−  (−  Q11 1) + Q12 1)α + Q12 1)α + Q22 1)αα = (− (−  0 Q11 ( n) ( n)   (1) Q12 1   [1 α ]     = −1,1, 2 ) 0 (n =  (1  ⇔ Q11 + Q12)α + Q12)α + Q22)αα = (1 (1  0 (45) Q   ( n) Q  α  ( n)   ( 2) ( 2)  ( 2)  ( 2) Q11 + Q12 α + Q12 α + Q22 αα =  0 12 22  với các thành phần Qijn ) của ma trận Q3 ) ( n = −1,1, 2 ) được xác định như sau ( ( n 2 A11 A A A A Q11) =X − a1 + A12 − A21 − (1 , Q22) =X + A21 − A12 − 12 21 , Q12) =A11 − A22 + A12b1 − 11 12 (1 (1 (46) c66 c66 c66 A Q11 ) 2b1 ( X − a1 ) + b1 ( A12 − A21 ) + 11 ( A12 + A21 − 2 A11b1 ) , (2 = c66 A22 ( A12 + A21 ) − 2 A12 A21b1 =Q22 ) (2 + ( A21 − A12 ) b1 (47) c66 A12 ( X − a1 ) + A12 + A11 A22 − 2 A11 A12b1 2 =Q12 ) (2 + ( A11 − A22 + A12b1 ) b1 + a1 − 2 X c66 và Qij−1) = Qij−1) q trong đó q ∈ R là định thức của ma trận Q và ( ˆ(
199 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng, không nén 235 được, lệch trục A A A A − A11 X Q11 1) = A12 − A21 + 12 21 − X , Q12 1) = A11 − A22 + A12b1 − b1 X + 12 22 ˆ (− ˆ (− c66 c66 (48) A2 − ( a1 − A12 + A21 ) X + X 2 Q22 1) ˆ (− = 22 + A21 − A12 + a1 − X − b12 X c66 Ta có phương trình (45) có thể được viết dưới dạng ˆ  ˆ Q ( −1)α + Q ( −1)α + Q ( −1)αα = ˆ  −Q11 1) ˆ (−  12 12 22  (1) (1) (1) Q12 α + Q12 α + Q22 αα =  −Q11) (1 (49)  ( 2)  ( 2) ( 2) Q12 α + Q12 α + Q22 αα =  −Q11 ) (2  Đây là hệ 3 phương trình 3 ẩn α ,α ,αα có nghiệm là   = D1 D , α D2 = D3 D α =  D , αα  (50) trong đó D là định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình (49) (ma trận vuông cấp 3) còn Dk là định thức của các ma trận nhận được từ ma trận D bằng cách thay cột thứ k bằng véctơ cột vế phải của hệ phương trình (49). Từ (50) ta suy ra D1 D2 − DD3 = 0 (51) Đây chính là phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng, nén được được phủ một lớp mỏng đàn hồi trực hướng, nén được, lệch trục. Ta hoàn toàn có thể chứng minh được phương trình tán sắc (51) là phương trình thực (xem Phụ lục). Tuy rằng biểu thức của các định thức D, Dk là dài và không được biễu diễn cụ thể ở đây, nhưng chúng được tính toán một cách dễ dàng bằng cách sử dụng các biểu thức (46)-(48). 5. Kết luận Báo cáo trình bày bài toán truyền sóng Raleigh trong bán không gian đàn hồi được phủ một lớp mỏng đàn hồi. Ở đây, cả bán không gian và lớp mỏng đều được giả thiết là trực hướng, không nén được. Tuy nhiên vật liệu ở bán không gian và lớp mỏng chỉ có một trục chính là không trùng nhau - trục vuông góc với lớp còn hai trục còn lại lệch nhau một góc θ . Mục tiêu chính của báo cáo là đưa ra phương trình tán sắc chính xác dạng tường minh của sóng Rayleigh trong môi trường này. Bằng cách biến đổi hệ trục tọa độ ta đưa bài toán ban đầu về bài toán tryền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = 0 , không nén được được phủ một lớp mỏng trực hướng, không nén được mà trục chính vật liệu ở bán không gian và lớp mỏng trùng nhau. Áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và phương pháp véctơ phân cực (phức), các tác giả báo cáo đã dẫn ra được phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh. Vì phương trình tán sắc được đưa ra dưới dạng tường minh nên nó rất có ý nghĩa trong các ứng dụng thực tế đặc biệt trong các bài toán ngược. Tài liệu tham khảo [1] S. Makarov, E. Chilla and H. J. Frohlich, "Determination of elastic constants of thin films from phase velocity dispersion of different surface acoustic wave modes," J. Appl. Phys., vol. 78, pp. 5028-5034, (1995). [2] A. G. Every, "Measurement of the near-surface elastic properties of solids and thin supported films," Meas. Sci. Technol., vol. 13, pp. 21-39, (2002).
200 236 Trịnh Thị Thanh Huệ, Phạm Chí Vĩnh [3] J. D. Achenbach, S. P. Keshava, "Free waves in a plate supported by a semi-infinite continuum," J. Appl. Mech., vol. 34, pp. 397-404, (1967). [4] H.F. Tiersten, "Elastic surface waves guided by thin films," J. Appl. Phys., vol. 46, pp. 770- 789, (1969). [5] P. Bovik, "A comparison between the Tiersten model and O(H) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers," J. Appl. Mech., vol. 63, p. 162–167, (1996). [6] D. J. Steigmann, "Surface waves supported by thin-film/substrate interactions," IMA J.Appl Math., vol. 72, pp. 730-747, (2007). [7] J. Wang, et al., "Exact and approximate analysis of surface acoustic waves in an infinite elastic plate with a thin metal layer," Ultrasonics, vol. 44, pp. 941-945, (2006). [8] Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh, "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer," Wave Motion, vol. 49, pp. 681-689, (2012). [9] Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Nguyen Thi Khanh Linh, "Exact secular equations of Rayleigh waves in an orthotropic elastic half-space overlaid by an orthotropic elastic layer," International Journal of Solids and Structures, vol. 83, pp. 65-72, (2016). [10] Trịnh Thị Thanh Huệ, Phạm Chí Vĩnh, "Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng, nén được phủ lớp trực hướng, nén được lệch trục," in Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XV, Thành Phố Thái Nguyên, (9, 2021). [11] P. C. Vinh, N. T. K. Linh, V. T. N. Anh, "Rayleigh waves in an incompressible orthotropic half-space coated by a thin elastic layer," Arch. Mech., vol. 66, no. 3, pp. 173-184, (2014). [12] Trinh Thi Thanh Hue, Phan Thi Thu Phuong, Pham Hong Anh, "Rayleigh waves in compressible orthotropic half-space overlaid by a thin un-coaxial orthotropic layer," Journal of Science and Technology in Civil Engineering, HUCE, vol. 15, no. 4, pp. 54-64, (2021). [13] Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ, "Phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic được phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng," in Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Thành phố Hồ Chí Minh, (11, 2013). [14] Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ, "Phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic được phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic không nén được," in Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Thành phố Đà Nẵng, (8,2015). [15] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue, "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in incompressible anisotropic half-spaces," International Journal of Engineering Science, vol. 85, pp. 175-185, (2014). [16] T. C. T. Ting, "Anisotropic elastic constants that are structurally invariant," Q. JI Mech. Appl. Math., vol. 53, no. 4, pp. 511-523, (2000). [17] T. C. T. Ting, Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, New York: Oxford University Press, (1996).