Sự hội tụ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên trong không gian NPC toàn cục

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02<br /> <br /> SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN<br /> TRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN CỤC<br /> Nguyễn Văn Quảng<br /> Đại học Vinh<br /> Hoàng Thị Duyên<br /> Trường Đại học Quảng Bình<br /> Tóm tắt. Bài báo đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên, sau đó thiết<br /> lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên<br /> không gian NPC toàn cục. Các kết quả này là mở rộng một kết quả đã biết của Karl - Theodor<br /> Sturm trong [5] về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối.<br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU<br /> Các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng<br /> trong lý thuyết xác suất và thống kê. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh<br /> tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì thế, việc nghiên cứu về<br /> luật số lớn không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa to lớn về mặt thực<br /> tiễn.<br /> Từ kết quả của Karl - Theodor Sturm về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng<br /> phân phối [5], chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên nhận<br /> giá trị trên không gian NPC toàn cục, sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn<br /> cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian đó.<br /> Trước hết, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm về không gian NPC toàn cục theo<br /> nghĩa của Alexandrov được sử dụng trong các bài báo [5] và [7].<br /> Định nghĩa 1.1. Cho ( N , d ) là không gian mêtric.<br /> i) Đường cong (liên tục) γ :[0,1] → N được gọi là trắc địa nếu d (γ 0 , γ 1 ) = ld (γ ),<br /> trong đó<br /> n −1<br /> <br /> ld (γ ) : = sup{∑ d (γ tk , γ tk +1 ) | 0 = t0 < t1 < L < tn = 1}.<br /> k =0<br /> <br /> Ta còn ký hiệu trắc địa là t a γ t , t ∈[0,1].<br /> ii) ( N , d ) được gọi là không gian trắc địa nếu với bất kỳ γ 0 , γ 1 ∈ N , luôn tồn tại<br /> trắc địa nối hai điểm đó.<br /> Định nghĩa 1.2. Không gian mêtric đủ ( N , d ) được gọi là không gian NPC<br /> (nonpositive curvature) toàn cục nếu :<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02<br /> <br /> i) Nó là không gian trắc địa,<br /> ii) Với bất kỳ trắc địa t a γ t , t ∈[0,1], với bất kỳ z ∈ N , ta có bất đẳng thức sau<br /> d 2 ( z , γ t ) ≤ (1 − t )d 2 ( z , γ 0 ) + td 2 ( z , γ 1 ) − t (1 − t )d 2 (γ 0 , γ 1 ).<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Không gian NPC toàn cục cũng được gọi là không gian Hadamard.<br /> Điều kiện (1) có nhiều ứng dụng quan trọng. Một trong những ứng dụng của (1) là<br /> với hai điểm bất kỳ γ 0 , γ 1 trong không gian NPC toàn cục N, trắc địa γ :[0,1] → N nối<br /> hai điểm đó là duy nhất. Dưới đây là một số ví dụ về không gian NPC toàn cục.<br /> Ví dụ 1) Không gian Hilbert là không gian NPC toàn cục. Một không gian Banach<br /> là không gian NPC toàn cục khi và chỉ khi nó là không gian Hilbert.<br /> Ví dụ 2) Không gian L2 ( M , N , µ ) gồm các ánh xạ đo được f : M → N từ không<br /> gian độ đo (M, M , µ ) bất kỳ vào không gian NPC toàn cục ( N , d ) là không gian NPC<br /> 1<br /> <br /> <br /> 2<br /> toàn cục với khoảng cách là d 2 ( f , g ) : =  ∫ d 2 ( f ( x ), g ( x ))µ ( dx)  .<br /> M<br /> <br /> <br /> Ví dụ 3) Không gian mêtric (<br /> <br /> 2<br /> <br /> , d p ) với<br /> <br /> d pp (( x1 , x2 ), ( y1 , y2 )) = | x1 − y1 | p + | x2 − y2 | p , 1 < p < ∞, p ≠ 2<br /> <br /> không là không gian NPC toàn cục.<br /> Xét ( Ω , f, P) là không gian xác suất, g là σ-đại số con của f và ( N , d ) là không<br /> gian NPC toàn cục.<br /> Định nghĩa 1.3.<br /> i) Cho Y , Z : Ω → N là các ánh xạ g-đo được. Ta gọi Y và Z là tương đương nếu Y<br /> = Z hầu chắc chắn.<br /> ii) Đặt<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> d 2 (Y , Z ) : = Ed 2 (Y , Z )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> Ω<br /> <br /> <br /> <br /> : =  ∫ d 2 ( Y (ω ), Z (ω ) )P (d ω ) <br /> <br /> và<br /> d ∞ ( Y , Z ) : = ess sup d ( Y (ω ), Z (ω ) ) ,<br /> ω ∈Ω<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02<br /> <br /> trong đó, ess sup f ( x) là cận trên cốt yếu của f theo nghĩa nó là giá trị bé nhất trong<br /> x∈Ω<br /> <br /> số các giá trị chặn trên (hầu khắp nơi) của f.<br /> Khi đó, d 2 và d∞ là các mêtric trên không gian các ánh xạ g-đo được.<br /> Kí hiệu L2 (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ g-đo được Z : Ω → N<br /> sao cho d 2 ( y, Z ) < ∞ , với y ∈ N và L∞ (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ<br /> <br /> g- đo được Z : Ω → N sao cho d ∞ ( y, Z ) < ∞ với y ∈ N .<br /> Như vậy, mỗi phần tử của L2 (g), L∞ (g) là một lớp tương đương. Từ đây trở về sau,<br /> nếu không sợ nhầm lẫn, chúng ta sẽ không phân biệt một ánh xạ đo được với lớp tương<br /> đương của nó.<br /> <br /> Mệnh đề 1.1. ([5, Proposition 1.6 ]) Không gian L2 (g) với mêtric d 2 là không gian<br /> NPC toàn cục.<br /> <br /> Định nghĩa 1.4. Cho ánh xạ đo được Y : Ω → N . Ta gọi<br /> VgY=inf{ Ed 2 (Y , Z ) | Z : Ω → N là g - đo được}<br /> là phương sai có điều kiện trung bình của Y đối với g và<br /> <br /> V(Y): = inf { Ed 2 ( z, Y ) | z ∈ N }<br /> là phương sai của Y.<br /> <br /> Định nghĩa 1.5. Cho (Yn ), Yn : Ω → N là dãy các phần tử ngẫu nhiên. Dãy (Yn ) được<br /> gọi là hội tụ về Y<br /> i) theo xác suất nếu với mọi ε > 0 ta có lim P ( d (Yn , Y ) > ε ) = 0 .<br /> n →∞<br /> <br /> P<br /> Kí hiệu Yn <br /> →Y .<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ii) hầu chắc chắn nếu P lim d (Yn , Y ) = 0 = 1 .<br /> n →∞<br /> <br /> h.c.c.<br /> Kí hiệu Yn <br /> →Y .<br /> <br /> iii) theo trung bình cấp r, (r > 0) nếu lim Ed r (Yn , Y ) = 0 .<br /> n →∞<br /> <br /> r<br /> <br /> L<br /> Kí hiệu Yn <br /> →Y .<br /> <br /> Định nghĩa 1.6. Cho (Yn ), Yn : Ω → N là dãy các phần tử ngẫu nhiên. Dãy (Yn ) được<br /> gọi bị chặn đều h.c.c. nếu tồn tại hằng số C > 0 và phần tử z ∈ N sao cho<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02<br /> <br /> d (Yn , z ) ≤ C , h.c.c., ∀n ∈ .<br /> Định lý 1.1. ([5, Theorem 2.1]) Cho Y ∈ L2 (f ). Khi đó<br /> i) Tồn tại duy nhất Z ∈ L2 (g) là điểm mà tại đó hàm Z a d 2 ( Z , Y ) đạt giá trị nhỏ<br /> nhất. Ta kí hiệu Z là E(Y|g) hay EgY.<br /> ii) Với mỗi Z ∈ L2 (g), ta có<br /> <br /> Ed 2 ( Z , Y ) ≥ Ed 2 (EgY,Y)+ Ed 2 (EgY,Z)<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Eg d 2 ( Z , Y ) ≥ Eg d 2 (Eg Y, Y) + d 2 (Eg Y, Z), h.c.c..<br /> <br /> (3)<br /> <br /> và<br /> <br /> 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH<br /> Trong [5], Karl - Theoder Sturm đã định nghĩa tổng các phần tử ngẫu nhiên nhận<br /> giá trị trong không gian NPC toàn cục ( N , d ), sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật<br /> mạnh số lớn cho tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. Chúng tôi mở<br /> rộng các kết quả này cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập.<br /> <br /> Định nghĩa 2.1.<br /> i) Cho dãy các phần tử ngẫu nhiên (Yn ), Yn : Ω → N và (α n ) là dãy số thực dương. Ta<br /> <br /> định nghĩa dãy ( Sn ) các phần tử ngẫu nhiên bằng quy nạp như sau:<br /> <br />  S1 (ω ) : = Y1 (ω )<br /> <br /> n<br /> <br /> αi<br /> ∑<br /> α n +1<br /> <br /> i =1<br />  S n +1 (ω ) : = n +1 S n (ω ) + n +1 Yn +1 (ω )<br /> <br /> αi<br /> αi<br /> ∑<br /> ∑<br /> <br /> i =1<br /> i =1<br /> <br /> trong đó vế phải kí hiệu cho một điểm trên đường trắc địa γ αn+1 từ Sn (ω ) đến<br /> n+1<br /> <br /> αi<br /> ∑<br /> i =1<br /> <br /> Yn +1 (ω ) mà có khoảng cách từ điểm này đến S n (ω ) bằng<br /> <br /> α<br /> <br /> ∑α<br /> i =1<br /> <br /> trắc địa.<br /> <br /> so với chiều dài của đường<br /> <br /> n +1<br /> n +1<br /> <br /> i<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02<br /> <br /> ii) Kí hiệu Sn bởi<br /> <br /> 1<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑α Y<br /> <br /> i i<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑α<br /> <br /> và gọi là tổng có trọng số của các phần tử ngẫu<br /> <br /> i =1<br /> i<br /> <br /> i =1<br /> <br /> nhiên Y1 , ... , Yn .<br /> <br /> Định lý 2.1. Cho (Yn ) ⊂ L2 (F ) là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, có cùng kỳ<br /> vọng sao cho sup<br /> n<br /> <br /> 1 n<br /> ∑V (Yi ) ≤ C , C là hằng số và (α n ) là dãy số thực dương. Khi đó<br /> n i =1<br /> <br /> i) S n → EY1 , n → ∞ trong L2 và theo xác suất.<br /> ii) Nếu thêm điều kiện (Yn ) bị chặn đều h.c.c. và (α n ) là dãy đơn điệu giảm thì<br /> h.c.c.<br /> Sn <br /> → EY1 , n → ∞ .<br /> <br /> Chứng minh.<br /> i) Trước hết, ta chứng minh bằng quy nạp rằng<br /> Ed 2 ( EY1 , S n ) ≤<br /> <br /> 1<br /> <br /> n<br /> <br /> n2<br /> <br /> ∑ V (Y ),<br /> i<br /> <br /> ∀n ∈ .<br /> <br /> i =1<br /> <br /> Ta có<br /> Ed 2 ( EY1 , S1 ) = Ed 2 ( EY1 , Y1 ) = V (Y1 ) .<br /> <br /> Vậy, khẳng định đúng với n = 1 .<br /> Giả sử khẳng định đúng với n. Ta chứng minh khẳng định đúng với n + 1. Thật vậy,<br /> theo định nghĩa ( S n ), S n +1 (ω ) là một điểm thuộc trắc địa nối 2 điểm S n (ω ) và Yn +1 (ω ), ω ∈ Ω<br /> nên theo (1) ta có<br /> d 2 ( EY1 , S n +1 ) ≤<br /> <br /> n<br /> n +1<br /> <br /> d 2 ( EY1 , S n ) +<br /> <br /> 1<br /> n +1<br /> <br /> d 2 ( EY1 , Yn +1 ) −<br /> <br /> n<br /> (n + 1) 2<br /> <br /> d 2 ( S n , Yn +1 ).<br /> <br /> Suy ra<br /> Ed 2 ( EY1 , S n +1 ) ≤<br /> <br /> n<br /> n +1<br /> <br /> Ed 2 ( EY1 , S n ) +<br /> <br /> 1<br /> n +1<br /> <br /> Ed 2 ( EY1 , Yn +1 ) −<br /> <br /> n<br /> (n + 1)<br /> <br /> 2<br /> <br /> Ed 2 ( S n , Yn +1 ).<br /> <br /> Ngoài ra từ (2) ta có<br /> Ed 2 ( S n , Yn +1 ) ≥ Ed 2 ( EYn +1 , Yn +1 ) + Ed 2 ( EYn +1 , S n )<br /> <br /> nên<br /> Ed 2 (EY1, Sn+1) ≤<br /> <br /> n<br /> 1<br /> n<br /> n<br /> Ed 2 (EY1, Sn ) +<br /> Ed 2 (EY1, Yn+1) −<br /> Ed 2 (EYn+1, Yn+1) −<br /> Ed 2 (EYn+1, Sn ).<br /> n +1<br /> n +1<br /> (n +1)2<br /> (n +1)2<br /> <br />