zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Tác động giữa thành phần phi tuyến khuếch tán và nguồn phi tuyến dạng logistic trong một lớp hệ hoá sinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày một kết quả về sự tồn tại nghiệm cho lớp bài toán này, trong đó chúng tôi muốn tìm một mối liên hệ giữa các hệ số m, p, α và β để đảm bảo sự tồn tại toàn cục của một nghiệm yếu bị chặn của hệ (I).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tác động giữa thành phần phi tuyến khuếch tán và nguồn phi tuyến dạng logistic trong một lớp hệ hoá sinh

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 TÁC ĐỘNG GIỮA THÀNH PHẦN PHI TUYẾN KHUẾCH TÁN VÀ NGUỒN PHI TUYẾN DẠNG LOGISTIC TRONG MỘT LỚP HỆ HOÁ SINH Đỗ Lân Trường Đại học Thủy lợi, email: dolan@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG + Nếu  > 0,  = 1 và (u) = u, tức là trong Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài toán có phần phi tuyến dạng logistic, khi một lớp hệ hoá sinh với phần phi tuyến đó, tính chất bùng nổ tại thời điểm hữu hạn logistic có dạng: sẽ bị triệt tiêu (xem [5, 7, 8] và các kết quả  t u    u m | u | p  2 u  u  v   u (1  u 1 ), được trích dẫn liên quan).  + Đặc biệt, trong nghiên cứu gần đây của (I )  x  ,  v  v  uv, x  , C. Jin (2017) (xem [2]) đã chỉ ra rằng, trong  t trường hợp m > 0, p = 2,  = 1 và  = 2 hệ với điều kiện biên không biến thiên. trên có nghiệm yếu bị chặn, không âm với (u m | u | p 2 u  u  v)   v   0, x  , tính chính quy cao hơn. và điều kiện ban đầu không âm. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một u ( x,0)  u0 ( x), v( x,0)  v0 ( x), x  . kết quả về sự tồn tại nghiệm cho lớp bài toán Ở đây, các hằng số m  0, p > 1,   0 và này, trong đó chúng tôi muốn tìm một mối các số mũ   0,   0. Điều kiện ban đầu và liên hệ giữa các hệ số m, p,  và  để đảm điều kiện biên thoả mãn các giả thiết: bảo sự tồn tại toàn cục của một nghiệm yếu u0  L ()  W 1, p (), c0  C 2 (),  bị chặn của hệ (I). u0 , v0  0, Đầu tiên, chúng ta đưa ra khái niệm  2,   C , nghiệm yếu của bài toán. v   0.  0 1.1. Định nghĩa Thành phần khuếch tán không đổi A( x, t , u , u ) được gọi là có dạng "doubly Một cặp hàm (u,v) được gọi là nghiệm nonlinear", tức là yếu, không âm của hệ (I) nếu với mỗi T > 0: T T A( x, t , u , u ) ~  ( x, t ) | u |m | u | p 2 u ,    u t dxdt    (u m | u | p  2 u  u  v)   dxdt với m  0 và p > 1. 0 0 Lớp bài toán này là mở rộng của một số T     u (1  u 1 )   u0 (, 0)dx, bài toán chemotaxis cổ điển. Ta có thể xét 0  một số trường hợp đặc biệt của bài toán (I) và: như sau: T T T + Với m = 0, p = 2,  = 1 và  = 0, hệ (I)    v t dxdt    v   dxdt    uv dxdt trở thành hệ Keller-Segel (xem [4]) rất nổi 0 0 0 tiếng, với nghiệm bùng nổ tại một thời điểm   v0 ( x, )dx hữu hạn trong trường hợp 2 chiều nếu điều kiện ban đầu có dạng như trên (các kết quả với mọi hàm thử   C 2,1 (  [0, T ]) với theo hướng này có thể xem trong [1, 3, 6]).  (, T )  0 . 51
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 1.2. Định lý t Tmax  lim sup ‖u (t ) ‖L  ‖ v (t ) ‖W  1, ()    . Giả sử rằng m > 1. Khi đó, bài toán (I) có Sau đó, ta sẽ đi chứng minh các tính chất nghiệm yếu toàn cục không âm thoả mãn các (1), (2), (3) là đúng với nghiệm xấp xỉ của tính chất: bài toán. sup ‖ u (t ) ‖L  ‖ v(t ) ‖W   ,  (1) 1, Ngoài ra, ta sử dụng các tính chất sau của t 0 sup t 0   |u  | dx  ‖ u ( m 1)/2 ‖W m 2 1,1 2 ( Qt )   , (2) nghiệm xấp xỉ thu được của bài toán (II):  Nguyên lý so sánh: ‖ v ‖L ‖ v0 ‖L ,   sup ‖ v ‖W 2 ,1  ,  p  1. (3)  Ước lượng trên : p ( Qt ) t 0 sup ‖ u (t ) ‖L  sup t  ‖ u ( s) ‖2 ds  C , t Khi đó, với mọi điều kiện ban đầu không 1 L 2 t 0 t( ,T ) âm (u0, v0) thoả mãn:  Tính chính quy cực đại: u0  L ()  H 1 (), v0  C 2 ()   ‖ v (s) ‖ t  sup 2 ds  C. u0 , v0  0  H2 , t( ,T ) t v   0 Bước 2: Xây dựng các ước lượng tiên  0 nghiệm. thì bài toán (I) có một nghiệp yếu toàn cục, Chúng ta nhắc lại rằng, hằng số C trong bị chặn. mục này là phụ thuộc vào   0 . 2. CHỨNG MINH Bổ đề 1: Ta có các ước lượng tiên nghiệm sau đây: Chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm (i ) sup ‖ u (t ) ‖L  sup t  ‖ u ( s ) ‖ ds t  của bài toán theo các bước như sau: 1 L t(0,Tmax ) t( ,Tmax ) Bước 1: Xây dựng hệ xấp xỉ:  C (Tmax ), Với  > 0, ta xét hệ xấp xỉ sau: (ii ) sup ‖ v (t ) ‖L ‖ v0 ‖L ,    p 2 t(0,Tmax )   t u    (u2   2 ) m /2 (| u |2  2 ) 2   ‖ v ( s) ‖ t   (ii ) sup ds  C (Tmax ).  u u  u (1  u 1 ), x   t( ,Tmax ) t W 2 , (  )   Chứng minh: ( II )  t u  u  u u , x  , . (i) Ta thu được (i) bằng cách nhân hai vế u   u   0, x  ,  của phương trình đầu tiên trong hệ xấp xỉ (II) u ( x,0)  u ,0 ( x), với u , sau đó lấy tích phân cả hai vế.  v ( x,0)  v ,0 ( x), x   (ii) Áp dụng nguyên lí so sánh cho phương trong đó, điều kiện ban đầu của bài toán xấp trình của v, sử dụng u0, v0  0 ta thu được xỉ thoả mãn: điều phải chứng minh.  2  (iii) Áp dụng tính chất: u ,0 , v ,0  C (),  t v  v  u v  L (0, T ; L ()) u   v   0,   ,0  ,0 và tính chính quy cực đại Lp của phương  ‖ u ,0 ‖L (  )  ‖ u ,0 ‖L (  )  ‖ v ,0 ‖W (  )  p 2 , . trình parabolic, ta chứng minh được (iii).  Bước 3: Áp dụng phương pháp trơn hoá     2 ‖ u0 ‖L (  )  ‖ u0 ‖L (  )  ‖ v0 ‖W (  ) ,  p 2,  dần bootstrap: Với mỗi k  1, ta sẽ chứng minh các tính u ,0 , v ,0  u0 , v0  chất sau của nghiệm xấp xỉ: Với   0 , tồn tại duy nhất một nghiệm cổ sup ‖ u (t ) ‖2 m 1  k điển không âm (ue, ve) của bài toán xấp xỉ t 0 L2 m k 1 trên đoạn cực đại (0, Tmax). Ngoài ra, tồn tại t   k k sup um  2 m 4 | u |2 u2 m dxds  Ck , Tmax < + mà: t( ,T ) t  52
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 và sup t( ,T )  t  t ‖ v ‖  2 mk W 2 ,2 m k  ‖  t v ‖2 m L2 m k k C . k [2] C. Jin, Boundedness and global solvability to a chemotaxis model with non-linear Để chứng minh hai bất đẳng thức trên, ta diffusion. Journal of Differential Equations, nhân mỗi phương trình của bài toán xấp xỉ 263(2017), no 9, 5759-5772. i 1 [3] D. Horstmann, G. Wang, Blow-up in a với u 2( m 1) và quy nạp với u 2 m 2 , sau đó sử chemotaxis model without symmetry dụng nguyên lí chính quy cực đại cho assumptions, European J. Appl. Math. 12 phương trình với ve. Tiếp đó, ta sử dụng các (2001) 159-177. ước lượng gradient v rồi kết hợp vào [4] E. Keller, A. Segel, Initiation of slime mold phương trình năng lượng của ue. aggregation viewed as an instability, J. Theoret. Biol. 26 (1970) 399-415. Bước 4: Sử dụng các kĩ thuật của phương [5] J. Liu, Y. Wang, Boundedness and decay pháp nội suy Moser, ta có: property in a three-dimensional Keller- sup ‖ u (t ) ‖L  ‖ v (t ) ‖W   .  1, Segel-Stokes system involving tensor- t 0 valued sensitivity with saturation, J. Từ đó, ta thu được các tính chất (1), (2), Differential Equations 261 (2016) 967-999. (3) trong Định lý đúng với các nghiệm của [6] T. Senba, T. Suzuki, Parabolic system of bài toán xấp xỉ. chemotaxis: blowup in a finite and the Bước 5: Chuyển qua giới hạn   0 ta thu infinite time, Methods Appl. Anal. 8 (2001) được kết quả cần chứng minh. 349-367. [7] J. Tello, M. Winkler, A chemotaxis system 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO with logistic source, Comm. Partial Differential Equations 32 (6) (2007) 849-877. [1] T. Cieslak, C. Stinner, Finite-time blowup [8] M. Winkler, Boundedness and large time and global-in-time unbounded solutions to a behavior in a three-dimensional chemotaxis- parabolic-parabolic quasi-linear Keller-Segel Stokes system with nonlinear diffusion and system in higher dimensions, J. Differential general sensitivity, Calc. Var. Partial Equations 252 (2012) 5832-5851. Differential Equations 54 (2015) 3789-3828. 53

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.