SƯU TẦM VÀ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Chia sẻ: Nguyễn Thị Cò | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

2.310
lượt xem 306
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một tập hợp X được xác định bởi tất cả những điểm có tính chất α thì ta nói X là quỹ tích của những điểm có tính chất α hay quỹ tích của những điểm có tính chất α là hình XBiểu thị quỹ tích: Nếu điểm M có tính chất α thì M thuộc X Nếu M thuộc X thì M có tính chất αDạng 1:Bài toán được phát biểu dưới dạng tường minh “chứng minh rằng quỹ tích những điểm M có tính chất α là hình X ” Dạng 2:“Tìm quỹ tích các điểm M...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SƯU TẦM VÀ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

CHỦ ĐỀ 11 SƯU TẦM VÀ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 1
SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 2
PHẦN I: XIMENA I: Lý thuyết 1 Khái niệm về quỹ tích  Một tập hợp X được xác định bởi tất cả những điểm có tính chất thì ta nói X là quỹ tích của những điểm có tính chất hay quỹ tích của những điểm có tính chất là hình X  Biểu thị quỹ tích: Nếu điểm M có tính chất thì M thuộc X Nếu M thuộc X thì M có tính chất 2 Dạng chứng minh của bài toán quỹ tích a) Dạng toán quỹ tích: Dạng 1:Bài toán được phát biểu dưới dạng tường minh “chứng minh rằng quỹ tích những điểm M có tính chất là hình X ” Dạng 2:“Tìm quỹ tích các điểm M có tính chất tức là tìm ra 1 hình X và chứng minh rằng quỹ tích của các điểm M là hình X đó. b) Các bước giải bài toán quỹ tích Thông thường để giải một bài toán quỹ tíchta phải chứng minh 2 phần: Phần thuận và phần đảo:  Chứng minh phần thuận( hay chứng minh điều kiện đủ) :Chứng minh những điểm M có tính chất thì M thuộc hình X  Chứng minh phần đảo ( hay chứng minh điều kiện cần) :Chứng minh điểm M thuộc hình X thì M có tính chất  Riêng đối với dạng 2 ta thường biến đổi tính chấtcủa điểm M thành tính chất nào đó tương đương với ,với là một bài toán cơ bản (quỹ tích cơ bản) và chứng minh những điểm M có tính chất  Lưu ý:Ta có thể chứng minh gộp 2 phần bằng các lập luận tương đương • Để giải một bài toán quỹ tích ta cần phải:  Đọc kỹ nội dung đề bài :  Phân tích đề bài để thấy được: SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 3
•Những yếu tố nào cố định, yếu tố không đổi ,yếu tố chuyển động • Chỉ ra được tính chất của điểm mà ta phải tìm quỹ tích  Phác họa hình vẽ( thay đổi vị trí di động ở trên hình vẽ • Nên vẽ 3 vị trí khác nhau của điểm chuyển động để đoán nhận dạng hình của quỹ tích cần tìm( đối với dạng 2)  Cần nắm vững các dạng quỹ tích cơ bản 3 Một số quỹ tích cơ bản  Quỹ tích các điểm cách điều 2 điểm A , B đã cho là đường trung trực của đoạn thẳng AB Quỹ tích các điểm cách đều 2 cạnh của một góc là tia phân giác của góc  đó Quỹ tích của các điểm cách đều một đoạn thẳng đã cho là hai đường  thẳng song song với đường thẳng đó Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng song song là đường thẳng  song song và các đều hai đường thẳng đó Quỹ tích các điểm cách một điểm O cố định là đường tròn  Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới góc không đổi là hai cung  tròn chứa góc đi qua A ,B và đối xứng với nhau qua AB Quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới hai điểm cố định A, B cho  trước bằng số k1,k > 0, là một đường tròn đường kính PQ (P, Q lần lượt chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k và -k ). Quỹ tích các điểm có hiệu bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm A,  B cố định bằng số k không đổi là đường thẳng vuông góc với AB tại H sao cho 2=k ,trong đó I là trung điểm của AB Phần II:Bài tập Dạng 1:Bài toán đã cho biết quỹ tích +Tìm tập hợp điểm thỏa mản một đẳng thức tích vô hướng hoặc độ dài Bài 1: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Tìm quỹ tích điểm M trong tam giác sao cho Với A’ ,B’ ,C’ lần lượt là giao điểm của AM ,BM ,CM với O Giải: Đặ t Suy ra: k + m +n = 3 SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 4
A C' B' M O G C B A' Theo tính chất của phương tích ta có: Suy ra : (1) Chèn điểm O ta có: 3R2 (k (chia cho 2 đặt ra ngoài) )=0 ( vì k +n + m =3) Suy ra: G là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra M thuộc đường tròn đường kính OG SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 5
Giới hạn trong tam giác ABC Bài 2:Cho 2 đường tròn ngoài nhau ( O;R) và (O’;r) một điểm M thay đổi sao cho các tiếp tuyến MA ,MB với đường tròn ( O ) và MC ,MD là tiếp tuyến của đường tròn ( O’) thỏa mản: Chứng minh quỹ tích điểm M là đường tròn Apoloniut Giải: + Quỹ tích điểm M thay đổi mà tỉ số khoảng cách từ đó đến 2 đầu đoạn thẳng cố định không đổi là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối 2 điểm chia trong và chia ngoài của đoạn thẳng đó đường tròn này gọi là đường tròn Apoloniut:(quỹ tích cơ bản ) Phần thuận: Ta có OO’ cố định ta chứng minh tỉ số không đổi + Nối OO’ , MO xét OMB và O’MC có = 90 (1) (gt) (tính chất 2 đường tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau) tương tự (2) Từ (1) và (2) suy ra SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 6
M =không đổi Suy ra = ểm Animate Đi M A D B' C' F O E O' C B D' A' M' Suy ra M chuyển động nhưng tỉ số khoảng cách không đổi Hay M thuộc đường tròn Apoloniut có đường kính là EF, E,F là điểm chia trong và điểm chia ngoài của OO’ Giới hạn: Khi M F thì Vậy M chuyển động trên toàn bộ đường tròn đường kính EF Phần đảo: Lấy M’ thuộc đường tròn đường kính FE . Kẻ tiếp tuyến M’A’, M’B’ với đường tròn ( O) .Tiếp tuyến M’C’,M’D’ của đường tròn (O’) . Ta chứng minh + Nối M’ với O,O’.xét 2 theo tính chất của đường tròn Apoloniut Mặt khác ( Tính chất tiếp tuyến ) (đpcm) Kết luận: Quỹ tích M là đường tròn đường kính EF hay là đường tròn Apoloniut SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 7
Dạng 2:Bài toán chưa cho biết quỹ tích B Bài 3:Cho hình vuông ABCD có tâm I O.Vẽ đường thẳng F quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt tại E và F ( E ,F không trùng với các C O A đỉnh của hình vuông) .Từ E và F lần lượt vẽ các đoạn thẳng song E song với BD và AC cắt nhau tại I. Tìm D quỹ tích điểm I CM: d  Phương pháp tọa độ Đặt OA = OB =OC =OD = a Lập hệ trục tọa độ Oxy và chọn toạ độ tương ứng đối với các điểm A (-a ;0 ) ,B ( 0;a ), C ( a ; 0) ,D ( 0; -a) Ta có phương trình đoạn thẳng (d) EF có phương trình: y = k x ( k> 0) Theo phương trình đoạn chắn ta có: (BC) : x + y = a (AD) : -x + y = -a (AB) : -x + y =a (CD) : - x + y = -a Ta có: (d) thỏa mản: y = k x và x + y =- a thỏa mản : y = k x và x + y = a Gọi I = hay I = Ta thấy: điểm I thuộc vào (AB) SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 8
Giới hạn: Khi k chạy trong khoảng từ 0 thì I cũng chạy trong khoảng ( -a;0) ( 0; a) hay từ A B Vậy quỹ tích điểm I thuộc trên đoạn thẳng (AB) F I  Theo phương pháp tìm quỹ tích cơ bản: Phần thuận: Ta thấy BD là đường trung trung trực của IF ( vì IF vuông góc BD và BD là trục A C O đối xứng của hình vuông ABCD) (1) Tương tự : ta có AC là đường trung trực của IE E (2) Từ (1) và (2) ta có: OI = OE = OF D Suy ra O là tâm của đường tròn ngoại tiếp hay I thuộc đường tròn ( O ; OI ) Giới hạn: Khi d di động đến AC thì I Khi d di động đến BD thì I Vậy quỹ tích điểm I chạy trên AB trừ 2 điểm A và B Phần đảo: Ta có O là tâm đối xứng của hình vuông ABCD nên O cũng là tâm đối xứng của EF Ta lại có: BD là đường trung trực của IF ( do IF vuông góc với BD , BD là trục đối xứng của hình vuông ABCD) // AC (đpcm) Bài 4: Cho tam giác đều ABC biến thiên có đỉnh A cố định ,đỉnh C di động trên đường thẳng xy cho trước.Tìm quỹ tích đỉnh B Giải: SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 9
Phân tích: Ta thấy điểm d A và đường thẳng xy cố d' x' định.Khi tam giác đều I ABC thay đổi ,ta thấy khoảng cách từ B đến A B B1 1 thay đổi, khoảng cách vuông góc từ B đến xy 1 cũng thay đổi. Do đó A 2 điểm B không có mối lien hệ cố định 3 + Ta phải tìm các yếu tố x y C1 cố định tạo bởi A và xy H C + Kẻ AH vuông gốc với xy + Qua A vẽ đường thẳng x’y’ tạo bởi góc 30 y' + Chứng minh x’y’ cố định , so sánh khoảng cách từ B đến x’y’ và AH CM: Phần thuận: -Kẻ AH vuông góc với xy thì AH cố định -Vẽ x’y’ qua A tạo bởi AH một góc 30 nên x’y’ là đường thẳng cố định -Kẻ BI vuông góc với x’y’ ta có = 90 Mà Xét 2 và Có AB =BC (gt) (cmt) Nên = (g-c-g) Suy ra BI =AH Khi C chạy trên xy ( Thì BI =AH cố định .vậy B nằm trên đường thẳng d // x’y’ cách đương x’y’ một khoảng AH không đổi Giới hạn: với mọi C ta luôn vẽ được một đều ABC có điểm Bd Mặt khác : mỗi C thuộc xy ,ta có đối xứng với C qua chân đường cao H thuộc xy . SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 10
Và y' d ta có qua trục H là B 1 1 A 2 3 x y C' I C B' x' đường thẳng chứa AH Vậy đỉnh B của khi C chạy trên xy là đường thẳng d và d’ đối xứng với d qua AH Phần đảo: Lấy B’ nối B’A Vẽ cung có bán kính AB’ tâm A cắt xy tại C’ Nối B’ với C’ .chứng minh tam giác AB’C’ đều Kẻ B’I’ vuông góc với x’y’ . Ta có B’I’ =AH AB’ =AC’ và và mà Vậy AB’ = AC’ ,= 60 SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 11
Kết luận: Vậy quỹ tích đỉnh B của đều ABC là đường thẳng d và d’ đối xứng nhau qua trục chứa AH. Bài 5: Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy điểm M di động trên đường tròn. Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho MD =DB. Tìm quỹ tích của điểm D Giải: Phân tích + lấy vị trí của M trên đường tròn đường kính BC Lấy điểm M bất kỳ trên cung BC nối B với M và trên BM lấy MD =MC ta được điểm D Trên cung BC lấy điểm M gần đến điểm C và cũng làm như trên ta cũng có điểm D thứ 2, Tương tự lấy điểm M gần điểm B trên cung Bc ta cũng được điểm D thứ 3 + Nhìn vào hình ta thấy ba điểm D không thẳng hang .Nên ta đoán quỹ tích là một đường tròn hay một cung tròn Mặt khác : = 90(góc nội tiêp chắn nữa cung tròn) ( MD =MC Nên ta thấy quỹ tích của điểm D có khả năng là cung chứa góc 45 trên đường kính BC CM: Phần thuận Nối CM với CD Xét ( góc nội tiếp chắn cung tròn đường kính BC) MD =MC (gt) Khi M di động trên đường tròn đường kính BC cố đinh nên ta luôn có nên ta có Vậy khi M chuyển động trên đường tròn đường kính BC và MD=MC thì D cũng chuyển động theo n và luôn nhìn Bc dưới một góc 45 không đỏi Hay D nằm trên cung chứa góc45 vẽ trên cung BC Giới hạn:kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước tại B có cung chứa góc 45 vẽ trên cạnh BC tại D’ SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 12
Khi M lúc này thì tia BD cũng gần tiếp tuyến BD’ Khi không còn cung BM nửa nên không còn tia BD do đó D’ là điểm giới hạn của D' quỹ tích và D không thuộc quỹ tích D Khi . Khi M thì không nên không có điểm D.Mặt khác ta thấy M di chuyển trên toàn M bộ đường tròn nên còn có những điểm D nằm trên cung thứ 2 chứa góc 45 vẽ trên BC .hai cung này đối xứng nhau qua BC cùng cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn C B cho trước tại D’ và D” O Vậy khi M chạy trên đường tròn đường kính BC thì D nằm trên toàn bộ đường cong M' D’C D” trừ D’,D”.C Phần đảo: D'' Lấy điểm E cung D’C D” E Cm: M’E = M’C Nối C,E ta có: vì E và có nên nó là tam giác vuông cân (đpcm) Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mản bài toán là cung D’CD” trừ D’,C,D” Bài 6: Cho đường tròn ( O;R) .Tam giác ABc nội tiếp đường tròn. BC cố định ,I là trung điểm của ABC Tìm quỹ tích M đối xứng với G qua I khi A di chuyển Giải Phân tích: + Ta thấy BC cố định nên I cố định + Dựa vào tính chất trọng tâm ta có + Chứng tỏ G là ảnh của A qua một phép biến hình +Xác định phếp biến hình, rồi suy ra quỹ tích A CM: Phần thuận : Ta có G là trọng tâm là ảnh của A qua phép vị tự tâm I,tỉ số SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 13
Kí hiệu: H Xét phép vị tự H biến A ( O;R ) thành ( Khi A di chuyển trên (O ;R) thì G di chuyển trên ( tương ứng sao cho: Phép vị tự : H biến B,O,C,A thành B’,O’,C’,G Ta có B,O,C cố định G tương đương B’,O’,C’ C O cố định Khi đó quỹ tích điểm M O' đối xứng với G qua O là đường tròn () là ảnh I của ( qua phép đối xứng O'' tâm I Giới hạn : Khi A dần tới B C (A C) M , Khi A dần tới B (A B) Vậy quỷ tích M là đường tròn tâm O’’ bán kính R=1/3 Phần đảo: ) ta chứng minh M’ là ảnh của A qua phép vị tự nghịch H’ ta có: hay M là ảnh của A qua phép vị tự nghịch H’ Kêt luận : Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn ( trừ các điểm B,E PHẦN II: BÀI TẬP Bài 1: Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy điểm M di động trên đường tròn. Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho MD =DB. Tìm quỹ tích của điểm D • Phần thuận SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 14
Nối CM với CD Xét ( góc nội tiếp chắn cung tròn đường kính BC) D' D MD =MC (gt) M Khi M di động trên đường tròn đường kính BC cố đinh nên ta luôn có nên ta có Vậy khi M chuyển động trên đường tròn C B đường kính BC và MD=MC thì D cũng O chuyển động theo n và luôn nhìn Bc dưới một góc 45 không đỏi M' Hay D nằm trên cung chứa góc 45 vẽ trên cung BC Giới hạn:kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước tại B có cung chứa góc 45 vẽ trên D'' cạnh BC tại D’ Khi M lúc này thì tia BD cũng gần E tiếp tuyến BD’ Khi không còn cung BM nửa nên không còn tia BD do đó D’ là điểm giới hạn của quỹ tích và D không thuộc quỹ tích Khi . Khi M thì không nên không có điểm D.Mặt khác ta thấy M di chuyển trên toàn bộ đường tròn nên còn có những điểm D nằm trên cung thứ 2 chứa góc 45 vẽ trên BC .hai cung này đối xứng nhau qua BC cùng cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn cho trước tại D’ và D” Vậy khi M chạy trên đường tròn đường kính BC thì D nằm trên toàn bộ đường cong D’C D” trừ D’,D”.C • Phần đảo: Lấy điểm E cung D’C D” Cm: M’E = M’C Nối C,E ta có: vì E và có nên nó là tam giác vuông cân (đpcm) Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mản bài toán là cung D’CD” trừ D’,C,D” SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 15
Animate Điểm C I B A O Bài 2: Trên đường tròn ( O; R) lấy 2 điểm cố định A, B và điểm C di động. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC • Phần thuận: Khi C di động trên đường tròn thì khi đó góc C hợp bởi AC và BC bằng góc Gọi I là tâm của đường tròn nôi tiếp Ta có Măt khác: xét Có Xét Vì Vậy khi C di động thì I cũng di động theo và luôn nhìn cung AB dưới một góc không đổi Khi Nếu Mặt khác : Khi C di động trên cung AB dưới một góc vẽ trên AB và đối xứng với nhau qua AB nên I cũng nằm trên cung chúa góc vẽ trên AB và đỗi xứng với nhau qua AB trừ 2 điểm A , B • Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 16
Nối AI’ và BI’ M Vẽ tia Ax hợp với AI’ một góc bằng M' Vẽ tia By hợp với BI’ một góc bằng C' A' Ta chứng minh hay C di động trên cung AB C Xét Có Xét A B (đpcm) Vậy quỹ tích của điểm I khi C di động trên cung AB là cung chứa góc vẽ trên AB và đối xứng với nhau qua AB . Trừ 2 điểm A ,B A" Bài 3: Cho 2 điểm A, B và 1 điểm C di động sao cho góc không đổi. Trên tia AC lấy điểm M sao cho AM = BC .Tìm quỹ tích điểm M • Phần thuận Qua 3 điểm A ,B, C cho trước ta cung tròn ABC Vẽ tiếp tuyến xA và Ax’ tại A. Trên xAx’ lấy lần lươt điểm A’ và A” sao cho AA’ = AA” = AB Suy ra A’, A” cùng thuộc nữa mặt phẳng có bờ AB Ta có AB cố định nên AA’ và AA” cũng cố định Xét ung AC ) AM = CB (gt) Hay M thuộc dây cung AA’ Khi Vậy quỹ tích của điểm M chay trên đường tròn có dây cung AA’ và AA” . Trừ 3 điểm A, A’, A” • Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc đường tròn chứa dây cung như trên Nối A với M’ . AM’ cắt ( O; R) tại C’ SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 17
Ta chứng minh AM’ = C’B y Xét à x N' M (đpcm) H Vậy quỹ tích điểm M trên AC khi C H' thay đổi trên đường tròn ( O; R) là 2 N dây cung AA’ và AA” với bờ AB trừ M' 3 điểm A, A’, A” Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = a .Hai nửa đường thẳng Ax, By nằm cùng B phía đối với AB và cùng vuông góc A I với AB . Hai điểm M, N di động lần lượt trên Ax, By sao cho MN = AM + BN .Tìm quỹ tích hình chiếu H của trung điểm AB lên đường thẳng MN CM: • Phần thuận Ta có : AB = a nên A, B cố định Gọi I là trung điểm của AB nên IA = cũng cố định Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên MN Khi đó IH vuông góc với MN (1) Ta có AM vuông góc với AI (AM vuông góc với AB) Nên AM là hình chiếu vuông góc của MI Tương tự ta có: MH là hình chiếu vuông góc của MI Suy ra AM = MH Xét Mà cân tại I hay IA = IH (2) Từ (1) và (2) H thuộc đường tròn ( I; IA ) Khi thì không thỏa mản điều kiện của bài toán Khi M, N di động trên Ax và By thì H cũng di động theo Vậy quỹ tích điểm H khi M, N di động trên Ax và By là nữa đường tròn ( I; IA) trừ 2 điểm A , B • Phần đảo: Lấy điểm H’ thuộc nữa đường tròn ( I; IA) SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 18
Từ M’ kẻ tiếp tuyến tại M’ B cắt Ax, By lần lượt tại M’, N' N’ N Xét A P M P' Xét M' O Mà O' Hay IH’ vuông góc với M’N’ tại H’(đpcm) Vậy quỹ tích điểm H khi M, Q' C N di động trên Ax và By là nữa đường tròn ( I; IA) trừ 2 điểm A , B Q D Bài 5: Cho bốn đường thẳng cắt nhau tạo thành một hình vuông có cạnh a . Chứng minh rằng quỹ tích của điểm M mà tổng khoảng cách từ nó đến 4 đường thẳng bằng 2a là miền hình vuông nói trên : • Phần thuận Gọi giao điểm của 4 đường thẳng trên là A,B,C,D Lấy điểm M bất kỳ. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB, BC, CD, DA cắt nhau lần lượt tại N, P ,Q ,O MO.DA = a (MN + MP + MQ + MO ) = a .2a = a2 = M thuộc miền hình vuông ABCD • Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc miền hình vông ABCD Từ M’ kẻ các đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC, BD lần lượt tại các điểm N’, P’ , Q’, O’ Khi đó ta có: (đpcm) Vậy quỹ tích của những điểm M có tổng khoảng cách tới các cạnh của hình vuông bằng 2a là miền hình vuông đó SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 19
Bài 6: A Cho tam giác đều cạnh a. P Chứng minh rằng quỹ P' tích điểm M mà tổng khoảng cách từ nó tới 3 M' N' C cạnh của tam giác bằng là miền tam giác đó M N • Phần thuận : Q' Lấy điểm M bất kỳ. Từ M kẻ các đường thẳng vuông Q góc với AB, AC, BC lần lượt tại N,P,Q B Ta có Vậy M thuộc miền trong của tam giác ABC • Phần đảo Lấy điểm M’ thuộc miền trong của tam giác ABC Từ M’ kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC lần lượt tại N’, P’ ,Q’ Ta có: ( đpcm) Vậy quỹ tích điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đó tới 3 cạnh của tam giác bằng là miền tam giác đó Bài 7: Cho góc xAy.Hai điểm B, C lần lượt thay đổi trên Ax và Ay sao cho AB +AC = d không đổi. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại M .Tìm quỹ tích điểm M CM: Theo bài ra ta có: M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam ABC .nên ta có tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn + ( 1) SVTH: Trần Thị Huệ Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Nguyễn Thị Vân Page 20