Tập 1 Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Bài tập toán cao cấp

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:279

Thêm vào BST

Báo xấu

379
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích giới thiệu đến các bạn những nội dung sau: Số phức, đa phức và hàm hữu tỉ, ma trận, định mức; hệ phương trình tuyến tính, dạng toàn phương và ứng dụng để nhận dạng đường và mặt bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập 1 Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Bài tập toán cao cấp

NGUYỄN THỦY THANH BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP Tập 1 Đại số tuyến tính và Hình học Giải tích NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006
Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
˜ ˆ ’ NGUYEN THUY THANH ` ˆ BAI TAP . ´ ´ ˆ TOAN CAO CAP Tˆp 1 a . ´ ´ Dai sˆ tuyˆn t´ . o e ınh ’ ıch v` H` hoc giai t´ a ınh . ` ´ ˆ ’ ´ ˆ ` ˆ NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI . . . H` Nˆi – 2006 a o.
Muc luc . . L`.i n´i dˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o ` a 4 1 Sˆ ph´.c ´ u o 6 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . -. ´ ıa o u . . . . . . . . 6 1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . ´ . o ’ o u ´ . . . . . . . . 8 ’ ˜ ınh . 1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a . . . . . . . . 13 1.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c e ’ ˜ o u e ´ o . . a . . . . . . . . 23 2 Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ 44 - 2.1 Da th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C - u e o ´ o u . . . . . . . . . 45 2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R - u e o ´ o . . . . . . . . . . 46 u.c h˜.u ty . . . . . . . . . . . . 2.2 Phˆn th´ u ’ a . . . . . . . . . 55 3 Ma trˆn. Dinh th´.c a . -. u 66 3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 67 -. 3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . . ıa a . . . . . . . . . . . 67 e a ´ 3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn a e ınh e ma trˆn a. . . . . . 69 3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . . e a a a . . . . . . . . . . . 71 ’ 3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . . e e . a . . . . . . . . . . . 72 - .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Di u . . . . . . . . . . 85 . ´ 3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 85 -. 3.2.2 Dinh th´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ chˆt cua dinh th´.c . . . ´ ınh a ’ . u . . . . . . . . . . 88
2 MUC LUC . . 3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c . . . . . . a ınh . u . . . . . 89 3.3 . ’ Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 109 - inh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 D. ı . . . . . 109 3.3.2 Phu .o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn . a ım . ’ a . . . . . 109 . 3.4 Ma trˆn nghich da a . . ’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 -. 3.4.1 Dinh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . 118 3.4.2 Phu .o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao a ım a ’ . . . . . 119 . . 4 Hˆ phu.o.ng tr` e . ´ ınh tuyˆn t´ e ınh 132 4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c e . ınh o ’ a o . u kh´c a 0. . . . 132 4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . . a a . . . . . . . . . 133 4.1.2 Phu .o.ng ph´p Cramer . . . . . . a . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu .o.ng ph´p Gauss . . . . . . . a . . . . . . . . 134 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . . e u ´ a . ınh ´ e ınh . . . . . . . . 143 4.3 Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt . e . ınh ´ e ınh ` a ´ a . . . . . . . . 165 n 5 Khˆng gian Euclide R o 177 5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. -. ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` ban vˆ vecto e .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’ -o ’ ’ 188 5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn . . . . . . o ’ . a’ 201 e ´ o e ’ ´ 5.4 Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e ınh 213 -i 5.4.1 D.nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 213 a ’ 5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt . . . . . . . . . . . . . . . e 213 5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e a 215 5.4.4 Vecto e. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . . a a . e 216 6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung d ˆ . a a ´ . e’ nhˆn dang du.`.ng a . . o v` m˘t bˆc hai a a a . . 236 6.1 Dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 236 6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange . . . a . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu.o.ng ph´p Jacobi . . . . a . . . . . . . . . . . 241
MUC LUC . . 3 6.1.3 Phu.o.ng ph´p biˆn dˆi tru.c giao . . . . . . . . . 244 a ´ e o .’ 6.2 - Du .a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t ınh o’ a ’ o a a a . . a . e ´ ` dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . 263 bˆc hai vˆ . ınh a
L`.i n´i dˆu o o ` a Gi´o tr` B`i tˆp to´n cao cˆp n`y du.o.c biˆn soan theo Chu.o.ng a ınh a a . a ´ a a . e . tr` To´n cao cˆp cho sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc Tu. nhiˆn cua ınh a ´ a e a a . . e ’ Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi v` d˜ du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi thˆng . . o´ a o a a . . . . ´ o a o. o qua v` ban h`nh. a a Muc d´ cua gi´o tr` l` gi´p d˜. sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc . ıch ’ a ınh a u o e a a . Tu . nhiˆn n˘m v˜.ng v` vˆn dung du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n cao e ´ a u a a ’ . . . . a a a ´ . e a ´ e . a o a . ´ u ’ cˆp. Muc tiˆu n`y quyˆt dinh to`n bˆ cˆu tr´c cua gi´o tr`nh. Trong a a ı mˆ ˜ i muc, dˆu tiˆn ch´ng tˆi tr`nh b`y t´m t˘t nh˜.ng co. so. l´ thuyˆt o . ` a e u o ı a o ´ a u ’ y ´ e v` liˆt kˆ nh˜ a e e u .ng cˆng th´.c cˆn thiˆt. Tiˆp d´, trong phˆn C´c v´ du o u ` a e´ ´ e o `a a ı . . ch´ng tˆi quan tˆm d˘c biˆt t´.i viˆc giai c´c b`i to´n mˆ u b˘ng c´ch u o a a. e o e . . ’ a a a ˜ a a ` a vˆn dung c´c kiˆ a . . a e´n th´.c l´ thuyˆt d˜ tr` b`y. Sau c`ng, l` phˆn B`i u y e´ a ınh a u a ` a a tˆp. O a a ’. dˆy, c´c b`i tˆp du.o.c gˆp th`nh t`.ng nh´m theo t`.ng chu dˆ a a a ’ ` . . . o . a u o u e v` du.o.c s˘p xˆp theo th´. tu. t˘ng dˆn vˆ dˆ kh´ v` mˆ i nh´m dˆu a . ´ ea ´ u . a ` ` o o a ˜ a e . o o ` e c´ nh˜ o u .ng chı dˆ n vˆ phu.o.ng ph´p giai. Ch´ng tˆi hy vong r˘ng viˆc ˜ ` ’ a e a ’ u o ` a e . . l`m quen v´ o a o.i l`.i giai chi tiˆt trong phˆn C´c v´ du s˜ gi´p ngu.`.i hoc ’ e´ `a a ı . e u o . n˘m du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n co. ban. ´ a . a a ’ a ’ Gi´o tr`nh B`i tˆp n`y c´ thˆ su. dung du.´.i su. hu.´.ng dˆ n cua a ı a a a o e ’ . . ’ o . o ˜ a ’ gi´o viˆn ho˘c tu. m` nghiˆn c´.u v` c´c b`i tˆp dˆu c´ d´p sˆ, mˆt a e a . ınh . e u ı a a a ` o a o o . e ´ . ´ o o ’ a a ˜ .´.c khi giai c´c b`i tˆp n`y d˜ c´ phˆn C´c v´ du sˆ c´ chı dˆ n v` tru o ’ a a a a a o ` a a ı . . tr` b`y nh˜.ng chı dˆ n vˆ m˘t phu.o.ng ph´p giai to´n. ınh a u ˜ e . ’ a ` a a ’ a T´c gia gi´o tr` chˆn th`nh cam o.n c´c thˆy gi´o: TS. Lˆ D`nh a ’ a ınh a a ’ a ` a a e ı ˜ ´ a a . y ’ ’ a o Ph`ng v` PGS. TS. Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ doc k˜ ban thao v` d´ng u a e
Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c ’ y ´ e a ´ e u 5 o ` ´ e e ´ y a ` ae ´ g´p nhiˆu y kiˆn qu´ b´u vˆ cˆu tr´c v` nˆi dung v` d˜ g´p y cho t´c u a o . a a o ´ a ’ ` u gia vˆ nh˜ e .ng thiˆu s´t cua ban thao gi´o tr` ´ e o ’ ’ ’ a ınh. M´.i xuˆt ban lˆn dˆu, Gi´o tr`nh kh´ tr´nh khoi sai s´t. Ch´ng o a ’ ` ` ´ a a a ı o a ’ o u tˆi rˆt chˆn th`nh mong du.o.c ban doc vui l`ng chı bao cho nh˜.ng o a ´ a a . . . o ’ ’ u ´ e o ’ ´ ’ gi´o tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n. thiˆu s´t cua cuˆn s´ch dˆ a o a e ınh a . a e. H` Nˆi, M`a thu 2004 a o. u T´c gia a ’
Chu.o.ng 1 Sˆ ph´.c ´ o u 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . -. ıa o´ u 6 1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . ´ . o ’ ´ o u 8 1.3 ’ ˜ Biˆu diˆ n h` e e ınh hoc. Mˆd un v` acgumen . 13 . o a 1.4 Biˆu diˆ n sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c . 23 e’ ˜ e ´ o u o . . a 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c -. ´ u ıa o Mˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c goi l` mˆt sˆ ˜ . ´ o a o . o u . . . a o o . ´ ph´.c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p cˆng v` u e ´ e a . . a a o . . ` e a e o . a ph´p nhˆn du . e a .o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a sau dˆy: a a . ı a . ` (I) Quan hˆ b˘ng nhau e a  a = a , 1 2 (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2. (II) Ph´p cˆng e o .
1.1. D. nh ngh˜ sˆ ph´.c -i ´ ıa o u 7 def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´p nhˆn e a def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ). Tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C. Ph´p cˆng (II) v` ph´p nhˆn a . o u . ´ . y e a . e o . a e a ´ (III) trong C c´ t´ chˆt giao ho´n, kˆt ho o ınh a a ´ e . .p, liˆn hˆ v´.i nhau bo.i e e o ’ . luˆt phˆn bˆ v` moi phˆn tu. = (0, 0) dˆu c´ phˆn tu. nghich dao. a. a ´ o a . `a ’ ` e o ` a ’ . ’ Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng (goi l` tru.`.ng sˆ ph´.c) v´.i phˆn a . . a . a o . o . a o ´ o u o `a tu’. khˆng l` c˘p (0; 0) v` phˆn tu. do.n vi l` c˘p (1; 0). Ap dung quy o a a a ` a ’ ´ . . a a . . ´c (III) ta c´: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆu k´ hiˆu i = (0, 1) th` t˘ a o ´ y e e . ı i2 = −1 Dˆi v´.i c´c c˘p dang d˘c biˆt (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v` (III) ta ´ o o a a . . a . e . a c´ o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T`. d´ vˆ m˘t dai sˆ c´c c˘p dang (a, 0), a ∈ R khˆng c´ g` kh´c biˆt u o ` a . o a a e . ´ . . o o ı a e . .i sˆ thu.c R: v` ch´ng du.o.c cˆng v` nhˆn nhu. nh˜.ng sˆ thu.c. Do o ´ v´ o . ı u ´ . o . a a u o . a o e `’ o ´ a a a .i sˆ thu.c a: o ´ vˆy ta c´ thˆ dˆng nhˆt c´c c˘p dang (a; 0) v´ o . . . . (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R. D˘c biˆt l` (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. a. e a . Dˆi v´.i sˆ ph´.c z = (a, b): ´ o o o u ´ 1+ Sˆ thu.c a du.o.c goi l` phˆn thu.c a = Re z, sˆ thu.c b goi l` phˆn ´ o . . . a ` a . ´ o . . a ` a ’ a y e a ao v` k´ hiˆu l` b = Im z. . 2 Sˆ ph´.c z = (a, −b) goi l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z + ´ o u ´ . a o u e . ´ o o u 1 def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh deﬁnition (dinh ngh˜ a a ´ ´ e a ’ u e ´ . ıa)
8 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ ´ u o Moi sˆ ph´.c z = (a; b) ∈ C dˆu c´ thˆ viˆt du.´.i dang ´ . o u ` o e e e ’ ´ o . z = a + ib. (1.1) Thˆt vˆy, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib a a . . ’u th´.c (1.1) goi l` dang dai sˆ cua sˆ ph´.c z = (a, b). T`. (1.1) Biˆ e u . a . ´ . o ’ o u ´ u a . ´ v` dinh ngh˜ sˆ ph´ e . ıa o u .c liˆn ho.p ta c´ z = a − ib. o Du.´.i dang dai sˆ c´c ph´p t´nh trˆn tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c thu.c o . ´ . o a e ı e a. ´ . o u . . . a ´ hiˆn theo c´c quy t˘c sau. e a Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´ ’ ’ o (I) Ph´p cˆng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ). e o . (II) Ph´p nhˆn: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ). e a z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 (III) Ph´p chia: e = 2 2 +i 2 · z1 a1 + b1 a1 + b2 1 CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. 1+ T´ in . T`. d´ ch´.ng minh r˘ng ı . ınh u o u ` a a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T` sˆ nguyˆn n nˆu: ´ ım o e ´ e a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1+i n 1−i n b) √ + √ = 0. 2 2 Giai. 1+ Ta c´ i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v` ’ o a gi´ tri l˜y th` a . u .a b˘t dˆu l˘p lai. Ta kh´i qu´t h´a. Gia su. n ∈ Z v` ´ a . u a ` a . a a o ’ ’ a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´ o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir
1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ o u ´ 9 (v` i4 = i). T`. d´, theo kˆt qua trˆn ta c´ ı u o ´ e ’ e o  1  ´ nˆu n = 4k, e    i ´ nˆu n = 4k + 1, e in = (1.2) −1 nˆu n = 4k + 2,  ´ e     ´ −i nˆu n = 4k + 3. e T`. (1.2) dˆ d`ng suy ra a) v` b). u ˜ a e a + . hˆ th´.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra 2 a) T` e u u . 1+i n = 1. 1−i 1+i 1+i n Nhu.ng = i nˆn e = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z. 1−i 1−i 1+i n 1−i n 1+i n b) T`. d˘ng th´.c √ u a ’ u + √ ` = 0 suy r˘ng a = −1 2 2 1−i v` do d´ in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. a o V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu n l` bˆi cua 3 th` ı . u ` a ´ e a o ’ . ı √ √ −1 + i 3 n −1 − i 3 n + =2 2 2 a e´ o ´ v` nˆu n khˆng chia hˆt cho 3 th` e ı √ √ −1 + i 3 n −1 − i 3 n + = −1. 2 2 Giai. 1+ Nˆu n = 3m th` ’ ´ e ı √ √ −1 + i 3 3 m −1 − i 3 3 m S= + 2 √ √ 2 √ √ −1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m −1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 m = + 8 8 m m = 1 + 1 = 2.
10 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 2+ Nˆu n = 3m + 1 th` ´ e ı √ √ √ √ −1 + i 3 3 m −1 + i 3 −1 − i 3 3 m 1−i 3 S= + 2 √ √ 2 2 2 −1 + i 3 −1 − i 3 = + = −1. 2 2 Tu.o.ng tu. nˆu n = 3m + 2 ta c˜ng c´ S = −1. . e ´ u o V´ du 3. T´ biˆu th´.c ı . ınh e ’ u 1+i 1+i 2 1+i 22 1+i 2n σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + . 2 2 2 2 1+i Giai. Nhˆn v` chia biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 − ’ a a e’ u a o ta c´ o 2 1 + i 2n 2 1 + i 2n+1 1− 1− σ= 2 = 2 · 1+i 1+i 1− 1− 2 2 ` ınh Ta cˆn t´ a n 1+i 2n+1 1+i 2 2n i 2n i2 1 = = = 2n = 2n · 2 2 2 2 2 Do d´ o 1 1 1− 2n 2 1 − 2n 1+i σ= 2 = 2 × 1+i 1−i 1+i 1− 2 1 = 1 − 2n (1 + i) 2 √ V´ du 4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ. ı . e’ ˜ o u e ´ o . . o ´ Giai. Theo dinh ngh˜a ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho w2 = 4 − 3i. ’ . ı ` ım o u a ´ ´ Nˆu w = a + bi, a, b ∈ R th` e ı 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ o u ´ 11 T`. d´ u o a2 − b2 = 4, (1.3) 2ab = −3. (1.4) 3 T`. (1.4) ta c´ b = − . Thˆ v`o (1.3) ta thu du.o.c u o ´ e a . 2a 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 √ 8 + 100 8 + 10 18 9 u1 = = = = , ⇐⇒ 4 4 4 2 √ 8 − 100 8 − 10 1 u2 = = =− · 4 4 2 9 V` a ∈ R nˆn u ı e 0⇒u= v` do vˆy a a . 2 3 1 a = ±√ ⇒ b = √ · 2 2 T`. d´ ta thu du.o.c u o . 3 1 w1,2 = ± √ − √ i 2 2 V´ du 5. Biˆu diˆn sˆ ph´.c ı . ’ e ˜ o u e ´ √ √ 5 + 12i − 5 − 12i z=√ √ 5 + 12i + 5 − 12i √ √ v´.i diˆu kiˆn l` c´c phˆn thu.c cua 5 + 12i v` 5 − 12i dˆu ˆm. o ` e e a a . ` a . ’ a ` a e ’ ´ Giai. Ap dung phu .o.ng ph´p giai trong v´ du 4 ta c´ a ’ ı . o . √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi  x2 − y 2 = 5, ⇐⇒ 2xy = 12.
12 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u e a o . e . a a ` Hˆ n`y c´ hai nghiˆm l` (3; 2) v` (−3; −2). Theo diˆu kiˆn, phˆn e e. `a thu ’ .c cua √5 + 12i ˆm nˆn ta c´ √5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. ta a e o . √ . t`m du . ı .o.c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆy a . −3 − 2i − (−3 + 2i) 2 z= = i −3 − 2i + (−3 + 2i) 3 z−1 V´ du 6. Gia su. z = a + ib, z = ±1. Ch´.ng minh r˘ng w = ı . ’ ’ u ` a l` a z+1 sˆ thuˆn ao khi v` chı khi a2 + b2 = 1. ´ o ` ’ a a ’ ’ Giai. Ta c´ o (a − 1) + ib a2 + b2 − 1 2b w= = 2 + b2 +i · (a + 1) + ib (a + 1) (a + 1)2 + b2 T`. d´ suy r˘ng w thuˆn ao khi v` chı khi u o ` a ` ’ a a ’ a2 + b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. (a + 1)2 + b2 ` ˆ BAI TAP . T´ ınh (1 + i)8 − 1 15 1. · (DS. ) (1 − i)8 + 1 17 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11 2. · (DS. − i) (2 − i)2 − (2 + i)2 4 (3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14 3. − · (DS. − ) 2+i 2−i 5 1−i 1−i 2 1−i 22 1−i 2n 4. 1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √ . 2 2 2 2 (DS. 0) ’ ˜ ´ a . a ’ ı . Chı dˆ n. Ap dung c´ch giai v´ du 3. 5. Ch´.ng minh r˘ng u ` a z1 z1 a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ; z2 z2
’ ˜ ınh . 1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 13 n d) z n = (z) ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z. 6. V´.i gi´ tri thu.c n`o cua x v` y th` c´c c˘p sˆ sau dˆy l` c´c c˘p o a . . a ’ a ı a a o. ´ a a a a . ´ .c liˆn ho.p: sˆ ph´ e . o u 1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v` −y 2 + 2y + 11 − 4i; a 2) x + y 2 + 1 + 4i v` ixy 2 + iy 2 − 3 ? a (DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5) 7. Ch´.ng minh r˘ng z1 v` z2 l` nh˜.ng sˆ ph´.c liˆn ho.p khi v` chı u ` a a a u ´ o u e . a ’ khi z1 + z2 v` z1z2 l` nh˜ a a u .ng sˆ thu.c. ´ o . 8. T´ ınh: √ 1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i)) √ 2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i)) √ 3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i)) √ √ √ √ 4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2) 9. Ch´.ng minh r˘ng u ` a 2 4 6 8 1) 1 − C8 + C8 − C8 + C8 = 16; 2 4 6 8 2) 1 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16; 1 3 5 7 9 3) C9 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16. Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton dˆi v´.i (1 + i)8 v` ’ ˜ ´ a . o u . u ´ o o a 9 (1 + i) . 1.3 ’ e ˜ Biˆu diˆn h` hoc. Mˆdun v` acgu- e ınh . o a men Mˆ i sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ d˘t tu.o.ng u.ng v´.i diˆm M(a; b) cua ˜ ´ o o u o e a ’ . ´ o e ’ ’ ’ m˘t ph˘ng toa dˆ v` ngu . . a a .o.c lai mˆ i diˆm M(a; b) cua m˘t ph˘ng dˆu ˜ ’ ’ ’ ` . . o a . o e a. a e tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib. Ph´p tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp l` ´ o o u´ e ´ . a a a . do.n tri mˆt - mˆt. Ph´p tu.o.ng u.ng d´ cho ph´p ta xem c´c sˆ ph´.c ´ . o . o. e ´ o e a o u . l` c´c diˆm cua m˘t ph˘ng toa dˆ. M˘t ph˘ng d´ du.o.c goi l` nhu a a ’ e ’ a ’ a ’ . . o . a . a o . . a m˘t ph˘ng ph´.c. Truc ho`nh cua n´ du.o.c goi l` Truc thu.c, truc tung a. ’ a u . a ’ o . . a . . .
14 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u du.o.c goi l` Truc ao. Thˆng thu.`.ng sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ xem . . a −→ . ’ o o ´ o u o e ’ nhu . vecto. OM . Mˆ i vecto. cua m˘t ph˘ng v´.i diˆm dˆu O(0, 0) v` ˜ o ’ a ’ a o e’ ` a a . diˆm cuˆi tai diˆm M(a; b) dˆu tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib v` e’ ´ o . e ’ ` e ´ ´ o o u a .o.c lai. ngu . . Su. tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp gi˜.a tˆp ho.p sˆ ph´.c C v´.i tˆp ho.p . ´ . a a . u a. ´ . o u o a . . ’ c´c diˆm hay c´c vecto a a e a . m˘t ph˘ng cho ph´p goi c´c sˆ ph´.c l` diˆm ’ a ´ e . a o u a e ’ . hay vecto.. V´.i ph´p biˆu diˆn h`nh hoc sˆ ph´.c, c´c ph´p to´n cˆng v` tr`. o e e’ ˜ ı e ´ . o u a e a o . a u c´c sˆ ph´.c du.o.c thu.c hiˆn theo quy t˘c cˆng v` tr`. c´c vecto.. a o u´ . . e . ´ o a . a u a Gia su. z ∈ C. Khi d´ dˆ d`i cua vecto. tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z ’ ’ o o a ’ . ´ ´ o o u du.o.c goi l` mˆdun cua n´. . . a o ’ o e´ Nˆu z = a + ib th` ı √ √ r = |z| = a2 + b2 = z z. G´c gi˜.a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v` vecto. z (du.o.c xem l` g´c o u o ’ . . a . a o du.o.ng nˆu n´ c´ dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim dˆng hˆ) du.o.c goi l` ´ e o o . o `e ` o ` o . . . a ’ o ´ acgumen cua sˆ z = 0. Dˆi v´ o´ o o ´ .i sˆ z = 0 acgumen khˆng x´c dinh. o a . Kh´c v´.i mˆdun, acgumen cua sˆ ph´.c x´c dinh khˆng do.n tri, n´ a o o ´ ’ o u a . o . o .i su. sai kh´c mˆt sˆ hang bˆi nguyˆn cua 2π v` x´c dinh v´ . a . o a . ´ o o . o . e ’ a Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z, trong d´ arg z l` gi´ tri ch´ cua acgumen du.o.c x´c dinh bo.i diˆu o a a . ınh ’ . a . ’ ` e kiˆn −π < arg z π ho˘c 0 arg z < 2π. e . a . a .c v` phˆn ao cua sˆ ph´.c z = a + ib du.o.c biˆu diˆn qua Phˆn thu a ` ’ ` a ´ ’ o u ’ e ˜ e . . mˆdun v` acgument cua n´ nhu. sau o a ’ o  a = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
’ ˜ ınh . 1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 15 Nhu. vˆy, acgumen ϕ cua sˆ ph´.c c´ thˆ t`m t`. hˆ phu.o.ng tr` a . ´ ’ o u o e ı ’ u e . ınh  cos ϕ = √ a  , a2 + b2 sin ϕ = √ b  · a2 + b2 CAC V´ DU ´ I . x − y 2 + 2xyi 2 ı . ım o ’ o ´ V´ du 1. T` mˆdun cua sˆ z = √ · xy 2 + i x4 + y 4 ’ Giai. Ta c´ o (x2 − y 2 )2 + (2xy)2 x2 + y 2 |z| = √ = 2 = 1. 2+( 4 + y 4 )2 x + y2 (xy 2) x V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆu c´: ı . u ` a ` o e (i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2. ’ Giai. (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ). V` −|z1z2 | ı Re(z1 z 2) |z1z2| nˆn e |z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 |. (ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn ı e |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|. (iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c ´ . a . |z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
16 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|. Nhˆn x´t. C´c bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i a e . a a a ´ ’ u a o o e e ’ ´ o dang . (iii)∗. |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 | |z1| − |z2| . Thˆt vˆy ta c´ |z1 + z2| |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2| − |z1 |. C´c a a . . o a a vˆ phai kh´c nhau vˆ dˆu do d´ nˆu lˆy vˆ phai du.o.ng th` thu du.o.c ´ ’ e a ` a e ´ ´ ´ ´ ’ o e a e ı . ∗ ´ ’ (iii) . Bˆt d˘ng th´ a a u.c (iv)∗ thu du.o.c t`. (iii)∗ b˘ng c´ch thay z2 bo.i ` ’ . u a a −z2. V´ du 3. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c ı . u ` o ´ a u |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2). Giai th´ y ngh˜ h`nh hoc cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh. ’ ıch ´ ıa ı . ’ e u a u . ’ ’ ’ Giai. Gia su . z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´ o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ), |z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 . T`. d´ thu du.o.c u o . |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2). 1 2 2 T`. hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy r˘ng trong mˆ i h`nh b`nh h`nh tˆng c´c u e u a u . ` a ˜ o ı ı a o’ a b` phu.o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b` phu.o.ng ınh o a ’ a . o e ` a o’ a ınh o a ’ a . ’ o dˆ d`i cua c´c canh cua n´. . V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3| th` ı . u ` a ´ e ı z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1 Giai. Theo gia thiˆt, c´c diˆm z1 , z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ’ ´ e a e’ a ` a e o o .i tˆm tai gˆc toa dˆ. Ta x´t c´c vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v` n`o d´ v´ a a o o ´ . o . o . e a a z2 (h˜y v˜ h` a e ınh).
’ ˜ ınh . 1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 17 B˘ng nh˜.ng nguyˆn do h`nh hoc, dˆ thˆy r˘ng ` a u e ı . ˜ a ` e ´ a z3 − z2 arg = arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1) z3 − z1 v` g´c n`y nh` cung tr`n nˆi diˆm z1 v` z2 v` g´c o. tˆm a o a ın ´ ’ o o e a a o ’ a z2 arg = argz2 − argz1 z1 ´ ınh o o . y o ’ ı c˜ng ch˘n ch´ cung tr`n d´. Theo dinh l´ quen thuˆc cua h`nh hoc u a . . . cˆp ta c´ so a ´ o z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1 V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v` z1 +z2+z3 = 0 ı . u ` a ´ e a ’ a a ’ ’ a ` . ´ th` c´c diˆm z1, z2 v` z3 l` c´c dınh cua tam gi´c dˆu nˆi tiˆp trong ı a e a e o e du.`.ng tr`n do.n vi. o o . Giai. Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ’ ´ e ’ e a ` a e o o .n vi. Ta t`m dˆ d`i cua c´c canh tam gi´c. do . ı o a ’ a . a . + 1 T` dˆ d`i |z1 − z2|. Ta c´ ım o a. o |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 = x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2) 1 2 2 2 = 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2] 1 2 2 2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2. Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|. Do d´ a o |z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3 v` t`. d´ a u o √ |z1 − z2| = 3 . √ √ 2+ Tu.o.ng tu. ta c´ |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`. d´ suy ra . o u o tam gi´c v´.i dınh z1 , z2, z3 l` tam gi´c dˆu. a o ’ a a `e